LUÂN VĂN THAC sĩ TOÁN HOC

PHAN VĂN PHONG

HÀM LEGENDRE VÀ LÝ THUYET ĐẶC TRƯNG

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Nguyễn Hữu Thọ


Lòi cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại hường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Hữu
Thọ. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của Thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác
giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng
sâu sắc nhất đối với Thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các Thầy Cô
giáo trong nhà trường cùng các bạn học viên đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học
tập và hoàn thành luận văn này!

Hà Nội, ngày 05 tháng 7 năm 2015 T á c g i á

Phan Văn Phong

Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên
cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Hữu Thọ.



Phương pháp đặc trưng là một trong các phương pháp hữu hiệu được sử dụng để thiết lập nghiệm của

phương trình đạo hàm riêng phi tuyến nói chung và phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một Hamilton-Jacobi
nói riêng. Trong phương pháp đặc trưng cổ điển, các giả thiết thường được xét đó là tính khả vi, lồi (hoặc lõm).
Nhằm hướng tới việc hoàn thiện hơn lý thuyết đặc trưng đối với phương trình Hamilton-Jacobi, một lớp hàm không
trơn, không lồi (hoặc không lõm) nhưng vẫn thừa hưởng tính chất đối ngẫu của biến đổi Fenchel được xem xét tới,

và Ekeland là người đã tiên phong trong hướng nghiên cứu này, lớp hàm mới này được gọi là hàm Legendre suy
rộng (vào năm 1977). Từ đó, những kết quả cho phương trình Hamilton-Jacobi được mở rộng trong không gian
Banach. Những nghiên cứu về hàm số Legendre và phương trình Legendre thường được sử dụng trong các nghiên

cứu trong ngành vật lý hay các ngành kỹ thuật. Đặc biệt, nó xuất hiện trong việc giải phương trình Laplace trong hệ
tọa độ cầu. Với mong muốn được tìm hiểu về hàm Legendre và các đặc trưng với ứng dụng trong sự thiết lập nghiệm
của bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton- Jacobi, được sự hướng dẫn của Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, tôi quyết
định chọn đề tài về: Hàm Legendre và thuyết đặc trưng.
1.1.6

Hàm Legendre và lý thuyết đặc trưng

2. Mục đích nghiên cứu
1.1.7

Mục đích của luận văn nhằm nghiên cứu lớp hàm Legendre tổng quát và mối quan hệ với các đặc trưng

trong không gian Banach thông qua việc thiết lập công thức Hopf-Lax của bài toán Cauchy cho phương trình
Harailton-Jacobi.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tổng quan về hàm số Legendre
- Mô tả các đặc trưng của bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton- Jacobi trong không gian Banach.


1.1 Không gian Banach
1.1.1

Định nghĩa không gian định chuẩn và ví dụ

1.1.13 ĐỊNH NGHĨA 1.1. Không gian véc tơ X ĐƯỢC gọi là không gian tuyến tính định chuẩn (hay không gian định
chuẩn) nếu với mỗi X € X tồn tại số thực ||a;|| , gọi là chuẩn của véc tơ X , thỏa mãn

a) ||a;|| > 0,


7

b) ||a;|| = 0 nếu và chỉ nếu X = 0,

c) 11ca?11 = |c| 11a: 11, với mọi vô hướng c, với mọi X € X ,

d) II X + Y II < II re II + II2/II , V X , Y e X .
1.1.14 Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là X .
1.1.15 Nếu chỉ có tính chất (a), (b) và (d) thì II • II được gọi là một nửa chuẩn.
1.1.16 ĐINH NGHĨA 1.2. Giả sử X là không gian định chuẩn.
(a) Một dãy { X N } trong X được gọi là hội tụ tới Va; € X nếulim^oo ||a; — X N 0, nghĩa là, nếu Ve > 0, 3 N > 0, Vn
> N , \ \ X — X N \ \ < e khi đó ta viết X N — > X hay limn^oo X N = X .

b) Một dãy { X N } ttong X được gọi là dãy Cauchy nếu

1.1.18
1.1.19

1.1.17 LIM \\xm — xn\\ =0

(b) Không gian định chuẩn X gọi là không gian tách được nếu tồn tại một tập đếm được trù mật trong X .
1.1.27 Ví dụ 1.1.1. Một số không gian Banach thường dùng.

1.1.28

(a) Giả sử E c K

1.1.29 (ữi) Với 1 < P < 00, ký hiệu
1.1.30 thì Ư { E ) là một không gian Banach với chuẩn
1.1.31 / \ \ L P

=

( J I/(aordz) /p-

1.1.32 (ữ2) Với P = oo, ký hiệu
1.1.33 L ° ° ( E ) = Ị F : E ^

c : / bị chặn hầu khắp nơi trên E } .

1.1.34 Thì L ° ° ( E ) là không gian Banach với chuẩn
1.1.35 ||/||£QO = E S S sup |/(rc)| = inf {M > 0 : |/(rc)| < M , hầu khắp nơi}
1.1.36 (Hàm / được gọi là bị chặn hầu khắp nơi trên E nếu tồn tại M > 0 sao cho tập z = { X € X : |/(a;) I
> M } có độ đo Lebegue bằng không.)


9

1.1.37 (b) Kí hiệu C = ( C N ) = (c„)“=1 là dãy các vô hướng, (òi) Với 1 < P < oo, kí hiệu
1.1.38 £ P = Ị C = (c„) : y>„r
1.1.49 Ví dụ 1.2.1. Cho A , B là các số thực, F : R — > 2 R được xác định bởi
1.1.50 I (a, B ) , K H I

ï^O ;

1.1.51 ^ {a} , K H I

=0 ;

X

1.1.52 khi đó F là ánh xạ đa trị.
1.1.53

Cho F : X — > 2 Y , ánh xạ F ~ L : Y — > 2 X được xác định bởi
1.1.54 F _ 1 ( R ) = { x e X : y £ F ( Æ )}

1.1.55 được gọi là ánh xạ ngược của F . Như vậy, khác với ánh xạ đơn trị, ánh xạ đa trị luôn tồn tại ánh xạ ngược.
Nếu tập F ~ L (V) = { X G X : Y G F (æ)} mở thì F được gọi là có nghịch ảnh mở.
1.1.56 Định nghĩa 1.7. Cho F : X —> 2y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y .
a) F gọi là nửa liên tục trên tại

X

G D O M F nếu mọi tập mở V c Y thỏa mãn F ( X ) C V tồn tại lân cận mở U

của X sao cho F (æ) c V , M X G U .
b) F được gọi là nửa liên tục dưới tại X G D O M F nếu mọi V mở, F ( Æ )

N


ánh XẠ đa trị. F được gọi LÀ ánh XẠ

tập đóng trong X X Y .

1.1.58

Nếu F ( X ) là tập compact trong Y thì F gọi là ánh xạ compact.

1.1.59

Từ định nghĩa trên ta thấy F là ánh xạ đóng khi và chỉ khi với bất kỳ dãy { X A } , {YA} , XA -Y X, YA Y, YA

G F (XA) thì y G F (XA). Nếu F ( X ) là tập đóng Vx G X thì F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng.

1.1.60

Các mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ để một ánh xạ đa trị là nửa liên tục trên và nửa liên tục

dưới.

1.1.61 M Ệ NH ĐỀ 1.1. Cho F : D ^ 2Y là ánh xạ đa trị. Nếu F là nửa liên tục trên với giá trị đóng thì F là ánh xạ
đóng. Ngược lại, nếu F là ánh xạ đóng và Y compact thì F là nửa liên tục trên.
1.1.62 M Ệ NH ĐỀ 1.2. Cho F : D ^ 2Y là ánh xạ đa trị. F là nửa liên tục dưới tại X G domF khi và chỉ khi với bất kỳ
y £ F (x) và với bất kỳ dãy
1.1.63 { x ß i ß e A , X ß G D , X ß -» X , t ồ n t ạ i d ã y { y ß } ß e A , V ß G F ( x ß ) sao cho y ß —> y trong đó A
tập các chỉ số.

1.1.64 M Ệ NH ĐỀ 1.3. Một ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mỏ là ánh xạ nửa liên tục dưới.
1.1.65 Ví dụ 1.2.2. Cho F : M —> 2M xác định bởi F (æ) = (—OO , — X \ . Ta có F

1
2

1.1.69

Ta nhắc lại, hàm vô hướng / : X — > K, gọi là nửa liên tục trên (hoặc dưới) tại X nếu với bất kỳ C > 0

đều tồn tại lân cận Ư 3

X

sao cho / (z) < F ( X ) + C (hoặc F ( X ) < F (z) — c). Khái niệm này có thể mở rộng

cho trường hợp ánh xạ đa trị trong không gian véctơ tôpô lồi địa phương với nón c .
1.1.70 Đ ị n h l ý 1 . 2 (Đ ỊNH LÝ ĐIỂ M B ẤT ĐỘNG ). Cho X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, K C X là
một tập con lồi, compact. F : K -y 2K là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Khi đó tồn
tại X G K sao cho X G F (z).
1.1.71 Đ ị n h l ý 1 . 3 (F A N - B R OWDE R ,). Cho X là một không gian vectơ tôpô. K C X là một tập con lồi, khác
rống, compact. F : K —> 2K là ánh xạ đa trị thỏa mãn các điều kiện:
a) Mx G K và F (x) là tập lồi;
b) \/y G K, F~ỵ (x) là tập mỏ trong K.
1.1.72

Khỉ đó tồn tại điểm X G K sao cho X G F (x).


1
3

1.3
K, là một hàm lồi vectơ G € M" là D Ư Ớ I G R A D I E N của F T Ạ I

X E

M"

nếu

f(x + ỗ ) > f ( x ) + ỗ T g , V X + Ổ G L ".
(1.1)

1.1.74

1.1.75 ĐỊNH NGHĨA 1.10. Tập tất cả các dưới gradien của / tại
DF(X),

X

được gọi là dưới vi phân của hàm / tại

kí hiệu là

tức là
1.1.76

df(x) = { g : f ( x
(1.2)

Ị

X,

{ — 1}

nếu X



1.1.100
1.1.101

F(XX

(1.3)

+ (1 - A) Y ) < AF ( X ) + (1 -

với Væ, Y G Mn và A G [O, 1]
Hàm / : M" —> K, được gọi là lồi ngặt nếu trong bất đẳng thức (1.3), khi X Ỷ V - > dấu = xảy ra nếu

A = 0 hoặc A = 1.
1.1.102

Đ ị n h l ý 1 . 4 . Mọi hàm lồi xác định trên M" và chỉ nhận giá trị trong K, đều liên tục.


1
6

1.1.103

ĐỊNH NGHĨA 1.14. Hàm lồi, chính thường (proper) / được gọi là đối hữu hạn nếu
1.1.104
rf(y) = ,
1.1.105
lim -rprf- = +oo.
1.1.106
Hỉ/iK+oo \\y\\
M được gọi là lồi đều (với hằng số 6 > 0)

nếu
1.1.109
. . . , X N ) , T = (fi,
1.1.110 i >j = l

FXJXT{X)^J

GW

1

> 0|£|2, với mọi

X

= (xi,

hay nói cách khác / (z) — 6 \ X \ 2 là một hàm lồi.

1.1.111
K, là một hàm lồi, hữu hạn, khi đó / liên tục đều và hơn nữa liên tục Lipschitz trên mỗi

1.1.122
zeK
và gọi /* là hàm liên hợp (hay liên hợp Fenchel) của hàm /.

1.1.124

Đ ỊNH LÝ 1.7. Giả sử f : M" —> M là hàm lồi, chính thường ịproper) và đóng. Khi đó hàm liên hợp

Ị* cũng là hàm lồi, chính thường (proper) và đóng. Ngoài ra:
1.1.125
- f*{y)}
1.1.127

1.1.126

2/eMn

Vx e R n , f ( x ) = f * * { x ) := SỤP { ( x , y )
(1.6)

Với mọi hàm / : W 1 —» Ẽ, hàm liên hợp Ị * luôn luôn lồi và đóng. Hơn nữa, khi / lồi, trong (1.5) (t.ư.,

(1.6)) S U P được thay thể bằng M A X nếu Y (t.ư., X ) là điểm trong của D O M F * (t.ư., D O M Ị ) .
1.1.128

Đ ỊNH LÝ 1.8. Giả sử f là một hàm lồi, đóng và xác định trên Jtn. Khi đó Ị*

1.1.129

hữu hạn (và do đó dom Ị * = Rn) khi và chỉ khi f đối hữu hạn. C HO / : M" —> M THỎA


2.1

/

ọ

Hàm Legendre và biên đôi Legendre

Các kết quả của chương này được tham khảo từ tài liệu [2].

Biến đổi Ekeland và biến đổi Legendre

1.1.140

Cho X và Y là hai tập hợp kết cặp đôi với nhau bởi hàm số C : X X Y — > K. Biến đổi Ekeland là

một biến đổi đơn giản đối với ánh xạ đa trị F : X A
Y X K đó là phép tương ứng hàm F với một ánh xạ đa trị FE : Y 4 l x K xác định bởi
1.1.141
1.1.142
1.1.143

FE{y)

■= {( Z ; s) e Y

X

M : (y,c{x,y) - s) e F(x)} .


là một Đ I Ể M T Ó I H Ạ N của F

theo nghĩa tồn tại R G K, sao cho (Oy, R ) G F ( X ) thì ta có ( X , — R ) G -F(Oy).
1.1.147

Khi X là không gian định chuẩn, biến đổi này có thể được đặc biệt

hóa bởi hàm số / : X — > K, u {00} trên lớp F ( X ) gồm các hàm số mà tại đó D
được xác định. Với mục đích này ta có thể cho tương ứng / với J D F : J í 4 y X M
được cho bởi
1.1.148
1.1.149

J9f{x) ■= {{y, r) : y G df{x), r = f{x)} .

Tiếp theo đây, chúng ta sẽ quan tâm đến một lớp đặc biệt đó là hàm

Ekeland.
1.1.150
D

Định nghĩa 2.1. Một hàm / : X — > R O O là hàm Ekeland (đối với

và C ) nếu với mỗi Y thuộc tập ảnh D F ( X ) của D F trong Y : = X *, ta có
1.1.151

Xi,x2 G

( d f y ^ y ) => c ( x u y ) - /( A ^) = c ( x 2 , y ) - f ( x 2 ) .


tập con của Y X X X K, dưới dạng

1.1.157 u {Y }x G ( Y )x {3(3/)}
1.1.158 ỉ/ey
1.1.159

đối với hình chiếu G : Y ^ X , G : Y —>• K. sao cho dom G =

dom <7 = D F ( X ) . Một cách rất tự nhiên ta có thể xét hàm số Y ->• F E { Y ) ' ■ =
G(Y) NHƯ

1.1.160
1.1.161

là một biến đổi của /, và ta gọi đó là B I Ế N Đ Ổ I E K E L A N D của /.
Sau đây chúng ta xét một vài ví dụ.
VÍ DỤ 2.1.1. Cho X ( X ) là tập các hàm lồi hên X và D là dưới vi

phân , C là hàm cặp đôi của X với không gian đối ngẫu của nó Y \ = X * . Khi
đó, với bất kỳ / G X ( X ) , Y E Y , X E (D F ) ~ 1 ( Y ), tức hàm CƯ H-» /(cư) - (cư,
Y)

đạt giá cực tiểu tại

F*{Y)

1.1.162

X.

f(x) :=

1

{Ax,x) - (b,x) + c

với A : X —> Y := X * là ánh xạ tuyến tính, liên tục, đối xứng, B G

Y , C G M. Xét

d

là dưới vi phân Frechet hoặc là dưới vi phân Hadamard, khi


2
1

đó / là hàm Ekeland. Thật vậy, với

y

£ Y] X i , x2 € X sao cho f'(xị) = y với i = 1,

2, ta có
1.1.166
1.1.167

(Xi,y)



fE(y) = 2(y

+

b

’

A_1

(y +b)) -c-

ví DỤ 2.1.4. Cho w không gian định chuẩn (hoặc là tập hợp mở của

1.1.170

không gian định chuẩn) và / : w — > M là hàm khả vi. Khi đó
1.1.171
1.1.172
G

w

X (0,

/ : w X (0, oo) —> M

xác định bởi /( CƯ , T ) = TG{T~LCƯ ) là hàm Ekeland vì với ( CƯ , T )
OO )


f' :U ->Y :=x*

là song ánh Stepanovian hên tập con mở V của Y thì hàm ngược H

của nó cũng là Stepanovian.
Ta định nghĩa biến đổi Legendre của hàm / là hàm F L : V — > K,

1.1.180

được xác định bởi
f L { y ) : = ( h { y ) , y ) - f { h { y ) ) , y e Y.

1.1.181
1.1.182

Nó trùng với biến đổi Ekeland F E của / . Do H là hàm Stepanovian,

nên là biến đổi F L thuộc lớp c 1 (và nó sẽ thuộc lớp c
1.1.183

k

khi / thuộc lớp c

k

).

M Ệ NH ĐỀ 2.1. Nếu f là một hàm Legendre cổ điển trên ư, khi đó

V.

1.1.185

đơn ánh, nên / là một hàm Eleland. Với

,

X

G V , do tính duy nhất của H ( V ) nên

và ta có F L ( V ) = F E { V ) . Tiếp theo, ta sẽ

chứng tỏ F L khả vi. Đặt V := D Ị { U ) G V với U G U . Xét Y G V
1.1.187

.

— V, X

:=

h(v + y) — h(v) G U — u\à r(x) = f(u + x) — f(u) —

D f ( u ) x . K HI ĐÓ , do


2
3

{x,y)

- r{x).

Do tồn tại K G M+ sao cho |æ| ^ K \ Y \ với \ Y \ đủ nhỏ nên
1.1.195

\ Y \ ~ L [ Ỳ X , Y ) - r(æ)) ^>0 khi?/ 0.

Suy ra F L khả vi tại

1.1.196

V

và D F L ( V ) = U = H ( V ) . Hơn nữa, F L là

hàm Legendre cổ điển và do F L = F E nên ( F L ) L = F .
1.1.197
thuộc lớp c

Khi /
k

thì D F L = H thuộc lớp c

k

~l


4

lồi mà dong đó miền của F E là ảnh của D F và không cần thiết lồi, trong khi một
sự mở rộng tự nhiên của F E là liên hợp Fenchel và miền của nó lồi và nó đạt
được nhiều tính chất đẹp (chẳng hạn như tính nửa liên tục, tính liên tục Lipchits
địa phương trong miền trong của miền xác định).
1.1.201

ĐỊNH NGHĨA 2.4. Cho X và Y là hai không gian định chuẩn được

kết hợp cặp bởi hàm cặp đôi c. Một hàm nửa liên tục dưới / : X — > K, được gọi
là một hàm Legendre (tổng quát) đối với dưới vi phân D nếu tồn tại một hàm nửa
liên tue dưới F L : Y —»■ M sao cho
(a) / và F L là các hàm Ekeland và F L \ D F ( X ) = F E .
(b) Với X G dom /, tồn tại một dãy { X N , Y N , R N ) N trong J 9 F sao cho
1.1.202

(xn, {xn -

X,

y n ) , r n ) ( x , 0, f ( x ) ) .

(b’) Vói Y G dom F L , tồn tại dãy ( Y N , X N , S N ) N

1.1.203

trong J 9 F L sao cho { Y N , { X N , Y N - Y ) , S N ) ->•
( Y , 0, F L { Y )) .
(c) Mối quan hệ X G X , Y G D F ( X ) là tương đương với Y G Y , X E D F L { Y ) .

Điều kiện (b’) VÀ (c) suy ra rằng f

L

được

xác định bởi /.
1.1.208

Điều kiện (b) có thể được đơn giản hóa khi D F bị chặn địa phương

trong miền xác định của nó, đặc biệt khi / liên tục Lipschitz địa phương trong
miền xác định của nó và D F bị chứa địa phương trong D C F theo nghĩa: với X Q

G

dom/ tồn tại R > 0 và C ^ sao cho.
1.1.209 1
lim inf
(MH(0 + , U ) T

1.1.210
1.1.211
1.1.212

— Vĩ € 5(ĩ0,r)ndomớ/, V« G 5(0,1).

Dễ thấy rằng với X G B ( X 0 , r)ndomỡ/ \ Ầ Y G D F ( X ) ta luôn có

\ Y \ ^ C . Và do đó điều kiện (b) tương đương với điều kiện đơn giản hơn như


:

w —> Jt

là hàm lõm, liên tục, khả vi Hadamard (t.ư.

Fréchet) trên một tập con lồi, mỏ

w

của X và liên hợp lõm /„ là hàm liên

tục, khả vi Hadamard (t.ư. Fréchet) trên một tập con lồi, mỏ của X*, khi đó