Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

TRỊNH THỊ HÒNG NHUNG

sự TÒN TẠI VÀ TÍNH ỐN ĐỊNH CỦA NGHIỆM ĐỐI
VỚI BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN TRONG
KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIÊU

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa
học: TS. Nguyễn Thành Anh

HÀ NỘI, 2015



LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của TS. Nguyễn Thành Anh.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Nguyễn Thành Anh, ngưòi đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo
dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp
đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin được gửi lòi cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, ngưòi thân đã
luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập
và hoàn thành luận văn.


Hàm đa trị đo được và tích phân của ánh xạ đa trị .

1.1.3

Bậc tỗpỗ cho hàm đa trị ...........................................................

5
5

1.2 Bất đẳng thức biến phân..............................................................................
1.3 Một số bất đẳng thức...................................................................................
1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz....................................................
2 Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm đối với bất đẳng
thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều 2.1 Phát biểu bài toán

5
12

16
20
22
22

1.3.2 Bất đẳng thức Holder
1.3.3 Bất đẳng thức Minkowshi
1.3.4 Bất đẳng thức Ky Fan
1.3.5 Bất đẳng thức Gronwall

22

Gần đây bất đẳng vi biến phân vectơ cũng được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và tìm được nhiều ứng dụng trong
các lĩnh vực khác nhau. Nó có thể được xét như là một sự mở rộng của bất đẳng vi biến phân. Trong luận văn này chúng tôi
muốn giới thiệu và nghiên cứu một lớp bất đẳng vi biến phân vectơ trong không gian Euclid hữu hạn chiều. Bởi vậy dưới sự
hướng dẫn của TS. Nguyễn Thành Anh tôi đã chọn đề tài “ Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm đối với bất đẳng vi biến phân
trong không gian hữu hạn chiều”. Luận văn sẽ được hoàn thành dựa trên kết quả được công bố công trình “ Differential Vector

Variational Inequalities in Finite-Dimensional Spaces”, J Optim Theory Appl (2013) 158:109-129, của các tác giả Xing Wang
và Nan-Jing Huang. Chúng tôi dự nhận được sự tồn tại của một nghiệm yếu Carathéodory đối với bất đẳng thức vi biến phân
vectơ trong không gian hữu hạn chiều Euclid. Ngoài ra, chúng tôi còn nghiên cứu tính đóng, nửa liên tục trên và nửa liên tục
dưới của ánh xạ
nghiệm yếu Carathéodory đối với bất đẳng thức vi biến phân vectơ trong không gian hữu hạn chiều Euclid khi cả ánh xạ và
tập ràng buộc bị nhiễu loạn bởi tham số.

2. Mục đích nghiên cứu
Nhận được kết quả về tính giải được và tính ổn định bất đẳng thức vi biến phân vectơ trong không gian hữu hạn chiều.


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu:
• Sự tồn tại của nghiệm yếu Carathéodory.
• Tính ổn định của nghiệm

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Bất đẳng thức vi biến phân vectơ trong phạm vi không gian hữu hạn chiều

5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp: hệ thống lại các kiến thức có liên quan, phân tích, tổng hợp những định
nghĩa, tính chất của giải tích đa trị, bất đẳng thức biến phân và một số bất đẳng thức .

6. Dự kiến đóng góp


nV

A

Ỷ

0}- Cho X, Y là không gian tôpô.

Định nghĩa 1.1.2. Một ánh xạ đa trị T : X —>■ P ( Y ) là nửa liên tục trên tại một điểm X G X nếu với mỗi tập mở V c Y sao
cho p { x ) c V thì tồn tại một lân cận ư ( x ) của X sao cho F { ư { x ) ) c V .
Một ánh xạ đa trị T được gọi là nửa liên tục trên nếu nó là nửa liên tục trên tại mọi điểm X G X .
Định lý 1.1.1. Các điều kiện sau là tương đương :
(i) ánh xạ đa trị T : X —>■ P(Y) là nứa liên tục trên;
(ii)

tập FỊ. l {V) là mở với mỗi tập mở V c Y ;

(iii)

tập J 7 Z 1 (Q) là đóng với mỗi tập đóng Q c Y.

Định nghĩa 1.1.3. Ánh xạ đa trị X : X —>■ P ( Y ) được gọi là nửa liên tục dưới tại một điểm X G X nếu với mỗi tập mở V ç Y
sao cho P { x ) P \ V Ỷ 0 thì tồn tại một lân cận Ư (æ) của X sao cho F { x ' ) C \ V Ỷ 0 v