Header Page 1 of 126.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ THU HOÀN

TÁN XẠ HẠT NHÂN CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC VÀ VÉC TƠ
PHÂN CỰC CỦA CÁC NƠTRON TÁN XẠ TRÊN BỀ MẶT TINH THỂ
PHÂN CỰC TRONG ĐIỀU KIỆN CÓ PHẢN XẠ TOÀN PHẦN

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Hà Nội – 2014

Footer Page 1 of 126.


Header Page 2 of 126.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ THU HOÀN

TÁN XẠ HẠT NHÂN CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC VÀ VÉC TƠ
PHÂN CỰC CỦA CÁC NƠTRON TÁN XẠ TRÊN BỀ MẶT TINH THỂ
PHÂN CỰC TRONG ĐIỀU KIỆN CÓ PHẢN XẠ TOÀN PHẦN
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Nguyễn Thị Thu Hoàn

Footer Page 3 of 126.


Header Page 4 of 126.

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1
CHƯƠNG 1 LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM TRONG
TINH THỂ ............................................................................................................ 3
1.1. Cơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể. ............................... 3
1.2. Thế tương tác của nơtron chậm trong tinh thể ............................................. 8
CHƯƠNG 2 TIẾN ĐỘNG HẠT NHÂN CỦA SPIN CỦA CÁC NƠTRON
TRONG MÔI TRƯỜNG PHÂN CỰC ............................................................... 12
2.1. Tính góc tiến động bằng phương pháp toán tử. .......................................... 12
2.2. Tính góc tiến động bằng phương pháp hàm sóng ....................................... 14
2.3. Sử dụng bảo toàn năng lượng để tính góc tiến động ................................... 18
CHƯƠNG 3 TÁN XẠ HẠT NHÂN CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRÊN
BỀ MẶT TINH THỂ CÓ CÁC HẠT NHÂN PHÂN CỰC TRONG ĐIỀU
KIỆN CÓ PHẢN XẠ ........................................................................................... 20
3.1. Tiết diện tán xạ hiệu dụng của tán xạ không đàn hồi của các nơtron trên
tinh thể có các hạt nhân phân cực. ..................................................................... 20
3.2. Tiết diện tán xạ bề mặt hiệu dụng của các nơtron trong trường hợp có
phản xạ toàn phần. .............................................................................................. 27
CHƯƠNG 4 VÉC TƠ PHÂN CỰC CỦA CÁC NƠTRON TÁN XẠ HẠT
NHÂN TRÊN BỀ MẶT TINH THỂ CÓ CÁC HẠT NHÂN PHÂN CỰC
TRONG ĐIỀU KIỆN CÓ PHẢN XẠ TOÀN PHẦN ......................................... 31
KẾT LUẬN .......................................................................................................... 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 46

phân cực trong điều kiệu có phản xạ toàn phần.

1

Footer Page 5 of 126.


Header Page 6 of 126.

Nội dung của luận văn được trình bày trong 4 chương:
Chương 1: Lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể
Chương 2: Tiến động hạt nhân của spin của các nơtron trong môi
trường phân cực.
Chương 3: Tán xạ hạt nhân của các nơtron phân cực trên bề mặt tinh
thể có các hạt nhân phân cực trong điều kiện có phản xạ toàn phần
Chương 4: Véctơ phân cực của các nơtron tán xạ hạt nhân trên bề mặt
tinh thể có các hạt nhân phân cực trong điều kiện có phản xạ toàn phần.

2

Footer Page 6 of 126.


Header Page 7 of 126.

CHƯƠNG 1
LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM
TRONG TINH THỂ
1.1.



trong trường hợp nơtron phân cực sẽ tồn tại một moment từ xác định. Sự chuyển
động của các electron tự do và các electron không kết cặp trong nguyên tử sẽ tạo ra
từ trường (từ trường của các electron kết cặp triệt tiêu nhau), từ trường này và
moment từ do sự phân cực của chùm nơtron đó sẽ là hai nguyên nhân gây ra tương
tác từ giữa tinh thể và chùm nơtron. Chính tương tác từ này sẽ cho ta thông tin về
tính chất từ của bia.
Nguyên nhân sinh ra tương tác spin:
3

Footer Page 7 of 126.


Header Page 8 of 126.

Do nơtron có spin khi đi vào mạng tinh thể sẽ xảy ra tương tác trao đổi giữa
nơtron với hạt nhân và giữa nơtron với các electron trong nguyên tử, tương tác này
tỷ lệ với tích vô hướng véc tơ spin của nơtron với hạt nhân, cũng như giữa nơtron
với electron.
Từ những phân tích định tính trên, để tính toán tiết diện tán xạ của chùm
nơtron một cách thuận tiện ta có thể chọn lý thuyết nhiễu loạn với phép xấp xỉ gần
đúng Born.
Giả sử ban đầu hạt nhân bia được mô tả bởi hàm song | nñ , là hàm riêng của
toán tử Hamilton của bia với năng lượng tương ứng là En :

H | nñ = En | nñ
Sau khi tương tác nơtron, sẽ chuyển trạng thái khác | n ñ
,

Còn nơtron có thể thay đổi xung lượng và spin của nó. Giả sử trạng thái ban

(1.1.1)


Header Page 9 of 126.

V: là toán tử tương tác của nơtron với hạt nhân bia (thế nhiễu loạn gây ra sự
chuyển trạng thái, thế này bao gồm thế hạt nhân, thế trao đổi spin và thế từ)

rm : thành phần chéo của ma trận mật độ hạt nhân bia

En , En, , Ep , Ep, là các năng lượng tương ứng của hạt nhân bia và nơtron trước
và sau khi tán xạ

d (Ep, + En, - Ep - En ) - Hàm delta Dirac
¥

i

- ( E , +E , -Ep -En )t
1
h p n
d (Ep, + En, - Ep - En ) =
e
dt
ò
2p h -¥

Ở đây chúng ta đưa vào kí hiệu hỗn hợp để cho yếu tố ma trận

uur

(E , -En )t
(E , -Ep )t
1
= 2 ò årnn | án | V +, , | n, ñeh n
án, | V , , | nñeh p
dt
p l \ pl
p l \ pl
h -¥ n,n,
+¥ i

i

( E , -Ep )t
( E , -En )t
1
= 2 ò eh p
rnn | án | V +, , | n, ñán, | V , , | nñeh n
dt (1.1.2)
å
p l \ pl
p l \ pl
,
h -¥
n,n

5

Footer Page 9 of 126.


p l \ pl

V,

e

p l , \ pl

i
- Ht
h

Thay (1.1.3) vào (1.1.2), chú ý rằng trong trường hợp này ta không quan tâm
tới sự khác nhau của hạt bia trước và hạt bias au tương tác, vì vậy công thức lấy
tổng theo n’, n chính là vết của chúng và được viết lại:

Wp, l , \ pl

1
= 2
h

+¥

òe

i
( E , - Ep ) t
h p


i
- Ht
h

| nñ dt

i

( E , -Ep )t
1
dt
= 2 ò årnn | án | V +, , V , , (t) | n, ñeh p
p l \ pl
p l \ pl
h -¥ n,n,

{

+¥ i

}

( E , -Ep ) t
1
= 2 ò eh p
Sp rV +, , V , , (t) dt
p l \ pl
p l \ pl
h -¥


6

Footer Page 10 of 126.


Header Page 11 of 126.

r =

e-b H
1
b
=
với
kzT
Sp ( e - b H )

(1.1.5)

Trong đó k z - hằng số Boltzman, T – Nhiệt độ tuyệt đối
Giá trị trung bình thống kê của đại lượng Vật lý được tính theo các hàm phân
bố là:

á Añ = å n rn A = Sp( r A) =

Sp {e- b H A}
Sp {e- b H }

(1.1.6)


đơn vị, po = Sp( rs s ) là véc tơ phân cực của nơtron, s là các ma trận
Pauli.
Nếu chuẩn hóa hàm sóng của nơtron trên hàm đơn vị thì tiết diện tán xạ hiệu
dụng được tính trên một đơn vị góc khối và một khoảng đơn vị năng lượng
æ d 2s ö
ç
÷ là:
è d W dE ø

æ d 2s ö
m
k,
=
W p, p
ç
÷
2
è d W dE ø ( 2p h ) k

7

Footer Page 11 of 126.


Header Page 12 of 126.

m2

k,
=

hạt nhân, thế tương tác từ và thế tương tác trao đổi giữa nơtron và hạt nhân, giữa
nơtron và electron tự do và electron không kết cặp trong bia tinh thể.
Yếu tố ma trận của tương tác hạt nhân
Thế tương tác hạt nhân và tương tác trao đổi giữa nơtron và hạt nhân được
cho bởi giả thiết Fermi:

Vnuclear º Vnu =

ur ur
r uur
é
ù
a
b
s
I
d
r
+
ål ë l l l û - Rl

( ) (

)

(2.1.1)

Ở đây lấy tổng theo tất cả các hạt nhân trong bia

r

m neutron º m neu = g gm nu s

Trong đó:

g = -1.913 - độ lớn mômen từ hóa trên manheton Bohr hạt nhân

g = 2; mnu =

eh
2mproton c

r
s - spin của nơtron tới
Thế véc tơ do các electron tự do và các electron không kết cặp gây ra là:

ur
r ur
ur
mo melectron ´ (r - R j ) mo
A(r ) = å
=
r ur 3
4p
j 4p
r - Rj
gm m
= o B
4p

é

Footer Page 13 of 126.


Header Page 14 of 126.

éur
é
ur r
ur r g mo mB
1
ê
B(r) = Ñ´ A(r) =
Ñ´ S j ´Ñ ê r ur
å
ê
ê r - Rj
4p j
ë
ë

ùù
úú
úú
ûû

Dùng công thức giải tích véc tơ:

r r
r r r r r r r r
Ñ ´ a ´ b = bÑ a - aÑ b + a Ñb - b Ña

ú + S j Ñ2 ê r 1ur
ú
ê r - Rj
û
ë

ùù
úú
úú
ûû

ù
ú=0
ú
û

é
ur r g mo mB ur
1
S j Ñ Ñ ê r ur
Nên: B(r ) =
ê r - Rj
4p
ë

( )

ù
ú
ú

1
åj s S j Ñ Ñ êê rr - uRr
j
ë

(

)

ù
ú
ú
û

lấy tổng theo tất cả các electron tự do lẫn các electron không kết

j

cặp trong bia tinh thể.
10

Footer Page 14 of 126.

)

ù
ú
ú
û



å(
j

é
ur
1
S j Ñ Ñ ê r ur
ê r - Rj
ë

)

ù
rur r ur
ú + F å sS j d r - R j
ú
j
û

(

)

)

Như vậy khi xét bài toán của một chùm nơtron chậm không phân cực tán xạ
trong tinh thể, ngoài tương tác hạt nhân chúng còn tương tác từ và tương tác trao
đổi giữa nơtron và electron tự do và electron không kết cặp trong bia tinh thể. Tiết
diện tán xạ vi phân sẽ gồm đóng góp ba phần được đặc trưng bởi ba loại tương tác ở


(2.1.1)

Trong đó, c n là hàm sóng spin của nơtron tới, cn0 là hàm sóng spin của hạt
nhân.
Trong trường hợp các nơtron chậm, bước sóng lớn hơn nhiều so với kích
thước của hạt nhân, vì vậy biên độ tán xạ không phụ thuộc vào góc tán xạ và có thể
viết dưới dạng:
ur
µf = a + bs J

(2.1.2)

ur

Trong đó: s = 2S , S là toán tử spin của nơtron
ur
s là toán tử ma trận được tạo bới các ma trận Pauli

J là toán tử spin của hạt nhân
a=

I +1 +
I
a+ - aa +
a - và b =
2I + 1
2I + 1
2I + 1


f i r uur ei k Ri c n Õ c nuc.m
r - Ri
l
m
m

()

Trong đó

Õ

(2.1.3)

c nuc.m là hàm sóng pin của các hạt nhân với giả thiết rằng các

m

hạt nhân không tương tác với nhau.
Để tìm sóng kết hợp trong trường hợp này, chúng ta làm trung bình cộng
công thức (2.1.3) theo phân bố của các hạt nhân bia và theo trạng thái spin của
chúng.
Sự trung bình hóa đó dẫn đến biểu thức sau của hàm sóng:
r
y r

()

rr
ik r

13

Footer Page 17 of 126.


Header Page 18 of 126.

r
y r

()

ur ö r r
æ 2p i r
= ç1 +
a + b I s p ÷ eik r c n
kz
è
ø

(

)

(2.1.5)

Trong công trình [16], toán tử:
B =1+

ur uur

nơtron đi qua bia phân cực này, spin của nó sẽ quay một góc:
q =

4pr
IpL Re( b )
kz

Kết quả này có thể nhận được bằng các phương pháp khác
2.2. Tính góc tiến động bằng phương pháp hàm sóng
ur

Chọn trục lượng tử song song với véc tơ phân cực của hạt nhân p . Nếu nơtron tới
ur

r

mặt phẳng có spin song song với véc tơ p ( c n = æç 1 ö÷ ), thì sóng kết hợp y ( r ) có
+
è0ø
dạng:

14

Footer Page 18 of 126.


Header Page 19 of 126.

r
y r

f + = 1 + 2 (a + b Ip )
2
kz
kz

(2.2.3)

Đối với các nơtron với sự phân cực ngược lại thì:
n- = 1 +

2p i r µ
2pr
f - = 1 + 2 (a - b Ip )
2
kz
kz

Hiệu số n+ - n- =

(

2pr µ µ
f+ - fk z2

(2.2.4)

)

(2.2.5)


æ ö
Hay: y r = c1eik r ç ÷ + c2 ei k r ç ÷
è 0ø
è1 ø

()

æ1 ö
Trạng thái spin ç ÷ có liên quan đến chỉ số khúc xạ n+
è0ø
æ0ö
Trạng thái spin ç ÷ có liên quan đến chỉ số khúc xạ nè1 ø

Hàm sóng của nơtron trong trạng thái phân cực thay đổi theo chiều sâu xác
định theo biểu thức sau:

r
uuruur
uur
uuruur
uur
r æ c1y + r ö
÷ = c eik^ r^ c eikz n+ z æ1 ö + c eik^ r^ c eikz n- z æ 0 ö
y r =ç
r
1
1
ç ÷ 2
ç ÷
çç c y r ÷÷ 1

2

Sử dụng các đẳng thức (2.2.9) ta có:

pnx = cos éëkz Re ( n+ - n- ) z ùû e-kz Im(n+ -n- ) z

pny = sin éëkz Re( n+ - n- ) zùû e-kz Im(n+ -n- ) z
16

Footer Page 20 of 126.

(2.2.10)


Header Page 21 of 126.

pnz = e-2kz Im(n+ )z -e-2kz Im(n- )z
Suy ra, vộc t phõn cc ca ntron hp vi vộc t phõn cc ca ht nhõn mt
gúc:

(

)

2pr
q = ộở k z Re ( n+ - n- ) z ựỷ =
Re à
f+ - à
f- z
kz


()

lp) thỡ y r

c vit nh sau:
uuruur
uur
r
$
ik^ r^
ikz nz
y r = e c1e cn

()

(2.2.13)

2pr
n$ = 1 + 2 à
f (0)
kz

(2.2.14)

à
f ( 0 ) l biờn tỏn x n hi trờn ht nhõn vi mt gúc bng 0. So sỏnh

vi vic mụ t bng toỏn t quay spin ca ntron i mt gúc trong [16]:
q ur

2p h 2
h 2 k z2
(1 - n 2 ) = r f ( 0)
2m
m

(2.3.1)

Nh vy, trong ht nhõn bia phõn cc, súng ntron cú kh nng khỳc x vi
cỏc mc nng lng l:
h 2 k z2
2p h 2
2
U=
(1 - n ) = r f ( 0)
2m
m

(2.3.2)

So sỏnh vi (2.2.14) ta vit li nng lng di dng toỏn t:
U =-

ur
2p h 2 à
2p h 2
r f ( 0) = a + b Is p
m
m


=
Re b Ip
h
m

(2.3.4)

Trong thời gian t, spin của nơtron quay đi một góc ¶ = wt
Nếu phần có từ trường có độ dài l, thời gian để nơtron đi qua là: t =

l
nz

Vậy spin của nơtron quay đi một góc:
¶ =w

l
mw l 4pr
=
=
Re b Ipl
nz
kz
kz

Điều này hoàn toàn phù hợp với công thức (2.1.9)
Trong từ trường thì tương tác giữa spin của nơtron với hạt nhân có từ trường
hiệu dụng:
H eff =


TRONG ĐIỀU KIỆN CÓ PHẢN XẠ
3.1. Tiết diện tán xạ hiệu dụng của tán xạ không đàn hồi của các nơtron trên
tinh thể có các hạt nhân phân cực.
Chúng ta đi xem xét tán xạ không đàn hồi của các nơtron phân cực trong tinh
thể khi có các hạt nhân phân cực khi có phản xạ và khúc xạ.
Giả sử chùm nơtron tiến tới tinh thể có các hạt nhân phân cực, được đặt ở
nửa không gian x > 0 và mặt của tinh thể trùng với mặt phẳng y0z.
Như chúng ta đã biết, trong tinh thể phân cực tác động lên chùm nơtron có
trường tổng cộng:

ur
ur uur nuc
G eff = B + H eff

uur nuc

ở đó H eff là giả từ trường hiệu dụng hạt nhân [15]
Theo giả thuyết trên thì trong một nửa không gian x > 0, trong tinh thể có các

ur

hạt nhân phân cực có từ trường hiệu dụng đồng nhất G eff ( x ) dạng:

ur
ur
ur
ur
ì1, x f 0
G effx = G effy = 0; G effz = G eff × q ( x ) , ở đó q ( x) = í
î0, x p 0

r ur
W2 = åé Al + Bl s J l - J l ùd r - Rl mô tả phần thế nhỏ tương tác của
ë
û
j

(

) (

)

nơtron với hạt nhân.

r ur
r, Rl : Véc tơ vị trí của nơtron, hạt nhân

ur
J : Toán tử spin hạt nhân
Sử dụng phương pháp các sóng méo ta đi tính yếu tố ma trận chuyển Tk , k
của quá trính tán xạ trên
Theo [3,23]:

Tk,k = jk(,-) | W2 | jk( + )
( -)
Ở đó jk , và

(3.1.2)

jk(+) là nghiệm của phương trình schrodinger sau: