HƯỚNG DẪN ÔN TẬP TOÁN LỚP 9
ÁP DỤNG TỪ NĂM HỌC : 2008 - 2009
A. PHẦN ĐẠI SỐ:
I. LÝ THUYẾT:
1. HỌC KÌ I:
Câu 1 : Định nghĩa căn bậc hai số học của một số a ≥ 0
Áp dụng : Tính căn bậc hai của :
a, 64

b, 81

Câu 2: CM Định lý ∀a ∈ ¡ thì

c, 7

a2 = a
2
( 3 − 1) ;

Áp dụng tính : 152 ;

( 1− 2 )

2

Câu 3: Phát biểu quy tắc khai căn một tích , quy tắc nhân các căn bậc hai.
Áp dụng tính : 16.36 ;

4,9.250 ;

2. 8 ; 125. 5


Câu 6: Cho hai đường thẳng y = a1x + b1 và y = a2x + b2 . Khi nào thì hai đường thẳng
đã cho cắt nhau, trùng nhau, song song với nhau.
Cho d : y = 2x + 1
d’ : y = x – 2
Xác định tọa độ giao điểm của d1 và d2 .
Câu 7: Nêu cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b.
Áp dụng vẽ đồ thị hàm số y = 2x + 1
Câu 8 :
1/- Thưc hiện phép tính :
a, 8 − 3 32 + 72
b, 6 12 − 20 − 2 27 + 125 − 6 3
2/- Thực hiện phép tính:
a, 4 27 − 2 48 − 5 75 : 2 3

(
b, ( 1 +

)(

)

3 − 2 . 1+ 3 + 2

)

Câu 9 : Giải PT :
a, 25 x − 275 − 9 x − 99 − x − 11 = 1
b, 4 − 2 3 − x 2 − 2 x 3 + 3 = 0
1

a

b
a

Câu 9: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm có tổng là S và có tích là P (không
cần chứng minh )
Áp dung : Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là: 2 + 2 và 2 − 2
2
Câu 10: Nêu tính chất của hàm số y = ax (a ≠ 0)
II. CÁC BÀI TOÁN :
1. HỌC KÌ I:
Câu 1: Thực hiện phép tính
A = 8 − 2 15 − 8 + 2 15
B = 4+ 7 − 4− 7
C = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5

Câu 2: Rút gọn

(

)

A=

1
2

B=



9 x2 − 4
4 x 2 − 1 + (2 x + 1)( x − 1)

a, Tìm đk của x để A có nghĩa
b, Rút gọn A
c, Tìm x để A > 0
Câu 5: Cho
 1
  1
2 x −2
2 
A = 
−
:
−
÷
÷
÷
 x + 1 x x − x + x −1   x −1 x −1 

a, Rút gọn A
b, Với giá trị nào của x thì A nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó.


Câu 6: Cho B = 1 +



a   1

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
3x − 2 y = 1
 x + y = −3

b/ 

 4 x + 3 y = 15
3 x + 2 y = 10

d/ 

a/ 
c/ 

1 1 5
x + y = 8

e/ 
1 − 1 = 3
 x y 8

3 x + 5 y = 1
 2 x + y = −4
3 x − y = 5

 2 x + 3 y = 18
1
 2
 2x + y − x − y = 1



Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Câu 2: Tìm giá trị của a để hệ phương trình
x + 2 y = 5

 ax + 3 y = a

a/ Có một nghiệm duy nhất
b/ Vô nghiệm.
x − 3y = m
2 x − 6 y = 8

Câu 3: Cho hệ phương trình 

Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm, vô số nghiệm.
Bài 4:
Câu 1: Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị của nó đi qua hai điểm
a/ A(2 ; 4) và B(-5 ; 4)
b/ A(3 ; -1) và B(-2 ; 9)
Câu 2: Xác định đường thẳng y = ax + b biết rằng d0ồ thị của nó đi qua điểm
A(2 ; 1) và đi qua giao điểm B của hai đường thẳng y = − x và y = −2 x + 1
Bài 5: Cho hàm số y = -x2 có đồ thị (P) và y = -2x +m có đồ thị là (d)
a/ Xác định m biết rằng (d) đi qua điểm A trên (P) có hoành độ bằng 1.
b/ Trong trường hợp m = -3 .Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các
giao điểm của chúng .
c/ Với giá nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ; (d) tiếp xúc với (P) ,(d) không
cắt (P)
Bài 6: Giải phương trình :
a / 3 x 2 + 75 = 0
2

Bi 10: Gii phng trỡnh :
15
=2
x
1
1
2/

=1
x +1 x 1
3/ 2 x 4 7 x 2 4 = 0

1/ x

4 / x5 x3 x2 + 1 = 0

B. PHN HèNH HC:
I. Lí THUYT:
1. HC Kè I:
CU 1 : Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, AB = c, BC = a, AC = b, AH l ng
cao, BH = c / , HC = b / . Chng minh rng : b 2 = ab / ; c 2 = ac / .
p dng : Cho c = 6, b = 8 . Tớnh b / , c / .
CU 2 : Phỏt biu nh ngha t s lng giỏc ca mt gúc nhn .
p dng : Tớnh t s lng giỏc ca gúc 600 .
CU 3 : Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, AB = c, BC = a, AC = b, AH l ng cao
(AH = h ). Chng minh rng :

1
1 1
= 2+ 2.

Áp dụng : Cho hai đường tròn (O;4cm)và ( O / ,1cm) , OO / = 7cm . Vẽ tiếp tuyến

(

)

chung ngoài BC B ∈ ( O ) , C ∈ ( O ) . Tính độ dài BC.
2. HỌC KÌ II:
Câu 1 : Chứng minh định lí: “Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai
đường tròn bằng nhau: Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau”
Câu 2: Nêu cách tính số đo của cung nhỏ trong một đường tròn. Áp dụng:Cho đường
tròn (O), đường kính AB. Vẽ dây AM sao cho ·AMO = 400 . Tính số đo cung BM ?
Câu 3: Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song
song thì bằng nhau. (Chú ý: Học sinh chỉ chứng minh một trường hợp: một trong hai dây, có
một dây đi qua tâm cuả đường tròn)
Câu 4: Áp dụng các định lí về mối quan hệ giữa cung nhỏ và dây căng cung đó trong
một đường tròn để giải bài toán sau: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB.Vẽ các bán
·
kính OM, ON sao cho: ·AOM = 400 , BON
= 800 . So sánh: AM, MN và NB ?
Câu 5: Chứng minh định lí: “ Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện
bằng 180 0 ”.
Câu 6: Chứng minh định lí: “ Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa
số đo của cung bị chắn”.( Chỉ chứng minh một trường hợp: có một cạnh của góc đi qua tâm ).
Câu 7: Chứng minh định lí: “Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng
nửa số đo của cung bị chắn”.( Chỉ chứng minh một trường hợp: Tâm O của đường tròn nằm ở
ngoài của góc).
Câu 8: Chứng minh định lí: “ Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa
tổng số đo hai cung bị chắn”.
Câu 9: Nêu cách tính độ dài cung n0 của hình quạt tròn bán kính R. Áp dụng: Cho

/
góc với AB cắt (O)tại C và cắt ( O ) tại D. Dựng qua A cát tuyến EAF E ∈ ( O ) , F ∈ ( O ) .

·
·
a/ Chứng minh rằng CEB
= DFB
= 900 .
b/ Chứng minh rằng OO / // CD . Tính CD biết : AB = 6cm, OA = 8cm, O / A = 6cm .
c/ Tìm vị trí của cát tuyến EAF sao cho AE = AF.

BÀI 5 : Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC.Trên các cạnh AB,AC lần lượt lấy
·
các điểm di động D và E sao cho DOE
= 600 .
a/ Chứng minh rằng : tích BD.CE không đổi .
b/ Chứng minh rằng ∆BOD : ∆OED , từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc BDE.
c/ Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB . Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc
với DE .
2. HỌC KÌ II:
Bài 1: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên
đoạn AB lấy điểm M ( khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai
là N. Đường thẳng d vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N ở
điểm P. Chứng minh :
a/. Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn.
b/. Tứ giác CMPO là hình bình hành.
c/. Tích CM.CN không đổi.
Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC = 2R, một điểm A trên nửa đường
tròn ấy sao cho BA = R. Lấy M là một điểm trên cung nhỏ AC, BM cắt AC tại I. Tia BA cắt
tia CM tại D.

- Với số dương a, a được gọi là căn bậc hai số học của a.
- Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.
- Căn bậc hai số học của :
a, 64 là 64 = 8
b, 81 là 81 = 9
c, 7 là 7
Câu 2 :
- Nếu a ≥ 0 => | a | = a => | a |2 = a2
- Nếu a < 0 => | a | = -a => | a |2 = (-a)2 = a2
=> a 2 = a
Áp dụng :
152 = | 15 | = 15
2
( 3 − 1) =

( 1− 2 )

2

3 −1 = 3 −1

= 1− 2 = 2 −1

Câu 3: SGK/ trang 13
Áp dung :
16.36 = 16. 36 = 4.6 = 24
4,9.250 = 49.25 = 49. 25 = 7.5 = 35
2. 8 = 2.8 = 16 = 4
125. 5 = 125.5 = 625 = 25



Câu 5 :
a, <=> 3x = 4 => x =

4
5
4 5
=> y = => (x, y) = ( , )
3
3
3 3

b, <=> y = -2x – 1 thế vào (2) ta được
x + 3( 2x + 1) = -4
7x + 3 = -4
7x = -7 => x = -1 => y = -2(-1)-1 = 1
(x, y) = (- 1, 1)
Câu 6 : d1 : y = a1x + b1
d2 : y = a2x2 + b2
 d1 cắt d2 <=> a1 ≠ a2
 d1 ≡ d2 <=> a1 = a2 và b1 = b2
 d1 // d2 <=> a1 = a2 và b1 ≠ b2
Vì a1 ≠ a2 => (d) và (d’) cắt nhau
Xét Pt hoành độ : 2x + 1 = x – 2 => x = -3 => y = -5
Tọa độ giao điểm A của (d) và (d’) là A (-3, -5)
b
a

Câu 7: Đồ thị hàm số y = ax + b là một đường thẳng đi qua A (0, b); B ( − , 0 ) nên khi
vẽ đồ thị hàm số y = ax + b ta làm như sau :


Câu 8 :
1/- Thưc hiện phép tính :
a, 8 − 3 32 + 72 = 2 2 − 12 2 + 6 2 = −4 2
b, 6 12 − 20 − 2 27 + 125 − 6 3 = 12 3 − 2 5 − 6 3 + 5 5 − 6 3 = 3 5
2/- Thực hiện phép tính:

(
b, ( 1 +

)

(

)

a, 4 27 − 2 48 − 5 75 : 2 3 = 12 3 − 8 3 − 25 3 : 2 3 = −21 3 : 2 3 = −

)(

) (

3 − 2 . 1+ 3 + 2 = 1+ 3

Câu 9: Giải PT :
a, 25 x − 275 − 9 x − 99 − x − 11 = 1
<=> 5 x − 11 − 3 x − 11 − x − 11 = 1
<=> x − 11 = 1 ( ĐK x ≥ 11 )

<=> x – 11 = 1 => x = 12 (Thỏa)


) ( )
2

−

2

2

= 1+ 2 3 + 3 − 2 = 2 + 2 3

21
2


2008 + 2010 ≥ 2 2009
<=> 2008 + 2010 + 2 2008.2010 ≥ 4.2009
<=> 2008.2010 ≥ 2009
<=>

( 2009 − 1) ( 2009 + 1)

≥ 2009

<=> 20092 − 1 ≥ 2009
<=> 20092 − 1 ≥ 20092 vô lý
Vậy 2008 + 2010 < 2 2009

b. HỌC KÌ II:

=
a 5
c
3
x1 .x2 = = −
a
5
x1 + x2 = −

Câu 8 :

11


ỡù
ùù x = - b + D
ùù 1
2a
ớ
ùù
- b- D
ùù x2 =
ùợ
2a
- b + D - b - D - 2b a
ị x1 + x2 =
+
=
=
2a


Cõu 10 :SGK trang 29
2. CC BI TON I S:
a. HC Kè I:
Cõu 1: Thc hin phộp tớnh
A = 8 2 15 8 + 2 15
=

(

5 3

)

2

(



5+ 3

)

2

= 2 3
B = 4+ 7 4 7
1
=


5 +1

=> C = 5 + 1

Cõu 2: Rỳt gn

12

2


(

)

2
1
1
15
6+ 5 −
120 −
2
4
2
1
1
1
A = (11 + 2 30) − .2 30 −
30

) + 2 2(

) −3−

2 −1

2 −1

3

)

3+2 2

3 + 2+ 4−2 2 −3− 3 + 2 2 = 3

Câu 3:
a, TXĐ ∀x ∈ R, x ≥ 4
b, A =

(

A=

x−4 +2

)

x−4 +2 +


x−4 −2

x−4 +2 + 2− x−4 ≥

x−4 +2+2− x−4 = 4

min A = 4 <=> 4 ≤ x ≤ 8

Câu 4:
A=

( 3x − 2 ) ( 3x + 2 )
( 3 x − 2 ) ( 3x + 2 )
=
( 2 x + 1) ( 2 x − 1) + ( x − 1)  ( 2 x + 1) ( 3x − 2 )

1

x≠−

2
x
≠
−
1


2
<=> 
a, A có nghĩa <=> 

+
1
>
0



2
2
<=> 
<=> 
c, A > 0 <=> 
3 x + 2 < 0
x < − 2
x < − 2




3

3

2 x +1 < 0

x < − 1


2


) ( x − 1) (
( x − 1) =
x −1 − 2 x + 2
A=
. ( x + 1) =
( x − 1)
( x + 1) ( x − 1)

)

2

x −1
x +1

ĐK : x ≥ 0, x ≠ 1
b,

x +1− 2
2
= 1−
x +1
x +1

A=

x ≥ 0 <=> x + 1 ≥ 1 <=>

2
≤2

a −1
a −1

b, B < 1 <=>

(

)

a + a +1

3− 3

Vậy B =

13 − 3
2

Câu 7: Đặt 3 182 + 33125 = a
3

182 − 33125 = b

=> A = a + b => A3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
A3 = 364 + 3A 3 1822 −

(

33125

)

2

=> A3 = 364 + 3A 3 −1
=> A3 + 3A – 364 = 0
=> (A - 7)(A2 + 7A + 52) = 0
=> A = 7
Câu 8:
a,


x = 4 => y = 11
Tọa độ A(4, 11) là tọa độ giao điểm (d2) và (d3). Xét A với (d1) xem A có thuộc d1
hay không?
VP: 4 + 7 = 11 = VT
=> Tức là đi qua A ∈ d1
Vậy d1, d2, d3 đồng quy tại A .
b. HỌC KÌ II:
Bài 1:
a/

b/

3x − 2 y = 1
3x − 2 y = 1
5 x = −5
⇔
⇔

 x + y = −3
 2 x + 2 y = −6
 x + y = −3
 x = −1
 x = −1
⇔
⇔
−1 + y = −3  y = −2
3 x + 5 y = 1
3x + 5 y = 1
7 x = 21
⇔


c/

d/

e/

3 x − y = 5
9
⇔

 2 x + 3 y = 18
2
 x = 3

⇔
⇔
2.3 + 3 y = 18

1 1 5
x + y = 8


1 − 1 = 3
 x y 8

11 x = 33
⇔
x + 3 y = 18
2 x + 3 y = 18

 1 + 5 =6
 x − y 2 x + y
1
1
;b =
Đặt a =
2x + y
x− y
x ≠ y

Điều kiện 
−y
 x ≠ 2
 2a − b = 1
Ta có hệ phương trình 
5a + b = 6
a = 1
Giải ra ta được 
b = 1
 1
2

x=
 2x + y = 1

2 x + y = 1 

3
⇔
⇔

2 x + 4 = 3 x − 15 y − 12
 2 x + 10 y = −1
2 x + 10 y = −1
⇔
⇔
 − x + 15 y = −16
−2 x + 30 y = −32

h/ 

−33

 y = 40
 − x + 15 y = −16
⇔
⇔
 40 y = −33
 x = 29

8
29 −33
)
Vậy ( x; y ) = ( ;
8 40

Bài 2:
 2ax + by = 12
 ax − 2by = −6
Do ( x = −2; y = 1) là nghiệm của hệ phương trình
 −4a + b = 12

⇔
Nên 
 −2 + 3n = −2
−2 + 3n = −2
 −2 m = − 8
m = 4
⇔
⇔
3n = 0
n = 0

Bài 3:
 mx + 3 y = 5
4 x + 6 y = 9

Câu 1: 

Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
m 3
3.4
≠ ⇔m≠
⇔m≠2
4 6
6
x + 2 y = 5
Câu 2: 
 ax + 3 y = a
⇔

a/ Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất

Ta có =
2 −6
1 m
Nếu = ⇔ m = 4 thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
2 8
1 m
Nếu ≠ ⇔ m ≠ 4 thì hệ phương trình vô nghiệm.
2 8
⇔

Bài 4:
Câu 1:
a/ Vì đồ thị hàm số đi qua A(2; -4) nên 2a + b = 4
Và qua B(-5 ; 4) nên −5a + b = 4
 2a + b = 4
7 a = 0
a = 0
⇔
⇔
 −5a + b = 4
 2a + b = 4
b = 4

Ta có hệ phương trình 

Vậy y = 4
b/ Vì đường thẳng y = ax + b qua A(3 ; -1) nên 3a + b = −1
Và qua B(-2 ; 9) nên −2a + b = 9
3a + b = −1
5a = −10

A Î (d ) Û - 1 =- 2.1 + m Û m = 1

ïìï A Î (P )
Û
í
ïïî x A = 1

b/ Bảng giá trị y = -x2
X

-3

-2

-1

0

1

2

3
19


y=-x2

-9


y= -2x - 3

B(-1;-1)

2

y = -x
-9

C(3;-9)

c/ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)
- x 2 =- 2 x + m Û x 2 - 2m + m = 0
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Û D ' = 1- m > 0 Û m 0 " x

Nên phương trình vô nghiệm.
2/
2 2
x - 384 = 0 Û 2 x 2 = 1152 Û x 2 = 576 Û
3

é x1 = 24

Û 9 x 2 - 12 x + 4 - 2 x 2 + 4 x - 2 = 2
Û 7 x 2 - 8x = 0
Û x (7 x - 8) = 0
éx1 = 0
ê
Û ê
8
êx2 =
ê
7
ë

Bài 7 : 1/ − x 2 = 5 x − 14

Û x 2 + 5 x - 14 = 0(a = 1; b = 5; c =- 14)
D = 25 + 56 = 81 > 0
x1 = 2; x2 =- 7
2/ 3 x 2 + 10 x + 80 = 0 (a = 3; b = 10; c = 80)
D ' = 25-240 = -215

ê
ëm2 =- 10 2

Bài 9:
1/ x2 + (m+1)x + m = 0 (a = 1;b = m+1;c = m)
D =(m+1)2 -4.1.m
D = m2 +2m +1-4m = m2 - 2m +1 = (m+1)2 ³ 0 với mọi m
2/Thay x = -2 vào (1)
(-2)2 +(m+1)(-2) + m = 0
4-2m-2+ m = 0
2-m = 0 Û m = 2
c
x1 .x2 = = m
a

- 2.x2 = 2 Û x2 =- 1

3/ Phương trình có hai nghiệm đối nhau Û x1 +x2 =0 Û -(m+1) = 0 Û m = -1
4/Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau Û x1 x2=1 Û m = 1
5/Theo hệ thức Vi-et
ìïï x1 + x 2 =- (m +1)(1)
í
ïïî
x1. .x 2 = m(2)
x1 - x 2 = 2
Û (x1 - x2 )2 = 4
Û (x1 + x 2 )2 - 4x1x 2 = 4
Û m 2 + 2m +1- 4m = 4
Û m 2 - 2m - 3 = 0

ïîï m
7 +9
t1 =
= 4(tmñk )
4
7- 9 - 2 - 1
t2 =
=
=
(ktñk )
4
4
2
éx = 2
Þ x2 = 4 Û ê 1
êx2 =- 2
ë

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 2 và x2 = -2
4/
23


x 5 - x 3 - x 2 +1 = 0
Û x 3 ( x 2 - 1) - ( x 2 - 1) = 0
Û ( x 2 - 1)( x 3 - 1) = 0
éx 2 - 1 = 0
Û ê3
Û
êx - 1 = 0
ë


c 2 62
=
= 3, 6
a 10

CÂU 2 : Định nghĩa tỉ số lượng giác của một góc nhọn (SGK/tr.72)
3
1
3
;cos 600 = ; tg 600 = 3;cot g 600 =
2
2
3
1
1 1
CÂU 3 : Chứng minh : 2 = 2 + 2 (SGK/tr.67)
h
b c
1
1 1
1
1
169
60
8
=
⇒h=
=4
Áp dụng : C1: 2 = 2 + 2 = +

C

CÂU 6 : Chứng minh định lí : (SGK/tr.103)
Kẻ OH vuông góc AB.
HB = OB 2 − OH 2 = 62 − 4,82 = 3, 6
AB=2HB=2.3,6=7,2cm
CÂU 7: Chứng minh định lí (SGK/tr.114)
CÂU 8 : -Định nghĩa đường tròn nội tiếp tam giác (SGK/tr.114)
Cách xác định : +Tâm là giao điểm các đường phân giác các góc trong tam giác.
+ Bán kính là khoảng cách từ tâm đến cạnh của tam giác .
Áp dụng : BC = 122 + 162 = 400 = 20 ( cm )
24

;r =

AB + AC − BC 12 + 16 − 20
=
= 4 ( cm )
2
2


CÂU 9: Đường tròn ngoại tiếp tam giác ? –Đường tròn qua ba đỉnh của tam giác . Khi đó
tam giác nội tiếp đường tròn .
Cách xác định : + Tâm là giao điểm ba đường trung trực ba cạnh tam giác .
+Bán kính : Khoảng cách từ tâm đến đỉnh tam giác .
BC = 122 + 352 = 1369 = 37

⇒R=


O
D

KL

AB = CD

» ( GT) ⇒ ·AOB = COD
·
Ta có: »AB = CD
( 2 góc ở tâm chắn 2 cung bằng nhau thì

bằng nhau)
Nên :

VAOB =VCOD ( c.g.c) ⇒ AB = CD (đpcm)

Câu 2:
M

GT
A

Cho đường tròn (O)
AB: Đường kính
Dây AM sao cho: ·AMO = 400

B
O