ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ TUYẾT THANH

MỘT SỐ ĐA TẠP
TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ TUYẾT THANH

MỘT SỐ ĐA TẠP
TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

62 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN THANH SƠN



3

1.1.2

Đa tạp khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3

Đa tạp con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.4

Hàm, ánh xạ trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.5

Nhóm Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10


Phân thớ tiếp xúc của đa tạp tô pô . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3.2

Phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3.3

Móc Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.3.4

Đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3.5

Trường véc tơ bất biến trên nhóm Lie. . . . . . . . . . . . . .

24

1.2


Nhóm đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.4.4

Không gian thuần nhất Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.4.5

Phân thớ chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Liên thông Levi- Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.5.1

Liên thông trong Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.5.2

Liên thông Levi- Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1.6.3

Ánh xạ mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Một số đa tạp trong đại số tuyến tính

39

2.1

Đa tạp Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.1.1

Cấu trúc tô pô của G(k, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.1.2

Cấu trúc vi phân của G(k, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.1.3


50

2.2.4

Không gian pháp và phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.2.5

Liên thông Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.2


i
2.2.6

Đường trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

Kết luận và Đề nghị

56

Tài liệu tham khảo

không gian tiếp xúc của M tại p

G

đại số Lie của G

⊗

tích tenxơ của các không gian vectơ

Ap

hạn chế đa tuyến tính của A trên tích tenxơ Tp M ⊗ ... ⊗
Tp M

G(k, n)

tập tất cả các không gian k chiều của R

O(k, n)

tập các ma trận có các cột trực chuẩn trong Rn

ST (k, n) tập các ma trận hạng đủ n hàng, k cột
colsp(Y ) không gian con của Rn sinh bởi các cột của Y
Ink

tập tất cả các đa chỉ số J với J = (j1 , ..., jk ) ∈ Nk với
1 ≤ j1 < ... < jk ≤ n



tập các ma trận đối xứng cỡ n × n

trace(A)

vết của ma trận A

rank(A)

hạng của ma trận


1

Mở đầu
Đa tạp là một trong những đối tượng cơ bản của hình học và giải tích. Nó là một
cấu trúc phong phú không chỉ về tính chất mà ta còn có thể xây dựng rất nhiều khái
niệm khác trên đó. Thông thường, chúng ta được làm quen với đa tạp trong Rn hay
các đa tạp trừu tượng trong không gian tôpô ở bậc đại học. Trên thực tế, nhiều vấn đề
tính toán, tối ưu có ràng buộc được quy về bài toán trên các tập các đối tượng trong
đại số tuyến tính có tính chất đặc biệt, chẳng hạn như tập các không gian con k chiều
của Rn , hay tập các ma trận đối xứng nửa xác định dương có hạng cố định. Ta không
thể tính toán trên các tập đó, chẳng hạn nội suy, chiếu từ không gian lớn hơn lên đó
nếu không có hiểu biết đầy đủ về chúng. Hóa ra, các tập đó có những cấu trúc phong
phú và lập lên những đa tạp khả vi. Luận văn này sẽ trình bày một số đa tạp mà các
phần tử của nó lại là các đối tượng trong đại số tuyến tính. Chúng tôi sẽ trình bày cấu
trúc hình học của chúng, cũng như khía cạnh tính toán các đối tượng liên quan đến
đa tạp. Những kiến thức này vô cùng quan trọng và là nền tảng không thể thiếu được
cho việc tính toán trong đại số tuyến tính số cũng như ứng dụng trong những thuật
toán tối ưu trên đa tạp. Nội dung của luận văn được dự kiến như sau. Chương I trình

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Tuyết Thanh


3

Chương 1

Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về hình học vi
phân
Trong chương này, chúng tôi trình bày một cách chi tiết những khái niệm, tính
chất quan trọng của hình học vi phân. Trong khi phần lớn kiến thức có thể tìm thấy
trong các tài liệu tiếng Việt [2–4] và nhiều tài liệu tiếng Anh kinh điển khác, một số
công cụ cho chương II lại không được trình bày trong các tài liệu nêu trên. Vì thế, khi
viết chương này, chúng tôi chủ yếu dựa vào tài liệu [7]. Người đọc cũng có thể tham
khảo tài liệu [1].

1.1
1.1.1

Khái niệm đa tạp
Đa tạp tô pô

Định nghĩa 1.1.1. Cho (M, τ ) là không gian tô pô Hausdorff với một cơ sở đếm được.
Khi đó M được gọi là một đa tạp tô pô nếu có một số nguyên không âm m sao cho
với mỗi điểm p ∈ M , tồn tại một lân cận U của p và một tập con mở V ⊂ Rm và một
phép đồng phôi x : U → V .
Cặp (U, x) được gọi là một bản đồ hay một tọa độ địa phương trong M .