II . Biến đổi căn thức
II.1 Các phép tính căn thức
1. Kiến thức cần nhớ
*
A
tồn tại (có nghĩa) A

0
A với A

0
* Hằng đẳng thức
AA
=
2
=
-A với A < 0
2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
a)
23

x
c)
65
2

xx
e)
2
2

2 1 0
1
2 1 0
2
x
x
x


>


c)
65
2

xx
có nghĩa

x
2
- 5x + 6

0

(x + 1) (x - 6)


e)
2
2x
có nghĩa

x
2
- 2

0

2
x

2


x



2
hay x

2
hoặc x

-
2


Ví dụ 3: Khoanh tròn vào chữ cái đầu kết quả mà em cho là đúng
a) Biểu thức 3 -
2 6x
có nghĩa khi:
A. x 3 C. x > 3
B. x -
1
3
D. x <
1
3
b) Giá trị của biểu thức
6 2 5
bằng
A. 1 -
5
B.
2 3
C.
5 1
D.
3 2
Đáp số: a) B
b) C
3. Những điều cần lu ý
- Muốn tìm các giá trị của x để căn thức
A
có nghĩa ta phải giải bất phong trình: A 0
+ Nếu A là đa thức bậc nhất: ta phải giải bất phơng trình một ẩn.
+ Nếu A là đa thức bậc hai: Ta phân tích A thành nhân tử rồi giải bất phơng trình bằng cách

A
có nghĩa
x

) hoặc A luôn có giá trị âm (
A
không có nghĩa
x

)
4. Bài tập tự luyện
1. Tìm giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa:
a)
6 3x
c)
2
6 x x
e)
2
1
1x
b)
1
6 3x
d)
2 3 5x x x + + +
g)
1
1 1x
2. Tính:

; A
2
, ; A
n
0
Thì
1 2 3 1 2 3
. . ...... . . .........
n n
A A A A A A A A=
+ Khai phơng một thơng: Nếu A 0; B > 0 thì
A A
B
B
=
2. Một số vấn đề cần lu ý
+ A 0 thì (
A
)
2
=
2
A
= A
+ Với A, B 0 thì:
A B A B+ +
và
A B A B
(A B)
(Chứng minh 2 bất đẳng thức trên bằng cách bình phơng 2 vế)

6 14 2. 3 2. 7 2( 3 7) 2
2
2 3 28 2 3 4. 7 2( 3 7)
+ + +
= = =
+ + +
c)
2 2
4( 3) 4. ( 3) 2. 3a a a = = =
2 (a - 3) (Vì a 3)
d)
2 2 2 2
( 1) . ( 1) . 1b b b b b b = =
= b (b - 1)
Vậy
2 2
( 1)b b =
b (b -1)
e)
2
45
20
mn
m
=
2 2 2 2
3
45 9 9 9.
20 4 2 2
4

3 3
3
x y x y
x y
+ +
+
(x, y 0) C =
2 2 4
2
x x
(x 4)
B =
( ).( )x y y x x y
xy
+
(x, y > 0) D =
2
4
( 2 1)
1
( 1)
1
y y
x
x
y
+




với
0
A
B

; B

0
+ Trục căn thức ở mẫu:
+)
A A B
B
B
= (B > 0) +)
2
( )A A B C
B C
B C
=


m
(B 0; B C
2
)
+)
( )A A B C
B C
B C
=

<
; B.
1 11 1
19
2 2 3
>
C.
1 11 1
19
2 2 3
=
Đáp số: a) B b) A
c) Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
A.
2
. 2x x
x
=
; B.
2
. 2x x
x
=
với x
0

C.
2
. 2x x
x

+

(x
1
2
)
Giải:
a)
2 2 2( 3 1) 2( 3 1) 2 3 2 2 3 2
2
3 1 3 1 2
3 1 3 1
+ + +
= = =

+
b)
2 2
5 5 5 5 (5 5) (5 5) 25 10 5 25 10 5 5 5
3
25 5 25 5 20
5 5 5 5
+ + + + + +
+ = + = =

+
c)
3 3
3 3
x x






nếu
1
2
1
2
x
x
>
<
3. Những vấn đề cần lu ý
Khi khử mẫu của biểu thức lấy căn không nhất thiết phải nhân cả tử và mẫu của biểu thức
lấy căn với mẫu mà ta chỉ cần nhân cả tử và mẫu với số (biểu thức) mà mẫu có dạng bình ph -
ơng của một biểu thức.
Ví dụ:
1.
3 3.2 6 6
8 8.2 16 4
= = =
2.
3
( 0; 0)
b
ab a
a


c)
2 3
2 2
2
x y xy xy
y
x xy y
+ +
+ +
(xy 0; y 0) tại x = 2; y = 1
d)
1 1 1
2 1 3 2 4 3
+ +
+ + +
e)
1 1 1
.....
1 2 2 3 2006 2007
+ + +
+ + +
2. So sánh:
a)
5
3 7 5 2+
với
3
13
b)
30 29