1. MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài:
Trong quá trình phát triển, xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự
nghiệp đào tạo con người. Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng được bổ sung
và đổi mới để đáp ứng đòi hỏi của xã hội. Vì vậy, mỗi người giáo viên dạy toán
phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phương pháp dạy học để thực hiện chủ
trương đổi mới của Đảng và Nhà nước đặt ra.
Chương trình Toán trung học cơ sở rất phong phú và đa dạng, các dạng
toán cũng được đề cập đến tương đối nhiều. Trong số đó, các bài toán về lũy
thừa là một mảng kiến thức quan trọng. Tuy nhiên ở sách giáo khoa chưa đề cập
đến các bài toán khó vì thời lượng tiết dạy hạn hẹp và khó đối với các đối tượng
học sinh trung bình, yếu. Bởi vậy muốn bồi dưỡng và phát triển đối tượng học
sinh khá, giỏi, bản thân người dạy phải nghiên cứu tài liệu tìm tòi các dạng toán
về lũy thừa và các phương pháp dễ hiểu, dễ vận dụng nhằm bổ trợ và nâng cao
kịp thời cho các em. Ở phần mỗi bài toán về lũy thừa đòi hỏi một cách giải
riêng phù hợp với đặc điểm của từng bài toán. Điều đó có tác dụng rèn luyện
tính tư duy toán học linh hoạt và sáng tạo của người học. Do đó các bài toán về
lũy thừa thường có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi, thi chọn học sinh
giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, các kì thi Violimpic Toán....
Bên cạnh đó, các bài toán về lũy thừa là đề tài lí thú của phân môn Số học
và Đại số, là đối tượng nghiên cứu của Toán học. Các bài toán về lũy thừa được
đề cập trong sách giáo khoa ngay từ đầu năm lớp 6 đến lớp 9 và mỗi lớp có yêu
cầu khác nhau nên làm cho người học và người dạy vất vả nhất là học sinh lớp 6
và lớp 7. Với Trường THCS Phạm Văn Hinh, một trung tâm chất lượng cao bậc
THCS huyện Thạch Thành công tác bồi dưỡng học sinh giỏi được đặt lên hàng
đầu đó là nhiệm vụ trọng tâm của nhà trường trong tất cả các năm học. Bồi
dưỡng học sinh giỏi toán 6,7 là nhiệm vụ quan trọng đặc biệt là các bài toán về
luỹ thừa, đây là nền tảng cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp tiếp theo
nhất là lớp 9 dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh.
Từ những yếu tố khách quan và chủ quan đó. Tôi đã tìm tòi nghiên cứu đề

thứ tự, cách tìm chữ số tận cùng
- Số lượng bài tập ở các dạng nhiều hơn và được nâng cao dần.
Cụ thể :
TT
Các dạng
Các bài thêm
1 Dạng 1
Thêm bài 8
2 Dạng 3
Thêm phần 3.4 và bài tập 20.
3 Dạng 4
Thêm bài 22
4 Dạng 5
Thêm bài 36
5 Dạng 7
Thêm bài 41
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và
các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình
và số." Theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc
trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng Luận lý học (lôgic) và
ký hiệu toán học.
Môn Toán là môn học đòi hỏi phải có kĩ năng giải toán và ứng dụng của
mỗi dạng toán, là môn khoa học đòi hỏi tư duy cao của người dạy và người học.
Thông qua việc giảng dạy môn Toán nhằm rèn luyện cho người học năng lực
phân tích, tổng hợp, tư duy linh hoạt, khả năng sáng tạo nhằm hình thành nhân
cách cho người lao động trong tương lai. Học sinh muốn có kiến thức toán sâu
thì phải luyện tập và thực hành nhiều để tích luỹ vốn kiến thức toán học của
mình. Đây cũng là vấn đề khó đối với người học, chính vì vậy thì đòi hỏi người

Nhược điểm:
Về học sinh:Không biết cách về giải các bài toán về luỹ thừa
Không biết cách trình bày.
Không nắm được các dạng toán về luỹ thừa một cách cụ thể.
Về giáo viên: Giáo viên chưa bao quát hết các dạng toán về luỹ thừa.
Nhiều giáo viên không chú trọng đến mảng kiên thức này, chưa
quan tâm đúng mức đến tất cả các dạng toán về luỹ thừa..
Nguyên nhân:
- Nguyên nhân khách quan:
+Thời lượng dành cho đơn vị kiến thức này theo phân phối chương trình còn ít.
+ Sách giáo khoa chưa đưa ra những bài toán nâng cao về các dạng toán về luỹ
thừa.
- Nguyên nhân chủ quan:
+ Học sinh chưa nắm vững kiến thức cơ bản, kiến thức bổ trợ nâng cao về luỹ
thừa
Kĩ năng trình bày của từng học sinh ở từng dạng toán chưa được rèn luyện
nhiều.

3


+ Giáo viên chưa tìm ra được những giải pháp hữu hiệu khi dạy phần kiến thức
về luỹ thừa.
Qua một số năm được phân công tham gia bồi dưỡng học sinh khá, giỏi
tôi thường trực tiếp tham khảo nhiều tài liệu viết về nội dung này và tôi thấy
việc cần thiết phải có những phân loại, phương pháp giải thích hợp giúp học
sinh một phần nào đó có cơ sở để tìm tòi giải các bài toán về lũy thừa. Ở trường
trung học cơ sở các dạng toán có liên quan đến lũy thừa xuất hiện nhiều ở lớp
6,7 đặc biệt là các đề học sinh giỏi.
b. Kết quả thực trạng

vấn đề.
* Hướng dẫn học sinh nắm vững kiến thức cơ bản:
- Bằng cách cung cấp lý thuyết trong những tiết dạy lý thuyết.
- Củng cố trong những tiết luyện tập.
Vậy tại sao chúng ta phải cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản về luỹ
thừa?
Vì giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản về luỹ thừa để từ đó vận dụng vào
thực hành. Với m, n ∈ N; x,y ∈ R ; x,y ≠ 0.
+ xn = x.x...x
( n thừa số x) (Định nghĩa về lũy thừa)
n
m
n+m
+x .x =x
(Nhân hai lũy thừa cùng cơ số)
n
m
n-m
+x :x =x
(n >m )
(Chia hai lũy thừa cùng cơ số)
n m
n.m
+ (x ) = x
(Lũy thừa của lũy thừa)
n
n
n
+ (x . y) = x . y
(Lũy thừa của một tích)


+ x-n =

1
(x ≠ 0)
xn

+ Với a,b,c ∈ N* ta có: Nếu

a
a a+c
< 1 thì
1 thì >
b
b b+c

+ Nếu a = b thì an = bn
+ Nếu an = bn thì a = b hoặc a = -b (nếu n chẵn), a = b ( nếu n lẻ)
+ Nếu am = an thì m = n
+ Nếu a > b > 0 => am > bm (m ≠ 0)
+Nếu 0< a < 1 thì a m < a
+ Nếu m > n > 0 , a > 1 => am > an

210.13 + 210.65
2 8.104

7

3 4

Giải
2

P=

410 − 810
8 4 − 411

[ 2]

(2.3 .7) .( 2.3 )
126 .54
2 7 .314.7 7.2 4.312
211.3 26.7 7
Ta có M =
=
= 10 5 18 6 = 10 23 6 = 2.27.7=378
(2 2.3) 5 .(33.7) 6
12 5.189 6
2 .3 .3 .7
2 .3 .7
10
10


Đối với các bài tập trên thì ở câu M ta biến đổi các số về các số nguyên tố
với số mũ của nó rồi từ đó rút gọn. Đối với câu N ta vận dụng tích chất phân
phối của phép nhân đối với phép cộng hoặc trừ đó là ab ± ac = a (b ± c) rồi
biến

5


Trong trang này Phần hướng dẫn nắm vững kiến thức cơ bản và mở rộng tham khảo từ TLTK số

; bài toán 2 tham khảo từ TLTK số [ 2] .

[ 5]

. bài

toán 1 tham khảo từ TLTK số

[1]

đổi tử và mẫu về dạng tích sau đó rút gọn.
Còn câu P ta phải vận dụng cả hai phương pháp trên để giải.
2.3.2.Dạng 2:Tìm thành phần chưa biết (cơ số hoặc số mũ của một lũy thừa).
Bài toán 3: Tìm x ∈ N biết:

x

a. 2 .8 = 256


16
2

3

3 x +1

8

x

4

1
=   ⇒ 3x + 1 = 4 ⇒ 3x = 3 ⇒ x =1
2

Đối với các bài toán trên ta chỉ việc biến đổi về cùng cơ số và để tìm được x
thì cho hai số mũ bằng nhau.
Bài toán 4: Tìm x ∈ Z biết.
a. (2x – 3)3 = 729 b. (2x – 1)2=49 c.(x - 7)2016 = (x- 7)2017 d.x2016 = x [1]
Giải
3
3
3 ⇒
⇒
a. (2x – 3) = 729 (2x – 3) = 9
2x - 3 = 9 ⇒ 2x =12 ⇒ x = 6
b.(2x –1)2= 49 ⇒ (2x –1)2 =( ± 7)2 ⇒ 2x -1=7 hoặc 2x -1= -7 ⇒ 2x=8 hoặc 2x = - 6
⇒ x = 4 hoặc x = -3

a. Vì (x + 6)
0 với mọi x và (y - 4)2 ≥ 0 với mọi y.
2016

x + 6 = 0
 x = −6
⇔
. Vậy x = - 6; y = 4
y − 4 = 0
 y=4
≥ 0 với mọi x,y và x − 6 + y ≥ 0 với mọi x,y.

Như vậy để (x + 6)2 + (y - 4)2 = 0 thì 
b. Ta có (x - 2 - y)2016

6


Trong trang này: Bài toán 3 tham khảo từ TLTK số

[ 3] ;: Bài toán 4,5 tham khảo từ TLTK số [1]
x − 2 − y = 0
x = 4
⇔
. Vậy x = 4; y= 2
x − 6 + y = 0
y = 2

Để (x - 2 - y)2016 + x − 6 + y = 0 ⇔ 
c. 2y + 2x+3 = 272.

2
⇔
⇔
a) 5 + 5 =650 5 (1+5 ) = 650 5 n .26 = 650 ⇔ 5 n = 650:26 = 25
⇔ 5 n = 5 2 ⇒ n=2
b) 32 − n .16 n = 1024 ⇔ (2 5 ) − n .2 4 n = 2 10 ⇔ 2 −5n .2 4 n = 2 10 ⇔ 2 4 n−5n =2 10 ⇒ 4n-5n = 10
⇒ -n = 10 ⇒ n = -10
−1
n
n −1
c) 3 .3 +5.3 =162 ⇔ 3 n−1 +5.3 n −1 = 162 ⇔ 3 n−1 (1+5) =162
⇔ 3 n −1 = 162 : 6 = 27 ⇔ 3 n −1 = 3 3 ⇒ n -1 = 3 ⇒ n =4
Cả 3 câu a,b,c trên ta đều đưa chúng về hai lũy thừa cùng cơ số để tìm
thành phần chưa biết.
[11]
Bài toán 7: Tìm m,n thuộc N biết : 2 m +2 n = 2 m+ n
Giải
m
n
m+ n ⇔
m
n
m
Ta có: 2 +2 = 2
2 +2 = 2 .2 n ⇔ 2 m +2 n - 2 m .2 n = 0
⇔ 2 m - (2 m .2 n - 2 n ) = 0
⇔ 2 m - 2 n (2 m - 1) = 0 ⇔ 2 m -1 - 2 n (2 m - 1) = - 1 ⇔ (2 m - 1)( 1- 2 n ) = -1
⇔ (2 m - 1)( 2 n -1) = 1
vì 2 m ≥ 1; 2 n ≥ 1
Vậy để (2 m - 1)( 2 n -1) = 1 thì 2 m - 1 = 1 hoặc 2 n -1 = 1 ⇒ 2 m =2 hoặc 2 n = 2

+ Dạng 3.1: So sánh hai lũy thừa bằng cách đưa về cùng cơ số
- Dạng 3.1.1. So sánh hai lũy thừa của các cơ số dương bằng cách đưa về
cùng cơ số
5

Bài toán 9: So sánh

a) 625 và 125

1
b)  
9

7

17

 1 
và  
 27 

12

[ 2]

Giải
a) Ta có 625 = (5 ) = 5 ; 125 = (5 ) = 521 vì 520 < 521 nên 6255 < 1257
5

4 5

  =  
 27 
 3 
12

34

3 12





1
= 
 3
36

36

17

1
1
1
1
1
 1 
Vì số mũ 34 < 36 và cơ số là (0 < < 1) nên   >   .Do đó   >  
3

30

3 10

10

a) Ta có (-5) = 5 = (5 ) = 125
(- 3)50 = 350 = (35)10 = 24310 vì 12510 < 24310 nên (-5)30 < (- 3)50
b) Do -18 < -16 ⇒ (-18)13 < (-16)13 < (-32)9 . Vậy (-18)13 < (-32)9
1100
− 1 100
1 100
1 100
1
−1
1
1
c) Ta có: ( ) = ( ) = ( 4 ) = 4 100 = 400 và ( )500 = ( )500 = 500
(2 )
16
16
2
2
2
2
2
1
1
−1
−1


d)11

1979

1320

10

và 3

9

e) 1990 +1990 và 1991

10

 16 
3
f)   và  
 25 
7

40

[ 2]

Giải
a) Ta có 3 = (3 ) = 9
và 2 = (23)100 = 8100

 5  

10

300

4
= 
5

20

4 9
4
Vì >
nên  
5 49
5

40
 3  2 
3
và   =   
7
 7  
20

20

20

d) 291 và 535
Giải
7
7
8
12
a) Ta có 63 < 64 < 64 , mà 16 = (42)12 = 424 = (43)8 = 648. Suy ra 637 < 162
b) Ta có 1714 > 1614 = (24)14 = 256 và 3111 < 3211 = (25)11 = 255
Do 256 > 255 nên 1714 > 3111
c) Ta có 107507275 = (8.9)75 = (23.32)75 = 2225.3150
⇒ 10750 > 2100.3150 < 2225.3150 < 7375
d)Ta có 291 > 290 = (25)18 = 3218
535 < 536 = (52)18 =2518 vì 2518 < 3218 nên 535 < 291
Trong bài toán trên ta đã sử dụng tính chất bắc cầu: Nếu a > b và b > c thì a > c
(trong đó b là phần trung gian). Cụ thể: Ở câu a ta sử dụng 64 8 làm lũy thừa
trung gian, còn ở câu b ta sử dụng 1614 và 3211, câu c sử dụng 10850 và 7275 ,
Trong trang này: Bài toán 11,12 dựa theo tài liệu tham khảo số
90
36

[ 2]

Câu d sử dụng 2 và 5 làm lũy thừa trung gian để so sánh.

9


[ 6]
Bài toán 13 : Chứng tỏ rằng: 527 < 263 < 528

66
66
6 11
66
Giải : Ta có 55 = (5.11) = 5 .11 = (5 ) .11 = (15625) 11 .1166
6655 = (6.11)55 = 655.1155 = (65)11. 1155 = (7776) 11 .1155
vì 1166 > 1155 và (15625) 11 >(7776) 11 . Nên 5566 > 6655
Ở bài toán này, ta đưa về dạng tích, sau đó so sánh từng thành phần rồi ta chỉ
việc so sánh hai tích.
Hay nói cách khác trong bài toán trên đã sử dụng tính chất:
Với a, b, c, d∈ N* . Nếu a > b và c > d thì a.c > b.d
+Dạng 3.4. So sánh hai biểu thức chứa lũy thừa
Bài toán 16: So sánh hai biểu thức sau biết:
a) A=

2016 2016 + 1
2016 2015 + 1
;
B=
2016 2017 + 1
2016 2016 + 1

b) M=
Giải

2017 2017 + 1
2017 2016 + 1
;
N
=

Cách 2: Ta có 2016A =
=
2016 2017 + 1
2016 2017 + 1
2015
2016 2015 + 1 + 2015
=
=
1+
2016 2017 + 1
2016 2017 + 1
Trong trang này: Bài toán 14; 15 tham khảo từ TLTK số [ 2] ; bài toán 13 tham khảo từ TLTK số [ 6] .bài toán 16 tham khảo từ TLTK số [ 7 ]

Cách 1.a)Vận dụng ta có: A =

2016

.

10


2015
2016(2016 2015 + 1) 2016 2016 + 2016 2016 2016 + 1 + 2015
2016B=
=
=
=
1+
2016 2016 + 1

a a+c
Như vậy ta đã sử dụng tính chất:Nếu > 1 thì >
với a,b,c ∈ N*
b
b b+c

Ngoài ra ta có thể làm theo cách 2 là so sánh 2017M với 2017N , từ đó so sánh
M và N.
2 2017 − 3
2 2016 − 3
Bài toán 17: So sánh E và F biết: E = 2016
và F = 2015
2
−1
2
−1

[11]

Giải

1
1 2
1
2
−3
− 3 2 2017 − 3 2 2017 − 2 − 1
⇒
E
=

F = 2015
= 2016
= 2016
= 1 - 2016
2
2 2
2
−2
2
−1
−1
2
−2
2
−2
1
1
1
1
⇒ 1 - 2017
vì 22017 - 2 > 22016 -2 nên 2017
< 2016
< 1 - 2017
2
−2
2
−2
2
−2
2

[11]

Giải

(100100 + 1)(100 68 + 1)
100100 + 1
=
(100 99 + 1)(100 68 + 1)
100 99 + 1
(100 69 + 1)(100 99 + 1)
100 69 + 1
B=
=
(100 68 + 1)(100 99 + 1)
100 68 + 1

Quy đồng mẫu số A và B ta có: A =

Xét hiệu hai tử số của A và B sau khi quy đồng:
(100100+1)(10068+1) - (10099+1)(10069+1) = 100168 +100100 +10068+1 - 100168 10099- 10069-1 = 100100 +10068 -10069 - 10099 = (100100 - 10099)- (10069- 10068)
= 10099.(100 - 1) - 10068.(100 - 1)= 99.10099 - 99.10068
Trong trang này: Bài toán 17 ,18 tham khảo từ TLTK số

[11] .

11


= 99.(10099 - 10068) > 0 vì 10099 - 10068 > 0.
Do đó A > B

10
10
10
10
10
10
10
10
−9
− 19
−9
− 10
−9
−9
−9
− 10
B = 2017 + 2016 = 2017 + 2016 + 2016 = ( 2016 + 2017 ) + 2016
10
10
10
10
10
10
10
10
1
1
−
10
−

[ 6]

Giải
1 + 5 + 5 + ... + 5
1 + 5 + 5 2 + ... + 5 8
2

Ta có: C =

9

1 + (5 + 5 2 + ... + 5 9 ) 1 + 5(1 + 5 + 5 2 + ... + 5 8 )
1
=
=
+ 5 > 5 (1)
2
8
2
8
2
1 + 5 + 5 + ... + 5
1 + 5 + 5 + ... + 5
1 + 5 + 5 + ... + 5 8
1
+ 3 < 4 (2)
Tương tự D =
2
1 + 3 + 3 + ... + 3 8
1

Dạng 4.1:Tìm 1 chữ số tận cùng
Kiến thức cần nhớ
+ ....1 n = ....1 ;
....0 n = ....0 ;
....5 n = ....5 ;
....6 n = ....6 (với n ∈ N*)
+ ....4 2n+1 = ....4 ;
....4 2n = ....6 ;(n ∈ N*)
+ ....9 2n = ....1 ;
....9 2n+1 = ....9 (n ∈ N*)
Bài toán 21: Tìm một chữ số tận cùng của các số sau:
[1]
20072008; 13582008; 23456; 5235; 204208; 9 9 ; 4 5 ; 996; 81975
Giải
2008
2 1004
1004
Ta có 2007 = (2007 ) = A9
= ....1
2008
2 1004
1004
1358 = (1358 ) = B 4
= ....6
3456
2 1728
1728
2 = (2 ) = 4 = ....6
5235 = 5232.523 = (522)16. C 8 = D 4 16. C 8 = E 6 . C 8 = ...8
204208 = (2042)104 = M 6 104 = ....6

2004
d) 2003
. Ta có 2004 chia hết cho 4.
Đặt 20042005 = 4k ⇒ 20032004 = 20034k = (20034)k = ....1 k = ....1
Ở bài tập 16,17,18 chủ yếu ta vận dụng các kiến thức về số tận cùng đã nêu
trong phần kiến thức cơ bản.
Dạng 4.2:Tìm 2 chữ số tận cùng
Kiến thức cơ bản
+ ...01 n = ...01 ;
...25 n = ...25 ;
...76 n = ...76 ;
+ Các số 410; 165; 184; 242; 684 ; 742 có tận cùng bằng 76
+ Các số 910; 815; 74; 512; 992 có tận cùng bằng 01
9

9

67

9

67

67

7

7 2014

7 2014


Ta có: 51 = 51 .51 = (51 ) .51 = ...01 25. 51 = ...01 .51= ...51
Ta có :9999 = 9998.99 = (992)49.99 = ...01 49.99 = ...01 .99 = ...99
Ta có: 6666 = 6665.6 = (65)123 .6 = ...76 .6 = ...56
14101 .16101 = (14.16)101 = 224101 = 224100.224 = (2242)100.224 = ...76 .224 = ...24
Bài tập trên đã vận dụng các kiến thức cơ bản về hai chữ số tận cùng nêu
trên, việc vận dụng là không khó mà chỉ cần học sinh nhớ các thức và thực hiện
rất đơn giản.
[8]
Bài toán 25: Tìm chữ số tận của A = 5+52+53+54 +.....+594 +595+ 596.
Giải
2
3
4
94
95
96
Ta có A = 5+5 +5 +5 +...+5 +5 + 5 nên 5A = 52+53+54 +...+595+ 596+ 597
Do đó 5A - A = (52+53+54 +...+595+ 596+ 597) - (5+52+53+54 +...+594 +595+ 596)
5 97 − 5
4
97
97
vì 5 = ....5 ⇒ 5 - 5 = ...5 - 5 = ...0 . Vậy A có chữ số tận cùng là 0
⇒ 4A = 597 - 5 .Suy ra A =

Bài toán trên phải tính giá trị của A được một kết quả là một lũy thừa, từ lũy
thừa này tìm được số tận cùng của 597- 5. Từ đó sẽ tìm được số tận cùng của A.
Bài toán 26: Tìm 2 chữ số tận cùng của:
a) 512k; 512k+1 (k∈ N * )

99

66

99

66

Trong trang này: Bài toán 24; 26; 27 dựa vào TLTK số

66

[1] ; bài toán 25 tham khảo từ TLTK số [8] .

Dạng 4.3: Tìm 3 chữ số tận cùng

14


n

n

Kiến thức cơ bản:
...376 n = ...376
...001 = ...001 ;
...625 = ...625 ;
Bài toán 28: Tìm 3 chữ số tận cùng của :
a) 52000 ;
b) 23n.47n


c) 175 + 244 – 1321 chia hết cho 5

Giải
a) Ta có 7777 =7777 .7777= (77774)49 .7777= ....1 49 .7777 = ....1 . 7777 = ....7
3333163 = 3333160.33333 = (33334)40. ....7 = ....1 40. ....7 = ....1 . ....7 = ....7
suy ra 7777197–3333163 = ....7 - ....7 = ....0 . Vậy 7777197–3333163 chia hết cho 10
197

b) Để chứng minh

196

2 4n+ 2 + 1
là một số tự nhiên, ta chứng minh tử chia hết cho
5

mẫu, nghĩa là 24n+2 +1chia hết cho 5.
Thật vậy, ta có 24n+2 +1=24n.22 +1= (24)n.4+1=16n.4+1= ....6 .4 +1= ....4 +1 = ...5 .
suy ra 24n+2 +1 chia hết cho 5. Điều này chứng tỏ

2 4n+ 2 + 1
là số tự nhiên.
5

c) Ta có 175 + 244 – 1321 = 174.17 + (242)2 - (134)5.13
= ...1 .17 + ...6 2 - 13. ...1 5 = ....7 + ...6 - ...3 = ....0
có tận cùng là 0 nên 175 + 244 – 1321 chia hết cho 5
Bài toán 31: Chứng tỏ rằng : a) A = 2 2 -1 chia hết cho 5 ( n ∈ N; n ≥ 2)
b) B = 2 4 +4 chia hết cho 10 ( n ∈ N; n ≥ 1)

n −1

c) Ta có C = 5 4 +375 = ( 5 4 )
+ 375 = 6254n-1 +375 = ...625 +375 = ...000 .
Vậy C chia hết cho 1000.
Bài toán 32: Chứng minh rằng A= 9999931999 - 5555571997 chia hết cho 5. [ 5]
Giải
Để chứng minh A chia hết cho 5 ta xét chữ số tận cùng của A bằng cách xét chữ
số tận cùng của từng số hạng.
Ta có: 31999=(34)499.33=81499.27 = ....1 .27= ....7 . Nên 31999 có chữ số tận cùng là 7.
71997 = (74)499.7 = ....1 499 . 7 = ....1 . 7 = ....7 . Nên 71997 có chữ số tận cùng là 7.
Vậy A có chữ số tận cùng bằng 0. Do đó A chia hết cho 5
Trong bài toán trên đã sử dụng cách tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa.
Đồng thời sử dụng các dấu hiệu chia hết cho 5 và 10. Còn ở câu c ta phải tìm 3
chữ số tận cùng của biểu thức C từ đó chỉ ra C chia hết cho 1000 nhờ có tận
cùng là ...000
Bài toán 33: Cho biểu thức M = 405n + 2405 + m2 ( với m,n ∈ N; n ≠ 0)
Chứng tỏ rằng M không chia hết cho 10. [ 6]
Giải
n
405
4 101
101
Ta có 405 = ...5 ; 2 = (2 ) .2 = ....6 . 2 = ....6 . 2 = ....2
m2 có chữ số tận cùng khác 3. Suy ra M có chữ số tận cùng khác 0.
Vậy M không chia hết cho 10.
Đối với bài toán trên ta đã sử dụng cách tìm chữ số tận cùng của một lũy
thừa, nhận xét về bình phương của một số tự nhiên không có tận cùng là 3. Từ
đó chỉ ra số M không chia hết cho 10 dựa vào chữ số tận cùng.
Bài toán 34: Tìm các số tự nhiên n để n10 +1 chia hết cho 10. [ 6]

24
3 24
24

[ 5] . Bài toán 33; 34 dựa vào TLTK số [ 6] ; bài toán 35 tham khảo từ TLTK số [ 9] .

54 = (2.27) = (2.3 ) = 2 . 33.24 = 224. 372
Do đó: 2454 . 5424 . 210 = 354 . 2162 . 224 . 372 . 210 = 2162 + 24 + 10 . 354 + 72 = 2196 . 3126

16


= 27 . (23)63 . (32)63 = 27 . (8.9)63 = 27 . 7263 7263. Vậy 2454 . 5424 . 210 7263
d) Ta có 3n + 3 + 2n + 3 +3n + 1 + 2n + 2 = (3n + 3 + 3n + 1) + (2n + 3 + 2n + 2 )
= 3n + 1 (32 + 1) + 2n + 2 (2 + 1) = 3n+1 . 10 + 2n + 2 . 3
= 3n.3.2.5 + 2n +1 .2.3 = 3n . 5 . 6 + 2n +1 . 6 = (3n . 5 + 2n + 1) . 6 6
Vậy (3n+3 + 3n+1 + 2n+3 + 2n+2 ) 6
Bài toán 36: Cho M= 3 + 32 + 33 + 34 +....+ 399 + 3100 . Chứng tỏ M 40. [10]
Giải
2
3
4
99
100
Ta có: M= 3+3 +3 +3 +....3 +3
= (3 + 32 + 33 + 34) + (35+36 + 37+38)+....+ (397 + 398 + 399 + 3100)
= 3.(1+3+32 + 33) + 35.(1+3+32 + 33) + .....+397. (1+3+32 +33 )
= 3.40 + 35 . 40 + 397. 40 = (3+35+....+397) . 40 40
Trong 2 bài toán chia hết trên ta biến đổi các tích để xuất hiện các thừa số
cần chia hết. Đồng thời sử dụng các công thức về lũy thừa, sử dụng tích chất

7 4
a) Ta có 16 =(2 ) và 128 = (2 ) suy ra 16x < 128 ⇒ 24x
Lại xét: n ≤ 20
(n ) ≤ (20 )
(n3)4 ≤ 4004 ⇒ n3 ≤ 400
Vì n nguyên nên n ≤ 7
(**)
Từ (*) và (**) suy ra 5 < n ≤ 7 . Vậy n = 6;7
b)Ta xét n24 > 332 ⇒ ( n3)8 > (34)2 ⇔ n3 > 34 ⇔ n3 > 81.
Mà n nguyên nên n > 4
(*)
24
36 ⇒
2 12
3 12 ⇔
Tiếp tục xét n < 5
(n ) < (5 )
(n2)12 < 12512 ⇔ n2 < 125
Do n nguyên nên -11 ≤ n ≤ 11 (**)
Từ (*) và (**) suy ra 4< n ≤ 11. Vậy n = 5;6;7;8;9;10;11.
Trong bài toán trên đã biến đổi đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc cùng
số mũ rồi lập luận xét từng vế để tìm n bằng bất đẳng thức kẹp.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Với hoạt động giáo dục : Học sinh nắm vững được các phương pháp giải
của từng dạng bài, khi giải các em không còn lúng túng, diễn đạt chặt chẽ. Nhờ
các phương pháp trên đã giúp cho các em sáng tạo khi học và giải toán. Biết
cách định hướng và giải các bài toán một cách ngắn gọn. Học sinh phát huy
được trí lực của bản thân và có những lúc các em phát triển được bài toán mới.
Đặc biệt trong số các em tôi bồi dưỡng từ chỗ các em ngại gặp dạng toán này
đến nay một số em đã ham muốn tìm tòi các bài toán này và giải được các bài
toán rất khó và vận dụng rất linh hoạt khi giải.

TL%
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
12
46.2
11
42.3
3
11.5
0
0
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận.
Bài toán về lũy thừa là các dạng toán thường gặp trong chương trình toán
6,7 và bồi dưỡng học sinh giỏi THCS. Nếu chỉ dừng lại yêu cầu trong sách giáo
khoa thì chưa đủ, vì vậy đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu,
tìm tòi sáng tạo thường xuyên bổ sung kiến thức và tích luỹ kinh nghiệm về vấn
đề này.
Để dạy học cho học sinh hiểu và vận dụng tốt phương pháp giải bài toán liên
quan đến lũy thừa thì bản thân mỗi giáo viên phải phân dạng được các bài toán
liên quan đến lũy thừa và biết cách giải cụ thể của các dạng toán.
Tóm tắt các nội dung, giải pháp đã vận dụng để nâng cao chất lượng:
Thực hiện phép tính, tìm thành phần chưa biết, so sánh hai lũy thừa, tìm số tận
cùng, vận dụng lũy thừa để chứng minh các bài toán chia hết, không chia hết,
tìm số các chữ số của một lũy thừa, sử dụng lũy thừa trong bất đẳng thức và bất

dạy, cách thức tổ chức bồi dưỡng, tìm thêm những bài toán hay về luỹ thừa.
Đối với phòng giáo dục: Trong các năm học tiếp theo thường xuyên tổ chức
các chuyên đề, hội thảo, mỗi chuyên đề, hội thảo chỉ đi sâu vào một chủ đề kiến
thức
trọng tâm của chương trình thì hiệu quả sẽ cao hơn, có thể tổ chức liên trường để
tập trung và phát huy được trí tuệ, kinh nghiệm của nhiều người.
Đối với sở giáo dục:
-Với những sáng kiến có chất lượng cao có thể đóng thành tập san gửi về các
phòng giáo dục, để triển khai tới các nhà trường.
-Với đề và đáp án thi học sinh giỏi cấp tỉnh nên gửi về các phòng giáo dục để sử
dụng làm tài liệu học tập.
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thạch Thành, ngày 6 tháng 4 năm 2017
CAM KẾT KHÔNG COPY.
Tác giả

Lê Thị Mai
.

20