Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU
Mục
1

Tên đề mục
Lý do chọn đề tài

Trang
2

2

Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

2

3

Đối tượng nghiên cứu

3

4

Phạm vi nghiên cứu

3


Kết quả

24
PHẦN III: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

Mục
1

Tên đề mục
Kết luận

Trang
24

2

Kiến nghị

24

PHẦN I

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 1


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.


Trang 2


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

Mục tiêu:
Thực hiện đề tài này nhằm mục đích:
- Góp phần nâng cao chất lượng bộ mơn tốn ở trường THCS, giúp học sinh lớp 6 giải
được các các dạng tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật từ cơ bản đến nâng cao.
-Rèn cho học sinh kĩ năng giải tốn, khả năng dự đốn, tư duy sáng tạo, tính tự giác tích
cực.
- Chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm về phương pháp tính tổng của dãy số viết theo
quy luật
- Bản thân rèn luyện chun mơn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm
Nhiệm vụ:
Những nhiệm vụ cụ thể của đề tài là:
- Liệt kê một số dạng tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật và phương pháp giải
cho từng dạng, đề xuất bài tốn tổng qt thơng qua các ví dụ cụ thể đồng thời rèn cho học
sinh tìm tòi lời giải, xem xét bài tốn dưới dạng đặc thù riêng lẻ và lựa chọn phương pháp
giải hợp lý.
3. Đối tượng nghiên cứu:
Phụ đạo và nâng cao kiến thức cho học sinh lớp 6A3, 6A4 trường THCS Lê Đình
Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk.
4. Phạm vi nghiên cứu:
- Nghiên cứu về phương pháp giải một số dạng bài tập tính tổng của dãy số viết theo
quy luật .
- Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, sách nâng cao tốn 6.
5. Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu lí thuyết.

học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và
các cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt hơn.
2. Thực trạng:
a. Thuận lợi, khó khăn:
Thuận lợi:
- Xã Quảng Điền là một xã giàu truyền thống cách mạng, dân cư chủ yếu là người
Quảng nam đi kinh tế mới từ năm 1977, nhân dân có truyền thống hiếu học. Đặc biệt có
sự quan tâm của Đảng uỷ, UBND xã, sự quan tâm của các tổ chức, đồn thể trong xã

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 4


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

đối với cơng tác giáo dục, đảm bảo cơ sở vật chất tối thiểu cho dạy học hai ca. Xã
Quảng Điền là xã văn hoá năm 2010 và hiện nay đang phấn đấu xây dựng xã nơng thơn
mới vào năm 2015
- Hội cha mẹ học sinh hoạt động tích cực , phối hợp tốt với nhà trường trong các hoạt
động, duy trì tương đối hiệu quả việc học tập của con em trong cộng đồng địa phương.
- Hội khuyến học hết sức nhiệt tình, quan tâm đến phong trào giáo dục xã nhà nói
chung và trường THCS Lê Đình Chinh nói riêng .
- Phòng giáo dục và lãnh đạo nhà trường thường xun quan tâm tới tất cả các hoạt
động chun mơn của trường.
- Bên cạnh đội ngũ giáo viên nhiều kinh nghiệm nhà trường còn có một đội ngũ thầy cơ
trẻ, khoẻ, nhiệt tình và hăng say cơng việc.
- Đa số các học sinh khá giỏi đều ham thích học bộ mơn tốn.
Khó khăn:
- Nhân dân xã Quảng Điền sống chủ yếu bằng nghề nơng đời sống kinh tế còn nhiều

Khi vận dụng đề tài này vào giảng dạy tơi nhận thấy phần lớn học sinh khơng còn
lúng trong khi gặp dạng tốn này, đa số các em đã nhận dạng được bài tập và đã biết lựa
chọn cách giải nhanh, gọn, hợp lí và trình bày lời giải tương đối chặt chẽ.
Mặt yếu:
Dạng tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật là dạng tốn tương đối trừu tượng
đối với học sinh lớp 6. Khi gặp dạng tốn này, khơng ít học sinh lúng túng khơng biết
xử lý thế nào. Điều đó cũng dễ hiểu vì tuy đã được học phần lý thuyết cơ bản song số
bài tập để củng cố để khắc sâu, để bao qt hết các dạng thì lại khơng nhiều, khơng có
sức thuyết phục để lơi kéo sự hăng say học tập của học sinh. Mức độ kiến thức của dạng
toán này tương đới trừu tượng và phức tạp.
d. Ngun nhân:
Thực tế học sinh ở trường THCS Lê Đình Chinh tiếp thu bài còn chậm và vận dụng
kiến thức từ lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế. Các em còn nhầm lẫn và chưa thành
thạo trong việc giải bài tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật. Ngun nhân chủ
́u của khó khăn trên là:
- Mức độ nắm kiến thức và kĩ năng vận dụng làm bài của một số học sinh hạn chế.
- Học sinh khơng nhận ra được quy luật của dãy số.

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 6


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

- Học sinh chưa phân loại được các dạng bài tập và chưa xác định được phương pháp
giải cho từng dạng.
- Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa còn ít, vì vậy học sinh chưa có thời gian để ơn
tập, làm bài tập, giải bài tập nhiều.
- Học sinh chưa thật sự u thích và khơng hứng thú đối với việc học mơn Tốn nên

u cầu mỗi giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian cho việc soạn bài và đặc biệt là phải
tận tụy với cơng việc, tránh tư tưởng chủ quan chỉ cho học sinh tìm hiểu ở mức độ sơ
sài, thiên về cung cấp lời giải. Sự đầu tư thoả đáng của giáo viên sẽ được đền bù bằng
khả năng giải bài tập chắc chắn, linh hoạt cuả học sinh.
3. Giải pháp, biện pháp:
a. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp:
Những giải pháp, biện pháp được nêu trong đề tài này nhằm mục đích trang bị cho
học sinh lớp 6 một cách có hệ thống về phương pháp giải các dạng bài tập tính tổng của
dãy số viết theo quy luật từ cơ bản đến nâng cao, nhằm giúp cho học sinh có khả năng
vận dụng tốt dạng tốn này, định hướng được các thao tác: quan sát, nhận dạng, lựa
chọn phương pháp giải phù hợp cho từng dạng.
b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:
Việc tính tổng của các biểu thức thơng thường (hữu hạn số hạng) ta chỉ áp dụng đúng
thứ tự và quy tắc phép tốn là có thể giải được bài tốn. Vấn đề đặt ra là cách khai thác
để giải bài tốn tính tổng có dạng: Sn= a1+a2+a3+...+an (n=1,2,3…) thì chúng ta phải làm
như thế nào ?
Sau đây là một số dạng bài cơ bản và phương pháp khai thác để giải các dạng bài tốn
đó.

Dạng 1: Tính tổng của các số tự nhiên cách đều.
Phương pháp giải:
Muốn tính tổng của các số tự nhiên cách đều, ta làm như sau:
- Tính số các số hạng của tổng theo cơng thức:
(Số lớn nhất – Số nhỏ nhất) : Khoảng cách + 1
- Tính tổng theo cơng thức: (Số đầu + Số cuối) . Số số hạng : 2
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tính tổng A = 1 + 2 + 3 + ...+ 100
Giải:
Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh


Tổng B có: ( 100 − 2 ) : 2 + 1 = 50 (số hạng)
B=

( 2 + 100 ) .50 = 102.25 = 2550
2

Bài tốn tổng qt: Tính tổng 2 + 4 + 6 + ...+2n (Với n ∈ N* )
Giải:
Với cách làm như ví dụ 2, ta có:
2 + 4 + 6 + ... + 2n =

( 2 + 2n ) .n = n
2

( n + 1)

Ta có cơng thức tính tổng các số tự nhiên chẵn liên tiếp từ 2 đến 2n (Với n ∈ N* ) như
sau:
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n ( n + 1) (Với n ∈ N* )

Ví dụ 3: Tính tổng C = 1 + 3 + 5 + ...+ 49
Giải:
Tổng C có: ( 49 − 1) : 2 + 1 = 25 (số hạng)

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 9


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

Tổng E có: ( 98 – 3 ) : 5 + 1 = 95 : 5 + 1= 19 +1 = 20 (số hạng)
E = ( 98 + 3 ) . 20 : 2 = 101 . 20 : 2 = 1 010

Dạng 2: Tính tổng của các tích số tự nhiên viết theo quy luật.
Ví dụ 1:
Chứng tỏ rằng: k( k+1) =

k(k + 1)(k + 2) (k − 1)k(k + 1)
−
(Với
3
3

k ∈ N* )

Từ đó tính tổng: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100
Giải:
Với k ∈ N* , ta có k(k+1)(k+2) – k(k+1) (k-1) = k( k+1) [ (k + 2) − (k − 1)] = k (k+1) .3
Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 10


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.
⇒ k( k+1) =

k(k + 1)(k + 2) − (k − 1)k(k + 1) k(k + 1)(k + 2) (k − 1)k(k + 1)
−
=
3

3.4.5 2.3.4
−
3
3

………………..
99.100 =

99.100.101 98.99.100
−
3
3

Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:
A= −

0.1.2 99.100.101 99.100.101
=
= 33.100.101 = 333300
+
3
3
3

Ví dụ 2:
Tính tổng B = 10.11 + 11.12 + 12.13 + … + 98.99
Giải:
Ta có: 10.11 =

10.11.12 9.10.11

+
=
–
= 98.33.100 – 3.10.11 = 323 070
3
3
3
3

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 11


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

Bài tốn tổng qt: Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n(n+1) (Với n ∈ N* )
Giải:
Ta có: 1.2 =

1.2.3 0.1.2
−
3
3

2.3 =

2.3.4 1.2.3
−
3


Ví dụ 3: Tính tổng C = 2.4 + 4.6 + 6.8 + 8.10 + … + 196.198 + 198.200
Phương pháp giải: Ta thấy mỗi số hạng của tổng là tích của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp.
Do đó, để tách mỗi số hạng thành hiệu của 2 số nhằm triệt tiêu từng cặp số hạng với
nhau ta nhân cả hai vế với 6. Thừa số 6 này được viết dưới dạng: (6 - 0) ở số hạng thứ
nhất, (8 - 2) ở số hạng thứ hai, (10 - 4) ở số hạng thứ ba, ..........,(202 - 196) ở số hạng
cuối cùng.
Giải:
6.C = 2.4.6 + 4.6.6 + 6.8.6 + … + 196.198.6 + 198.200.6
6.C = 2.4.6+4.6.(8–2)+6.8.(10 – 4)+ … +196.198.(200 – 194)+198.200.(202 – 196)
6.C = 2.4.6+4.6.8-2.4.6+6.8.10-4.6.8+…+196.198.200-194.196.198+198.200.20296.198.200
6.C = 198.200.202
⇒ C = 198.200.202 : 6 = 1 333 200

Bài tốn tổng qt:
Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 12


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

Tính tổng S = 2.4 + 4.6 + 6.8 + … + (2n – 2).2n (Với n ∈ N, n > 1 )
Giải:

(
Với cách làm như ví dụ 3, ta có: 6.S = (2n – 2).2n.(2n + 2) ⇒ S =

2n − 2 ) 2n ( 2n + 2 )
6

Ta có cơng thức:
3 + ( 2n − 1) ( 2n + 1) ( 2n + 3 )
(Với n ∈ N* )
6
Ví dụ 5: Tính tổng E = 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + 99.101
1.3 + 3.5 + 5.7 + ... + (2n - 1).(2n + 1) =

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 13


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

Phương pháp giải: Để tính tổng E ta khơng nhân nhân cả 2 vế với cùng một số thích hợp
mà tách ngay một thừa số trong mỗi số hạng làm xuất hiện các tổng khác mà ta đã biết
cách tính hoặc dễ dàng tính được.
Giải:
E = 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + 99.101
= 1(2 + 1) + 2(3 + 1) + 3(4 + 1) + ... + 99(100 + 1)
= 1.2 + 1 + 2.3 + 2 + 3.4 + 3 + ... + 99.100 + 99
= (1.2 + 2.3 +3.4 +...+ 99.100) + (1 + 2 + 3 + ... + 99)
=

99.100.101
99.100
+
= 333300 + 4950 = 338250
3
2

99.100.101
99.100
+ 2.
= 333300 + 9900 = 343200
3
2

Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.4 + 2.5 + 3.6 +…+ n(n+3) (Với n ∈ N* )
Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 14


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

Giải:
Với cách làm như ví dụ 6, ta có:
1.4 + 2.5 + 3.6 +…+ n(n+3) =

n(n + 1)(n + 2)
n(n + 1) n(n + 1)(n + 5)
+ 2.
=
3
2
3

Ta có cơng thức:
1.4 + 2.5 + 3.6... + n ( n + 5 ) =



Vậy: k( k+1)(k+2) =

k(k + 1)(k + 2)(k + 3) (k − 1)k(k + 1)(k + 2)
−
(Với
4
4

k ∈ N* )

Áp dụng: Tính tổng: G = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 98.99.100
Ta có: 1.2.3 =

1.2.3.4 0.1.2.3
−
4
4

2.3.4 =

2.3.4.5 1.2.3.4
−
4
4

3.4.5 =

3.4.5.6 2.3.4.5
−

Giải:
Ta có: 1.2.3 =

1.2.3.4 0.1.2.3
−
4
4

2.3.4 =

2.3.4.5 1.2.3.4
−
4
4

3.4.5 =

3.4.5.6 2.3.4.5
−
4
4

………………..
n(n + 1)(n + 2) =

n(n + 1)(n + 2) ( n + 3 )
4

−


Trang 16


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

a)

A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210
2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 + 211

2A =

2A – A = 211 – 1
A = 211 – 1
b)

B = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + ... + 3100
3 + 32 + 33 + 34 +... + 3100 + 3101

3B =

3B – B = 3101 – 1
2B = 3101 – 1
B=
c) C = 1 + 7 + 7 2 + 7 3 +... + 7 2007
7C =

7 + 7 2 + 7 3 + ... + 7 2007 + 7 2008

7 C − C = 7 2008 −1

thừa là các số tự nhiên liên tiếp. Để tính tổng này, tách ngay một thừa số trong mỗi số
hạng làm xuất hiện các tổng khác mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được.
Giải:
12 + 22 + 32 + 42 + … + 1002
= 1 + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + 4(3 + 1) + … + 100(99 + 1)
= 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + 3.4 + 4 + … + 99.100 + 100
= (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) + ( 1 + 2 + 3 + … + 100)
= 333300 + 5050
= 338350
Bài tốn tổng qt: Tính tổng 12 + 22 + 32 + 42 + … + n2 (Với n ∈ N* )
Giải: Với cách làm như ví dụ 2, ta có:
12 + 22 + 32 + 42 + … + n2 = (1 + 2 +3 +4 + … + n) +[1.2 + 2.3 + 3.4+ … + (n–1)n]
=

n(n + 1) (n − 1)n(n + 1) 3n(n + 1) + 2(n − 1)n(n + 1) n(n + 1)[3 + 2(n − 1)] n(n + 1)(2n + 1)
+
=
=
=
2
3
6
6
6

Ta có cơng thức tính tổng các bình phương của các số tự nhiên từ 1 đến n như sau:
12 + 22 + 32 + 42 + ... + n 2 =

n(n + 1)(2n + 1)
6

= n ( n + 1) 
+ 
4
2


n ( n + 1)  n(n + 1) 
n2 + n − 2 + 2
= n ( n + 1)
= n ( n + 1)
=
4
4
 2 

2

Ta có cơng thức tính tổng các lập phương của các số tự nhiên từ 1 đến n như sau:
 n(n + 1) 
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = 
 2 
Ví dụ 4: Tính tổng 13 + 33 + 53 + … + 993
3

3

3

3


3
3
3
3
13 + 33 + 53 + ... + ( 2n + 1) = 13 + 23 + 33 + ... + ( 2n ) + ( 2n + 1)  − 23 + 43 + 63 + ... + ( 2n ) 

 


13 + 23 + 33 + ... + ( 2n ) 3 + ( 2n + 1) 3  − 23 13 + 23 + 33 + ... + n 3 




 ( 2n + 1) ( 2n + 1 + 1) 
 2 ( 2n + 1) ( n + 1) 
3  n ( n + 1) 
3  n ( n + 1) 
=
 −2 
 =
 −2 

2
2


 2  

 2 

+ 4n + 1 − 2n 2 )

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 19


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.
= ( n + 1)

2

( 2n

2

+ 4n + 1)

Ta có cơng thức tính tổng các lập phương của các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 2n + 1
như sau:
13 + 33 + 53 + ... + ( 2n + 1) = ( n + 1)
3

2

( 2n

2

+ 4n + 1)

1.2
2
1
1 1
= −
2.3 .2 3
1 1 1
= −
3.4 3 4

………….
1
1
1
−
=
2014.2015 2014 2015

Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
1
2014
+
+

+
+ ... +
1 − + − + − + ... + −
= 1−
=
=
1.2 2.3 3.4
n(n + 1)
2 2 3 3 4
n n +1
n +1 n +1

Ta có cơng thức :
Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 20


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

1
1
1
1
n
+
+
+ ... +
=
(Với n ∈ N* )

1 
1 1 1
+ +
+ + + + +
= 5 + +
+ +
+ + + ÷
6 12 20 30 42 56 72 90
 6 12 20 30 42 56 72 90 
1
1
1
1
1
1
1 
 1
= 5
+
+
+
+
+
+
+
÷
 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 
4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
1 1 

2
1
= 1−
1.3
3
2
1 1
= −
3.5 3 5

…………
2
1
1
=
−
2013.2015 2013 2015

Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 21


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.
2
2
2
2

2
1 1 1 1 1 1
1
1
1
n +1
+
+
+ ... +
− + − + − + ... + −
1−
=
=
=
1.3 3.5 5.7
n.(n + 2) 1 3 3 5 5 7
n n+2
n+2 n+2

Ta có cơng thức :
2
2
2
2
n +1
+
+
+ ... +
=
1.3 3.5 5.7

= 
+
+
+ ... +
÷
1.3 3.5 5.7
2009.2011 2  1.3 3.5 5.7
2009.2011 
1 1 1 1 1 1
1
1  1
1  1 2010 1005
= 1 − + − + − + ... +
−
=
÷ = 1 −
÷= .
2 3 3 5 5 7
2009 2011  2  2011  2 2011 2011

Thơng qua ví dụ trên cần phải khắc phục cho học sinh sai lầm thường gặp:

1
1 1
= −
3.5 3 5

là sai
Cách khác:
S=

2S = 1 −
2S =

1
2011

2010
2011

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 22


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.
S=

1005
2011
1

1

1

1

Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.3 + 3.5 + 5.7 + ... + n.(n + 2) (Với n ∈ N , n lẻ)
Giải:
1

+ ... +
= .
1.3 3.5 5.7
n.(n + 2) 2 n + 2

Ví dụ 5: Tính tổng

(Với n ∈ N,n lẻ )

5
5
5
5
+
+
+ ... +
11.16 16.21 21.26
61.66

(Trích đề kiểm tra nghiệm thu lớp 6 huyện Krơng Ana năm học 2012 - 2013)
Giải:
5
5
5
5
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 6 −1 5
+
+

+ +
+
+ ... +
=
+
+
+ ... +
6 66 176 336
248496 1.6 6.11 11.16
496.501
1 5
5
5
5
1
1 
 1 1 1 1 1 1
+
+
+ ... +
−

÷ = 1 − + − + − + ... +
÷
5  1.6 6.11 11.16
496.501  5  6 6 11 11 16
496 501 
1
1  1 500 100
= 1 −

1 − + − + ... +
−
=

÷
1.6 6.11 11.16
(5n − 4)(5n + 1) 5  6 6 11
5n − 4 5n + 1 
1
1  1 5n
n
= 1 −
=
÷= .
5  5n + 1  5 5n + 1 5n + 1

Ta có cơng thức :
1
1
1
1
n
+
+
+ ... +
=
(Với n ∈ N* )
1.6 6.11 11.16
(5n − 4)(5n + 1) 5n + 1


+
+ ... +
÷
3  1002.1005 1005.1008 1008.1011
2010.2013 
5  1
1
1
1
1
1
1
1 
= ×
−
+
−
+
−
+ ... +
−
÷
3  1002 1005 1005 1008 1008 1011
2010 2013 
5  1
1  5
1011
1685
= ×
−

Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.
4
1
1
*
=
−
n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3) ( n + 4 ) n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3) ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3) ( n + 4 ) (Với n ∈ N )

………………………………………………………………………………
k
1
1
=
−
n, k ∈ N* )
n(n + 1)(n + 2)...(n + k) n(n + a)... ( n + k − 1) (n + 1)(n + 2)...(n + k − 1)(n + k) (Với

- Tiến hành rút gọn từng cặp số hạng đối nhau kể từ số hạng thứ hai đến số hạng kề cuối
rồi tính ra kết quả.
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tính tổng
Phương pháp tách:

1
1
1
1
+
+

3.4.5 2 3.4.5 2  3.4 4.5 

………………………..
1
1
2
1 1
1 
= .
= 
−
÷
37.38.39 2 37.38.39 2  37.38 38.39 

Giải:
1 1
1  1 1
1 
1 1
1 
1
1
1
1
−
+
+
+ ... +

=  −  +  −  +…+ 

=
2 38.39 2 38.39 2 741 741

= .

1

1

1

1

Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n(n + 1)(n + 2) (Với n ∈ N* )
Giải:

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 25