LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TSNguyễn Thị Hà Loan,
người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nền
tảng để tôi hoàn thành bài luận văn này. Cô cũng là người đã giúp tôi ngày
càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc
cùng cô.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại phòng sau
Đại học, Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư,
Tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, tryền đạt cho tôi những kiến thứcquý báu về
chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua.
Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân
trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên tạo mọi điều kiện cho tôi
trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.
Hà Nội, 15 tháng 07 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Thị Vân Anh


LỜI CAM ĐOAN
Tên tôi là: Nguyễn thị Vân Anh, học viên cao học khóa 2011 – 2013
chuyên ngành Vật lí lí thuyết và Vật lí toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Tôi xin cam đoan đề tài: “Đại số lượng tử SU(3)”, là kết quả nghiên cứu
và thu thập của riêng tôi. Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung
thực, không trùng với các tác giả khác. Nếu có gì không trung thực trong luận
văn tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học.
Hà Nội,15 tháng 07 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Thị Vân Anh


MỤC LỤC

1
3.2 Hệ thức khối lượng của tám hạt Baryon .............................................. 36
2
KẾT LUẬN .................................................................................................... 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 44


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết đối xứng đóng vai trò cơ bản trong vậtlý lý thuyết. Ngôn ngữ
toán học của đối xứng là lý thuyết nhóm. Sau sự phát triển của mẫu quark là
lý thuyết Gauge không abelian của tương tác mạnh và tương tác điện yếu, sự
hiểu biết những nhóm Lie đã trở thành cần thiết cho việc nghiên cứu lý thuyết
hạt cơ bản. Nhóm Lie ngày càng trở thành công cụ chủ yếu của vật lý lý
thuyết hiện đại như giải tích phức, phương trình vi phân riêng, lý thuyết nhóm
vô hạn…
Đại số của nhóm Lie xuất hiện đã lâu song gần đây do đòi hỏi ứng dụng
của nó trong nghiên cứu vật lý mà V .I. Drinfeld đã lượng tử hóa đại số của
nhóm Lie làm nảy sinh cấu trúc đại số biến dạng hay còn gọi là đại số lượng
tử. Gần đây nhóm lượng tử và đại số của chúng đã thu hút được sự quan tâm
của nhiều nhà vật lý lý thuyết và vật lý toán bởi vì những quan điểm ứng dụng
của chúng trong các mẫu vật lý và trong mối liên quan với lời giải các phương
trình vi phân phi tuyến. Chúng liên quan đến những vấn đề đa dạng như
nghiên cứu nghiệm của phương trình Yang-Baxter lượng tử, lý tuyết trường
comformal hữu tỷ lý tuyết trường hai chiều với những thống kê phân số. Đại
số lượng tử có thể được xem như sự biến dạng phụ thuộc vào một hoặc nhiều
tham số của đại số Lie thông thường.
Đại số lượng tử có thể được xem như sự biến dạng của đại số Lie cổ

Chương 1: Hình thức luận dao động tử lượng tử
Chương 2: Đại số lượng tử SU(3)q
Chương 3: Đại số lượng tử SU(3)pq


3

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ
Trong chương này, chúng tôi sẽ viết tổng quan về các dao động tử
lượng tử, dao động Boson biến dạng, dao động tử Fecmion biến dạng, dao
động tử p,q và tính phổ năng lượng của các dao động tử.
1.1 Dao động tử điều hòa
1.1.1 Dao động tử Boson
Hệ thức giao hoán của dao động tử Boson đơn mode có dạng:
 a, a    1

(1.1.1)

Trong đó:
a : là toán tử hủy dao động tử

a  : là toán tử sinh dao động tử
Toán tử số dao động N có dạng:

N  aa
kết hợp (1.1.1) với (1.1.2) ta có:

 N , a  a a, a 
 a  aa  aa  a

có n dao động tử ứng với trị riêng n:

a 


 n

n

0

n!

n=0,1,2,…

(1.1.5)

Ta chứng minh:
N n n n

Thật vậy:

N n  aa n  aa

n
1
a  0

n!




5

Với n = 1:
 a, a    1

Với n = 2:

 a,  a  2   a  a, a    a, a   a   2a 

 



Nhận thấy (1.1.6) đúng với n = 1,2.
Dùng phương pháp quy nạp, giả sử biểu thức (1.1.6) đúng với n = k, tức là:

 a,  a  k   k  a  k 1


Ta phải chứng minh biểu thức (1.1.6) đúng với n = k+1:

 a,  a  k 1   a   a,  a  k   a, a    a  k




 
 ak  a 

Khi ấy hệ thức giao hoán giữa toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P là:

Q, P 


i  

a

a
a
 a 



2



i
 a, a     a  , a 
2

 i  a, a  


(1.1.7)


6






4


2


2



a



a



2

4

a



a a




 a  a  aa   aa 

 a a  aa 




 2a a  aa




 aa 



 2a a  a, a  
2




 2 N  1
2


n = 0,1,2,…

(1.1.10)


7

Nhận xét: Công thức (1.1.10) là công thức xác định năng lượng của dao
động tử diều hòa một chiều
Từ hệ thức (1.1.8) dẫn đến hệ thức bất định Heisenberg:

 Q 

2

 P 

2



2

4

 2n  1

2




,

 p 

2

của tọa độ và xung lượng là:

 Q2

n  a  a  n
2

2m

 n a a n  n aa n  n a a n  n aa n 
2m

 n a n  1  n a n  1  n a a n  n aa n 
2m

 n n  2  n n  2  n a a n  n aa n 
2m







 n 2N  1 n 
(2n  1)

P



2



 P

2

2
m
n  a  a  n
2








8



m
n 2N  1 n
2



m
 2n  1
2





Suy ra:

 Q 

 p 

2

2



2

4



 N , b  Nb  bN
 b bb  bb b
 b 1  2bb  

(1.1.14)


9

 b  2bbb 
 b

(1.1.15)

 N , b   Nb  b N
 b bb   b b b
 b  1  2b b 
 b   2b b b
 b

(1.1.16)

Đại số (1.1.13) có thể thực hiện trong khoảng không gian Fock với cơ
sở là vector đã chuẩn hóa của toán tử số dao động N:

n   b  0
n

n=0,1

 a, a    1

Toán tử số dao động tử N thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng:
N n

q

n n

(1.2.2)

q

và thỏa mãn hệ thức giao hoán:

 N , a    a,

(1.2.3)

 N , a    a 

a 


 n

n

q



Với n  1:


a



a a1 a a

1q

a



aa  0

1q
a



0

1q

q

N

N

1 

 q 1 2 

 q 1 2 

 qa  a  1
qa  a  aa 

0

 2q !

q  a 

2

 2q !
q  a 

q

N

 qa  a  0

2




a a

 k  1q
a

 k  1q

a



a kq

q

aqk

 k  1q

k

 qa  a  k

N

q

 k  1q

  k  1q k  1 q
Vì n

q

là vector riêng của N với trị riêng n:
N n

Nên

 N q

n

q

q

n n

  nq n

q

q

Kết hợp với phương trình (1.2.6) ta có:
a  a   N q

Xuất phát từ hệ thức (1.2.1) ta có:

A  q N /2a, A  a  aq N /2

(1.2.8)

Biểu diễn a, a  thông qua A, A  :

a  q  N /2 A,

(1.2.9)

a   A q  N /2
Tính hệ thức giao hoán của toán tử số N với A và A  :
 N , q N /2a   q N /2  N , a 
 q N /2 a
  A,

(1.2.10)

 N , A    N , a  q N /2 
 a  q N /2
 A

Từ hệ thức giao hoán biến dạng cơ bản (1.2.1) và công thức (1.2.8) ta
làm biến đổi sau:
aa   qa  a  q  N ,
q  N /2 AA q  N /2  qA q  N /2 q  N /2 A  q  N ,
q  N AA  qA q  N A  q  N ,
q  N AA  qq

 N 1

A 0 0
N n n n

trong đó:  n

B

(1.2.12)

q2n  1
là hàm cấu trúc (ở đây ký hiệu B dành cho Boson).
 2
q 1

Trong không gian Fock ta có:
A A   N  ,
B

AA   N  1


(1.2.13)

B

Xét các toán tử b, b liên hệ với a, a  theo hệ thức:
1
2

  N  1 


15

Xét hệ thức giao hoán của toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P:

Q, P 

i  

a

a
,
a
 a 



2



i
 a, a     a  , a 
2
 i  a, a  


i




(1.2.17)

Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q được xác định
như sau:
H n



q



 En n

1
  N q   N  1q n q  En n
2



1
  nq   n  1q
2
n  0,1,2,...

 E n

q

(1.2.20)

Khi đó thống kê biến dạng q trở về thống kê Bose – Einstein.
Toán tử số dao động tử N i có dạng:
Ni  ai ai

(1.2.21)

Ta tính các hệ thức giao hoán giữa N i và a j , a j :
 Ni , a j    ai ai , a j 
 ai ai a j  a j aiai

Ta có:  ai , a j   0  ai a j  a j ai
Và

 a j , ai    ij  a j ai  ai a j

Do đó:
 Ni , a j   ai a j ai   ij  ai a j  ai

 ai a j ai   ji ai  ai a j ai
  ji a j
Khi i  j thì

 Ni , ai   ai ,

Hay

 N , a   a



(1.2.25)

Để khử N i trong phương trình (1.2.19) ta dùng các toán tử sinh, hủy
Aj , Ai được định nghĩa theo công thức đưa vào toán tử A j , Ai có liên hệ với

a j , ai theo hệ thức:

Ai  q Ni /2ai , Aj  a j q Ni /2 .

(1.2.26)

Biểu diễn a j , ai thông qua Aj , Ai :
ai  q  Ni /2 Ai , a j  Aj q  Ni /2

(1.2.27)

Tính hệ thức giao hoán của toán tử số N i với toán tử Aj , Aj :
 Ni , Aj    Ni , q Ni /2a j 
 q Ni /2  N i , a j 
 q Ni /2 ij a j
  ij Aj

 Ni , Aj    Ni , q Ni /2a j 

 q Ni /2  Ni , a j 

(1.2.28)



2

và toán tử số hạt N thỏa mãn hệ thức giao hoán:

 N , b  b,
 N , b    b 
Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử số N như sau:
N n

q

n n

q

(1.2.32)

Các trạng thái riêng đã được chuẩn hóa của toán tử N được xác định
theo công thức:


19

b 

 n

n

q


bb    N  1

b

Khi q  1 ta có dao động tử Fermion thông thường bb  bb  1 và

 

nguyên lý Pauli là hệ quả trực tiếp từ b2  b

2

0

Toán tử Hamiltonian được biểu diễn qua toán tử tọa độ Q và toán tử
xung lượng P có dạng:
H

1 2 1
P  m 2Q 2
2m
2

1
  a  a  aa  
2
1
b
b

q


20



1
b
b
  n   n  1
2
n  0,1,2,...

 E n



(1.2.37)

Khi q  1 thì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q sẽ
trở về phổ năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều:
1
  2n  1
2
n  0,1,2,...
En 

(1.2.38)


 fi  f j f   ji fi  fi  f j fi

  ij f j ,

Khi i  j thì

 Ni , fi    fi , hay

Tương tự:

 Ni , f j    ij f j ,

Khi i  j thì

 Ni , fi    fi  , hay

(1.2.42)

N, f    f ,
(1.2.43)
 N , f    f  ,

Khi đó hệ thức giao hoán giữa toán tử số N i với các toán tử sinh, hủy
f j , fi lại trở về dao động tử fermion đơn mode thông thường.

Toán tử số dao động tử điều hòa thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị
riêng:
Ni n  ni n

(1.2.44)