TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
****************

DƯƠNG THỊ ANH

XÂY DỰNG HỆ THỐNG
BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
VỀ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải Tích

Người hướng dẫn khoa học

TS. Trần Văn Bằng

Hà Nội - 2014


Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trần Văn Bằng , người đã
tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình học tập để hoàn thành khóa
luận tốt nghiệp của mình.
Em cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để em hoàn
thành khóa luận.
Qua đây em xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã ủng hộ, giúp
đỡ nhiệt tình và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập và
hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Em xin chân thành cảm ơn !


1.2. Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai . .

7

1.3. Dạng chính tắc của các phương trình hyperbolic, elliptic và
parabolic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4. Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng . . . . . . . .

15

1.4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.2. Công thức nghiệm của bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.5. Bài toán biên ban đầu đối với phương trình truyền sóng . .
1.5.1. Sự tồn tại nghiệm. Phương pháp tách biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17
18

Chương 2. Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về
phương trình Hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



2.5.2. Bài toán hỗn hợp đối với phương trình không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

2


Mở đầu
Toán học là một môn khoa học cơ bản làm nền tảng cho các ngành
khoa học khác. Nó gắn liền với thực tiễn. Sự phát triển của toán học
được đánh dấu bởi những ứng dụng của toán học vào việc giải quyết
các bài toán thực tiễn. Phương trình đạo hàm riêng là một môn quan
trọng của toán học. Cũng như các môn học khác của toán học, phương
trình đạo hàm riêng xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học kĩ
thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế. Nó liên hệ trực tiếp với các
bài toán vật lí vì quá trình nghiên cứu các bài toán vật lí dẫn đến các
bài toán phương trình đạo hàm riêng. Ra đời từ những năm 60, phương
trình đạo hàm riêng đã nhanh chóng khẳng định được vị trí của mình
trong khoa học nói chung và trong toán học nói riêng. Phương trình đạo
hàm riêng được coi là chiếc cầu nối giữa toán học và ứng dụng. Đặc biệt

bản: bài toán Cauchy và bài toán hỗn hợp đối với phương trình truyền
sóng.

1.1. Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm
riêng
Định nghĩa 1.1. Một phương trình đạo hàm riêng là một phương trình
có chứa các đạo hàm riêng của ẩn hàm. Nó có dạng
F (x1 , x2 , ..., xn , u, ux1 , ..., uxn , ux1 x1 , ...) = 0,

(1.1)

x ∈ Ω ⊂ Rn , trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ) là các biến số độc lập, u là ẩn
hàm của các biến đó.
Ví dụ 1.1. Phương trình
∂ 2u
= 2x + y
∂x∂y
là phương trình đạo hàm riêng.
5


Một nghiệm của (1.1) trên Ω là một hàm u xác định, khả vi đến cấp
cần thiết trên Ω và thỏa mãn phương trình đó tại mọi điểm thuộc Ω.
Nói chung một phương trình đạo hàm riêng thường có vô hạn nghiệm.
Phương trình đạo hàm riêng thường được phân loại theo các tiêu chí
sau:
1) Theo cấp của phương trình (nói chung phương trình có cấp càng cao
càng phức tạp).
2) Theo mức độ phi tuyến, tuyến tính (phương trình tuyến tính nói
chung đơn giản hơn phương trình phi tuyến, mức độ phi tuyến càng cao

1.2. Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến
tính cấp hai
Định nghĩa 1.5. Phương trình có dạng:
n

n

aij (x)uxi xj +
i,j=1

bj (x)uxj + c(x)u = d(x)

(1.3)

j=1

x ∈ Ω được gọi là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai đối với
hàm u(x) = (x1 , x2 , ..., xn ), trong đó các hệ số aij , bj , c, d là các hàm liên
tục đã cho trên Ω, aij = aji và các aij không đồng thời bằng không.
Việc phân loại phương trình (1.3) chỉ phụ thuộc vào các hệ số aij của
các đạo hàm riêng cấp hai và được định nghĩa tại từng điểm như sau.
Gọi A(x) = [aij (x)] là ma trận vuông cấp n các hệ số của các đạo hàm
riêng cấp hai.
Tại mỗi x ∈ Ω cố định A(x) là một ma trận thực, đối xứng nên A(x) có
đúng n giá trị riêng thực. Ta nói:
+) Phương trình (1.3) thuộc loại elliptic tại x nếu A(x) có n giá trị riêng
7


cùng dấu;

a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + d(x, y, u, ux , uy ) = 0,

(1.4)

(x, y) ∈ R2 , trong đó các hệ số a, b, c là các hàm liên tục của hai biến
(x, y) đã cho; a, b, c không đồng thời bằng không. Khi đó tại mỗi (x, y)
ma trận các hệ số của các đạo hàm riêng cấp hai là


a b

A=
b c
có các giá trị riêng là nghiệm của phương trình bậc hai
det(A − λI) = λ2 − (a + c)λ + ac − b2 = 0

(1.5)

Đặt ∆ = b2 − ac
+) Nếu ∆ < 0 thì (1.5) có hai nghiệm cùng dấu nên (1.4) thuộc loại
elliptic;
+) Nếu ∆ > 0 thì (1.5) có hai nghiệm trái dấu nên (1.4) thuộc loại
hyperbolic;
+) Nếu ∆ = 0 thì (1.5) có một nghiệm bằng không và một nghiệm khác
không, nên (1.4) thuộc loại parabolic.

1.3. Dạng chính tắc của các phương trình hyperbolic,
elliptic và parabolic
Xét phương trình đạo hàm riêng đối với hàm
u(x) = u(x1 , x2 , ..., xn ) :

uxi xj

∂ξr
;
∂xj

∂ξr ∂ξs
=
uξr ξs
+
x
x
j
i
r,s=1

n

∂ 2 ξr
uξr
.
∂x
∂x
i
j
r=1

.
Thay các đạo hàm này vào (1.6) ta được phương trình
n

.
∂xk
Khi đó (1.8) có dạng
˜
A(ξ)
= J(x)t A(x)J(x).

(1.9)

˜
Chứng tỏ A(ξ)
và A(x) là hai ma trận đồng dạng hay chúng có cùng chỉ
số quán tính.
10


Vậy nếu (1.6) thuộc loại elliptic (hay parabolic, hyperbolic) tại điểm x0
thì (1.7) cũng thuộc loại elliptic (tương ứng parabolic, hyperbolic) tại
điểm ξ0 = ξ(x0 ).
Cố định x = x0 ta có A(x0 ) là một ma trận hằng. Khi đó tồn tại một
ma trận T = [αkl ] sao cho ma trận T t A(x0 )T có dạng


...
0 0 
 λ1 0



 0 λ2 . . .

0 λn
trong đó λi ∈ {1, −1, 0}, i = 1, 2, ..., n.
Giả sử đã biết ma trận T. Thực hiện phép đổi biến tuyến tính
n

ξk =

αik xi , k = 1, 2, ..., n,
i=1

ta có:
J =[

∂ξk
] = [αki ] = T,
∂xi

˜ 0 ) có dạng đường chéo như trên và phương trình (1.7) lúc đó
do đó A(ξ
được gọi là dạng chính tắc của phương trình (1.6) tại điểm x0 .
Chú ý:
1) n > 2, không tìm được phép đổi biến đưa (1.6) về dạng chính tắc
trong một miền.
2) Khi aij không phụ thuộc x thì ma trận các hệ số của các đạo hàm
riêng cấp hai có dạng đường chéo như trên tại mọi điểm nên ta có:

11


+ Nếu (1.6) thuộc loại hyperbolic thì dạng chính tắc của nó là:

thỏa mãn
D(ξ, η)
= 0.
D(x, y)
Ta nhận được phương trình
a∗ uξξ + 2b∗ uξη + c∗ uηη + d∗ (ξ, η, u, uξ , uη ) = 0,
trong đó
a∗ = aξx2 + 2bξx ξy + cξy2 ;
b∗ = aξx ηx + b(ξx ηy + ξy ηx ) + cξy ηy ;
c∗ = aηx2 + 2bηx ηy + cηy2 .
12

(1.11)


Khi đó ta có phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một:
aζx2 + 2bζx ζy + cζy2 = 0

(1.12)

là phương trình đặc trưng của (1.10), trong đó ζ thay cho ξ hoặc η. Giải
(1.12) được đưa về giải phương trình vi phân thường:
a(

dy
dy 2
) − 2b( ) + c = 0.
dx
dx


(1.13)


là dạng chính tắc thứ nhất của phương trình hyperbolic.
Đặt

 ξ = Φ1 + Φ2
 η =Φ −Φ
1

2

thì ta có dạng chính tắc thứ hai:
uξξ − uηη = D∗ (ξ, η, u, uξ , uη ).
b, Trường hợp phương trình elliptic trong một miền.
Do phương trình thuộc loại hyperbolic nên ∆ < 0.
Khi đó phương trình (1.13) có 2 nghiệm phức
√
b±i ∆
dy
=
dx
a
và tích phân hai phương trình này ta nhận được tích phân tổng quát
φ1 (x, y) ± iφ2 (x, y) = C.
Với phép đổi biến ξ = φ1 (x, y) , η = φ2 (x, y) , ta sẽ nhận được dạng
chính tắc của phương trình elliptic là:
uξξ + uηη = d∗ (ξ, η, u, uξ , uη ) .
c, Trường hợp phương trình parabolic trong một miền.
Do phương trình thuộc loại parabolic nên ∆ = 0.

thỏa mãn các điều kiện ban đầu
u(x, 0) = φ0 (x), x ∈ Rn ,

(1.15)

∂u
(x, 0) = φ1 (x), x ∈ Rn ,
∂t

(1.16)

trong đó f ∈ C 2 (Rn × [0, ∞)) và φ0 , φ1 ∈ C(Rn ) là các hàm đã cho.
Định lý 1.1. Bài toán Cauchy (1.14)- (1.16) có không quá một nghiệm
trong C 2 (Rn × [0, ∞)).
Chứng minh. Xem [1], Định lý 1.1, trang 114.

15


1.4.2. Công thức nghiệm của bài toán Cauchy
a) Công thức Kirchhoff.
Xét bài toán

3 ∂ 2u

∂ 2u


−


dS +
t
4π ∂t
|ξ−x|=t

+

φ0 (ξ)
dS
t
|ξ−x|=t

f (ξ, t − |ξ − x|)
dξ.
|ξ − x|

1
4π
|ξ−x|≤t

b) Công thức Poisson.
Xét bài toán:
 2
∂ u


− a2 ∆u = f (x, t),


2

a2 t2 − |ξ − x|2
|ξ−x|≤at

t

1
+
2πa

f (ξ, τ )
0 |ξ−x|≤a(t−τ )

a2 (t − τ )2 − |ξ − x|2
16

dξdτ .

dξ


c) Công thức D’Alembert.
Xét bài toán:
 2
∂ u


− a2 ∆u = f (x, t),


2

0 x−a(t−τ )

1.5. Bài toán biên ban đầu đối với phương trình
truyền sóng
Xét bài toán:


∂ 2u


− ∆u = f (x, t), (x, t) ∈ QT ,

2

∂t



 u(x, 0) = φ (x), ∂u (x, 0) = φ (x), x ∈ Ω,
0
1
∂t



u|ST = Ψ1 ,






=a
, 0 < x < L, t > 0,

2
2

∂t
∂x





u(x, 0) = φ(x), 0 ≤ x ≤ L,


∂u
(x, 0) = ψ(x),

∂t





u(0, t) = 0, t ≥ 0,





 X (x) + λX(x) = 0,
 T (t) + a2 λT (t) = 0.

18


Từ điều kiện biên suy ra

 X(0) = 0,
 X(L) = 0.
Để giải phương trình X (x) + λX(x) = 0, xét phương trình đặc trưng:
r2 + λ = 0.
Xét 3 trường hợp sau:
a) λ < 0.
Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình X (x) + λX(x) = 0 là:
√

X(x) = c1 e

−λx

+ c2 e

√
− −λx

.

Từ điều kiện

√
X(x) = c1 cos λx + c2 sin λx.
Kiểm tra điều kiện

 X(0) = 0
 X(L) = 0
ta suy ra
X(0) = c1 = 0,
√
X(L) = c2 sin λL = 0.
Rõ ràng c2 = 0, vì nếu c2 = 0 thì X(x) = 0, ta chỉ có nghiệm tầm
thường.
√
Vì c2 = 0 nên từ c2 sin λx = 0 cho ta:
√

k2π2
sin λL = 0 ⇔ λ = 2 .
L
Bài toán có nghiệm:
Xk (x) = Ck sin

kπ
x, Ck − const.
L

k2π2
Với λ = 2 thì phương trình T (t) + a2 λT (t) = 0 có nghiệm là:
L
kπ


Do tính chất tuyến tính và thuần nhất của phương trình
2
∂ 2u
2∂ u
=a
∂t2
∂x2
∞

∞

nên hàm u =

uk =
k=1

(ak cos
k=1

kπat
kπat
kπx
+ bk sin
) sin
cũng là
L
L
L


 ak =
L0
L

2 L
kπx


 bk = kπa ψ(x) sin L dx.
0
Vậy nghiệm của bài toán cho bởi:
∞

u (x, t) =

ak cos
k=1

kπat
kπx
kπat
+ bk sin
sin
,
L
L
L

trong đó:
L

2
∂ u

2∂ u

=
a
+ g(x, t), 0 < x < L, t > 0,

2
2

∂t
∂x





u(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ L,


∂u
(x, 0) = 0,

∂x







0



L

kπa
kπξ 
(t − τ ) sin
dξ dτ.
L
L

0

Bài toán 3: Tìm nghiệm của phương trình:
 2
2
∂ u

2∂ u

=
a
+ g(x, t), 0 < x < L, t > 0,

2
2

∞

ak cos
k=1

22

kπat
kπat
kπx
+ bk sin
,
sin
L
L
L