ÂẢI HC HÚ
TRỈÅÌN G ÂẢI HC SỈ PHẢM
KHOA GIẠO DỦC TIÃØU HC
------

NGUÙN THË TRANG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MƠ HÌNH HĨA
TỐN HỌC
CHO HỌC SINH LỚP 4 THƠNG QUA DẠY
HỌC
CÁC PHÉP TỐN TRÊN SỐ TỰ NHIÊN

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
Ngành học: SƯ PHẠM TIỂU HỌC
Giảng viên hướng dẫn: TS. NGUYỄN HOÀI ANH

Hú, Khọa hc 2011-2015



Lời Cảm Ơn
Em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo -TS. Nguyễn
Hoài Anh - Giảng viên Khoa Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Huế đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo,
giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện đề tài.
Xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô giáo trong
khoa Giáo dục Tiểu học,Trường ĐHSP Huế, phòng
tư liệu, thư viện đã nhiệt tình giúp đỡ em trong quá
trình học tập và hoàn thành khóa luận.
Em cũng xin chân thành cảm ơn đến giáo viên,
bạn bè cùng gia đình đã hỗ trợ, động viên trong


:

Học sinh

NL

:

Năng lực

MHH

:

Mô hình hóa

MHHTH :

Mô hình hóa toán học

SGK

Sách giáo khoa

:


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

MHHTH cho HS.
MHH trong dạy học được đề xuất Aristides C. Barreto từ giữa những
năm 70 của thế kỉ trước. MHH là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết
các vấn đề toán học. Mô hình toán học được xây dựng bằng cách phiên dịch
các vấn đề từ thực tiễn bằng phương tiện ngôn ngữ viết sang phương tiện
ngôn ngữ biểu tượng, kí hiệu hay nói cách khác, MHH là bỏ đi các tính chất
không bản chất của vấn đề và được trình bày dưới dạng ngôn ngữ toán học.
NL MHH là một trong những NL cần được hình thành cho HS. Quá trình giải
quyết vấn đề và MHH có những đặc điểm tương tự nhau, rèn luyện cho HS
những kĩ năng toán học cần thiết. Do đó, chúng hỗ trợ và bổ sung cho nhau.
MHH có thể xem là một quy trình khép kín. Nó được nảy sinh từ các tình
huống thực tiễn và kết quả của nó được dùng để giải thích và cải thiện các vấn
đề trong thực tiễn.
Nội dung dạy học số học trong chương trình toán tiểu học chiếm thời
lượng lớn, với mạch kiến thức xuyên suốt từ lớp 1 đến lớp 5. Có thể nói kiến
thức số học là nền tảng, cơ sở để học tốt các chủ đề khác của nội dung môn
Toán. Càng lên cao mức độ càng khó dần và chương trình toán lớp 4 được
đánh giá là khó hơn trong các lớp học. Đặc biệt là phần dạy học các phép tính
trên số tự nhiên, đây là nội dung cơ bản của nội dung số học. Bởi vì nhiệm vụ
trọng yếu của môn Toán tiểu học hình thành cho HS kĩ năng tính toán, một kĩ
năng rất cần thiết trong cuộc sống, lao động và học tập của HS. Các em được
làm quen phép tính với rất nhiều con số hàng chục, hàng trăm. Đòi hỏi HS
phải nắm vững những quy tắc của các phép tính, đồng thời phải biết vận dụng
vào các tình huống thực tiễn. Để có thể làm tốt được những điều đó đòi hỏi
GV phải có được những phương pháp, NL dạy học phù hợp để tổ chức, hướng
dẫn tạo điều kiện cho HS học tốt được chủ đề này. Các em có thể nắm chắc
được kiến thức, ghi nhớ lâu, vận dụng được ở bất cứ đâu thì không còn cách
nào khác đó là GV đặt các em trong các tình huống thực tiễn và giải quyết nó.
7


8


tượng là các em học xong sẽ nhanh quên. Ta có thể thấy, hình thành NL MHH
cho HS chưa thực sự được chú trọng, khái niệm MHH còn khá mới mẻ đối
với GV và nền giáo dục Việt Nam. Ở trên thế giới, đặc biệt là các nước phát
triển như Pháp, Hoa Kì,…thì MHH được vận dụng trong giáo dục một cách
rộng rãi. Nó đã trở thành một phương pháp dạy học phổ biến mà chúng ta có
thể bắt gặp được ở nơi đâu trên những đất nước của họ. Bên cạnh đó, những
cuộc thi liên quan đến MHH cho HS của họ rất được họ quan tâm, đó là điều
mà giáo dục Việt Nam cần học hỏi.
Vì những lí do trên tôi quyết định chọn đề tài: “Phát trển NL MHHTH
cho HS lớp 4 thông qua dạy học các phép toán trên số tự nhiên”.
2. Lịch sử vấn đề
-

Vũ Như Thu Hương và Lê Thị Hoài Châu với cuốn tài liệu: “Bồi dưỡng GV
MHH với phương pháp tích cực trong dạy học” đã nhận định việc dạy học sử
dụng MHH chính là một trong những phương pháp dạy học tích cực giúp phát

-

huy tính tích cực chủ động trong học tập của HS.
Trần Trung, Đặng Xuân Cương, Nguyễn Văn Hồng, Nguyễn Danh Nam
(2011). Ứng dụng CNTT vào dạy học môn Toán ở trường phổ thông. Nhà xuất
bản Giáo dục Việt Nam. Tác giả đã trình bày một cách khái quát vai trò của
phương pháp MHH trong dạy học toán, phương pháp này giúp HS làm quen
với việc sử dụng các loại biểu diễn dữ liệu khác nhau; giải quyết các bài toán
thực tiễn bằng cách lựa chọn và sử dụng các công cụ, phương pháp toán học
phù hợp. Qua đó, giúp HS hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán học.

trình sử dụng MHH vào quá trình dạy học, đưa ra được các tình huống, cách

-

giải quyết các vấn đề của hình học lớp 4, 5.
Ngô Thị Thu Hiền với: “Hình thành và phát triển tư duy sáng tạo cho HS
thông qua dạy học chủ đề số học lớp 4”, Khóa luận tốt nghiệp, 2010. Khóa
luận đã đề cập đến một trong những NL cần phải hình thành cho HS tiểu học
theo quan điểm đổi mới căn bản giáo dục Việt Nam hiện nay. Cũng với nội
dung số học lớp 4, với các phép tính và số tự nhiên. Đề tài cũng nghiên cứu
được thực trạng và biện pháp để hình thành và phát triển tư duy sáng tạo cho
HS.
Ở Việt Nam thì MHH còn khá mới mẻ đối với đa số GV khi dạy học
môn Toán nói chung và dạy học các phép toán trên số tự nhiên lớp 4 nói
riêng. Hiện nay vẫn chưa có nhiều công trình nghiên cứu về việc vận dụng
phương pháp này trong dạy và học toán ở các nhà trường tiểu học. Tuy nhiên
chúng ta vẫn ghi nhận những đóng góp của các nhà toán học, nhà giáo trong các
công trình nghiên cứu về MHH.
10


Như vậy tất cả các nghiên cứu trên đã đề cập đến vấn đề về việc sử dụng
MHH trong quá trình dạy và học. Tuy nhiên, các công trình này mới đưa ra
các định hướng vận dụng, chưa trình bày rõ quy trình hay biện pháp vận dụng
có hiệu quả phương pháp này trong dạy học toán ở các trường phổ thông Việt
Nam. Cụ thể ở đây là việc vận dụng vào trong quá trình dạy học toán học tiểu
học. Những nghiên cứu này chỉ dừng lại ở mặt lý luận và việc vận dụng vào
các môn học cụ thể ở nhà trường thì chưa thực sự có hiệu quả. Đề tài của của
tôi hướng đến việc vận dụng các tình huống dạy học MHH vào quá trình hình
thành phép toán trên số tự nhiên toán lớp 4, đề xuất một số biện pháp nhằm


Đối tượng
Phát triển NL MHHTH cho HS
Phạm vi nghiên cứu
Quá trình dạy học các phép toán trên số tự nhiên ở lớp 4

11


6. Phương pháp nghiên cứu
-

Phương pháp nghiên cứu lý luận: Sử dụng các phương pháp phân tích, tổng
hợp hệ thống hóa, khái quát hệ thống lý luận của đề tài.
+ Tìm hiểu nghiên cứu một số tài liệu sách báo có liên quan đến đề tài.
+ Nghiên cứu đặc điểm của kiến thức của các phép toán trên số học và
các cách tiếp cận dạy học nội dung này.

-

Phương pháp nghiên cứu điều tra:
+ Nghiên cứu thực tế, quan sát: Tìm hiểu về việc sử dụng MHH TH ở
các trường tiểu học Việt Nam hiện nay.
+ Khảo sát thực trạng: Tiến hành khảo sát bằng phiếu hỏi đối với GV và

-

HS tại một số trường trên địa bàn Huế.
Phương pháp thống kê toán học
Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực hiện trên phạm vi trường

sự vật khách quan nó được chế tạo theo một tỷ lệ nhất định từ vật thực để cho
con người hiểu rõ được về toàn bộ diện mạo của sự vật. Ngoài những mô hình
máy móc, còn có mô hình sinh vật, mô hình địa chất,…có thể nói rằng các sự
vật tồn tại trong cuộc sống đều có thể làm thành mô hình.
Theo Chevallard (1992), một mô hình là “một cái máy mà hoạt động của
nó cho phép tạo ra những kiến thức liên quan đến hệ thống được MHH”.
Theo Nguyễn Thị Tân An: “Mô hình là một mẫu, một kế hoạch đại diện
minh họa được thiết kế để miêu tả cấu trúc, cách vận hành một đối tượng,
một hệ thống hay một khái niệm. Mô hình theo ý nghĩa vật lý thường thì nhỏ
hơn của một đối tượng, mô hình đó có cùng nhiều tính chất của đối tượng
gốc: nó có cùng những điểm đặc trưng, có thể là màu sắc thậm chí cả chức
năng với đối tượng mà mô hình đó biểu diễn. Một mô hình lý thuyết của một
sự vật hiện tượng là một tập hợp các quy tắc biểu diễn sự vật hiện tượng đó
trong đầu của người quan sát”.[1]
Như vậy, chúng ta có thể thấy có rất nhiều quan điểm về khái niệm mô
hình, chúng tôi nhận định khái niệm mô hình như sau: “Mô hình là một cấu
trúc tổng thể của sự vật hiện tượng, nó đại diện cho bản chất cũng như đặc
trưng vốn có của sự vật hiện tượng đó. Mô hình nó mang nhiều yếu tố và thuộc
tính của đối tượng gốc”.

14


1.1.1.2. Mô hình toán học
Nguyễn Thị Hồng Cúc “mô hình toán học là một mô hình biểu diễn toán
học của những mặt chủ yếu của một nguyên bán theo một nhiệm vụ nào đó,
trong phạm vi giới hạn, với một độ chính xác vừa đủ và trong dạng thích hợp
cho sử dụng. Cụ thể hơn MHHTH là các công thức để tính toán các quá trình
hóa học, vật lý, sinh học,…được mô phỏng từ hệ thống thực”.[7]
Nguyễn Danh Nam cho rằng: “MHH trong dạy học toán là quá trình

thức) hoặc hệ phương trình hay bất phương trình, chữ ghép, chỉ số, bảng số
hay các thuật toán.
Theo từ điển bách khoa toàn thư, MHHTH là sự giải thích toán học cho
một hệ thống toán học hay ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà
người ta đặt ra trên hệ thống này.
Để vận dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết những tình huống
của thực tế, người ta phải toán học hóa tình huống đó, tức là xây dựng một
mô hình toán học thích hợp cho phép tìm câu trả lời cho tình huống. Quá trình
này được gọi là MHHTH. Một vài cấu trúc toán học cơ bản có thể dùng để
mô hình hoá là các đồ thị, phương trình (công thức) hoặc hệ phương trình hay
bất phương trình, chỉ số, bảng số hay các thuật toán. MHHTH cho phép HS
kết nối toán học nhà trường với thế giới thực, chỉ ra khả năng áp dụng các ý
tưởng toán, đồng thời cung cấp một bức tranh rộng hơn, phong phú hơn, giúp
việc học toán trở nên ý nghĩa hơn [1].
Nguyễn Thị Tân An : “MHHTH là quá trình chuyển đổi một số vấn đề
thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô
hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến
mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp” [7, tr.115]. MHHTH là một hoạt
động phức hợp, đòi hỏi HS có nhiều NL khác nhau trong các lĩnh vực toán
học khác nhau cũng như có các kiến thức liên quan đến các tình huống thực tế
được xem xét. Thông qua MHH, HS học cách sử dụng các biểu diễn khác
nhau, lựa chọn và áp dụng các phương pháp, công cụ toán học phù hợp trong
việc giải quyết vấn đề.

16


Đã có rất nhiều nhận định về MHHTH, và chúng tôi quan niệm về vấn
đề trên như sau: “MHHTH là quá trình chúng ta sử dụng các sơ đồ, kí hiệu
toán học, bảng biểu, hình vẽ…để đưa vấn đề từ thực tế cuộc sống thành bài


17


-

Góp phần phát triển NL sáng tạo trong dạy học, đặc biệt là khi xây dựng hệ
thống bài toán, biểu diễn để giải quyết vấn đề, đồng thời nó còn hỗ trợ GV tổ
chức dạy học theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề có hiệu quả
hơn, giúp đổi mới phương pháp dạy học toán một cách có hiệu quả, đáp ứng
đường lối chủ trương của Đảng về đổi mới giáo dục Việt Nam. Có thể nói
phương pháp dạy học sử dụng MHHTH có mối quan hệ mật thiết với phương
pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề. MHHTH cũng xuất phát từ tình
huống thực tế, từ đó hướng dẫn HS tìm tòi phát hiện và giải quyết vấn đề, đi
đến kiến thức cần học.
Ví dụ: Trong dạy bài: “Chia cho số có một chữ số” [Toán 4, tr. 77]. Khi
hình thành kiến thức mới cho HS về cách chia cho số có một chữ số, GV có
thể lấy một tình huống thực tế cuộc sống của các em. Không nhất thiết là lấy
các ví dụ trong SGK. Như số viên kẹo các em được chia, số bánh các bạn
có…Từ việc tìm số bánh và số kẹo các em sẽ hình thành được kiến thức toán
học, cách chia cho số có một chữ số. Bên cạnh đó việc hiểu được đối tượng
HS sẽ giúp GV đưa ra những hình thức học tập phù hợp, hiệu quả hơn.

-

Góp phần nâng cao hiểu biết, NL dạy toán cho GV tiểu học, giúp nâng cao kĩ
năng giảng dạy có hiệu quả cho GV. Một GV dù dạy hay, dạy giỏi thế nào mà
HS không đạt được kĩ năng thực hành, vận dụng kiến thức đã học vào giải
quyết vấn đề trong thực tế thì người GV đó chưa hoàn thành được sứ mệnh
dìu dắt các em tìm hiểu tri thức, khám phá cuộc sống. Việc vận dụng MHHTH

nhiều trường hợp khi gặp những tình huống ngoài thực tiễn các em không biết
vận dụng để giải quyết vấn đề đó như thế nào. Việc sử dụng MHH sẽ giúp HS
dễ hình dung hơn với những điều các em chưa được tận mắt chứng kiến, từ đó

-

mở rộng thêm hiểu biết cho các em.
Giúp HS thấy rõ mối quan hệ giữa cái cụ thể và cái trừu tượng, phù hợp với
trình độ nhận thức của con người nói chung và HS tiểu họcnói riêng. Đặc biệt
là với HS giai đoạn lớp 4, 5. Giúp các em hiểu vấn đề toán học rõ ngọn ngành
hơn. Khi HS thấy được mối quan hệ giữa những bài toán thực tế và các kiến
thức được học, các em có thể tư duy từ trực quan đến trừu tượng, sau khi giải
quyết vấn đề toán học của bài toán đưa ra, HS sẽ quay trở lại giải quyết tình
huống thực tế ban đầu. Như vậy, dạy học sử dụng MHH đã đi đúng phương
hướng với trình độ nhận thức của HS là đi từ tư duy trực quan đến tư duy trừu

-

tượng và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn.
MHHTH giúp thấy rõ mối liên hệ giữa toán học với thực tế cuộc sống, góp
phần tạo hứng thú cho HS học tập môn Toán. Các em nhận thấy rằng toán học
phục vụ cho thực tế và vận dụng toán học để giải thích thực tế chứ không phải
là nhồi nhét vào đầu một đống những tri thức toán học khô khan máy móc,
không rõ mục đích. Như vậy, MHHTH giúp việc học toán của HS trở nên có

19


ý nghĩa hơn bằng cách tăng cường và làm sáng tỏ các phép toán trong thực tế
như vận dụng phép cộng, phép nhận để tính số tiền mà Lan phải thu trong lớp

liên môn trong học tập cho HS, giúp các em thấy được mối quan hệ giữa các
môn học trên ghế nhà trường. MHHTH cho phép HS kết nối toán học nhà
trường với thế giới thực, chỉ ra khả năng ứng dụng của các ý tưởng toán. MHH
cung cấp cho HS một bức tranh rộng hơn, phong phú hơn về toán học, giúp cho

20


việc học toán trở nên ý nghĩa hơn, giúp HS thấy được mối liên hệ giữa toán học
-

với thực tế và ngược lại.
Phương pháp này giúp HS làm quen với việc sử dụng các loại biểu diễn dữ
liệu khác nhau, giải quyết các bài toán thực tế bằng cách lựa chọn và sử dụng
các công cụ, phương pháp toán học phù hợp nhất.Qua đó, giúp HS hiểu sâu và
nắm chắc các kiến thức toán học, giúp HS phát triển sự thông hiểu các khái
niệm và quá trình toán học.
1.1.3. Quy trình mô hình hóa toán học
1.1.3.1. Các quan điểm về quy trình mô hình hóa toán học
Hiện nay có rất nhiều quan điểm về quy trình MHHTH. Sau đây chúng
tôi xin giới thiệu một số quan điểm về quy trình MHHTH của một số nhà
nghiên cứu.
Quan điểm 1: Quy trình MHHTH theo Allen White (2000)
Allen White đề xuất quy trình gồm 7 bước cơ bản. Qua đó, ông đã chi
tiết hóa cụ thể các bước trong quá trình MHHTH như sau:
Bước 1: Xuất phát từ vấn đề thực tế trong cuộc sống hằng ngày, vấn đề
này có thể thuộc nhiều lĩnh vực trong cuộc sống mà với kiến thức của toán
học có thể giải quyết được.

Quá trình MHHTH theo Allen White (2000)

thời lượng tiết học có hạn, HS có thể sẽ mất thời gian và đi lạc hướng với

22


những giả định lệch lạc, có thể gây mất niềm tin vào NL giải quyết vấn đề của
bản thân.
Quan điểm 2: Dựa vào quy trình MHHTH của Kaiser và Blum trong [2,
tr.100], Ok Ki Kang trong [3], và của nhiều tác giả khác, ta có thể nhận thấy
được rằng nói chung quy trình MHHTH bao gồm một số bước cơ bản sau:
Bước 1: Hiểu tình huống thực tế, xác định các yếu tố có ý nghĩa quan
trọng nhất trong hệ thống và xác lập các quy luật mà chúng ta phải tuân theo,
có thể đưa vào các điều kiện và giả thiết phù hợp, có thể lý tưởng hóa, đơn
giản hóa vấn đề để từ đó tạo ra một mô hình thực tế của tình huống (mô hình
trung gian).
Bước 2: Mô hình thực tế được toán học hóa, tức là được thông dịch sang
ngôn ngữ toán học để dẫn đến một mô hình toán học của tình huống ban đầu.
Chúng ta nên lưu ý rằng là ứng với vấn đề đang xem xét có thể có nhiều mô
hình toán học khác nhau, việc xác định, đưa ra mô hình phụ thuộc vào việc
chúng ta đánh giá yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng là
quan trọng.
Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán
hình thành ở bước 2. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc
xây dựng phương pháp giải cho phù hợp.
Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong Bước 3. Ở
đây người ta phải xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán
với vấn đề thực tế. Chúng ta lưu ý rằng: đây là một bước quan trọng giúp cho
người thực hiện nhận ra rằng giải pháp đó liên quan chặt chẽ đến ngữ cảnh.
Đây cũng là bước quan trọng khi mà sự mạnh, yếu của mô hình được xem
xét, thảo luận.


xây dựng lại, nhưng phải xem xét lại mô hình toán học đã lựa chọn.
Mô hình trung gian xây dựng có phản ánh đầy đủ hiện tượng thực tế
không? Nếu không thì cần phải rà soát lại bước 1 xem có yếu tố, nào bị bỏ
sót không.
Quan điểm 3: Quy trình MHH theo Swetz và Hartzler
Quy trình MHH được Swetz và Hartzler (1991) mô tả gồm bốn giai
đoạn:
24


-

Giai đoạn thứ nhất: là quan sát hiện tượng hoặc vấn đề từ tình huống thực tế,
phác thảo tình huống và nhận ra các yếu tố quan trọng có tác động đến vấn đề
từ đó bước đầu xây dựng mô hình toán học.

Quy trình MHHTH theo Swetz và Hartzler
-

Giai đoạn thứ hai: Từ tình huống thực tế, HS quan sát, hiểu và phân tích mô
hình toán học, lập giả thiết về mối quan hệ giữa các yếu tố dưới gốc nhìn của

-

toán học. Từ đó phân tích mô hình để bước đầu dần đi đến kết luận toán học.
Giai đoạn thứ ba: HS áp dụng các phương pháp, công cụ toán học phù hợp để

-