ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

NGUYỄN TIẾN LONG

LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ
HIỆU ỨNG QUANG KÍCH THÍCH
ETTINGSHAUSENTRONG HỐ LƯỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC


HÀ NỘI - 2015

2


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

NGUYỄN TIẾN LONG

LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ
HIỆU ỨNG QUANG KÍCH THÍCH
ETTINGSHAUSENTRONG HỐ LƯỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục hình - bảng


DANH MỤC BẢNG, HÌNH


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài

Ngày nay, chúng ta ngày càng quan tâm nghiên cứu hơn về các đặc tính
của hệ bán dẫn thấp chiều. Những cấu trúc thấp chiều như các hố lượng tử
(quantum wells), các siêu mạng (superlattices), các dây lượng tử (quantum wires) và
các chấm lượng tử (quantum dots) … đã được tạo nên nhờ sự phát triển của công
nghệ vật liệu mới với những phương pháp như kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ
(MOCDV), epytaxi chùm phân tử (MBE)… Trong các cấu trúc nano như vậy, chuyển
động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một hướng tọa độ với một vùng có
kích thước đặc trưng vào cỡ bậc của bước sóng De Broglie, các tính chất vật lý của
điện tử thay đổi đáng kể, xuất hiện một số tính chất vật lý mới khác, gọi là hiệu ứng
kích thước. Ở đây, các quy luật của cơ học lượng tử bắt đầu có hiệu lực, khi đó đặc
trưng cơ bản nhất của hệ điện tử là phổ năng lượng bị biến đổi. Phổ năng lượng bị
gián đoạn dọc theo hướng tọa độ giới hạn. Do các tính chất quang, điện của hệ thấp
chiều biến đổi, đã mở ra khả năng ứng dụng của các linh kiện điện tử, ra đời nhiều
công nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong lĩnh vực khoa học, kỹ thuật. Ví dụ
như: các đi-ốt huỳnh quang điện, pin mặt trời, các loại vi mạch… Trong các cấu trúc
thấp chiều đó, cấu trúc hố lượng tử thu hút được rất nhiều sự quan tâm của các nhà

Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận
văn gồm có 3 chương, cụ thể:
Chương 1: Hố lượng tử và hệ số Ettingshausen trong bán dẫn khối
Chương 2: Hệ số Ettingshausen trong hố lượng tử
Chương 3: Tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết hệ số Ettingshausen
trong hố lượng tử GaAs/GaAsAl
4. Các kết quả thu được của luận văn.
- Thiết lập được phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong
hố lượng tử với thế Parabol khi có mặt một từ trường và một điện trường không
r r
E
đổi , H và một sóng điện từ mạnh (bức xạ laser kích thích).
- Xây dựng được biểu thức giải tích của Hệ số Ettingshausen trong hố lượng
tử với thế Parabol khi có laser kích thích (cơ chế tán xạ điện tử – phonon quang). Từ
đó kết luận hệ số EC phụ thuộc phức tạp và phi tuyến vào tần số và biên độ bức xạ
9


laser, tần số phonon và nhiệt độ của hệ.
- Các kết quả lí thuyết đă được tính toán số và vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ
thuộc của hệ số Ettingshausen vào tần số laser và nhiệt độ T của hệ.
Các kết quả thu được trong luận văn là mới và có giá trị khoa học , góp
phần vào phát triển lí thuyết về hiệu ứng quang kích thích Ettingshausen trong
bán dẫn thấp chiều.

10


CHƯƠNG 1
HỐ LƯỢNG TỬ VÀ HIỆU ỨNG ETTINGSHAUSEN TRONG BÁN DẪN KHỐI


điện tử), thì trong hố lượng tử cũng như các hệ thấp chiều khác, mật độ trạng thái
bắt đầu tại một giá trị khác 0 nào đó tại trạng thái có năng lượng thấp nhất và quy
1/2
luật khác ε .

11


Các hố thế có thể được tạo nên bằng nhiều phương pháp như epytaxy chùm
phân tử (MBE) hay kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ (MOCVD). Cặp bán dẫn trong
hố lượng tử phải phù hợp để có chất lượng cấu trúc hố lượng tử tốt.
1.1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong hố lượng tử với
thế parabol
Xét một cấu trúc hố lượng tử với thế giam giữ có dạng parabol (sau đây gọi
tắt là hố lượng tử parabol) lí tưởng, giả thiết theo phương z, được cho bởi
V ( z ) = meω z2 z 2 / 2 ,với ωz là tần số giam giữ đặc trưng của hố lượng tử. Ta thấy rằng

thế giam giữ trong trường hợp này códạng giống như trong bài toán chuyển động
của dao động tử điều hòa. Vì vậy hàm sóng và phổ năng lượng của electron theo
phương giam giữ có dạng hàm sóng và phổ năng lượng của dao động tử điều hòa.
ur
Đặt hố lượng tử nói trên trong một từ trường B = (0, 0, B) và điện trường
uur
E1 = ( E1 , 0, 0)
ur
Chọn thế vector tương ứng của tư trường nói trên là A = (0, Bx, 0) thì hàm

sóng đơn hạt và năng lượng tương ứng của electron khi đó lần lượt cho bởi:
r



  z 
÷H n  ÷
  lz 

n = 0,1, 2,....

(2)
(3)

l = h / (meω p )
Với H n ( z ) là đa thức Hermite bậc n là z

12

(4)


1.2. Hiệu ứng Ettingshausen trong bán dẫn khối
1.2.1. Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong bán dẫn khối khi
có mặt trường điện từ không đổi và trường bức xạ cao tần (laser)
Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối đặt trong một từ
uur
ur
E = ( E1 , 0, 0)
B
=
(0,
0,

k

a +pr , a pr ; ( bkr+ , bkr )

Trong đó :

( )

(5)

lần lượt là các toán tử sinh, hủy điện tử (phonon).

r
r
p2
ε ( p ) ≡ ε pr =
2m là phổ năng lượng của điện tử.
Ckr

là hằng số tương tác điện tử - phonon.
r
∂
A
1
( t ) = Er cos Ωt
r
−
0
A( t )
là thế véc-tơ. c ∂t

 a pr a pr , H 
i 

( )

n pr ( t ) = a +pr a pr

t

:

t

(6)

Áp dụng các hệ thức giao hoán tử cho toán tử sinh hủy điện tử (phonon):

{ a ,a } = a a
k

+
l

+
k l

+ al+ ak = δ k ,l ;

{ ak , al }


(

)

r e r 
= ∑ ε  p '− A ( t ) ÷( a +pr a pr 'δ pr, pr ' − a +pr ' a prδ pr, pr ' + a +pr a +pr 'a pra pr ' − a +pr 'a +pr a pr 'a pr ) =
r
c


p'
r e r 
r e r 
= ∑ ε  p '− A ( t ) ÷a +pr a pr 'δ pr, pr ' − ∑ ε  p '− A ( t ) ÷a +pr 'a prδ pr, pr ' = 0
r
r
c
c




p'
p'
(7)

 +

+
rb r b r = 0

*

(

)

(

)

= ∑r Ckr a +pr a pr 'δ pr, pr '+ kr − a +pr ' + kra prδ pr, pr ' ( bkr + b−+kr ) =
r
p ', k

=∑
Ckra +pr a pr−kr ( bkr + b−+kr ) − ∑
Ckra +pr+ kra pr ( bkr + b−+kr ) =
r
r
k

k

(

=∑
Ckr Fpr, pr−kr,kr + Fpr*−kr, pr, − kr − Fpr+ kr, pr, kr − Fpr*, pr+ kr, − kr
r
k


r
r


3
*  a +pr a pr , ∑r ϕ k a +pr '+ kra pr '  = ∑r ( 2π i ) eE + ω H  k, h  r δ k a +pr a pra +pr '+ kra pr ' − a +pr '+ kra pr 'a +pr a pr =
∂k
k

 k

( )

(

)

( )(

r r ∂
r +
r
3


r
=∑
2
π
i


)

)
(9)


∂n pr ( t )
∂t

r
r r ∂n pr ( t )
+ eE + ωH  p, h 
r
∂p

(

)

(

= i∑
Ckr Fpr+ kr, pr,kr ( t ) + Fpr*, pr+ kr,− kr ( t ) − Fpr, pr−kr,kr ( t ) − Fpr*−kr, pr,− kr ( t )
r
k

Để tìm

Fpr , pr

 +
 r e r  +r r 
r a r br ,
a
ε
 p1 p2 k ∑
 p '− A ( t ) ÷a p 'a p '  =
r
c


p
'

*
r e r 
= ∑ ε  p '− A ( t ) ÷ a +pr1 a pr2 bkra +pr 'a pr ' − a +pr 'a pr 'a +pr1 a pr2 bkr =
r
c


p'

(

)

r e r 
= ∑ ε  p '− A ( t ) ÷ a +pr1 a pr 'bkrδ pr2 pr ' − a +pr ' a pr2 bkrδ pr1 pr ' =
r

 r e r   r e r  

r e r 
r e r  1 
ε  p2 − A ( t ) ÷− ε  p1 − A ( t ) ÷ =
  p2 − A ( t )  −  p1 − A ( t )   =
c
c
c
c



 2m 
 
 



=

1  r2 r2
e r r r 
e r r r
( p2 − p1 ) A ( t )
 p2 − p1 − 2 ( p2 − p1 ) A ( t )  = ε pr2 − ε pr1 −
2m 
c
mc


r r
k ,k '

r
k'

)

− bkr+'bkr 'bkr =

15


=∑
ωkr 'a +pr1 a pr2 bkr 'δ kr,kr' = ωkra +pr1 a pr2 bkr = ωkr Fpr pr kr
r
1 2

k'

 +

+
+
r a r r a r ( br + b r ) =
C
 a pr1 a pr2 bkr , ∑

p
'

p ', k '

r
k'

a +pr1 a pr2 a +pr '+ kr 'a pr 'bkr ( bkr ' + b−+kr ' ) − ∑r Ckr 'a +pr ' + kr 'a pr 'a +pr1 a pr2 ( bkr ' + b−+kr ' ) bkr =
r
p ', k '

r
k'

(

)

a +pr1 δ pr , pr ' + kr ' − a +pr ' + kr ' a pr2 a pr 'bkr ( bkr ' + b−+kr ' ) −
2

(

)

− ∑r Ckr 'a +pr ' +kr ' δ pr ', pr1 − a +pr1 a pr ' a pr2 ( bkr ' + b−+kr ' ) bkr =
r
p ', k '

=

∑C

r
p'

(12)

Trong phép lấy tổng trên ta chỉ xét các số hạng là trung bình số hạt điện tử
n pr ( t ) = a +pr a pr

t

và trung bình số hạt phonon

N kr ( t ) = bkr+bkr

r
r r
p
−
p
=
−
k
2
1
t và lưu ý:
,

thu được:
= Ckra +pr1 a pr1 bkrbkr+ − Ckra +pr2 a pr2 bkr+bkr − C− kra +pr1 a +pr2 a pr2 a pr1 =



= i ε pr1 − ε pr2 −
( p1 − p2 ) A ( t ) − ωkr  Fpr1 , pr2 ,kr ( t ) +
mc



+iCkr a +pr2 a pr2

t

(1− a

+
r
p1

a pr1

t

)

bkr+bkr − a +pr1 a pr1
t

t

(1− a



Ft 0 = D.exp  ∫ M t1 dt1 
 −∞

t

Ft = Dt F = Dt .exp  ∫ M t1 dt1 
 −∞
 ta có:
Biến thiên hằng số:
t
0

t
t

 t'

∂Dt
exp  ∫ M t1 dt1  = N t
Dt = ∫ dt 'Nt ' exp − ∫ M t1 dt1 
∂t
∞
−∞

 −∞

. Suyra

Ta thu được nghiệm

r
p2

a pr2

t'

(1− a

+
r
p1

a pr1

t'

)

bkr+bkr

t'

− a +pr1 a pr1

t'

(1−

 t

bkrbkr+

(15)

t'

}×


 t
ec r r r
 
exp i ∫ ε pr1 − ε pr2 − ( p1 − p2 ) A ( t1 ) − ωkr  dt1  =
m
 
 t' 
 t

e r r r
= exp i ∫ ε pr1 − ε pr2 −
( p1 − p2 ) E0 cos Ωt1 − ωkr  dt1  =
mΩ
 
 t' 

 −ie r r r

= exp i ε pr1 − ε pr2 − ωkr ( t − t ') exp 
p − p2 ) E0 ( sin Ωt − sin Ωt ' ) 
2 ( 1

1

2

l

1

2

s ,l

{(

}

)

r r r
r r r
= ∑ J s ( a ( p1 − p2 ) ) J l ( a ( p1 − p2 ) ) exp i ε pr1 − ε pr2 − ωkr − l Ω ( t − t ' ) exp { i ( l − s ) Ωt }
s ,l

Khi đó, (15) trở thành:
t

{

Fpr , pr , kr ( t ) = i ∫ dt 'Ckr a +pr2 a pr2
1


t'

)

rr
rr
×∑ J s ak J l ak exp i ε pr1 − ε pr2 − ωkr − lΩ ( t − t ') exp { i ( l − s ) Ωt }
s ,l

( ) ( )

{(

}

)

bkrbkr+

t'

}×

t'

}×

(16)


bkrbkr+

t'

− a +pr2 a pr2

t'

(1− a

+
r
p1

a pr1

rr
rr
×∑ J s ak J l ak exp i ε pr2 − ε pr1 + ωkr − lΩ ( t − t ' ) exp { i ( l − s ) Ωt}
s ,l

( ) ( )

{(

)

Từ (15), (16) ta tìm được biểu thức :
Fpr+ kr, pr,kr ( t ) , Fpr*, pr+ kr,− kr ( t ) , Fpr, pr−kr,kr ( t ) , Fpr*−kr, pr,− kr ( t )


k
∞

(

)

{

(

( ) ( )

)

× n pr ( t ') 1 − n pr+ kr ( t ' ) N kr ( t ' ) − n pr+kr ( t ') ( 1 − n pr ( t ') ) ( N kr ( t ' ) + 1)  ×



(

× exp i ε pr+ kr − ε pr − ωkr − lΩ + iδ


(

+  n pr ( t ') 1 − n pr+kr ( t ' )


)(N


) ( t − t ')  −
(

)

−  n pr−kr ( t ' ) ( 1 − n pr ( t ' ) ) ( N kr ( t ' ) + 1) − n pr ( t ' ) 1 − n pr−kr ( t ' ) N kr ( t ' )  ×



(

× exp i ε pr − ε pr−kr + ωkr − lΩ + iδ


) ( t − t ') }

(16)

Phươngtrình (16) là phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong
bán dẫn khối khi có mặt trường điện từ không đổi và trường bức xạ cao tần (laser).
1.2.2. Mật độ dòng toàn phần trong bán dẫn khối
Sử dụng phương pháp gần đúng lặp, ta thay

n pr ( t ' ) ≡ n pr ; N kr ( t ') ≡ N kr

và thực

hiện phép tính tích phân:
t


(

r
+ eE + ωH

2
r r ∂n r
rr
 p, h  rp = −i ∑ Ckr ∑ J l2 ak ×

 ∂p
r
l
k

)

( )

19


−

(

)

(

Sau đó nhóm số hạng thứ nhất với số hạng thứ tư, số hạng thứ hai với số
hạng thứ ba:
∂n pr

r
r
2
r r ∂n r
2 r
r
+ eE + ωH  p, h  rp = −i ∑
C
J
ak
×
k ∑ l
r
∂t
∂p
l
k

(

(

)

( )


n pr 1 − n pr− kr ( N kr + 1) − n pr−kr ( 1 − n pr ) N kr

ε pr−kr − ε pr + ωkr − lΩ + iδ

(

)

n pr− kr ( 1 − n pr ) N kr − n pr 1 − n pr− kr ( N kr + 1) 
−

ε pr − ε pr−kr − ωkr + lΩ + iδ


hay
∂n pr

r
r
2
r r ∂n r
2 r
r
+ eE + ωH  p, h  rp = −i ∑
C
J
ak
×
∑
l

k
×
−
ε pr+ kr − ε pr − ωkr − lΩ + iδ
ε pr+ kr − ε pr − ωkr − lΩ − iδ

+

(

)

n pr 1 − n pr− kr ( N kr + 1) − n pr−kr ( 1 − n pr ) N kr

ε pr−kr − ε pr + ωkr − lΩ + iδ

(

)

n pr 1 − n pr− kr ( N kr + 1) − n pr−kr ( 1 − n pr ) N kr 
−

ε pr−kr − ε pr + ωkr − lΩ − iδ

(17)

1
ρ
1

)

( )

{

(

)

(

)

(

)}

×  n pr+ kr ( 1 − n pr ) ( N kr + 1) − n pr 1 − n pr+kr N kr  δ ε pr+kr − ε pr − ωkr − l Ω +



(

+ n pr−kr ( 1 − n pr ) N kr − n pr 1 − n pr−kr


)(N

r

r
r
+ eE + ωH  p, h 
=
2
π
C
2
N
+
1
J
ak
×
)∑ l
r
∑r
k (
k
∂p
l
k

(

(

)

( )



+
eE
+
ω
p
,
h
,
=
W
k
r 
H 
 ∂pr ÷ ∑
r
m ∂r 
 k

( )

r
2 r
J
ak
n pr+ kr − n pr δ ε pr+ kr − ε pr − l Ω
∑ l
l


21


r
r r
r
r
R( ε )
+ ω H  h , R ( ε )  = Q ( ε ) + S ( ε )
τ (ε)
Trong đó:

τ (ε)

(21)

là thời gian phục hồi xung lượng của điện tử.

r
r
e
R ( ε ) = ∑ pn prδ ( ε − ε pr )
m pr

(22)

r
r  r ∂n r 
e
Q ( ε ) = − ∑ p  F , rp ÷δ ( ε − ε pr )


r r
p+k

) (

r r
r
p + k δ ε − ε pr+ kr − pδ ( ε − ε pr )

) (

)

− ε pr − δ ε pr+ kr − ε pr − Ω −

)

} (24)


r
r r ∂n pr 
e

r
p
δ
ε
−

và
thu được


r
r r ∂n pr  e
r
r r
e



r
r
p
δ
ε
−
ε
ω
p
,
h
,
=
p
δ
ε
−
ε


r
r r
e
r ) ∇ r n rω  p , h  − 0 =
p
δ
ε
−
ε
(
∑
p
p
p H 

m pr

=

r
r r
e
r ) ∇ r pn rω  p, h  − n rω
δ
ε
−
ε
(
∑


)

}

22

)

)} =

}

r r
r
 p, h  ∇ pr p =



r e
r 
pn pr  δ ( ε − ε pr ) =
h , ∑
 m pr



r r
= ωH  h , R ( ε ) 


 

(27)

(

)

(

)

(

)

r
r
τ
ε
h
(
)
h
Nhân trái, vô hướng hai vế của (13) với
, sau đó lại nhân với ta có :
r r r
r r r r
r r r
r

{ (

}

)

Trừ vế với vế của (23) cho (29) ta được:
r
r r r
r r
r
r
r
r
r
R( ε )
− ω H2 τ ( ε ) h h , Q ( ε ) + S ( ε ) − R ( ε ) = Q ( ε ) + S ( ε ) − ω Hτ ( ε )  h , Q ( ε ) + S ( ε ) 
τ (ε)

{ (

)

}

Suy ra:
r
R( ε ) =

r r

r
r
r
j = ∑ pn p = ∫ ∑ pn pδ ( ε − ε p ) d ε = ∫ R ( ε ) d ε
m pr
m pr
0
0

hay

r
r
r
j = L0 Q + L0 S

( )

( )

(31)
(32)

23


với

r r
r r r

H
H
2 2


1
+
ω
τ
ε
(
)
H
0

{

( )

(

)}

(33)

Ta tìm hàm phân bố không cân bằng của điện tử dưới dạng:
n pr = f 0 ( ε n, pr ) + f1 ( ε n, pr ) ; f1 ( ε n, pr ) ≈ f 0 ( ε n, pr )
rr
n pr = f 0 ( ε n , pr ) − p χ ( ε n, pr ) f 0' ( ε n , pr )
Trong đó

, h, F
(
)
(
)
H
H


m ( 1 + ω H2 τ 2 ( ε ) )

{

( ( ) )}

r
Q( ε )

Từ (15) ta tính

r
Q( ε )

trong phép xấp xỉ tuyến tính qua cường độ trường ngoài

+∞ r
r
∂ε pr
r  r ∂n pr 
e

F ( 2mε pr ) f 0' ( ε pr ) δ ( ε − ε pr ) d ε pr = −

* Tính

(34)

r
S(ε)

Từ (16) ta có:
SA ( ε ) =

=−

e r
3/2
F ( 2mε ) f 0' ( ε )
2
2π m

Si ( ε ) = SA ( ε ) + SB ( ε )

r rr
e
W
k
ak
∑
4m kr


p + k δ ε − ε pr+ kr

) (

ki k j 

'
r ) f ( ε r ) δ p +
p
χ
ε
(
×
j
n
,
p
0
n
,
p
ij
∫−∞
mk



)

×δ ε − ε pr+ kr δ ε pr+ kr − ε pr − Ω p 2 dp

( )( )

(

) (

)

×δ ε − ε pr+ kr δ ε pr+ kr − ε pr − Ω md ε pr
r rr
em3/2
=−
W
k
ak
∑
2 2π 2 kr

( )( )

SB ( ε ) = −

2

( ε − Ω)

r rr
e
W
k

p

r
p

r r
p +k

)

r
− ε pr − Ω pδ ( ε − ε pr )

r rr 2 1 +∞
e
=
W k ak
p χ j ( ε n , pr ) f 0' ( ε n , pr ) δ ij pδ ( ε − ε pr ) δ ε pr+ kr − ε pr − Ω p 2dp
∑
2 ∫
r
4m k
2π −∞

(

( )( )

=



)

r rr 2 3/2
 k2

1
'
W
k
ak
ε
χ
ε
f
ε
δ
δ
− Ω÷
(
)
(
)
∑
j
0
ij 
r
4 k
 2m

∑
4 kr

( )( )

2



ki k j


  k2
δ
+
− Ω÷
 ij
δ 
m 2m ( ε − Ω ) k 


  2m


r rr 2
 k2

1
℘ij = ∑
W k ak δ ijδ 