Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.

A. PHẦN MỞ ĐẦU:
I. Lí do chọn đề tài:
1.1. Cương lĩnh xây dựng đất nước trong thời kỳ quá độ lên chủ nghĩa xã hội
(bổ sung, phát triển năm 2011) đưa ra định hướng phát triển giáo dục và đào tạo
trong thời kỳ quá độ: “Giáo dục và đào tạo có sứ mệnh nâng cao dân trí, phát triển
nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, góp phần quan trọng phát triển đất nước, xây
dựng nền văn hóa và con người Việt Nam. Phát triển giáo dục và đào tạo cùng với
phát triển khoa học và công nghệ là quốc sách hàng đầu; đầu tư cho giáo dục và
đào tạo là đầu tư phát triển…” điều đó một lần nữa khẳng định giáo dục là quốc
sách hàng đầu và việc cải cách giáo dục, đổi mới phương pháp dạy học là nhiệm
vụ vừa cấp thiết, vừa lâu dài mà Đảng và nhà nước giao cho ngành giáo dục.
1.2. Chủ đề phương trình và bất phương trình có vị trí quan trọng trong
chương trình môn Toán THPT. Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt xuyên
suốt từ đầu cấp đến cuối cấp. Những kiến thức về phương trình và bất phương
trình còn là chìa khoá để giải quyết nhiều vấn đề thuộc hầu hết các chủ đề kiến
thức về Đại số, Giải tích và Hình học. Vì vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến
thức lý thuyết về chủ đề phương trình, bất phương trình một cách đầy đủ theo quy
định của chương trình, việc rèn luyện kỹ năng giải phương trình và bất phương
trình cho học sinh THPT có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao chất lượng
dạy học nhiều nội dung môn Toán ở trường THPT.
1.3. Tư duy hàm là một khái niệm không mới, xuất hiện trong nhiều công
trình của nhiều nhà giáo dục nổi tiếng cả trong và ngoài nước, đã được áp dụng
vào thực tiễn dạy học và đạt được những kết quả to lớn. Tuy nhiên thực tiễn giáo
dục tư duy hàm cho học sinh nói chung, học sinh giỏi THPT nói riêng gặp nhiều
khó khăn như : Trình độ học sinh còn hạn chế, không đồng đều, khối lượng kiến
thức nhiều trong khi số tiết dành cho bộ môn Toán lại không nhiều. Những tri thức

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

- Nghiên cứu một số quan điểm lí luận giáo dục về tư duy hàm đối với việc
nâng cao năng lực học tập của học sinh cũng như việc hình thành nhân cách học
sinh.

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

2


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
- Nghiên cứu vấn đề phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua dạy học
giải phương trình, bất phương trình.
- Nghiên cứu những ứng dụng hiệu quả của lí luận về phát triển tư duy hàm
đối với việc bồi dưỡng học sinh THPT thông qua chủ đề phương trình, bất phương
trình.
IV: Giới hạn của đề tài:
Đề tài chỉ tập trung vào nghiên cứu dạy học phương trình và bất phương trình
để phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT nhằm nâng cao kết quả học tập.
V. Phương pháp nghiên cứu:
Để hoàn thành đề tài người viết ngoài việc tích cực học tập, trau dồi các kiến
thức đã học ở chuyên đề, tích cực nghiên cứu các tài liệu liên quan còn sử dụng
nhiều phương pháp phân tích, tổng hợp, đúc rút kinh nghiệm từ thực tiễn dạy học
để áp dụng thực hiện đề tài.

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

3



ta nghiên cứu sự vật trong trạng thái biến đổi sinh động của nó chứ không phải
trong trạng thái tĩnh tại ,trong sự phụ thuộc lẫn nhau chứ không phải tách rời
nhau.Khái niệm hàm phản ánh sâu sắc hiện thực khách quan và thể hiện rõ nét tư
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

4


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
duy biện chứng chính là ở chỗ đó .Chính vì vậy khái niệm hàm là một trong những
khái niệm cơ bản nhất của toán học;nó giữ vị trí trung tâm của môn toán ở
trường phổ thông ,toàn bộ việc giảng dạy toán ở nhà trường phổ thông đều xoay
quanh khái niệm này ” ( Trích : Phương pháp giảng dạy Toán Nguyễn Bá Kim –
Nxb GD 1994)
Liên hệ với khái niệm hàm là Tư duy hàm ,một loại hình tư duy được hàng loạt
các công trình nghiên cứu đánh giá cao và kiến nghị phải được phát triển mạnh
mẽ trong hoạt động giảng dạy các bộ môn trong nhà trường đặc biệt là môn toán.
Ngày nay trong chương trình môn toán ở trường phổ thông khái niệm hàm đã,
đang được thể hiện rõ vai trò chủ đạo của mình trong việc ứng dụng và xây dựng
các khái niệm khác.Trong các kỳ thi cấp quốc gia ngoài các câu hỏi liên quan
trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có những câu hỏi mà học sinh thường phải
vận dụng tư duy hàm như là một công cụ đắc lực để giải toán như: Giải phương
trình, bất phương trình ,tìm cực trị ,.....Các câu hỏi này cũng thường gây khó khăn
cho cả thày và trò trong các giờ lên lớp . Trong các giờ giảng các em thường bị
động trong nghe giảng và rất lúng túng vận dụng vào việc giải toán. Nguyên nhân
là do các em chưa hiểu được bản

chất của vấn đề ,chưa có kỹ năng và kinh


xảy ra?
Có thể phân chia không triệt để các khả năng loại trừ lẫn nhau thì có các khả năng
sau:
Khả năng 1: Hai tập nghiệm trùng nhau
Khả năng 2: Tập nghiệm của phương trình trước là tập con của tập nghiệm
của phương trình sau
Khả năng 3: Tập nghiệm của phương trình sau là tập con của tập nghiệm
của phương trình trước
Khả năng 4: Giao của hai tập nghiệm khác rỗng, nhưng không tập nghiệm
nào là bộ phận của tập nghiệm kia.
Có thể dùng biểu đồ Ven để minh họa cho điều này. Căn cứ vào đâu để
nhận biết sự thay đổi của các tập hợp nghiệm?
Thứ nhất là căn cứ vào các phép biến đổi một phương trình về một phương
trình đơn giản đã biết cách giải
Loại 1: Phép biến đổi không làm tập xác định của phương trình thay đổi
Với phép biến đổi này phương trình mới nhận được tương đương với
phương trình đã cho. Khi đó ta kết luận: Tất cả các nghiệm của phương trình mới
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

6


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
thu được là tất cả các nghiệm của phương trình đã cho. Mặc dù vậy, ta vẫn hình
thành cho học sinh ý thức và thói quen thử lại nghiệm khi giải phương trình (dù
trong trường hợp này không đòi hỏi về mặt lý luận mà chỉ có tác dụng kiểm tra kết
qủa), góp phần giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, thói quen tự kiểm tra kết quả
công việc, một trong những đức tính cần thiết của người lao động trong thời đại
mới.

mà còn có tính chặt chẽ về mặt lý luận.
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

7


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
Loại 3: Phép biến đổi làm thu hẹp tập xác định của phương trình
Với phép biến đổi này, có thể dẫn tới hiện tượng mất nghiệm của phương
trình đầu, phương trình đầu là hệ quả của phương trình cuối cùng thu được. Khi
đó, tập nghiệm của phương trình thu được là tập con của phương trình đầu, phép
biến đổi phương trình không làm rộng tập nghiệm, nghiệm bị mất ( nếu có ) rơi
vào phần thu hẹp của tập xác định.
Trong trường hợp này, cần phải thử các giá trị bị mất do thu hẹp tập xác
định vào phương trình đã cho để khắc phục hiện tượng thiếu nghiệm. Tuy nhiên,
không có quy tắc tổng quát cho mọi trường hợp mà tuỳ từng bài toán cụ thể mà ta
có cách tìm lại nghiệm đã bị mất.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
2sin x − cos x = 1
Đặt t = tg

(1)

x
(x ≠ π + kπ)
2

Khi đó (1) trở thành:


phương trình bớt đi một số hữu hạn giá trị hay một số hữu hạn họ giá trị thì cần
phải thử các giá trị đó (họ các giá trị đó) vào phương trình ban đầu tránh làm mất
nghiệm.
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

8


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
Lưu ý: Nếu các giá trị của ẩn số rơi vào trong phần thu hẹp không là nghiệm
của phương trình đã cho, thì tập nghiệm của phương trình ban đầu trùng với tập
nghiệm của phương trình thu được. Khi đó, ta nói hai phương trình này tương
đương với nhau.
Ví dụ 5: Giải phương trình: sin x + cos x = 1

(3)

x
2t
1 − t2
+
= 1 ⇔ t(t − 1) = 0
Đặt t = tg (x ≠ π + kπ) ta được:
2
1 + t2 1 + t2

(4)

Kiểm tra x = π + kπ không là nghiệm của (3) nên ta khẳng định (3) và (4) là

log
f (x) = log
g(x)
k(x)
k(x)
sang phương trình:

f (x) = g(x)

(5)
(6)

và phép chuyển ngược lại từ (6) sang (5).
- Phép chuyển từ (5) sang (6) là phép mũ hoá, có thể làm mở rộng tập nghiệm
- Phép chuyển từ (6) sang (5) là phép logarít hóa, có thể làm thu hẹp tập nghiệm.
Tóm lại: Khi dạy học giải phương trình, ta cần hình thành cho học sinh lập
luận có căn cứ ở từng phép biến đổi, xác định chính xác mối quan hệ giữa các
phương trình biến đổi kế tiếp, sử dụng các ký hiệu " ⇒ "," ⇐ "," ⇔ " đúng, từ đó
biết được diễn biến của các tập nghiệm sau từng bước biến đổi, dẫn đến xác định
được tập nghiệm của phương trình đầu dựa vào tập nghiệm của phương trình cuối.
Ngoài ra, theo tác giả Nguyễn Bá Kim khi dạy học giải phương trình cần
quan tâm giải quyết hợp lý mối liên hệ giữa hai phương diện ngữ nghĩa và cú
pháp.

Chương II. Thông qua dạy học giải phương trình, bất phương
trình để phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT.
1. Phát triển tư duy hàm bằng việc thiết lập sự tương ứng thông qua giải toán
phương trình, bất phương trình.
Theo Nguyễn Bá Kim, một trong những tư tưởng chủ đạo về phát triển tư
duy hàm đó là: Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng


(1)

Điều kiện: x ≠ 0 vµ x ≠ -1
Tìm mối quan hệ giữa các biểu thức dưới dấu căn? Từ đó đưa ra cách giải?
Đặt t =

3

2x
1 1 1
; t ≠0⇒ 3 +
= .
x +1
2 2x t

Lúc đó (1) trở thành:

1
t + = 2 ⇔ t 2 − 2t + 1 = 0
t

⇔ t = 1 tøc
Việc đặt t =

3

3

(2)

Ví dụ 2: Giải phương trình:

( 34 − x ) 3 x + 1 − ( x + 1) 3 34 − x = 30
3

(3)

34 − x − 3 x + 1

Rõ ràng, hình thức bài toán trông phức tạp, dễ tạo ra sự “ngợp” nhưng nếu
chịu khó để ý, tìm mối quan hệ giữa

3

x + 1 với

3

34 − x và giữa chúng với

phương trình, ta có hướng giải quyết bài toán.
Hướng dẫn giải:
 u = 3 x + 1 
33 
víi u ≠ v ⇔ x ≠ ÷
Đặt 

2 
 v = 3 34 − x 
Lúc đó (3) trở thành:

 x = 26
2
⇔

(thoả
2
x
=
7

3
3
 x +1 =
34 − x

3

33
).
2

Các bài toán kiểu này có mục đích rèn luyện, bồi dưỡng tư duy hàm cho học
sinh thông qua việc tìm giá trị ra của một tương ứng. Ngoài ra, còn góp phần bồi
dưỡng tư duy biện chứng cho học sinh, thể hiện ở quy luật thống nhất và đấu tranh
giữa các mặt đối lập, cụ thể nếu ta tạm hiểu sự thống nhất thể hiện ở khuynh
hướng chung đó là nhằm vào việc giảm bớt ẩn, bớt số phương trình còn sự mâu
thuẫn lại thể hiện ở chỗ tăng thêm ẩn, tăng thêm số phương trình.
Nếu khi giải toán phương trình học sinh luôn nghĩ tới việc rút bớt ẩn, mà
không nghĩ tới điều ngược lại là tăng thêm ẩn thì họ sẽ gặp khó khăn trong nhiều
bài toán. Sự tăng thêm số ẩn, số phương trình bằng phép thế (ẩn phụ), có thể thay

=
a
−
bx

⇔
Đặt u = a − bx 2 . Ta thu được hệ 
2
x
=
a
−
bu
( x − u ) 1 − b ( x + u )  = 0


 x − u = 0
 x = u

 2
2
x
=
a
−
bu

bu + u − a = 0
⇔
⇔

(4)

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

13


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
2
2
Tìm m sao cho biểu thức E = x1x 2 − x 1 − x 2 đạt giá trị lớn nhất, trong đó x 1,

x2 là nghiệm của phương trình đã cho.
Hoạt động:
+ Tìm giá trị vào là m
+ Giá trị ra là x1, x2 và điều kiện đối với giá trị ra là E đạt giá trị lớn nhất
+ Tìm sự tương ứng
Phương trình (4) có hai nghiệm x1, x2 khi nào?
 m ≤ −1
∆ ' = m 2 − 2m − 3 ≥ 0 ⇔ 
 m≥3
Nhận xét hệ thức E? Tính E theo m dựa vào hệ thức nào?
 x1 + x2 = 2m
Theo định lý Viet 
x1x 2 = 2m + 3
E = x1x 2 − x 21 − x 22 = 3x1x 2 − ( x1 + x 2 ) = 6m + 9 − 4m 2
2

Tương ứng với sự thay đổi giá trị của m ( m ∈ D = ( −∞; − 1] ∪ [ 3; + ∞ ) ) .


≤
E = −4m + 6m + 9 = −  2m − ÷ +
2
4
4

2

Rồi kết luận E max =

45
3
3
khi m = (Sai lầm! Vì m = phương trình vô nghiệm).
4
4
4

Đối với phương trình bậc hai thì việc kiểm tra điều kiện cần để áp dụng
định lý Viet là ∆ ≥ 0 nhưng với phương trình bậc 3 hoặc cao hơn thì định lý Viet
không được học trong chương trình phổ thông và việc tìm điều kiện để phương
trình có số nghiệm bằng số bậc phương trình thật không đơn giản. Để khắc phục
điều này, cần tập cho học sinh thói quen kiểm tra lại với giá trị tham số tìm được
(giá trị vào) thì nghiệm phương trình (giá trị ra) có thoả mãn yêu cầu bài toán
không? Tức là giải quyết bài toán dưới dạng: Điều kiện cần và đủ.
3
2
Ví dụ 5: Cho phương trình f ( x ) = x − 3x − 9x + m = 0 . Tìm giá trị của


Phương trình có 3 nghiệm x = 1, x = 1 − 2 3 , x = 1 + 2 3 thoả mãn điều kiện đủ.
Vậy m = 11.
Đối với loại toán này, được ra với phương trình bậc hai là phổ biến. Tìm giá trị
(điều kiện) tham số để phương trình có hai nghiệm x 1, x2 thoả mãn hệ thức cho
trước. Nếu hệ thức bài toán ra thoả mãn hệ thức đối xứng như

1 1 x1 x 2
+ ;
+
x 1 x 2 x 2 x1

; x13x 2 + x32 x1 thì hoàn toàn có thể biểu diễn chúng theo tổng và tích các
nghiệm dựa vào hệ thức Viet. Việc giải chúng để tìm giá trị vào (giá trị tham số)
không có gì khó khăn. Nhưng đối với các hệ thức bài ra không đối xứng thì sao?
Không lẽ đi giải các nghiệm x1, x2 theo công thức nghiệm rồi thay vào hệ thức để
tìm giá trị của tham số? Vì mục đích đi tìm giá trị tham số.
Công việc này rõ ràng gặp nhiều khó khăn phức tạp và nghiệm của phương
trình bậc hai chứa căn thức (trong trường hợp tổng quát) khá cồng kềnh, rắc rối.
Do đó phương pháp tổng quát là kết hợp giữa hệ thức Viet và hệ thức bài toán ra,
tìm ra nghiệm x1 (hoặc x2) là nghiệm thì nó thoả mãn phương trình đã cho ta tìm
được giá trị tham số. Tuy nhiên, dựa vào đặc điểm cụ thể của từng bài ra mà có
thể có cách làm ngắn gọn, độc đáo hơn.
Ví dụ 6: Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x:
3cos4 x − 5cos3x − 36sin 2 x − 15cosx + 36 + 24m − 12m 2 ≥ 0

(7)

Hoạt động:
+ Tìm giá trị vào là m
+ Điều kiện đối với giá trị ra: Với ∀x thì (7) đúng

-1
-

0

1
+

Min f ( t ) = f ( 0 ) = 24m − 12m 2 .
Để

f ( x ) ≥ 0 víi ∀x th× min f ( t ) ≥ 0
(Sự tương ứng).
−1 ≤ t ≤ 1

⇒ 24m − 12m 2 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2 .
Ví dụ 7: Giải và biện luận phương trình:

( m − 2 ) x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + m = 0

(8)

Phương pháp chung để giải học sinh đã được làm quen trong nội dung
chương trình học, đó là dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = x 2 (Điều kiện t ≥ 0 ) đưa
phương trình (8) về dạng quen thuộc:
f ( t ) = ( m − 2 ) t 2 − 2 ( m + 1) t + m = 0

(9)

Bước làm này học sinh bình thường có thể làm được nhưng nếu không nhận

quan hệ này. Hoặc chỉ rõ các bài toán: Tìm m để phương trình (8) có 1 nghiệm, 2
nghiệm, 3 nghiệm, 4 nghiệm là các trường hợp riêng của bài toán “Giải và biện
luận”. Loại bài toán này yêu cầu tính giá trị vào khi biết điều kiện đối với số giá trị
ra. Tổng quát hóa ta có bài toán sau:
Tìm điều kiện các hệ số a, b, c của phương trình trùng phương
ax 4 + bx 2 + c = 0 để phương trình đó:
a. Vô nghiệm

d. Có 3 nghiệm

b. Có 1 nghiệm

e. Có 4 nghiệm

c. Có 2 nghiệm
Hoạt động:
+ Tìm điều kiện đối với giá trị vào a, b, c
+ Biết điều kiện đối với số giá trị ra.
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

18


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
Ví dụ 8: Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
2a x +6 + 2 4 x+3a = ( 4 − a 2 ) x + 3a − 6
2

Hoạt động:

toán đối với phương trình dạng đơn giản ax + b = 0. Phương trình có nghiệm duy
nhất khi và chỉ khi a 2 − 4 ≠ 0 . Bên cạnh các bài toán xác định giá trị ra khi biết giá
trị vào được ra ở dạng tường minh , đơn giản (đơn giản ở đây không phải là đơn
giản ở cách làm mà ở cách hiểu, cách xác định yêu cầu bài toán)
Thông qua giải toán phương trình, cần tập luyện cho học sinh xác định giá
trị ra khi cho biết giá trị vào, xác định giá trị vào khi biết giá trị ra đối với tập hợp
số thực và tập hợp điểm trên mặt phẳng. Điều này được thể hiện rõ khi yêu cầu
học sinh giải toán phương trình bằng đồ thị.
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

19


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
Ví dụ 9: Với giá trị nào của tham số a thì phương trình sau có 4 nghiệm phân
biệt:
x 2 − 4x +3

1
 ÷
5

= a4 − a2 + 1

(13)

2

1 3


6

(C)

của hai đồ thị).

4

Dựa vào đồ thị ta dễ dàng suy ra kết
2

luận: (13) có 4 nghiệm phân biệt khi và
chỉ khi đường thẳng (d) phải nằm trong

(d)

-5

băng tạo bởi hai đường thẳng (d 1): y = 0

5

x 10

-2

và (d2): y = 1. Tức là:
0 < log 1 ( a 4 − a 2 + 1) < 1 ⇔
5


6
2
Dựng đồ thị (C1): f ( x ) = −x − 2x và

a
6

x 2 − 4x
đồ thị (C2): g ( x ) =
trên cùng hệ trục
6

g ( x) =

x⋅x-4⋅x

4

6

(d)
2

toạ độ xoa.
- Các điểm M(x; a) thoả mãn hệ khi

-5

5

Đặc biệt giúp họ đoán nhận và giải quyết bài toán phương trình bằng việc sử dụng
công cụ hàm số, ánh xạ, dựa vào đặc điểm phương trình. Chẳng hạn nhận thấy hai
vế phương trình hoặc các biểu thức thành phần của phương trình là các hàm số
khác biệt nhau (giống nhau) về loại hình, tính chất. Nói cách khác, đặt phương
trình và giải quyết bài toán phương trình theo quan điểm hàm.
Việc xét tính chất của tương ứng hàm, có ý nghĩa to lớn khi giải toán
phương trình, bất phương trình, không những rèn luyện, bồi dưỡng tư duy hàm mà
còn rèn luyện, bồi dưỡng tư duy linh hoạt cho học sinh khi giải toán về chủ đề
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

21

10


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
này. Do đó học sinh cần nắm vững và vận dụng tốt các tính chất của tương ứng
hàm như tính liên tục, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, tính đơn điệu, tính chất của
hàm hằng, hàm hợp và tính chất của một số hàm số quen thuộc đôi khi kết hợp với
miền giá trị của tương ứng hàm để giải quyết các bài toán về phương trình, bất
phương trình.
Ví dụ 1: Cho phương trình:
a 2002 x 2002 + a

2000

x2000

+ ... + a 4 x 4 + a 2 x 2 + 1 = 0


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
TX§ : R ®èi xøng qua x = 0
Hướng 2: Nhận thấy: 
f( −x) = f(x) ∀x ∈ R
Hàm số f(x) là hàm số chẵn trên ¡ , ta có f(0) = 1 ≠ 0 nên x = 0 không phải
là nghiệm của phương trình f(x) = 0. Vì f(x) là hàm chẵn nên phương trình f(x) =
0 có nghiệm x0 thì - x0 cũng là nghiệm mà x = 0 không phải là nghiệm. Do đó f(x)
= 0 nếu có nghiệm thì số nghiệm phải là số chẵn tức là (1) không thể không thể có
đúng 1001 nghiệm phân biệt .
Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất.
1
≥ 1 + m2
x
2

(2)

Điều kiện cần: Giả sử (2) có nghiệm là x0 thì - x0 cũng là nghiệm của (2). Vậy (2)
có nghiệm duy nhất khi x0 = - x0 ⇔ x0 = 0.
Thay x0 = 0 vào (2) ta được: m = 0 là điều kiện cần.
Điều kiện đủ: Với m = 0, (2) có dạng:
1
x
≥ 1 ⇔ 2 ≤ 1 ⇔ x ≤ 0 ⇔ x = 0 là nghiệm duy nhất.
x
2
Vậy m = 0, bất phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 3: Tìm điều kiện của a, b để phương trình:

 sinx > 0

cos3x < 0
⇔
 sin x < 0

 co3x > 0
Trường hợp 1:
2kπ < x < π + 2kπ
2kπ < x < π + 2kπ
sinx > 0


⇔ π
⇔  π 2kπ

3π
π
+
2k
π


⇔  − + 2kπ < x < 2kπ ÷

π
 6

cos3x > 0
− 2 + 2kπ < 3x < 2 + 2kπ
 5π

hoặc  − + 2kπ < x < π + kπ ÷
 6


( ∗∗)

Kết hợp ( ∗) và ( ∗∗) suy ra nghiệm là:
π
π

5π
 6 + kπ < x < 2 + kπ ÷ hoặc + kπ < x < π + kπ
6


Tuy nhiên, nếu lợi dụng tính chất của tương ứng hàm dựa vào đặc điểm
riêng của bất phương trình, ta có cách làm ngắn gọn hơn nhiều.
Hướng dẫn: Đưa bất phương trình về dạng f(x) = sin4x - sin2x < 0

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán



⇔  π
⇔  < x < ÷ hoặc 
< x < π ÷.
3π 
5π
2
6
 6

 2 < 3x < 2 ÷ hoÆc ( 6 ) ≤ 3x < 3π)


Vậy nghiệm của bất phương trình (3):
π
π

 5π

 6 + kπ < x < 2 + kπ ÷ hoặc  6 + kπ < x < π + kπ ÷




Qua bài toán trên, ta thấy được “lợi thế” của việc lợi dụng tính chất tuần hoàn
của hàm số để giải phương trình, bất phương trình; đặc biệt là phương trình, bất
phương trình lượng giác (Dù bất phương trình lượng giác trong chương trình mới
hiện nay được giảm tải nhưng chúng tôi vẫn đưa nội dung này vào để thấy tác
dụng to lớn của việc vận dụng tính chất tuần hoàn khi giải toán bất phương trình).
Tiếp đến, ta xét tính chất liên tục của hàm số trong việc vận dụng giải phương