BM 01-Bia SKKN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: TRƯỜNG THPT SÔNG RAY
Mã số: ................................
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
VẬN DỤNG KIẾN THỨC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM
GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC
TIỄN

Người thực hiện: TẠ HỮU DŨNG
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ môn: ………….. 
(Ghi rõ tên bộ môn)



- Lĩnh vực khác: .......................................................
(Ghi rõ tên lĩnh vực)

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
 Mô hình
 Đĩa CD (DVD)
 Phim ảnh  Hiện vật khác
(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)


6.

Fax:

E-mail:

7.

Chức vụ: Giáo viên.

8.

Nhiệm vụ được giao: Giảng dạy, chủ nhiệm.

9.

Đơn vị công tác: Trường THPT Sông Ray.

II.

(NR); ĐTDĐ: 01686084319.

TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
-

Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân.

-


LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Khi dạy tiết bài tập hệ thức lượng trong tam giác tôi nhận thấy các em chỉ
quan tâm đến việc áp dụng công thức nào, thay số để tính các yếu tố còn lại, các
em thực hiện dường như được lập trình sẵn, nhiều khi chẳng cần hình vẽ. Khi
đưa vào một vài vấn đề thực tiễn vào trong bài toán thì các em thấy khó định
hướng lời giải. Như vậy các em đang thụ động trong học tập và thiếu đi kĩ năng
vận dụng kiến đã học vào trong thực tiễn. Chính vì những lí do trên tôi nhận thấy
cần phải thay đổi cách dạy để các em thấy được toán học và thực tiễn gần gũi với
nhau, và chỉ có gần gũi với thực tiễn thì các em mới hiểu được ý nghĩa của toán
trong đời sống. Từ đó mới có thể tạo cho các em tính chủ động trong học tập và
hứng hứng thú học môn hình. Và đây là cơ hội để tôi viết sáng kiến kinh nghiệm
“ Vận dụng kiến thức hệ thức lượng trong tam giác để giải một số bài toán
có nội dung thực tiễn”.

II.

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lí luận
Hiện nay chuẩn kiến thức, kĩ năng của chương trình giáo dục phổ thông vừa
là căn cứ, vừa là mục tiêu của giảng dạy, học tập, kiểm tra đánh giá của các
trường trung học phổ thông.
Yêu cầu chung của dạy học bám sát chuẩn kiến thức, kĩ năng:
- Căn cứ vào chuẩn kiến thức, kĩ năng để xác định mục tiêu bài học. Chú trọng
dạy học nhằm đạt được các yêu cầu cơ bản và tối thiểu về chuẩn kiến thức, kĩ
năng, đảm bảo không quá tải và không quá lệ thuộc hoàn toàn vào SGK; mức độ
khai thác thức sâu kiến thức, kĩ năng trong SGK phải phù hợp với khả năng tiếp
thu của học sinh.
- Sáng tạo về phương pháp dạy học phát huy tính chủ động, tích cực, tự giác
học tập của học sinh. Chú trọng rèn luyện phương pháp tư duy, năng lực tự học,
tự nghiên cứu; tạo niềm vui, hứng khởi, nhu cầu hành động và thái độ tự tin trong

thân.
- Thiết kế và hướng dẫn học sinh thực hiện các dạng câu hỏi, bài tập phát triển
tư duy và rèn luyện kĩ năng; hướng dẫn sử dụng thiết bị dạy học; tổ chức các giờ
thực hành; hướng dẫn học sinh thói quen vận dụng kiến thức đã học vào giải
quyết các vấn đề thực tiễn.
- Sử dụng các phương pháp và hình thức tổ chức dạy học một cách hợp lí,
hiệu quả, linh hoạt, phù hợp với đặc trưng của cấp học, môn học.
( trích trong Chuẩn kiến thức, kĩ năng)
Trên cơ sở đó tôi quan tâm đến việc đưa những nội dung thực tiễn vào bài dạy
của mình nhằm cho học sinh vận dụng được kiến thức đã học vào những vấn đề
gần gũi với cuộc sống.
2. Cơ sở thực tiễn
Trong tiết bài tập, khi làm các bài tập về giải tam giác tôi có cho các em làm
một bài tập đơn giản:
Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh AB bằng 5m và góc
µ = 600
B

. Hãy tính cạnh AC.

Khi đó tôi nhận được kết quả lời giải như sau:
4

4


AC
AB
AB sin B 5.sin 60 0
=

được trên mặt đất), ta được tam giác ABC có đầy đủ
điều kiện để áp dụng định lí sin để tính đoạn AB
(chiều cao cây cột)

C

30 0

A

AB
AC
AC sin C
=
⇒ AB =
sin C sin B
sin B

Bài toán 2: (Bài 6b, trang 69, SGK hình học 10 cơ bản)
Cho tam giác ABC có các cạnh

a = 8 cm, b = 10 cm, c = 13 cm

.

Tính độ dài đường trung tuyến MA của tam giác ABC đó.
Lời giải của hầu hết của học sinh là:

5


Trong bài toán trên tôi nhận thấy:
- Khoảng một nửa số học sinh của lớp thấy được rằng giả thiết này giống với giả
thiết ở bài toán 2, tuy vậy các em còn phân vân không biết điểm D có phải là
trung điểm của đoạn BC không, nên chưa dám sử dụng công thức đường trung
tuyến vào tam giác ABC.
- Một số học sinh thì tính đoạn AD theo hướng: dựa vào tam giác ABC để tính
cos ·ABC
rồi sau đó áp dụng vào tam giác ABD để tính AD:
2

2

2

AD = BA + BD – 2BA.BC.cos

·ABC

- Một số thì nhận ra D là trung điểm của BC và áp dụng công thức đường trung
tuyến để tính AD.
• Nhận xét:
Nếu cho một bài toán với đầy đủ yếu tố thì học sinh giải rất nhanh, nhưng nếu
đưa một vài vấn đề có nội dung thực tiễn vào bài học thì chỉ có một số học sinh
hiểu vấn đề và giải quyết được vấn đề, một số học sinh thì hiểu vấn đề nhưng
chưa biết làm sao để áp dụng được kiến thức đã học vào giải quyết bài toán, một
số thì chậm chạp trong việc đọc và phân tích bài toán. Vì vậy tôi nhận thấy cần
đem những nội dung thực thực tiễn vào bài học để các em quen dần với lối tư duy
hiện đại. Chỉ có vậy các em mới thực sự hiểu được ý nghĩa của việc học toán
trong đời sống chứ không chỉ học toán để thi cử. Cần phải trang bị cho các em kĩ
năng đọc và phân tích khó khăn của tình huống hoặc bài toán, tìm ý tưởng giải


S ABC

Định lí cosin:

là diện tích tam giác ABC.

a 2 = b 2 + c 2 − 2b.c.cos A
b 2 = a 2 + c 2 − 2a.c.cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2.a.b.cos C

Định lí sin:

a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C

Công thức đường trung tuyến:

m =
2
a

m =
2
b

2
2
2
S ABC = p.r

S ABC =
S ABC =

a.b.c
4R
p( p − a) ( p − b) ( p − c)

• Chú ý: Một tam giác hoàn toàn được xác định khi ta biết được ba yếu tố
trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh(yếu tố ở đây được hiểu là
cạnh hoặc góc). Như vậy khi thực hiện áp dụng hệ thức lượng vào
một tam giác thì phải xác định được các yếu tố nào đã được xác
định, còn trong các bài toán có nội dung thực tiễn thì phải các định
được yếu tố nào có thể đo được bằng một số dụng cụ có sẵn.
Khi thực hiện các bài toán về giải tam giác thì ta căn cứ vào số cạnh có sẵn
để xác định áp dụng định lí sin, định lí cosin:

Đl sin

Với sơ đồ trên học sinh dễ nhận biết được việc sử dụng định lí sin hay cosin vào
bài toán.

8

8


nhỏ hơn hoặc bằng 6. Vậy để khuyên ông Bean thì cần phải tính đoạn BC.
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos A

= 32 + 42 − 2.3.4.cos1200 = 37

⇒ BC = 37 > 6
Vậy ông Bean không nên bơi mà hãy đi bộ từ B đến A rồi từ A đến C cho an
toàn.
• Nhận xét:
Với việc đưa một tình huống thực tiễn này vào trong bài toán sẽ tạo sự chú ý
của học sinh, kích thích trí tò mò muốn được giải đáp câu hỏi được nêu.
Bài toán 2:
Một ô tô đi từ A và C nhưng giữa A và C là một ngọn núi cao nên ô tô phải
chạy thành hai đoạn đường từ A đến B và từ B đến C, các đoạn đường này
tạo thành tam giác ABC có AB=13km, BC=km và góc B=1000 biết rằng cứ
1km đường ô tô phải tốn 0,1 lit xăng.
a) Tính số xăng phải tiêu thụ khi chạy từ A đến C qua B.
b) Giả sử không có ngọn núi và giả sử có con đường thẳng từ A đến C thì ô
tô chạy trên con đường này tốn bao nhiêu lit xăng.

10

10


C
1000

A


11


Bài toán quy về tính độ dài AD. Để tính chiều dài đoạn dây nối thẳng từ A đến D
BA = 400 m, BD = 250 m
thì ta áp dụng vào tam giác ABD có
và

cos ·ABD =

BA2 + BC 2 − AC 2 4002 + 7002 − 4602 137
=
=
2 BA.BC
2.400.700
175

Khi đó
137
AD = BA2 + BD 2 − 2 BA.BD.cos ·ABD = 4002 + 250 2 − 2.400.250.
≈ 257 m
175

.

Vậy so với đường dây cũ thì đường dây mới ngắn hơn đường dây cũ khoảng 393
m.
• Nhận xét:
Bài toán 2 và 3 là những bài toán có một số nội dung thực tiễn nhằm cho học
sinh biết vận dụng định lí cosin. Trong hai bài toán trên học sinh làm quen với

BC
BC.sin C
=
⇒ AB =
sin C sin A
sin A

(

µA = 1800 − B
µ +C
µ
(trong đó

)

B

C

)

•Nhận xét:
Đây là một bài toán tìm ý tưởng để giải quyết vấn đề. Học sinh cần xác định
được tam giác mà có một cạnh là chiều dài của tháp, đo được những yếu tố nào
bằng những dụng cụ đã cho.
•Ghi chú:
- Hiện giờ ở các của hàng bán đồ gia dụng hay các của hàng đồ chơi trẻ em có rất
nhiều các vật dụng có gắn đèn chiếu tia laze, đặc biệt là chiếc đèn pin nhỏ có
chiếu tia laze của trẻ nhỏ ta có thể sử dụng vật dụng này để làm dụng cụ ngắm

góc.

B

A

C

-Áp dụng định lí sin để tìm AB.
AB
AC
AC.sin C
=
⇒ AB =
sin C sin B
sin B

Bài toán 6
Bạn Tèo chỉ có dụng cụ là thước thẳng dài và bạn ấy muốn đo bán kính
của đường tròn lớn của tượng đài ở công viên Sông Ray(tâm của đường tròn
14

14


lớn này bị che khuất bởi tượng cây đuốc). Bạn Tèo đang loay hoay không
biết làm cách nào để đo được bán kính của đường tròn này.
a) Em hãy tìm cách giúp bạn Tèo hoàn thành công việc.
b) Hãy minh họa bằng một kết quả cụ thể với số đo tự cho.


S=

abc
4R

- Dùng công thức
có vẻ hợp lí hơn bởi chỉ cần lấy ba điểm nằm trên
đường tròn ta dễ dàng được một tam giác và độ dài ba cạnh luôn đo được bằng
dụng cụ đã có.

Lời giải:
a)  Lấy ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn.
 Đo độ dài

AB = c, BC = a, CA = b

.
S=

 Tính diện tích ABC bằng công thức hê-rông
R=
 Suy ra bán kính
b) Giả sử đo được độ dài

abc
4S

p ( p − a) ( p − b) ( p − c)

.

16


Ý tưởng:
- Chọn một vị trí đứng là điểm H, gọi A là vị trí của mắt khi người đó đứng
tại H, B là vị trí tại gốc cây, C là đỉnh của cây.
- Áp dụng vào tam giác ABC để tính BC, các yếu tố có thể đo được:
·
CAB
, ·ABC
và độ dài AB.
- Dùng thước dây đo độ dài HB, áp dụng vào tam giác ABH để tính AB và
·
HAB
góc
.
·
·
·
CBA
= HAB
,
BAC
- Ta có
AB xác dịnh được, dùng giác kế để đo góc
. Từ
đó áp dụng định lí sin vào tam giác ABC để tính BC.

1,6



·
BAC

·
BAC
= 450

Dùng giác kế đo góc

Ta có:

( 1,6 )

, giả sử đo được

, ta suy ra:

·ACB = 490

CB
AB
20,06.sin 450
=
⇒ BC =
≈ 18,79m
sin A sin C
sin 490

Vậy chiều cao trong trường hợp này là 18,79m.

18


( AB + AC )
AB. AC ≤
4

2

142
=
= 49
4

.

Dấu “ = ” xảy ra khi AB = AC =7
Vậy tam giác ABC phải là tam giác vuông cân tại A.
Bài tập rèn luyện
1. Một cây cột điện cao 20 m được đóng trên một triền dốc thẳng nghiêng hợp
với phương nằm ngang một góc 170. Người ta nối một dây cáp từ đỉnh cột điện
đến cuối dốc. Tìm chiều dài của dây cáp biết rằng đoạn đường từ đáy cọc đến
cuối dốc bằng 72m.
C

Hướng dẫn:

20m

·ABC

p

·
PBQ
, BQ
-Tính
- Đáp số:

19

h

.

AB ≈ 568,457 m

.

35 0
P

300m
b

48 0
Q

A

19

·A DB , A D, C D
1
1
1
1

- Đáp số

49 0

C

A1

35 0

12m

1,3m
A

12m

B

.
CD = C1D + C1C ≈ 22,772m

4. Khoảng cách từ A đến C không thể đo trực tiếp vì phải qua một đầm lầy nên
người ta làm như sau: xác định một điểm B có khoảng cách AB = 3,2 km và đo


- Đo độ dài ba đoạn AB, BC, CA.
- Tính diện tích tam giác ABC.
- Sử dụng công thức diện tích tam
giác có liên quan đến bán kính
đường tròn nội tiếp tam giác để
tính bán kính.
A

C

GIẢI PHÁP 3: TỔ CHỨC CÁC HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA
HỌC SINH
Phương pháp thảo luận nhóm đang được phần lớn giáo viên sử dụng trong
tiết dạy của mình nhằm mang đến cho học sinh tính chủ động trong học tập. Tuy
vậy không phải tiết học nào cũng thành công, đối với bộ môn toán thì lại càng
khó áp dụng hơn bởi đa số học sinh trong lớp đều là học sinh có học lực từ trung
bình trở xuống, lôi kéo được số học sinh này tham gia tích cực vào thảo luận một
cách tích cực là không hề đơn giản. Để kích thích các em tham gia vào hoạt động
nhóm thì phải tạo cho các em một sự thích thú, vậy làm sao để các em có sự thích
thú!
Khi dạy bài tập hệ thức lượng trong tam giác tôi nhận thấy rằng đây là phần
có liên quan đến nhiều hình ảnh trong thực tiễn nên tôi thiết kế ra những tình
huống nhằm kích thích sự tò mò của các em. Theo tôi nên chú trọng nhiều đến
việc học sinh đưa ra ý tưởng giải quyết vấn đề hơn là việc tính toán, qua đó giáo
dục các em tập đưa ra ý tưởng để giải quyết vấn đề. Khi các em ở vị trí người giải
quyết tình huống thì các em có quyền chủ động cho các số liệu (các yếu tố có thể
đo được trong thực tiễn) và thực hiện tính toán kết quả theo các số liệu tự cho đó.
Qua quá trình quan sát các hoạt động nhóm tôi nhận thấy rằng các em tranh
luận sôi nổi để đưa ra ý tưởng giải quyết tình huống. Các em đã tự phát hiện ra

bằng

-Áp dụng định lí sin để tìm AB.
Trong phần tự cho số liệu và tính toán:
µ = 110 0
AC = 50 m, µA = 450 , C
◘ Nhóm 1: Đo được
. Khi đó
AC.sin C 50.sin1100
AB =
=
≈ 137,37 m
sin B
sin 200

◘ Nhóm 2: Đo được

µ = 1000
AC = 4m, µA = 500 , C

. Khi đó

AC.sin C 4.sin1000
AB =
=
≈ 7,88m
sin B
sin 300

◘ Nhóm 3: Đo được

- Nhận xét kết quả của nhóm 3: lấy giá trị AC quá lớn để có thể đo bằng
thước dây.
- Nhận xét kết quả của nhóm 1 và 4: có kết quả hợp lí.
•Nhận xét:
Những kết quả trên đều đúng theo những số liệu đã cho, các em đã tự trao đổi
và nhận xét các kết quả của nhau, điều đó mang đến cho buổi học không khí sôi
nổi tích cực.
Bạn Tèo chỉ có dụng cụ là thước thẳng dài và bạn ấy muốn đo bán kính
của đường tròn lớn của tượng đài ở công viên Sông Ray(tâm của đường tròn
22

22


lớn này bị che khuất bởi tượng cây đuốc). Bạn Tèo đang loay hoay không
biết làm cách nào để đo được bán kính của đường tròn này.
a) Em hãy tìm cách giúp bạn Tèo hoàn thành công việc.
b) Hãy cho một kết quả cụ thể với số đo tự cho.
Khi thực hiện tính toán ở câu b, tôi nhận được các kết quả như sau:
◘ Nhóm 1: Đo được độ dài

AB = 30m, BC = 40m, AC = 50m.

Khi đó diện tích tam giác ABC là
R=
Bán kính đường tròn là
◘ Nhóm 2: Đo được độ dài

30.40.50
= 25m

AB = 18m, BC = 30m, AC = 26m.

Khi đó diện tích tam giác ABC là

R=
Bán kính đường tròn là

S = 37.19.7.11

18.30.26
≈ 15,09m
4. 37.19.7.11

Tôi nhận thấy các em nhận xét các kết quả của nhau khá thú vị:
- Nhận xét kết quả của nhóm 1: Tam giác ABC vuông tại B nên AC đi qua
tâm( bị che khuất bởi tượng cây đuốc) vì thế không thể đo được AC.
- Nhận xét kết quả của nhóm 3: Lấy độ dài sai vì tổng hai cạnh của một tam
giác phải lớn hơn cạnh còn lại.
23
23


- Nhận xét kết quả của nhóm 2 và 4: số liệu và kết quả hợp lí.
Quan sát các nhóm học sinh nhận xét phần trình bày của nhau tôi thấy rằng
một số học sinh quên các tính chất của tam giác (nhóm 3), một số thì không
lường trước được khó khăn trong thực tế (nhóm 1). Những học sinh quên kiến
thức cũ được ôn lại thông qua phần nhận xét của những học khá trong lớp học.
Để tăng sự hứng thú của học sinh trong giờ học thì cần tác động nhiều đến trực
quan của học sinh bằng những hình ảnh chân thực, quen thuộc và gần gũi với
cuộc sống. Muốn vậy giáo viên nên dạy bài này bằng công nghệ thông tin, những

Trong năm học 2013-2014, tôi được phân công dạy lớp 10B5 và 10B6. Khi
dạy tiết bài tập và tiết ôn tập chương II hình 10. Tôi nhận thấy rằng phần lớn các
em học rất thụ động, các em chỉ quan tâm đến cạnh nào đóng vai trò như cạnh a,
b, c…rồi thế vào công thức để tính toán; các em ít vẽ hình, khả năng tư duy trên
hình yếu. Các em chậm trong nhận biết khi nào sử dụng định lí sin và định lí
cosin. Đặc biệt khi gặp các bài toán mà có các nội dung thực tiễn thì các em hơi
lúng túng, nhiều học sinh trung bình và yếu thì coi đó là bài toán khó và dường
như không tham gia vào việc tìm lời giải cho bài toán. Trong năm học đó khi làm
bài tập 10 và 11 (trang 60 hình 10-cơ bản) tôi đã kịp ghi lại những số liệu như
sau:
Bài tập 10 (trang 60-hình 10-CB)
Lớp

Số học sinh không
tham gia tìm lời giải
cho bài toán.

Số học sinh tham gia giải
nhưng chưa đi đến kết
quả hoặc kết quả sai.

Số học sinh tham gia
giải và đi đến kết quả
đúng.

10B5

16 (44%)

14 (39%)

12 (33%)

4 (11%)

10B6

18 (47%)

17 (45%)

3 (8%)

Trong hai bảng trên:
- Số học sinh không tham gia giải chủ yếu là học sinh trung bình và yếu, số học
sinh này không hình dung được theo mô tả của đề bài toán, do đó không vẽ được
hình (bài tập 10). Một số thì chây ì, coi đây là bài toán nâng cao dành cho các bạn
khá.

25

25