1

Ứng dụng của phương pháp chứng minh quy nạp toán học
trong giải bài tập toán


2
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Ngày nay logic học càng được ứng dụng rộng rãi, không những trong toán
học và khoa học tự nhiên, mà trong cả khoa học xã hội và nhân văn. Sự phát triển
của khoa học tự động hóa và trí tuệ nhân tạo cũng có đóng góp của logic học. Để có
thể hòa mình vào nền văn minh của nhân loại, chúng ta cần tập trung vào nghiên
cứu các khoa học cơ bản, đặc biệt là toán học và logic học.
Quy nạp (Inductive) hay lập luận quy nạp, đôi khi còn gọi là logic quy nạp là
nội dung cơ bản của logic học, được đặt nền tảng từ thời Aristoteles. Quy nạp là
một vấn đề lớn nằm trong logic học và có một ý nghĩa to lớn đối với sự phát triển
của khoa học. Đây là các phương pháp tư duy không thể thiếu trong khoa học. Từ
rất sớm – ngay từ thời cổ đại, logic quy nạp đã ra đời, tuy nhiên còn phát triển rất
chậm chạp và khó khăn. Mặc dù nó phát triển mạnh vào thời cận đại, khi mà các
khoa học thực nghiệm phát triển, nhưng cho đến nay logic quy nạp vẫn không khắc
phục được hoàn toàn những bế tắc mà nó đặt ra và vẫn đang được nghiên cứu một
cách tích cực ở các nước phương Tây và các nước thuộc Liên Xô trước đây.
Quy nạp là khái niệm cực kì quan trọng, nó được coi là một tuyệt chiêu trong
toán học và được sử dụng rộng rãi trong số học, đại số và lý thuyết số. Vì vậy nắm
rõ được bản chất về mặt kiến thức, về mặt phương pháp cũng như tư duy là điều bất
cứ ai trong chúng ta đều mong muốn hướng tới. Thêm vào đó, quy nạp là một trong
những phương pháp tiếp cận bài toán rất độc đáo. Nó có một sức mạnh tuyệt vời khi
giải quyết những bài toán chứng minh cả ở hình học. Phép quy nạp không chỉ có
ứng dụng trong việc tính toán các đại lượng hình học đơn thuần mà nó còn được áp
dụng trong việc chứng minh định lý hình học, trong giải các bài toán dựng hình,

học trong giải bài tập toán” cho khóa luận tốt nghiệp đại học của mình.
2. Mục tiêu khóa luận
Khóa luận nhằm nghiên cứu tổng quan về phép quy nạp, phương pháp chứng
minh quy nạp toán học và ứng dụng của phương pháp chứng minh quy nạp toán học
trong một số bài tập toán. Đồng thời nghiên cứu, khai thác và phân tích một số bài
tập sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp nhằm khắc sâu hơn kiến thức về
phép quy nạp và phương pháp chứng minh quy nạp toán học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu những lí luận phép quy nạp toán học và phương pháp chứng
minh quy nạp toán học.
Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp chứng minh quy nạp toán học trong
một số bài tập toán.
Nghiên cứu một số bài tập có lời giải và một số bài tập vận dụng.


4
4. Phương pháp nghiên cứu

• Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình,
sách giáo khoa có liên quan đến phép quy nạp và phương pháp chứng
minh quy nạp toán học và ứng dụng quy nạp toán học trong đại số và
trong hình học rồi phân hóa, hệ thống hóa các kiến thức.

• Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu tham khảo tài
liệu, giáo trình từ đó rút ra những kinh nghiệm để áp dụng vào việc
nghiên cứu.

• Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp
hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình
thức của khóa luận.

ứng dụng trong việc tính toán các đại lượng hình học đơn thuần mà nó còn được áp
dụng trong việc chứng minh định lý hình học, trong giải các bài toán dựng hình,
quỹ tích hay cả trong mặt phẳng và trong không gian. Bên cạnh lời giải của các bài
toán chúng tôi còn đưa ra nhận xét, phân tích hay hướng khai thác lời giải của các
bài toán đó.
Chương 3: Bài tập
Ở chương này, chúng tôi trình bày một số bài tập có lời giải sử dụng phương
pháp chứng minh quy nạp toán học để giải chúng. Bên cạnh đó, còn trình bày một
số bài tập không có lời giải để có thể khắc sâu hơn kiến thức về phương pháp chứng
minh quy nạp toán học.


6
NỘI DUNG
Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
Chương này trình bày một số kiến thức cơ sở về phép quy nạp toán học và
phương pháp chứng minh quy nạp toán học. Phương pháp quy nạp là một phương
pháp vô cùng quan trọng trong quá trình giải một số bài tập toán.
1.1. Cơ sở logic toán
1.1.1. Mệnh đề
Trong logic mệnh đề, khái niệm mệnh đề toán học là một khái niệm nguyên
thủy không được định nghĩa mà chỉ được mô tả. Những câu phản ánh đúng hoặc sai
thực tế khách quan được gọi là mệnh đề.
Mỗi mệnh đề toán học (gọi tắt là mệnh đề) là những câu phản ánh đúng hoặc
sai thực tế khách quan, không có mệnh đề nào không đúng mà cũng không sai,
không có mệnh đề nào vừa đúng vừa sai.
Giá trị chân lý của mệnh đề: Các giá trị 1 và 0 được gọi là giá trị chân lý của
mệnh đề. Ta quy ước mệnh đề có giá trị chân lý 1 nếu nó đúng, mệnh đề có giá trị
chân lý 0 nếu nó sai. Mỗi mệnh đề có một trong hai tính chất đúng hoặc sai nên nó
chỉ có thể nhận một trong hai giá trị chân lý 1 hoặc 0.

1.1.2.2. Phép hội
Hội của hai mệnh đề p, q ký hiệu là p ∧ q (đọc là “ p và q ”) là một mệnh
đề đúng khi cả p lẫn q cùng đúng và sai trong các trường hợp còn lại. Bảng giá trị
chân lý của phép hội như sau:

p

q

p∧q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0


q

p∧q

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

1.1.2.4. Phép kéo theo

0

1

Phép kéo theo của logic mệnh đề phù hợp với ý nghĩa của các từ hoặc cụm từ
sau: “Nếu … thì”, “kéo theo”, “Từ … suy ra”
1.1.2.5. Phép tương đương
Cho hai mệnh đề p; q . Mệnh đề tương đương p ⇔ q (đọc là “ p tương
đương q ”) là mệnh đề đúng khi cả hai mệnh đề p và q , hoặc cùng đúng hoặc
cùng sai và sai trong các trường hợp còn lại. Ta có bảng giá trị chân lý của phép
tương đương như sau:

p

q

p⇔q


9
1

1

1

1

0



chỉ thứ tự các phép toán.

Một cách chính xác hơn ta định nghĩa các hằng và các biến mệnh đề là những công
thức. Nếu p là các công thức thì p là công thức. Nếu p, q là những công thức thì

( p ∧ q) , ( p ∨ q) , ( p ⇒ q) , ( p ⇔ q)

là những công thức.

Ví dụ 1.4. Xét dãy kí hiệu ( p ∧ p ) ⇒ r ta thấy:

p, q là các công thức, do đó p ∧ q là công thức, p ∧ q và r là hai công
thức. Vì vậy ( p ∧ p ) ⇒ r là công thức.
Sự tương đương giữa hai công thức: Cho hai công thức P và Q . Ta nói rằng P
tương đương logic với Q (hay P đồng nhất bằng Q ), kí hiệu P ≡ Q , nếu chúng
cùng nhận giá trị chân lý như nhau với mọi hệ giá trị chân lý có thể có của các biến
mệnh đề có mặt trong chúng.


10
Hệ thức P ≡ Q gọi là một đẳng thức hay một tương đương logic.
1.1.4. Luật của logic, hệ quả logic và quy tắc suy luận
Phân tích các suy luận trong chứng minh toán học ta thấy mỗi chứng minh
bao gồm một số hữu hạn bước suy luận đơn giản. Trong mỗi bước đó, ta ngầm vận
dụng quy tắc suy luận tổng quát để từ mệnh đề đã được thừa nhận là đúng có thể rút
ra một mệnh đề mới. Người ta gọi mệnh đề xuất phát đã được thừa nhận đúng là các
tiên đề, còn mệnh đề mới được rút ra gọi là hệ quả logic của các tiên đề.
1.1.4.1. Luật của logic mệnh đề
Định nghĩa 1.2. [7]

A1 , A2 ,..., An
B
Suy luận được xem là một trong những nền tảng xây dựng nên các ngành
khoa học tự nhiên. Nhờ suy luận mà người ta có thể nhận thức được cái chưa biết từ
những cái đã biết. Suy luận còn là cơ sở của sự sáng tạo, từ những phán đoán, đưa
đến các chứng minh để chấp nhận hay bác bỏ một vấn đề nào đó.
Suy luận toán học dựa trên nền tảng của các phép toán mệnh đề. Để chứng
minh một vấn đề nào đó, thông thường người ta phải xác định điểm ban đầu (gọi là
giả thiết) và điểm kết thúc (gọi là kết luận). Quá trình đi từ giả thiết đến kết luận gọi
là quá trình chứng minh, và quá trình này được thực thi như thế nào thì được gọi là
phương pháp chứng minh. Các phương pháp chứng minh là rất quan trọng, đặc biệt
là trong toán học, trong các phương pháp chứng minh đó có phương pháp chứng
minh quy nạp toán học.
Vậy trên đây là một số kiến thức cơ sở của logic toán, nó chính là những tiền
đề, là cơ sở và để nghiên cứu phương pháp chứng minh quy nạp toán học.
1.2. Phép quy nạp toán học
Toán học phân biệt với nhiều môn khoa học khác là xây dựng được lý thuyết
suy diễn. Đó là phương pháp đi từ cái chung đến cái riêng. Trong cuộc sống hằng
ngày, ta thường nhận xét từ các quan sát, thực nghiệm thông thường để rút ra kết
luận tổng quát, đúng cho mọi trường hợp. Ta gọi đó là quy nạp. Nó giúp ta có thể đề
xuất hay bác bỏ những giả thuyết, đồng thời điều này còn cho ta một cách chứng
minh cho những bài toán phức tạp.
1.2.1. Tiếp cận khởi đầu phép quy nạp toán học
Pascal viết về tam giác số thông qua một quyển sách có tên là “Luận lý trong
tam giác số học”. Nhưng Pascal không phải là người đầu tiên nghiên cứu tam giác
này mặc dù công bố công trình nghiên cứu của ông gây ngạc nhiên cho mọi người
thời ấy. Các tam giác này cũng xuất hiện trong những bài viết của Omar Khayyam,
nhà thiên văn học, nhà thơ, nhà triết học và là nhà toán học hiện đại ở Iran của thế
kỷ XVII.
Tam giác số Pascal được thiết lập như sau:


10

1
5

1

Khi ta tính một số trong tam giác Pascal ta phải dựa vào hai số đã tìm được ở
cạnh đáy trên. Cần nghiên cứu một lược đồ tính toán không phụ thuộc vào những
điều đã biết sơ bộ. Phép tính độc lập như vậy dựa vào công thức quen biết:
Cnr =

n(n − 1)(n − 2)...(n − r + 1)
1.2.3...r

Mà ta sẽ gọi là công thức tường minh để tính các hệ số của nhị thức Cnr .
Công thức đó có trong công trình của Pascal (được diễn đạt bằng lời chứ
không phải bằng các kí hiệu hiện đại). Có thể suy nghĩ ban đầu trước khi đến công
thức của mình Pascal mới chỉ là phỏng đoán. Mà ta thường phát hiện ra các quy luật
nhờ quan sát lúc đầu, rồi thử khái quát hóa các kết quả có được. Nhưng Pascal đã
đưa ra một cách chứng minh xuất sắc cho công thức tường minh của mình.
Công thức tường minh dưới dạng đã viết không áp dụng được trong trường
hợp r = 0 . Tuy vậy, quy ước rằng khi r = 0 thì theo định nghĩa Cn0 = 1 . Còn trong
n
trường hợp r = n thì công thức không mất ý nghĩa và ta có Cn =

n(n − 1)...2.1
= 1 là
1.2...(n − 1)n

1.2.3...(r − 1)

Cộng hai đẳng thức đó ta được:
n( n − 1)...(n − r + 2)  n − r + 1 
.
+ 1÷
1.2...(r − 1)
r


n(n − 1)...(n − r + 2) n + 1 ( n + 1) n(n − 1)...( n − r + 2)
=
.
=
1.2...( r − 1)
r
1.2.3...r

Cnr+1 = Cnr + Cnr −1 =

Nói cách khác, sự đúng đắn của công thức tường minh đối với giá trị n nào
đó kéo theo tính chất đúng đắn của nó với n + 1 . Chính điều này được khẳng định
trong bổ đề thứ hai. Như vậy, ta đã chứng minh bổ đề đó.
Những lời của Pascal có một giá trị lịch sử to lớn bởi vì chứng minh của ông
là sự vận dụng lần đầu tiên một phương pháp suy luận cơ bản và mới mẻ, và sau
này ta gọi đó là phép quy nạp toán học.
1.2.2. Sự tiếp xúc gợi ý phép quy nạp toán học
Phép quy nạp thường được bắt đầu bằng sự quan sát. Nhà khoa học tự nhiên
có thể quan sát cuộc sống của loài chim, nhà tinh thể học quan sát hình dạng của
các tinh thể,... Nhà toán học thì có thể quan tâm tới lý thuyết số, quan sát tính chất

quả của sự quan sát và đã được chỉ ra bằng những ví dụ riêng biệt.
Những chỉ dẫn đó tương đối ít trọng lượng. Chúng ta chỉ có những cơ sở rất
mong manh để tin vào giả thuyết của mình. Tuy nhiên chúng ta có thể tìm thấy một
nguồn an ủi, ở chỗ là cách đây hơn 200 năm Goldbach, nhà toán học đầu tiên phát
biểu giả thuyết đó, cũng không có cơ sở gì vững chắc hơn.
Giả thuyết của Goldbach có đúng không? Ngày nay chưa ai có thể trả lời câu
hỏi đó. Mặc dù có một số nhà toán học vĩ đại đã có những cố gắng lớn nhằm làm
sáng tỏ vấn đề, nhưng cho đến nay giả thuyết của Goldbach, cũng như ở thời Euler
vẫn là một trong “nhiều tính chất của các số mà chúng ta rất quen thuộc, nhưng
chúng ta vẫn chưa chứng minh hay bác bỏ được”.


15
Nhưng từ giả thuyết này chúng ta đã mô tả trong những nét tổng quát giai
đoạn đầu của quá trình quy nạp.
1.2.3. Phân loại phép quy nạp toán học
1.2.3.1. Quy nạp hoàn toàn
Danh từ “quy nạp” theo nghĩa đầu tiên của nó dùng để chỉ các quy luật nhờ
đó mà thu được các kết luận tổng quát, dựa vào một loạt các khẳng định riêng biệt.
Quy nạp hoàn toàn là phép quy nạp mà kết luận chung được khẳng định cho
tất cả các trường hợp được xét bằng một chứng minh chặt chẽ hoặc bằng cách thử
nghiệm trực tiếp tất cả các trường hợp (nếu có thể thử được).
Quy nạp hoàn toàn là một mệnh đề tổng quát được chứng minh theo từng
trường hợp của một số hữu hạn các trường hợp có thể có.
Ví dụ 1.5. Chúng ta xác lập rằng: “Mỗi số chẵn n trong khoảng [ 4;100] đều có thể
biểu diễn dưới dạng tổng của 2 số nguyên tố”.
Muốn vậy ta phân tích:

4 = 2 + 2,
6 = 3 + 3,

Chúng ta hãy xét các trường hợp riêng biệt:
+ Với n = 1 : 1 = 1 mà 1 = 12
+ Với n = 2 : 1 + 3 = 4 mà 4 = 22
+ Với n = 3 : 1 + 3 + 5 = 9 mà 9 = 32
+ Với n = 4 : 1 + 3 + 5 + 7 = 16 mà 16 = 42
+ Với n = 5 : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 mà 25 = 52
Sau khi xét một số trường hợp riêng này, ta đưa ra kết luận tổng quát:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + ( 2n − 1) = n 2 (1.2.1)
tức là: “Tổng của n số lẻ liên tiếp đầu tiên bằng n 2 ”. Việc chứng minh kết luận này
một cách chặt chẽ đã chứng tỏ kết luận này là đúng.
Ví dụ 1.7. Tính tổng lập phương các số tự nhiên liên tiếp đầu tiên:

S n = 13 + 23 + 33 + ... + n3
Ta xét các trường hợp riêng biệt:

S1 = 13 = 1 = 12
S 2 = 13 + 23 = 9 = (1 + 2) 2
S3 = 13 + 23 + 33 = 36 = (1 + 2 + 3) 2
S4 = 13 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4) 2
Do đó có thể nảy ra kết luận tổng quát: Sn = (1 + 2 + 3 + ... + n) 2 (1.2.2)


17
Tất nhiên, điều nhận xét trên không phải là sự chứng minh sự đúng đắn của
các công thức (1.2.1) hay (1.2.2). Chúng ta cũng cần chú ý rằng, suy luận bằng quy
nạp đôi khi dẫn đến kết luận sai, như các ví dụ sau:
Ví dụ 1.8. Khi nghiên cứu hiệu của một số có 2 chữ số trở lên với số có cùng các
chữ số như thế nhưng viết theo thứ tự ngược lại.
Trong trường hợp các số có 2 chữ số, 3 chữ số ta có kết luận là các hiệu đó


19
1.3. Phương pháp chứng minh quy nạp toán học
Trong cuộc sống cũng như trong khoa học chúng ta cần có một phương pháp
làm cho quan niệm của chúng ta gần với kinh nghiệm ở mức độ có thể được. Đó là
“Phương pháp quy nạp toán học”. Nó đòi hỏi sự ưa thích nhất định đối với cái gì
thực tế tồn tại, đòi hỏi chúng ta sẵn sàng từ những quan sát nâng lên trình độ khái
quát, đồng thời sẵn sàng từ sự khái quát rộng lớn nhất trở về với những quan sát cụ
thể nhất.
Bên cạnh những phương pháp quen thuộc như: phương pháp chứng minh
trực tiếp, chứng minh phản chứng,... phương pháp quy nạp là một công cụ mạnh,
sắc bén trong giải toán, nhất là những bài toán rối rắm vô cùng. Cách đây gần 4 thế
kỷ, bằng những cây thước, cái bàn, Pascal đã xây dựng nên lý thuyết quy nạp. Từ
đó trở đi, quy nạp đã trở thành một phương tiện giúp cho những người học toán
trong công cuộc đi tìm những lời giải mà biến chứng minh phụ thuộc vào n ∈ ¥
một cách hay và đẹp.
1.3.1. Phương pháp quy nạp toán học
Giả sử P ( n ) là một khẳng định phụ thuộc vào số tự nhiên n và chúng ta cần
phải chứng minh P ( n ) đúng với mọi n ∈ ¥ .
Trong trường hợp này, ta không thể sử dụng phép quy nạp không hoàn toàn
bởi vì như đã nhận xét, kết luận của phép quy nạp không hoàn toàn chỉ có tính chất
dự đoán, chưa biết đúng sai. Để khắc phục khó khăn này, người ta sử dụng phép
quy nạp hoàn toàn mà kết luận chung được xét bằng một phương pháp suy luận đặc
biệt gọi là “phương pháp quy nạp toán học” và tiến hành chứng minh như sau:
Trước tiên, ta kiểm tra với n = 1 thì P ( 1) đúng.
Sau đó ta chứng tỏ rằng từ tính chất đúng đắn của khẳng định P ( k − 1) đúng
với n = k − 1, k ≥ 1 , cũng suy ra rằng P ( k ) đúng với n = k .
Hoặc từ tính chất đúng đắn của khẳng định P ( k ) đúng với n = k , k ≥ 1 , cũng suy
ra rằng P ( k + 1) đúng với n = k + 1 .
Từ đó suy ra rằng P ( n ) đúng với mọi n ∈ ¥ * .

Ví dụ 1.11. Chứng minh rằng:

Sn = −1 + 3 − 5 + 7 − 9 + ... + (−1) n (2n − 1) = (−1) n .n
Giải.


21
+ Ta có với n = 1 ⇒ S1 = −1 = (−1)1.1 . Do đó mệnh đề đúng với n = 1.
+ Giả sử rằng mệnh đề đúng với k ( k ∈ ¥ * ) tức là đã chứng minh được rằng:

Sk = −1 + 3 − 5 + 7 − 9 + ... + (−1) k (2k − 1) = (−1) k .k
Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1 . Nghĩa là phải chứng minh:

Sk +1 = −1 + 3 − 5 + 7 − 9 + ... + (−1) k (2k − 1) + ( −1) k +1 (2k + 1) = ( −1) k +1.( k + 1)
Thật vậy, ta có: S k +1 = S k + (−1) k +1 (2k + 1) = ( −1) k k + (−1) k +1 (2k + 1)

= (−1) k ( k − 2k − 1) = ( −1) k (− k − 1) = ( −1) k +1 ( k + 1)
Từ đó theo nguyên lý quy nạp toán học ta có :

Sn = −1 + 3 − 5 + 7 − 9 + ... + (−1) n (2n − 1) = (−1) n .n với mọi n ∈ ¥ *
Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, mệnh đề được chứng minh.
Bây giờ chúng ta sẽ đưa ra một số ví dụ áp dụng không đúng phương pháp
quy nạp toán học.
Ví dụ 1.12. Xét mệnh đề: “Bất kỳ một tập hợp hữu hạn các số tự nhiên nào cũng
gồm toàn những số bằng nhau”.
Chứng minh. Ta tiến hành quy nạp theo số phần tử của tập hợp.
+ Với n = 1, mệnh đề là hiển nhiên: mỗi số luôn bằng chính nó.
+ Giả sử mệnh đề đã được chứng minh với tập hợp có k phần tử. Ta sẽ chứng minh
mệnh đề cũng đúng với tập hợp có k + 1 phần tử.
Lấy tập hợp có k + 1 phần tử là a1; a2 ; a3 ;...; ak ; ak +1 .

nguyên lý quy nạp được trình bày dưới dạng sau:
Nếu: + Mệnh đề đúng với n = p .
+ Từ giả thiết mệnh đề đúng với các số tự nhiên n = k ≥ p ta suy ra
mệnh đề cũng đúng với n = k + 1 .
Thì khi đó mệnh đề sẽ đúng với tất cả các số tự nhiên n ≥ p .
1.3.3. Một số hình thức của phương pháp quy nạp toán học
Giả sử P ( n ) là một khẳng định cần chứng minh phụ thuộc vào biến n .
Hình thức 1:
- Bước 1: Chứng minh cho P ( 1) đúng.
- Bước 2: Giả sử khẳng định P ( k ) đúng (k ≥ 1) . Ta suy ra được P ( k + 1) cũng
đúng.
- Bước 3: Kết luận P ( n ) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 .
Hình thức 2:
- Bước 1: Chứng minh cho P ( n0 ) đúng với n0 là một số nguyên nào đó.
- Bước 2: Giả sử khẳng định P ( k ) đúng ( k ≥ n0 ) ta suy ra được P ( k + 1) cũng
đúng.
- Bước 3: Kết luận P ( n ) đúng với mọi số nguyên n ≥ n0 .
Hình thức 3:
- Bước 1: Chứng minh cho P ( 1) đúng.


23
- Bước 2: Giả sử các khẳng định P ( 1) , P ( 2 ) ,..., P ( k ) đúng ta suy ra được

P ( k + 1) cũng đúng.
- Bước 3: Kết luận P ( n ) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 .
Hình thức 4:
- Bước 1: Chứng minh cho P ( n0 ) và P ( n0 + 1) đúng với n0 ∈ ¥ .
- Bước 2: Giả sử P ( k − 1) và P ( k ) đúng. Ta suy ra được P ( k + 1) cũng đúng.
- Bước 3: Kết luận P ( n ) đúng với mọi n ≥ n0 .


( m – 1) x 2 – 2 ( 2m – 1) x + 3m = 0 ( 2.1.1)

luôn có nghiệm

với mọi giá trị của tham số m ”.
Phân tích. Để chứng minh mệnh đề này, ta phải xét tham số m. Trước tiên ta đi xét
hệ số của x 2 , tức là xét m – 1 , nếu m – 1 = 0 thì ( 2.1.1) trở thành phương trình
bậc nhất một ẩn, nếu m – 1 ≠ 0 thì ( 2.1.1) là phương trình bậc hai một ẩn.
Giải. Ta xét 2 trường hợp:
TH1: Với m = 1 . Khi đó, phương trình ( 2.1.1) trở thành: −2 x + 1 = 0 ⇔ x =

1
.
2

Như vậy trong trường hợp m = 1 , mệnh đề trên đúng.
TH2: Với m ≠ 1 .
Khi đó, phương trình ( 2.1.1) là phương trình bậc hai ẩn x .
2
Có ∆ ' = ( 2m – 1) – ( m – 1) .3m = m 2 – m + 1 > 0 với mọi giá trị của m .

Do đó phương trình ( 2.1.1) có hai nghiệm phân biệt. Nghĩa là trong trường
hợp này, phương trình ( 2.1.1) cũng có nghiệm.
Kết luận: Vậy phương trình ( 2.1.1) luôn có nghiệm với mọi m .
Nhận xét. Rõ ràng qua hai trường hợp trên ta đã xét hết các khả năng có thể có của

m . Vậy phương trình ( 2.1.1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m .



Nếu m = n thì phương trình nghiệm đúng với ∀x ∈ ¡ .
Khai thác.
+ Nếu giữ nguyên ẩn và các tham số, thay đổi phép toán ta sẽ được bài toán mà quá
trình giải được thực hiện như trên.
Giải và biện luận phương trình mx + n = nx + m .
+ Nếu tăng độ phức tạp cho các tham số, chẳng hạn không phải m, n mà là một
biểu thức nào đó chứa m, n cũng sẽ được bài toán mà lời giải được thực hiện cũng
theo quy trình tương tự như trên. Chẳng hạn:

(

)

3
3
Giải và biện luận phương trình (m − 1) x − n = n − 1 x − m .

2.1.2. Vận dụng quy nạp toán học trong phát hiện quy luật và chứng minh quy
luật đó
Trong quá trình ta giải một số bài toán, có thể ta phát hiện ra được một quy
luật nào đó, mà khi phát hiện ra quy luật đó, chúng ta chứng minh dự đoán đó đúng.
Bài toán 2.3. Tính tổng Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n