CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
I. Hai đường thẳng vuông góc với nhau
A. Phương pháp chứng minh:
C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.
C2 : a  b  góc (a;b)  90o .
C3: Dùng hệ quả:
a

a  (P ) 
a b
b  (P ) 

b

P

C4: Dùng hệ quả:
b

a

c

b // c , a  b  a  c

C5 : Dùng hệ quả:
a
b

a song song (P ) 
a b

Bài 1 :
Cho tứ diện ABCD đều.
CM: AB vuông góc với CD
Hướng dẫn tóm tắt:
dùng tích vô hướng AB.CD  0
C2:Gọi M là tđ của AB ,CM cho AB  (MCD)
>> Truy cập trang để học Toán – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1


Bài 2 :
C/M

Cho hình chop S.ABC có AB = AC, góc SAC = góc SAB. M là trung điểm BC.

a. AM vuông góc với BC và SM vuông góc với BC
b. SA vuông góc với BC
Hướng dẫn tóm tắt:
a,  ABC cân  AM  BC.
b,  SAB=  SAC(cgc)  SB=SC  SM  BC
Bài 3 :Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác BCD
a. CM: AO  CD
b. Tính góc giữa 2 đt AB và CD
Hướng dẫn tóm tắt:
a, AO  ( BCD)  AO  CD
b.Gọi M là trđ CD  AM  CD ,lại có
AO  CD  CD  (AMB)  CD  AB
Bài 4 :
Cho hình chóp S.ABC có SA =SB=SC=a, tam giác ABC vuông cân và AB= AC
= a 2.

a.CMR AD vuông góc BC
b,Gọi I là trung điểm CD. Tính góc giữa AB và CD
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Gọi E là tr đ CB  AE  BC.  DBC đều  DE  BC  BC  (AED)
 BC  AD
cách 2: BC. AD  BC.( AE  ED)  0  BC  AD
b. I là trung điểm CD  BI  CD;AI  CD  CD  AB
>> Truy cập trang để học Toán – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2


Bài 8 :Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Tính góc giữa AB và CD
Bài 9 :
Cho tứ diện ABCD có AB= AC =AD= a, BC= BD= a 2 , CD= 2a
a.Tính góc giữa 2 đt AB và CD
b.Tính góc giữa 2 đt AD và BC
Hướng dẫn tóm tắt:
a.(AB,CD)= 90 0
b. cos( BC , AD ) 

BC. AD  2

 ( AD; CB)  45 0
BC. AD
2

Bài 10 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, các góc SAB, SAC,
SAD đều

vuông, SA= a


P

C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a
nằm trong mẵt phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vuông góc
với mặt phẳng kia
Q
a
b

(P )  (Q )  b 
  a  (P )
a  (Q ), a  b 

P

>> Truy cập trang để học Toán – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3


C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì
giao tuyến của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó


( )  (  )  
( )

( )


    (P )
( )  (P ),(  )  (P ) 

d.Trong tam giác SAD kẻ đường cao SH. cm: AD  (SOH)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.SO  AC và SO  BD nên SO  (ABCD)
b.AC  BD và AC  SO nên AC  (SBD) suy ra AC  SD
c.IJ //AC mà AC  (SBD) nên IJ//(SBD)
d.AD  SH và AD  SO nên AD  (SOH)
Bài 1 4 : Cho tứ diện ABCD có AB  CD, AC  BD. Gọi H là trực tâm tam giác BCD.
>> Truy cập trang để học Toán – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 4


a.cm AH  (BCD)
b.cm AD  CD
Hướng dẫn tóm tắt:
a.CD  AH và BD  AH nên AH  (BCD)
b.BC  AH và BC  DH nên BC  AD.
Bài 15 : Cho hình chóp S.ABCD có SA  đáy. Đáy ABCD là hình thang vuông tại A.
AD = 2AB = 2BC
a.cm BC  (SAB)
b.cm SC  CD
Hướng dẫn tóm tắt:
a.BC  SA và BC  AB nên BC  (SAB)
b.MAC cân tại M nên góc MAC = 45 0 .tương tự góc MCD= 45 0 .do đó CD  SA
và CD  AC
nên CD  SC
Bài 16 : Hình chop S.ABC có SA vuông với đáy, tam giác ABC cân ở A. Gọi M là trung
điểm BC. CM:
a.BC  (SAM)
b.Vẽ AH  SM tại H. cm AH  SB
Hướng dẫn tóm tắt:
a.BC  AM và BC  SA nên BC  (SAM)

Bài 19 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác
đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J là trung điểm AB, CD
a. Tính các cạnh của tam giác SIJ, suy ra tam giác SIJ vuông
b. cm SI  (SCD); SJ  (SAB)
c. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên IJ cm SH  AC
Hướng dẫn tóm tắt:
a 3
a
; SJ  .tam giác SIJ vuông tại S
2
2
b.IS  SJ và SI  CD nên SI  (SCD)
c.SH  IJ và SH  AB nên SH  (ABCD) suy ra SH  AC
Bài 20 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O, SA  (ABCD).

a. SI 

a.cm các mặt bên của h/c là các tam giác vuông
b.cm (SAC) là mp trung trực của BD
Hướng dẫn tóm tắt:
III. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt
phẳng
A. Các định lý
1.

b

 a // b
 b  ( )



4. a  ( )  a // b
b  ( )


a
b
a  b
a  ( )

( )  b a //( )

5. 

B. Bài tập ứng dụng
Bài 21 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc (ABCD).
Gọi  là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC,  cắt SC tại I.
a. Xác định giao điểm của SO và (  )
b. Cm: BD vuông góc SC. Xét vị trí tương đối của BD và (  )
c. Xác định giao tuyến của (SBD) và (  )
Hướng dẫn tóm tắt:
a.J là giao điểm của AI và SO thì J là giao điểm của SO và(  )
b.BD  AC và BD  SA nên BD  (SAC) suy ra BD  SC
c.giao tuyến là đt qua J và song song với BD
Bài 22 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc (BCD) và
SA = AB. Gọi H và M
lần lượt là trung điểm của SB và SD CMR OM vuông góc với (AHD)
Hướng dẫn tóm tắt:
OM //SB mà SB  (AHD) suy ra OM  (AHD)
Bài 23 : Cho tam giác ABC cân tại A, I và H lần lượt là trung điểm cạnh AB, BC dựng

O

x

y



góc (( );(  ))  góc (Ox ;Oy )  xOy   : 0    90o


 ( )  (  )    90o

C2 : Dùng hệ quả:Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu có một đường thẳng
nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.

a



a  (  )
  ( )  (  )
a  ( ) 

B. Bài tập ứng dụng:
Bài 25 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Các tam giác SAC và tam giác
SBD cân tại S. Gọi O là tâm hình thoi
a.cm SO  (ABCD)
b. cm (SAC)  (SBD)
Hướng dẫn tóm tắt:

Hướng dẫn tóm tắt:
a.Trong tam giác (SBC) có BC  (SAD) suy ra đpcm
b.  SAB=  SAC.Trong  SAC kẻ đg cao CK  SA,Trong tam giác SAB kẻ đg
cao BK  SA.2 tam giác vuông SDA và IKA đồng
dạng 

IK IA
a

 IK  suy ra tam giác BKC vuông tại K.
SD SA
2

Bài 29 : Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam
giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).
a. cm: (SBC)  (SAC)
b.Gọi I là trung điểm của SC. CMR
(ABI)  (SBC)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.H là tr điểmAC.SH  AC nên SH  (ABC).BC  CA và BC  SH nên
BC  (SAC)suy ra đpcm.
b.SC là giao tuyến của (SAC) và (SBC).tam giác SAC đều nên AI  SC suy ra
AI  (SBC).
Bài 30 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy, I, K lần lượt là trung điểm của AB, BC
a. cm SI  (ABCD)
b. cm SAD, SBC là tam giác vuông
c. cm (SAD)  (SAB) và (SBC)  (SAB)
d. cm (SDK)  (SIC)
Hướng dẫn tóm tắt:

A
a'

a

 =(a; b)

O
b'






Chọn điểm O tuỳ ý.
Dựng qua O : a’ // a; b’ // b .
Góc (a,b) = góc (a’,b’) = A OB
Thường chọn điểm O  a hoặc O
b



 giao tuyến của  và  .



Dựng:

B

của nó trên mặt
phẳng
A
a

B


O

.
Gọi a’ là hình chiếu  của a trên (  )
Khi đó: Góc (a;( )) = Góc(a,a’) = A OB   .

0 0  A OB    90 0

B. Bài tập
Bài 34 : Cho tứ diện đều ABCD. Tính các góc sau:
Góc giữa AB và (BCD)
Hướng dẫn tóm tắt:
>> Truy cập trang để học Toán – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt
nhất!

10


a 3
.Góc giữa AB và (BCD)=góc giữa AB và
3
0

a. CMR (SAC)  (SBD)
b. Tính góc giữa 2 mp (ABCD) và (SAB)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Trong (SAC) có AC  SO và AC  BD nên AC  (SBD) suy ra đpcm
b.Gọi M là tr điểm AB.Góc giữa (SAB)&(ABCD)=góc(MO;SM)=
góc SMO.

SM 

a 7
a
a 6
; OM  ; SO 
 SOM vuông tại M;góc SMO=20042’
2
2
2

Bài 39 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và D,
có AB = 2a, AD=DC=a, SA  mp(ABCD) và SA = a
a. CMR BC  (SAC)
b. Xác định góc giữa SB và (ABCD); SB và (SAC)
c. CMR mp(SAD)  mp(SDC), mp(SAC)  mp(SCB)
d. Tính tan của góc giữa 2 mp(SBC) và (ABCD)
>> Truy cập trang để học Toán – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt
nhất!

11




;AC= a 3 ;SC=

a 7
6
; cos SOA 
6
2

Bài 41 : Cho hình chóp S.ABCD có (SAB) và (ABCD) nằm trong hai mp vuông góc,
ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều. Gọi M,N là trung điểm của AB và DC
a. Chứng minh DC  (SMN)
b. Tính góc giữa đường thẳng SN với mp(ABCD)
c. Tính góc giữa 2mp(SMC) và (ABCD)
Hướng dẫn tóm tắt:SM  AB và (SAB)  (ABCD) nên SM  (ABCD)
a.DC  SM và DC  MN nên DC  (SMN)
b.góc (SN;(ABCD))=(SN;MN)=góc SNM=40053’.
C,SM  (ABCD) nên (SMC)  (ABCD)
Bài 42 : Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB= AC= a,
SA  (ABC),
SA = a
a. Tính góc giữa 2 mp (SBC) và (ABC)
b. Tính góc giữa 2 mp (SAC) và (SBC)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Gọi H là t điểm BC .Góc (SBC)&(ABC)=(SH;AH)=góc SHA=54044’
b.Có BA  (SAC).(1)
Trong (SAH) kẻ AN  SH thì AN  (SBC) .(2) Từ (1) &(2) có góc (SAC)&(SBC)
=góc (BA;AN)=góc BAN=54044’
>> Truy cập trang để học Toán – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt
nhất!

M

Khong cỏch gia hai
ng thng song song

1 // 2

H

Khong cỏch gia mt
H
phng v ng
thng //


songM song

1

Dựng: MH ( ), H thuộc ( ) ta có: d(M,( )) = MH

M MH : d(M, ) = MH
Dựng

// ( )

2
H

H

H
B

H



b

Dựng mặt phẳng ( ) chứa b & ( ) // a
Dựng MH ( ), M thuộc a, H thuộc ( )
Dựng a' trong mặt phẳng ( ), a' // a
đ-ờng thẳng a' cắt đ-ờng thẳng b tại B
Dựng qua B và // MH, cắt a tại A
Khi đó: d(a,b) = d(a,( ))
= d(M,( )) = MH = AB

a và b chéo nhau

Cỏch 2 nu a b
>> Truy cp trang hc Toỏn Lý - Húa Sinh Vn Anh tt
nht!

13


- d ựng ho ặc tìm mp(  ) ch ứa b v à vu ông g óc v ới a t ại A.
- trong  , dựng đoạn AB  b tại B
- đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b
B. Bài tập

a 3
. Gọi H là trực tâm tam giác ABC, I là trung điểm cạnh SH.
2
a. Tính khoảng cách từ S đến (ABC)
b. Tính khoảng cách từ S đến BC
c. Tính khoảng cách từ I đến BC

Hướng dẫn tóm tắt:
Bài 46 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, AD = 4,
SA  (ABCD) & SA = 5. Tính các khoảng cách từ:
a. A đến (SBD)
b.A đến (SBC)
c.O đến (SBC)
Hướng dẫn tóm tắt:
a. Kẻ AI  BD  BD  SI,trong (SAI)
kẻAH  SI  AH  (SBD).;AH.SI=AB.AI
60
AI=12/5;SI= 769 5 ;AH=
769
b.d(A;(SBC))= 15

34

>> Truy cập trang để học Toán – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt
nhất!

14


c.M là t đ của AB  OM//(SBC) nê n

J  IJ  AD (1)
IC=

3a 2  b 2
a2  b2
a2
;JC=
;IJ=
.tam giác IJC vuông tại J  IJ  JC (2)
2
2
2

Từ (1) & (2) IJ là đường vuông góc chung của AD&BC
Bài 49 : Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABC) và
SA = h. Gọi I là trung điểm SC.
Tính khoảng cách từ I đến (ABCD)
Tính k/c từ I đến AB
CMR (SBC)  (SAB); tính k/c từ A đến (SBC) và từ A đến (SBD)
Tính k/c giữa các cặp đường thẳng AD và SC; SA và CD
Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung sau:SB & CD; SC & BD; SC &
AB
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Gọi H là tđ AC ;IH=d(I;(ABCD))=h/2
a.
b.
c.
d.
e.


a. Tính k/c từ S đến (ABCD)
b. CM (SIJ)  (SBC)
c. Tính k/c từ O đến (SBC)
d. Tính k/c giữa 2 đt AD và SB
e. Tính k/c từ S đến CI
Hướng dẫn tóm tắt:
a,d(S;(ABCD))=SO= a 6 2
b.d(O;(SBC))=OH= a 42 14 ,vớiOH  SJ
c.d(AD;SB)=d(AD;(SBC))=d(I;(SBC))IK=2OH ,với IK  SJ
e.d(S;CI)=SE =

2S SCI
 ;tam giác SCI
CI

Bài 51 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a.
SA  (ABCD) và SA = a.
a.CMR (SAE)  (SBD) với E là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABD
b.Tính k/c từ A đến (SBD)
c.Tính k/c giữa các đt AD và SB; AB và SC
Hướng dẫn tóm tắt:
b.trong tam giác SAE kẻ AH  SE .d(A;(SBD))=AH=2a/3
c.trong tam giác SAB kẻ AK  SB thì AK=d(SB;AD)= a 2 2
Bài 52 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông tại A và B với AB= BC= a;
AD= 2a, SA  (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa a. SB và CD;
b.SD và
AC
Hướng dẫn tóm tắt:
a.
b.Từ A kẻ AE//=CD,suy ra ACDE là hcn.Từ A hạ AH  SE thì AH  DE do đó


Bài 55 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cacsc cạnh bằng a.
a.CM (BĐ’B’)  (ACD’)
b.Tính khoảng cách giữa 2 mp (ACD’) và (BA’C’)
c.Tính khoảng cách giữa 2 đt BC’ và CD’; BB’ và AC’
Hướng dẫn tóm tắt:
HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶT BIỆT
67/ Hình choùp tam giaùc ñeàu
Hình chóp tam giác đều:
S
 Đáy là tam giác đều
 Các mặt bên là những tam giác cân
Đặc biệt: Hình tứ diện đều có:
 Đáy là tam giác đều
h
 Các mặt bên là những tam giác đều

A
Cách vẽ:
C

 Vẽ đáy ABC
 Vẽ trung tuyến AI
H
Dựng
trọng
tâm
H
Vẽ SH  (ABC)




I

H

B

C

 Vẽ SH  (ABCD)
 Ta có:
 SH là chiều cao của hình chóp

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là:
SA H   .

 Góc mặt bên và mặt đáy là: SIH  

69/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
S



A

C






* Chú ý:
a/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2 ,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 ,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =
b/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =

a 2  b2  c 2 ,

a 3
2

c/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng
nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
d/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt
nhất!

19