Bùi Thị Hoa – THCS Minh Khai, Thành phố Thanh Hóa - Năm học 2015-2016.

MỤC LỤC:
STT

Tên đề mục

Trang

1

Mở đầu

02

2

Nội dung SKKN

04

3

Kết luận và đề xuất

17

1


Bùi Thị Hoa – THCS Minh Khai, Thành phố Thanh Hóa - Năm học 2015-2016.

những nắm chắc lý thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của
mình, từ đó biết vận dụng để giải từng loại toán. Qua cách giải các bài toán rút ra
phương pháp chung để giải mỗi dạng bài, trên cơ sở đó tìm ra các lời giải khác hay
hơn, ngắn gọn hơn.
Thông qua quá trình giảng dạy, đồng thời qua quá trình kiểm tra đánh giá sự
tiếp thu và sự vận dụng kiến thức của học sinh. Tôi nhận thấy học sinh vận dụng hệ
thức VI-ET vào giải các bài toán phương trình bậc hai còn nhiều hạn chế và thiếu
sót. Đặc biệt là các em rất lúng túng khi vận dụng các kiến thức đã học để biện
luận phương trình bậc hai đã cho có hai nghiệm x 1, x2 thoả mãn một điều kiện nào
đó…. Đây là một phần kiến thức rất khó đối với các em học sinh lớp 9. Bởi lẽ từ
trước đến nay các em chỉ quen giải những dạng toán về tính giá trị của biểu thức
hoặc giải những phương trình cho sẵn, ít gặp phải những bài toán biện luận theo
tham số. Mặt khác do khả năng tư duy của các em còn hạn chế, các em gặp khó
2


Bùi Thị Hoa – THCS Minh Khai, Thành phố Thanh Hóa - Năm học 2015-2016.

khăn trong việc phân tích đề toán, suy luận, tìm mối liên hệ giữa các yếu tố trong
bài toán nên không định hướng được cách giải.
Làm thế nào để giúp các em có được một kiến thức tổng thể và có được đầy
đủ các dạng toán về phương trình bậc hai, biết cách giải và biện luận các dạng toán
về phương trình bậc hai theo tham số. Chính vì vậy trong bài này tôi nêu ra một số
ứng dụng của định lý Vi-ét áp dụng giải các bài toán: Giải phương trình, hệ
phương trình, chứng minh đẳng thức, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm
số...; nhằm giúp cho các em học sinh phổ thông hiểu và sử dụng thành thạo định lý
Vi-ét trong giải toán và kích thích hứng thú học tập của học sinh.
II. Mục đích nghiên cứu:
Giúp các em hiểu được tầm quan trọng của hệ thức VI-ET trong việc giải các
bài toán phương trình bậc hai.

khả năng, năng lực học toán và kích thích năng lực hứng thú học tập môn toán của
học sinh. Khi tôi dạy phần kiến thức này, nhất là đối với học sinh khá, học sinh giỏi
đòi hỏi giáo viên phải biên soạn, sưu tầm lựa chọn, nội dung kiến thức cho mỗi
dạng toán ... để bài dạy phong phú và đạt hiệu quả cao nhất.
2. Thực trạng của vấn đề:
Qua nhiều năm giảng dạy môn toán lớp 9, tôi thấy:
- Học sinh yếu toán là do kiến thức còn hổng, lại lười học, lười suy nghĩ,
lười tư duy trong quá trình học tập.
- Học sinh còn học vẹt, làm việc rập khuôn, máy móc để từ đó làm mất đi
tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
- Học không đi đôi với hành làm cho các em ít được củng cố, khắc sâu kiến
thức, rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá
nhân không được phát huy hết.
Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập
phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa
cao.
- Nhiều học sinh hài lòng với lời giải của mình, mà không tìm lời giải khác,
không khai thác phát triển bài toán, sáng tạo bài toán nên không phát huy hết tính
tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
- Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau,
phát triển một bài toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức, quan trọng
hơn là nâng cao được tư duy cho các em làm cho các em có hứng thú hơn khi học
toán.
ứng dụng hệ thức Vi - ét vào giải toán là một dạng toán tương đối phù hợp
đối với học sinh THCS vì vậy đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức một
4


Bùi Thị Hoa – THCS Minh Khai, Thành phố Thanh Hóa - Năm học 2015-2016.



x + y = S và xy = P
Thì x, y là nghiệm của phương trình bậc hai X2 - SX + P = 0 (*)
Chú ý: Phương trình (*) chỉ có nghiệm khi S2 - 4P ≥ 0
• Hệ quả (trường hợp đặc biệt).
a) Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có 1 nghiệm x 1= 1
thì a + b + c = 0 và ngược lại nếu a + b + c = 0 thì x1 =1 và x2 =
b) Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có 1 nghiệm x1 = -1
thì a – b + c = 0 và ngược lại nếu a – b + c = 0 thì x1 = -1 và x2 =
Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho việc vận dụng các kiến thức đó
I. Ứng dụng của định lý vi-ét trong giải toán tìm điều kiện của tham số
để bài toán thoả mãn các yêu cầu đặt ra.

1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trình
5


Bùi Thị Hoa – THCS Minh Khai, Thành phố Thanh Hóa - Năm học 2015-2016.

mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện x12 + x22 = 1 .
Bài giải:
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt hoặc nghiệm kép) là
m ≠ 0 và ∆' = 0
∆' = (m-2)2- m(m-3) = -m+4
∆' ≥ 0 ⇔ m ≤ 4.
Với 0 ≠ m ≤ 4, theo định lý Vi-ét, các nghiệm x 1 ; x 2 của phương trình
có liên hệ:
x1+x2 = ;
x1.x2 = .

x1 .x 2
5

* Trường hợp: x1+x2 = 0 ⇔ x1 = -x2 ⇒ m =2 trái với điều kiện (1)
* Trường hợp: 5 - x1.x2 = 0 ⇔ x1.x2 = 5
Ta được: m2 + 2m - 3 = 5 ⇔ (m-2)(m+4) = 0
lo¹i
m = 2
⇔
m = −4 tho¶m·n

Vậy m = -4 phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn
x + x2
1
1
+
= 1
x1 x 2
5
Ví dụ 3: Cho phương trình: mx2-2(m+1) x+ (m-4) = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn x1+ 4x2 = 3;
b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m.
Bài giải:

6


Bùi Thị Hoa – THCS Minh Khai, Thành phố Thanh Hóa - Năm học 2015-2016.
2( m +1)


5m + 8
.
3m

Thay vào (2) được ⇔ 2m2 - 17m + 8 = 0.
Giải phương trình 2m2 -17m +8 0 được m =8; m = thoả mãn điều kiện (4).
Vậy m=8; m = các nghiệm của phương trình thoả mãn x1+4x2=3.
b) Theo hệ thức Vi-ét:
x1+x2 = 2 +
x1.x2 = 1 (*)
Thay = x1+ x2 -2 vào (*) được x1x2 = 1-2(x1 + x2 - 2).
Vậy x 1+ x2 = 5 - 2(x1+x2).
Ví dụ 4: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một
nghiệm chung:
x2 + 2x + m = 0
(1)
2
x + mx + 2 = 0
(2)
Bài giải:
Gọi x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, khi đó ta có
x 02 + 2 x 0 + m = 0

x 2 + mx0 + 2 = 0
Trừ theo từng vế hai phương trình đó cho, ta được: (m-2)x0=m-2.
Nếu m =2 thì (1), (2) là x2 + 2x + 2 = 0 nên vô nghiệm.
Nếu m ≠ 2 thì x0 = 1 từ đó m = -3.
Với m =-3: (1) là x2+2x -2=0; có nghiệm x1=1 và x2=-3.
Và (2) là x2-3x +2=0; có nghiệm x3 =1 và x4 = 2.
Vậy, với m = -3 thì hai phương trình có nghiệm chung là x = 1.

x1; x2 có nghĩa là phương trình bậc hai: 2x2 – x – a = 0 có hai nghiệm x1; x2.
Từ định lý Vi-ét ta có:
x1+ x2 = và x1x2 =
Từ đó ta có:
2
x12 + x22 = (x1+x2)2 =2x1x2 =  1 − 2 − a = 1 x + a
 2 4
 2

Vậy x12 + x22 =

Ví dụ 2:
Cho Parabol: y = x2 – x – 2, một đường thẳng đi qua điểm M (1;-1) cắt
Parabol tại hai điểm A, B. Tìm toạ độ các điểm A, B biết rằng M là trung điểm của
AB.
Cho biết công thức tính toạ độ trung điểm M của ABy
Với: A(x1; y1);

B(x2; y2) là
Cách giải:
Đường thẳng y = mx+n đi qua điểm M
(1;-1) từ đó tính được n =-(1+m). Hoành độ
giao điểm của đường thẳng y=mx-(1+m) và
Parabol y = x2 – x + 2 là nghiệm của phương
trình:
x2 – x – 2 = mx - (1+ m)

o
B


Khi đó (1) trở thành x2 - 2x = 0. Phương trình này có 2 nghiệm: x1= 0; x2=2.
Vậy: A(0; -2) , B(2; 0)
Ví dụ 3: Cho Parabol: y=x2 + 7x + 6. Tìm điểm M trên trục tung sao cho hai
tiếp tuyến với Parabol kẻ từ M vuông góc với nhau.
Cách giải:
Đường thẳng y = mx + n đi qua điểm M (0; y 0) nên được y = mx + y 0;
hoành độ giao điểm của đường thẳng y = mx + y 0 và Parabol y = x2 + 7x + 6 là
nghiệm của phương trình: x2 + 7x + 6 = mx + y0
⇔ x2 + (7- m)x + 6 - y0 = 0
(*)
Để đường thẳng và Parabol tiếp xúc nhau thì phương trình (*) có nghiệm
kép, tức là ∆ = (7 - m)2 - 4(6 - y0)
= m2 - 14m + 4y0 + 25 = 0
(1)
Để hai tiếp tuyến vuông góc thì các nghiệm m1, m2 của (1) phải thoả mãn
m1m2 = -1, tức là 4y0 + 25 = -1. Từ đó y0 = - 6 . Điểm M phải tìm: (0; -6)

2. Bài tập:
Bài 1: Cho Parabol: y = -x2 + 6x - 5. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm
A(3;2) và có hệ số góc bằng m.
a) Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng d luôn luôn cắt Parabol tại hai
điểm B, C phân biệt.
b) Xác định đường thẳng d để BC có độ dài nhỏ nhất.
Bài 2: Cho Parabol: y = x2. Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc đường
thẳng y = - , các tiếp tuyến kẻ từ M với Parabol vuông góc với nhau.
III. Ứng dụng của định lí Vi-ét trong bài toán lập phương trình bậc hai một ẩn,
tìm hệ số của phương trình bậc hai một ẩn.
1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho x1 = ;
x2 =

Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình đã cho theo hệ thức Vi-ét, ta có:
x1 + x2 = -5;
x1.x2 = - 1
Gọi y1; y2 là các nghiệm của phương trình phải lập, ta có:
y1 + y2 = x14 + x24 và y1 y2 = x14 .x24
Ta có:

x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 25 + 2 = 27
x14 + x24 = ( x12 .x22 )2 - 2 x12 .x22 = 729 - 2 = 727

Vậy phương trình cần lập là: y2-727y +1 = 0

2) Bài tập:
Bài 1: Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là + và
Bài 2: Lập phương trình bậc hai thoả mãn điều kiện:
Có tích hai nghiệm: x1.x2 = 4 và + =
Bài 3: Xác định có số m, n của phương trình: x2+mx+n = 0
Sao cho các nghiệm của phương trình làm m và n.
IV. Ứng dụng của định lí Vi-ét trong toán chứng minh.
1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho a, b là nghiệm của phương trình: x 2 + px + 1 = 0 và b, c là
nghiệm của phương trình x2 + qx + 1 = 0
Chứng minh: (b-a)(b-c) = pq - 6.
Hướng dẫn học sinh giải. Đây không phải là một bài toán chứng minh đẳng
thức thông thường, mà đây là một đẳng thức thể hiện sự liên quan giữa các nghiệm
của 2 phương trình và hệ số của các phương trình đó. Vì vậy đòi hỏi chúng ta phải
nắm vững định lý Vi-ét và vận dụng định lý Vi-ét vào trong quá trình biến đổi về
của đẳng thức, đề suy ra hai vế bằng nhau.
Cách giải:
Với a,b là nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0

(2)
biểu diễn trục số.

Cách giải:
Bình phương hai vế của (1) được:
a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 4
Do (2) nên: ab + bc + ca = (4-2) : 2 = 1
⇒ bc = 1- a(b + c) =1- a(-2 - a) = a2 + 2a +1
Ta lại có: b + c=-(a + 2), do đó b,c là nghiệm của phương trình:
X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = 0
Để tồn tại X phải có: ∆ ≥ 0
(a + 2)2 - 4(a2 + 2a +1) ≥ 0
a(3a + 4) ≤ 0 ⇔ - ≤ a ≤ 0
Tương tự: - ≤ b ≤ 0; - ≤ c ≤ 0
2. Bài tập:
Bài 1: Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x 2 + px + 1 = 0. Gọi
c,d là hai nghiệm của phương trình: y2 + qy + 1 = 0.
Chứng minh hệ thức: (c - a)(a - b)(b - c)(b - d) = (p - q)2
Bài 2: Cho các số a,b,c thoả mãn:

a2 + b2 + c2 = 2

 ab+ bc+ ca= 1
Chứng minh rằng: a; b; c≤
V. Áp dụng định lí Vi-ét vào giải phương trình và hệ phương trình.
1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: x3 + 3x2 - 3x +11= 0
Cách giải:
Đặt: y = x -1 ta có: x = y + 1 thay vào (1) được:
(y+3)3 + 3(y+1)2 - 3(y+1) + 11= 0

Với: u3=-2 ⇒ u = 3 − 2
u3=- 4 ⇒ u= 3 − 4
v3 = -2 ⇒ v = 3 − 2
ν 3 = -4 ⇒ ν = 3 − 4
Do đó: y = u+ ν = 3 − 2 + 3 − 4
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x = y +1 = 3 − 2 + 3 − 4 +1
5 − x 
5− x
 x +
= 6
x +1 
 x + 1 


Ví dụ 2: Giải phương trình: x

Hướng dẫn:
TXĐ= {x∈R x≠ -1}
Đặt:

5−x

 u = x. x + 1

5−x
ν = x +
x +1


u + ν = ?




 u.ν =  x.
 u.ν = 6
. x +


x
+
1
x
+
1




u, ν là nghiệm của phương trình:

x2 - 5x + 6 = 0
∆ = 25 -24=1
x1 = = 3
x2 = = 2
u =3 thì ν = 2 hoặc u = 2 thì ν =3

u = 3
thì (*) trở thành:
ν = 2


Phương trình vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
b) Đặt x + y = S và xy = P
S + P = 7
Ta có hệ: 
 S.P= 12
Khi đó S và P là hai nghiệm của phương trình: t2 - 7t + 12 = 0.
Giải phương trình này được t = 4 và t = 3.
+ Nếu S = 4 thì P = 3 khi đó x,y là nghiệm của phương trình:
u2 + 4u + 3 = 0
⇒ u = 1 và u = 3
Suy ra (x =1; y = 3) và (x = 3; y = 1)
+ Nếu S = 3 thì P = 4 khi đó x, y là nghiệm của phương trình:
ν 2 - 3ν + 4 = 0
Phương trình này vô nghiệm vì ∆ = 9 - 16 = -7
3
4

Ví dụ 2: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình:
2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + 3 = 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A=x1x2 - 2x1 - 2x2.
Cách giải:
2
2
∆' = (m + 2) - 2(m + 4m + 3) = -(m + 1)(m + 5) ≥ 0
⇒ - 5 ≤ m ≤ - 1 (*)
Khi đó theo hệ thức viét ta có: x1 + x2 = -m - 1
x1 + x2 =
Do đó: A = 
Ta có: m2 + 8m + 7=(m +1)(m+7) với điều kiện (*) thì (m+1)(m+7)≤ 0.
Suy ra: A = = ≤
Dấu bằng suy ra khi (m+4)2 = 0 huy m =-4
Vậy A đạt giá trị lớn nhất là: khi m =-4, giá trị này thoả mãn điều kiện (*).
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
A=(x4 +1) (y4 +1), biết x,y ≥ 0; x + y =
Cách giải:
A= (x4 +1)(y4 +1)= x4 + y4 + y4x4 +1
Ta có: x + y = ⇒ x2 + y2=10 - 2xy
⇒ x4 + y4 + 2y4x4 = 100 - 40xy + 4x2y2
⇒ x4 + y4 = 100- 40xy + 2x2y2
Đặt : xy = t thì x4 + y4=100 - 40t + 2t2
Do đó A = 100 - 40t + 2t2 + t4 +1=t4 + 2t2 - 40t + 101
a) Tìm giá trị nhỏ nhất:
A=t4 - 8t2 + 16+10t2 - 40t + 40 + 45=(t2-4)2 + 10(t-2)2 + 45 ≥ 45
14

Ta có: 0 ≤ xy ≤ 
=
⇒
0
≤
t
≤
 =
2
2
 2   2 

Viết A dưới dạng: A = t(t3 + 2t - 40) + 101.
Do (1) nên t3 ≤ ; 2 t ≤ 5 ⇒ t3+2t - 40 ≤ + 5- 40 < 0
còn t ≥ 0 nên A ≤ 101.
Do đó MaxA = 101 khi và chỉ khi t = 0,
tức là x = 0; y = hoặc x =; y=0
2. Bài tập:
Bài 1: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 +2(m-2)x - 2m+7=0
Tìm m để x12 + x22 có giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình. x2 - m + (m-2)2 = 0.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = x1x2 + 2x1+2x2
Bài 3: Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình x2 -2(m+1)x+2m+10 = 0
(m là tham số), đặt A= 10x1x2 + x21 + x22. Tìm m sao cho A đạt giá trị nhỏ nhất, tìm
giá trị đó.
IV Kết quả :
Sau khi áp dụng đề tài này ở lớp 9D (không áp dụng cho lớp 9A) trường
THCS Minh Khai tôi nhận thấy : Các em học sinh của lớp đã cảm thấy hứng thú,
say mê khi gặp những bài toán về phương trình bậc hai cần phải sử dụng đến hệ
thức Vi-ét để giải và đã định được hướng làm cho mỗi bài toán, bên cạnh đó có thể

Trên đây là một số ví dụ minh hoạ cho việc vận dụng định lý Vi-ét trong
việc giải toán ở các dạng bài tập: Điều kiện của tham số để bài toán thoả mãn các
yêu cầu đặt ra; hàm số và đồ thị, lập phương trình; tìm hệ số của phương trình bậc
hai một ẩn; chứng minh đẳng thức, tìm cực trị, giải các phương trình, hệ phương
trình. Những ví dụ đưa ra chưa chắc là đã hay, vì thế tôi rất mong được sự góp ý
chân thành của các đồng nghiệp./.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Xác nhận của hiệu trưởng

Thanh hóa ngày 15 tháng 3 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác
Người viết
Bùi Thị Hoa

16


Bùi Thị Hoa – THCS Minh Khai, Thành phố Thanh Hóa - Năm học 2015-2016.

1.
2.
3.
4.
5.

TÀI LIỆU THAM KHẢO:
SGK Toán 9 – Nhà xuất bản giáo dục
SBT Toán 9 – Nhà xuất bản giáo dục