BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Thu Hảo

QUAN NIỆM CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỀ KHÁI NIỆM
HÀM SỐ LIÊN TỤC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Thu Hảo

QUAN NIỆM CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỀ KHÁI NIỆM
HÀM SỐ LIÊN TỤC
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN ANH DŨNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015


2. Lý thuyết tham chiếu ............................................................................................. 4
3. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu ............................................................................. 7
3.1.

Mục tiêu nghiên cứu ....................................................................................... 7

3.2.

Câu hỏi nghiên cứu ......................................................................................... 7

4. Phương pháp nghiên cứu ....................................................................................... 7
5. Tổ chức luận văn ................................................................................................... 8
Chương 1. TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU VỀ KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG .................................. 10
1.1. Những quan niệm đặc trưng trong quá trình hình thành và phát triển của khái
niệm HSLT trong lịch sử ........................................................................................ 10
1.1.1. Các đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số liên tục....................... 10
1.1.2. Những chướng ngại khoa học luận ............................................................ 12
1.1.3. Quan niệm nguyên thủy (QNT) ................................................................. 12
1.1.4. Quan niệm hình học của Descartes (QHD) ................................................ 12
1.1.5. Quan niệm hình học của Euler (QHE) ....................................................... 13
1.1.6. Quan niệm số hoá của Cauchy (QSC) ........................................................ 13
1.1.7. Quan niệm số hoá của Weierstrass (QSW) ................................................ 15
1.1.8. Quan niệm Baire (QNB) ............................................................................ 15
1.1.9. Quan niệm tôpô (QT) ................................................................................ 16
1.2. Một số nghiên cứu quan niệm của GV và HS THPT về khái niệm HSLT ........ 16
1.2.1. Một số kết quả trong luận án tiến sĩ của Habiba El Bouazzaoui (1988) ...... 16
1.2.2. Một số kết quả trong luận án tiến sĩ của Bridgers L. C (2007) ................... 28
1.3. Kết luận chương 1 ........................................................................................... 40


HSLT

hàm số liên tục

GV

giáo viên

SGK

sách giáo khoa

THPT

trung học phổ thông

tr.

Trang


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Bảng tóm tắt tiến triển của các đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm
số liên tục (Trích theo Bouazzaoui H. E [15, tr. 126]) ................................................ 11
Bảng 2.1: Các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm hàm số liên tục (trích theo [3,
tr.100-101-102]) ........................................................................................................ 47
Bảng 2.2: Bảng thống kê sáu thời điểm của các tổ chức toán học được GV lựa chọn
trong tiết dạy .............................................................................................................. 59
Bảng 3.1: Kết quả trả lời câu hỏi 1 (bộ câu hỏi 1) ...................................................... 77
Bảng 3.2: Kết quả trả lời câu hỏi 2 (bộ câu hỏi 1) ...................................................... 77

Hình 3.8: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi 6 (bộ câu hỏi 2) ..................................... 87
Hình 3.10: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi 7 (bộ câu hỏi 2) ................................... 88
Hình 3.12: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi 8 (bộ câu hỏi 2) ................................... 89
Hình 3.13: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi 10 (bộ câu hỏi 2) ................................. 90
Hình 3.14: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi 1 (bộ câu hỏi 3) ................................... 97
Hình 3.15: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi 2 (bộ câu hỏi 3) ................................... 98
Hình 3.16: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi 4 (bộ câu hỏi 3) ................................... 99
Hình 3.17: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi 5 (bộ câu hỏi 3) ................................. 100
Hình 3.18: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi 7 (bộ câu hỏi 3) ................................. 102


1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát
Theo Trần Anh Dũng (2013), trong luận án tiến sĩ “Dạy học khái niệm liên tục ở
trường trung học phổ thông” [3]:
Hàm số liên tục (HSLT) là một đối tượng cơ bản của giải tích. Nó là công cụ nghiên cứu
nhiều đối tượng khác như: đạo hàm, vi phân, tích phân, phương trình vi phân,…; là cơ sở
cho việc xây dựng hình học bằng phương pháp tiên đề và là một chủ đề nghiên cứu của
Tôpô. [3, tr.13]

Ở Việt Nam có rất nhiều công trình nghiên cứu về khái niệm HSLT. Chẳng hạn,
luận văn thạc sĩ “Khái niệm liên tục một nghiên cứu khoa học luận và didactic” của
tác giả Trần Anh Dũng (2005). Tác giả đã nghiên cứu những đặc trưng khoa học luận
của khái niệm liên tục. Đồng thời, tác giả thực hiện một nghiên cứu thể chế Toán
trung học phổ thông (THPT) dựa trên chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 với
khái niệm liên tục ở giai đoạn ngầm ẩn và tường minh. Cuối cùng, tác giả đưa ra giả
thuyết và thực nghiệm kiểm chứng về sự tồn tại ngầm ẩn của quy tắc hợp đồng
didactic liên quan đến kiểu nhiệm vụ vẽ đồ thị hàm số ở cấp độ trước lớp 11 và kiểu
nhiệm vụ chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình trong một khoảng (ở lớp

Như vậy, khái niệm HSLT là một đối tượng được nhiều nhà nghiên cứu quan
tâm. Tuy nhiên ở Việt Nam, việc tìm hiểu quan niệm của giáo viên (GV) và HS trong
các giai đoạn ngầm ẩn và tường minh của khái niệm HSLT chưa được chú trọng.
Nghiên cứu ở [3] vẫn còn để ngỏ vấn đề này, đặc biệt là việc tìm hiểu quan niệm của
HS và GV cũng như quyền hạn của GV ở các hợp đồng dạy học đã được dự đoán,
những ảnh hưởng của thể chế dạy học đến quan niệm của GV và HS.
Ở nước ngoài, việc nghiên cứu quan niệm của GV và HS về khái niệm HSLT
hình thành nên một chủ đề quan trọng. Chẳng hạn, luận án tiến sĩ thuộc khối Pháp ngữ
của Habiba El Bouazzaoui (1988) thực hiện ở Đại học Laval (Canada) với chủ đề
“Quan niệm của học sinh và giáo viên về khái niệm tính liên tục của một hàm số”.
Luận án này được thực hiện theo trường phái Didactic Toán, trong thể chế dạy học
THPT ở Maroc. Trong luận án, tác giả đã nghiên cứu quan niệm của GV và HS về
khái niệm HSLT và so sánh quan niệm của GV và HS. Tuy nhiên việc nghiên cứu này
thực hiện ở chương trình sách và giáo khoa giai đoạn 1945 đến 1976, có rất nhiều khác
biệt so với hiện nay.
Luận án tiến sĩ thuộc khối Anh ngữ của Bridgers L. C (2007) được thực hiện tại
đại học Syracuse, New York với đề tài “Khái niệm tính liên tục: Một nghiên cứu đối


3
với giáo viên trung học và học sinh của họ”2 [16]. Luận án này được thực hiện theo
trường phái Tâm lý học nhận thức, trong thể chế dạy học THPT ở New York. Tác giả
đã nghiên cứu quan niệm của GV và HS về khái niệm HSLT và bản chất của quan hệ
giữa quan niệm của GV và HS. Tuy nhiên, nghiên cứu này không cho biết sự tiến triển
trong quan niệm của HS về khái niệm HSLT và việc điều tra quan niệm của GV không
dựa trên việc nghiên cứu thực hành giảng dạy của GV.
Một lí do nữa dẫn chúng tôi đến đề tài nghiên cứu này là những vấn đề được đặt
ra bởi các nhà giáo dục học David Tall và Shlomo Vinner trong bài báo “Hình ảnh
khái niệm và định nghĩa khái niệm, một nghiên cứu đặc biệt về liên tục và giới hạn”3
[17]. Theo các tác giả:

Thành công của nghiên cứu này mang lại lợi ích thiết thực vì kết quả nghiên cứu
sẽ cung cấp cho GV một cái nhìn nhiều khía cạnh khác của việc dạy học khái niệm
HSLT. Đó là những quan niệm tồn tại ở cả GV và HS trong thực tiễn dạy học khái
niệm này ở bậc THPT.
2. Lý thuyết tham chiếu
Để nghiên cứu quan niệm của GV và HS về khái niệm HSLT, chúng tôi cần
thực hiện những nghiên cứu sau:
-

Nghiên cứu quan niệm đặc trưng về khái niệm HSLT xuất hiện trong lịch sử.

-

Nghiên cứu quan niệm về khái niệm HSLT được trình bày trong SGK toán phổ
thông hiện hành.

-

Nghiên cứu thực hành giảng dạy khái niệm HSLT của GV THPT.

-

Nghiên cứu xây dựng bộ câu hỏi và thực nghiệm bộ câu hỏi tìm hiểu mối quan
hệ cá nhâncủa GV và HS THPT với khái niệm HSLT.
Nghiên cứu thứ nhất và thứ hai đã được trình bày trong luận án tiến sĩ của tác

giả Trần Anh Dũng (2013). Do đó chúng tôi tổng hợp lại các nghiên cứu này. Như vậy
để tìm yếu tố trả lời các câu hỏi ban đầu, chúng tôi nghiên cứu thực hành giảng dạy và
xây dựng bộ câu hỏi, sau đó tiến hành thực nghiệm.
Việc nghiên cứu thực hành giảng dạy của GV, chúng tôi cần yếu tố lý thuyết

nghệ giải thích cho kỹ thuật τ,

 là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ.

Tổ chức didactic là một praxéologie, trong đó kiểu nhiệm vụ cấu thành nên nó là
kiểu nhiệm vụ thuộc loại nghiên cứu. Công cụ lý thuyết mà Chevallard đưa ra để
nghiên cứu thực hành của giáo viên là khái niệm về các thời điểm nghiên cứu.
Thời điểm thứ nhất: là thời điểm gặp gỡ đầu tiên với tổ chức toán học OM được
diễn ra dưới hình thức giải quyết một kiểu nhiệm vụ cụ thể. Đó chính là mục tiêu đặt
ra cho việc học tập liên quan đến khái niệm HSLT.
Thời điểm thứ hai: là thời điểm nghiên cứu kiểu nhiệm vụ Ti liên quan đến
HSLT và xây dựng nên một kỹ thuật  i cho phép giải quyết kiểu nhiệm vụ này.
Thời điểm thứ ba: là thời điểm xây dựng môi trường công nghệ lý thuyết liên
quan đến kỹ thuật  i , nghĩa là tạo ra những yếu tố lý thuyết cho phép giải thích kỹ
thuật đã
được thiết lập.
Thời điểm thứ tư: là thời điểm làm việc với kỹ thuật. Đây là thời điểm này là
thời điểm hoàn thiện kỹ thuật bằng cách cho học sinh làm việc với một tập hợp thích
đáng cả về số lượng lẫn chất lượng các nhiệm vụ khác nhau thuộc kiểu nhiệm vụ này.
Thời điểm thứ năm: Là thời điểm thể chế hoá. Mục đích của thời điểm này là
chỉ ra một cách rõ ràng các kiểu bài toán liên quan đến kiểu nhiệm vụ, các kỹ thuật


6
được ưu tiên giải, các yếu tố công nghệ - lý thuyết của kỹ thuật đó, … Đặc biệt, phải
phân biệt những yếu tố của tổ chức toán học đã tham gia vào quá trình xây dựng này
với những yếu tố của tổ chức toán học thực sự muốn nhắm đến.
Thời điểm thứ sáu: là thời điểm đánh giá. Mục đích của thời điểm này là xem
xét tầm ảnh hưởng của các kỹ thuật liên quan đến nhiệm vụ: kỹ thuật nào có thể giải
quyết được phần lớn các kiểu nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ trên ? Kỹ thuật nào dễ sử

tr.315]. Theo Chevallard, mối quan hệ cá nhân bao gồm hai thành phần: một thành
phần công khai lộ ra trong I và một thành phần khuất mà I không đánh giá được.
Thành phần khuất này có thể khuất trong thể chế này nhưng lại công khai trong thể
chế khác.
Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng thuật ngữ “quan niệm” với các ý nghĩa đã
nêu trên.
3. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu
3.1. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của luận văn là:
 Làm rõ các quan niệm của GV và HS THPT về khái niệm HSLT.
 Làm rõ nguồn gốc các ảnh hưởng của thể chế dạy học ở Việt Nam trên quan
niệm của GV và HS.
3.2. Câu hỏi nghiên cứu
Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết đã lựa chọn, để thực hiện được mục tiêu
nghiên cứu đã đề ra, chúng tôi xác định lại các câu hỏi nghiên cứu như sau:
CH1: Những quan niệm đặc trưng trong quá trình hình thành và phát triển của
khái niệm HSLT trong lịch sử ?
CH2: Những quan niệm nào về khái niệm HSLT được trình bày trong SGK
Toán Việt Nam hiện hành ? GV THPT truyền đạt đến HS của họ những quan niệm nào
về khái niệm HSLT ?
CH3: Những đặc trưng của mối quan hệ cá nhân của GV và HS THPT với khái
niệm HSLT ?
CH4: Quan niệm của GV THPT về khái niệm HSLT ảnh hưởng như thế nào
đến quan niệm của HS ? Và quan niệm của HS THPT về khái niệm HSLT có đồng
nhất với điều mà GV của họ đã truyền đạt cho họ hay không ?
4. Phương pháp nghiên cứu


8
Để trả lời câu hỏi CH1, một phần của CH2 cũng như có cơ sở tham chiếu trả lời

Chúng tôi tổng hợp kết quả trong luận án tiến sĩ của tác giả Trần Anh Dũng
(2013) về những quan niệm đặc trưng trong quá trình hình thành và phát triển của khái
niệm HSLT trong lịch sử
Chúng tôi tổng hợp một số kết quả nghiên cứu quan niệm của GV và HS THPT
về khái niệm HSLT trong hai luận án:
- Habiba El Bouazzaoui (1988), Quan niệm của học sinh và giáo viên về khái
niệm tính liên tục của một hàm số, luận án tiến sĩ Đại học Laval Canada.
- Bridgers L. C (2007), Khái niệm tính liên tục: Một nghiên cứu đối với giáo viên
trung học và học sinh của họ, luận án tiến sĩ đại học Syracuse, New York.
 CHƯƠNG 2: Nghiên cứu thực hành giảng dạy của giáo viên THPT về
khái niệm HSLT
Chúng tôi tổng hợp kết quả trong luận án tiến sĩ của tác giả Trần Anh Dũng
(2013) về sự phát triển của khái niệm HSLT trong SGK Việt Nam hiện hành.
Dựa trên những kết quả đã xác định, chúng tôi nghiên cứu thực hành giảng dạy
của GV THPT về khái niệm HSLT. Từ đó chúng tôi đưa ra giả thuyết nghiên cứu.
 CHƯƠNG 3: Mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh THPT với
khái niệm hàm số liên tục
Tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của GV và HS THPT với khái niệm HSLT. Để
thực hiện được điều này chúng tôi xây dựng bộ câu hỏi điều tra GV và HS THPT về
đối tượng hàm số liên tục.
 KẾT LUẬN
Trong phần kết luận chung, chúng tôi tổng kết lại các kết quả quan trọng của
chương 1, 2, 3. Đồng thời nêu ra hướng mở của đề tài.


10
Chương 1. TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU VỀ KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Mục đích của chương: trong chương này chúng tôi tổng hợp nghiên cứu về quá
trình hình thành và phát triển của khái niệm HSLT trong lịch sử. Bên cạnh đó, chúng

 Đặc trưng về cơ chế của khái niệm liên tục: Đối tượng, Công cụ (ngầm ẩn hay
tường minh).
 Đặc trưng về hình thức thể hiện của khái niệm: Tiền toán học, Cận toán học,
Toán học.
Sự tiến triển của khái niệm HSLT với các đặc trưng KHL của nó được tóm tắt trong
bảng 1.1:
Bảng 1.1. Bảng tóm tắt tiến triển của các đặc trưng khoa học luận của khái niệm
hàm số liên tục (Trích theo Bouazzaoui H. E [15, tr. 126])
Hy lạp cổ
Giai đoạn

đại đầu

Thế kỷ 17 và 18

Từ thế kỷ 19

thế kỷ 17
Quan niệm

Đại diện

QNT

QHD

Toán học

Descartes


Tổng thể

địa phương
Phạm vi

QHE

Hình học

tác động

Hình học

Giải tích

Tôpô

Số học
Đường
cong, hàm

Hàm số

gắn liền

số với

biến số

không gian



12

1.1.2. Những chướng ngại khoa học luận
Trong việc phân cấp các quan niệm, các nghiên cứu đã chỉ ra rằng 4 quan niệm
đầu tiên QNT, QHD, QHE, QSC đã sinh ra những chướng ngại khoa học luận trong
sự tiến triển của các quan niệm. Đặc biệt là quan niệm hình học, ảnh hưởng của quan
niệm này tồn tại mãi cho đến quan niệm QSC của Cauchy.
1.1.3. Quan niệm nguyên thủy (QNT)
Quan niệm nguyên thuỷ về sự liên tục kéo dài từ thời Hy Lạp cổ đại đến thế kỉ
17. Khái niệm liên tục tồn tại dưới hình thức của một khái niệm tiền toán học (chưa có
tên, chưa có định nghĩa). Nó có tính tổng thể và xuất hiện ngầm ẩn qua những giải đáp
về các nghịch lý của Zenon, nghịch lý lưỡng phân hay Asin và con rùa; các bài toán
tính diện tích, thể tích trong phạm vi hình học dựa trên phương pháp vét kiệt hay kỹ
thuật vô cùng bé. Ý tưởng liên tục còn gắn liền với chuyển động, sự biến đổi không
gián đoạn liên quan đến những đại lượng biến thiên như đường đi, thời gian, vận tốc.
Điều này thể hiện qua hình biểu diễn tương quan giữa vận tốc, thời gian và quãng
đường.
1.1.4. Quan niệm hình học của Descartes (QHD)
Vào thế kỉ 17, đại số hoá hình học phát triển mạnh mẽ. Điều này đặt cơ sở cho sự
phát sinh khái niệm hàm số. Từ đó, việc xét tính liên tục của đường cong được René
Descartes (1595 - 1650) chuyển sang xét tính liên tục của hàm số một cách trực quan.
Descartes là người đầu tiên đưa ra quan niệm về HSLT, nó có tính tổng thể và
dựa trên trực giác hình học.
Descartes không ghi định nghĩa chính thức của khái niệm HSLT mà chỉ phát biểu
bằng lời: “một hàm số là liên tục nếu đồ thị của nó có thể được vẽ mà không phải
nhấc viết chì khỏi tờ giấy” (xem hình 1.1).





14

“Khi cho biến số x một số gia cực bé
thuộc đồng thời vào biến số mới

 thì hàm số sẽ nhận một số gia f ( x   )  f ( x) phụ

 và giá trị của x. Một hàm số được gọi là liên tục theo x trên

một khoảng đã cho nếu với mọi x thuộc khoảng đó thì số f ( x   )  f ( x) giảm vô hạn cùng
với

 . Nói cách khác, một hàm số liên tục trên một khoảng nếu một số gia cực bé của biến số

sinh ra một số gia cực bé của hàm số”. [3, tr.70]

Theo Cauchy, hàm số nhiều biến liên tục nếu mỗi biến riêng lẻ liên tục. Ngày
nay, chúng ta biết điều này không chính xác thông qua phản ví dụ:

 xy
khi x 2  y 2  0
 2
2
f ( x, y )   x  y
0
khi x  y  0

QSC về HSLT vừa có tính địa phương vừa có tính tổng thể và được số hoá. Khái



15

1.1.7. Quan niệm số hoá của Weierstrass (QSW)
Từ giữa thế kỷ 19, trực giác hình học đã không còn chiếm vị trí quan trọng trong
sự phát triển của giải tích như trước nữa. Một số trường hợp sử dụng trực giác hình
học dẫn đến sai lầm. Ví dụ, cho đến giữa thế kỷ 19, người ta cho rằng một HSLT thì
chỉ không có đạo hàm tại các điểm giới hạn của nó (hàm số f ( x)  x có điểm giới
hạn
x = 0). Tuy nhiên, vào năm 1861, Karl Weierstrass (1815 - 1897) đã đưa ra một hàm
số liên tục trên tập số thực nhưng không đâu khả vi, đó là hàm số


f ( x)   b ncos  a n x  , trong đó a là số nguyên lẻ và b  (0;1) sao cho ab  1 
n 0

3
.
2

Sau đó, nhiều hàm số tương tự được đưa ra và trực giác hình học trở thành trường hợp
riêng. Do đó, Weierstrass không tin tưởng vào trực giác và muốn xây dựng cho giải
tích một cơ sở chặt chẽ và chính xác.
Weierstrass đưa ra một định nghĩa về HSLT như sau:
“Hàm số f(x) là liên tục trên một khoảng nếu với mọi x0 thuộc khoảng này và mỗi số dương bé
tuỳ ý

 , có thể tìm được một khoảng chứa x0 sao cho với mọi giá trị x thuộc khoảng này thì


nữa. Felix Hausdorff (1868 - 1942) đã phát triển một cách rõ ràng không gian tôpô
Hausdorff bằng một hệ tiên đề với những khái niệm cơ bản như tập đóng, tập mở, lân
cận, điểm dính, liên thông,… Dựa trên khái niệm lân cận cho phép Hausdorff định
nghĩa khái niệm liên tục trong nhiều không gian tôpô:
“Một phép biến đổi f là liên tục tại điểm x nếu với mỗi lân cận bất kỳ
lân cận U(x) sao cho:

V  f  x   đều tồn tại

f U  x    V  f  x   ”. [3, tr.76]

QT về tính liên tục có tính tổng thể và tôpô, có hình thức của một khái niệm toán
học và được áp dụng cho những hàm tổng quát trong các không gian tôpô.
1.2. Một số nghiên cứu quan niệm của GV và HS THPT về khái niệm HSLT
Trong mục này chúng tôi tổng hợp một số kết quả nghiên cứu quan niệm của GV
và HS THPT về khái niệm HSLT trong hai luận án [15] và [16].
1.2.1. Một số kết quả trong luận án tiến sĩ của Habiba El Bouazzaoui (1988)
Trong [15], tác giả đã nghiên cứu thể chế dạy học THPT ở Maroc theo quan
điểm của Didactic Toán. Tác giả đã nghiên cứu quan niệm của GV và HS về khái niệm
HSLT và so sánh quan niệm của GV và HS. Để thực hiện được việc này, tác giả đã
nghiên cứu sự tiến triển của các quan niệm trong lịch sử hình thành khái niệm tính liên
tục của một hàm số và nghiên cứu những quan niệm trong các chương trình sách giáo
khoa sử dụng ở Maroc từ năm 1945 đến 1976. Từ đó, so sánh những quan niệm ấy với
những quan niệm của GV và HS.
Thành phần tham gia thực nghiệm là 6 trường trung học: 2 trường ở trung tâm
thành phố và 4 trường ở ngoại ô, trong đó có 10 GV phụ trách giảng dạy 10 lớp này
cùng với HS của họ, với số lượng là 311 em (cả nam và nữ) ở lớp trình độ năm thứ 6
và thứ 7, khi mà giải tích nói chung và sự liên tục nói riêng bắt đầu được giảng dạy.