LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n và hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư
pham Hà N®i 2 dưói sn hưóng dan cna thay giáo TS. Tr%nh Tuân, ngưòi
thay đã hưóng dan và truyen cho tác giá nhung kinh nghi¾m quý báu
trong hoc t¾p và nghiên cúu khoa hoc. Thay luôn đ®ng viên và khích
l¾ đe tác giá vươn lên trong hoc t¾p, vưot qua nhung khó khăn trong
chuyên môn. Tác giá xin bày tó lòng biet ơn, lòng kính trong sâu sac
nhat đoi vói thay.
Tác giá xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u trưòng Đai hoc Sư
pham Hà N®i 2, phòng Đào tao sau đai hoc, các thay cô giáo trong nhà
trưòng và các thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán giái tích đã
giúp đõ, tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá trong suot quá trình hoc t¾p.
Tác giá xin chân trong cám ơn Ban giám hi¾u, các thay cô giáo,
ban bè đong nghi¾p trưòng THPT Tam Nông, Phú Tho đã quan tâm,
đ®ng viên và tao đieu ki¾n đe tác giá hoàn thành khóa hoc Thac sĩ và
hoàn thành lu¾n văn này.

Hà N®i , ngày 20 tháng 8 năm 2012

Tác giá

Nguyen Th% Thanh Hòa

i


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi
dưói sn hưóng dan cna Tien sĩ Tr%nh Tuân.

1.1.2. Phép bien đoi Laplace . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2. Tích ch¾p và tích ch¾p suy r®ng . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1. Tích ch¾p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2. Tích ch¾p suy r®ng vói hàm trong đoi vói các phép
bien đoi tích phân...........................................................12
2 Tích ch¾p suy r®ng vái hàm trong đoi vái phép bien đoi
tích phân Laplace

17

2.1. M®t so không gian hàm............................................................ 17
2.2. Đ%nh nghĩa tích ch¾p suy r®ng vói hàm trong đoi vói phép
bien đoi tích phân Laplace và đang thúc nhân tú hóa . .

19

2.2.1. Đ%nh nghĩa

19

2.2.2. Các đang thúc nhân tú hóa.........................................19

: Phép bien đoi Fourier
: Phép bien đoi Fourier ngưoc

Fs

: Phép bien đoi Fourier sine

F s−
1
Fc

: Phép bien đoi Fourier sine ngưoc

F c−
1
K
K−1

: Phép bien đoi Fourier cosine ngưoc

L

: Phép bien đoi Laplace

L−1

: Phép bien đoi Laplace ngưoc

(f ∗ g)



"f (x)"Lα,β
p

(R+)

∞

=

.¸
0

|f (x)|pxα e−βx

d
x .p1


Mé ĐAU
1. Lý do chon đe tài
Phép bien đoi tích phân đưoc ra đòi tù rat sóm và đóng vai trò
quan trong trong toán hoc cũng như trong nhieu lĩnh vnc khoa hoc khác,
đ¾c bi¾t trong vi¾c giái các giái các bài toán vói đieu ki¾n ban đau và
đieu ki¾n biên cna phương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng,
phương trình tích phân và các bài toán cna v¾t lý toán. Phép bien đoi
tích phân đau tiên là phép bien đoi Fourier đưoc khai sinh bói nhà toán
hoc và v¾t lý noi tieng ngưòi Pháp là Josepl Fourier (1768-1830), tiep
theo là sn ra đòi cna các phép bien đoi Laplace, Melin, Hankel ...
Tù nhung năm đau cna the kí 20 đã xuat hi¾n m®t hưóng nghiên

Laplace cũng đã đưoc xây dnng (xem [11], [12])
x

¸
(f

∗
L

g)(x) =

f (x − t)g(t)dt, x > 0
0

Tích ch¾p này thoá mãn đang thúc nhân tú hoá
L(f ∗ g)(y) = (Lf )(y).(Lg)(y).
L
Cho đen thòi điem hi¾n nay van chưa có m®t ket quá nào công bo ve
tích ch¾p suy r®ng đoi vói phép bien đoi Laplace ngoài tích ch¾p co đien
đã nêu ra ó trên
Theo hưóng nghiên cúu đó vói mong muon đưoc tiep tuc đưoc tìm
hieu tích ch¾p suy r®ng cna các phép bien đoi tích phân, dưói sn hưóng
dan cna TS. Tr%nh Tuân tôi đã chon đe tài
“Tích ch¾p suy r®ng vái hàm trong đoi vái phép bien đoi
tích phân Laplace và Nng dnng ” .
Lu¾n văn đưoc trình bày trong 52 trang A4 ngoài phan mó đau.
Lu¾n văn đưoc chia thành 3 chương
Chương 1: Trình bày tóm tat m®t so kien thúc cna các phép bien đoi
tích phân Fourier sine, Fourier cosine, Laplace. Tích ch¾p cna các phép
bien đoi tích phân đó và sơ đo tích ch¾p suy r®ng có ví du minh hoa

đoi Laplace giái đóng phương trình và h¾ phương trình tích phân dang
ch¾p.


4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Nghiên cúu tích ch¾p suy r®ng vói hàm trong đoi vói phép bien
đoi tích phân Laplace bao gom đ%nh nghĩa, đang thúc nhân tú hoá, tính
chat và úng dung cna tích ch¾p này vào vi¾c giái đóng phương trình và
h¾ phương trình tích phân dang ch¾p.

5. Phương pháp nghiên cNu
+ Sú dung lý thuyet tích ch¾p và tích ch¾p suy r®ng đoi vói các
phép bien đoi tích phân.
+ Sú dung m®t so công cu cna giái tích hàm như các không gian
hàm, lý thuyet toán tú.

6.Đóng góp mái
Lu¾n văn trình bày m®t cách có h¾ thong ve tích ch¾p suy r®ng
vói hàm trong đoi vói phép bien đoi tích phân Laplace và úng dung cna
tích ch¾p suy r®ng mói đe giái đóng phương trình tích phân và h¾
phương trình tích phân dang ch¾p.


Chương 1
M®T SO KIEN THÚC CHUAN B±
Trong chương này chúng tôi trình bày m®t cách tóm tat lai m®t so
kien thúc ve các phép bien đoi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier
cosine và Laplace, tích ch¾p và tích ch¾p suy r®ng cna các phép bien đoi
nói trên. Đ¾c bi¾t là sơ đo kien thiet tích ch¾p và tích ch¾p suy r®ng có
hàm trong. Sau moi sơ đo đó chúng tôi đeu nêu m®t so tích ch¾p, tích


(1.1)


5


6

á đó F đưoc goi là phép bien đoi Fourier ho¾c toán tú Fourier
Và F có phép bien đoi Fourier ngưoc F −1 đưoc đ%nh nghĩa
Phép bien đoi Fourier ngưoc cúa m®t hàm đưoc xác đ%nh bói công thúc
+∞
¸
.
1
.
eixy f˜(y) dy x ∈ R
(1.2)
F −1 f˜ (x) = √
2π−∞
.
.
±iyx
Nh¾n xét 1.1. Vì e
= 1 và f ∈ L1(R+) nên tích phân (1.1), (1.2)
.
.
h®i tu vói moi x ∈ R
F, F −1 là các toán tú tuyen tính

cosxy.f˜(y)dy,

x>0

(1.4)

0

Đ%nh nghĩa 1.1.3. (Xem [5],[11]). Phép bien đoi Fourier sine (Fs) cúa
m®t hàm f thu®c L1(R+) là m®t hàm và đưoc xác đ%nh bói công thúc.
f˜(x) = (Fs f )(x)
=

. 2 ¸∞
sinxy.f (y)dy,
π

Phép bien đoi Fourier sine ngưoc (F
công
thúc

(F s− f˜)(x)
1
=

.

0
−1
s


c

−
F=

{(Fcf )(Fcg)}(x)

¸

√1
2π

1

f (ξ)[g(x + ξ) + g(|x − ξ|)]dξ
+∞

0
+∞

¸
Hay
0

¸
f (ξ)[g(x + ξ) + g(|x −
1
{(Fcf )(Fcg)}(y)cos(xy)dy =
ξ|)]dξ

¸
cos(xy)(Fcg)(y)dy

0
+∞

+∞

f (ξ)cos(yξ)dξ
0

¸

¸

cos(xy)cos(yξ)(Fcg)(y)dy
=2
f
(ξ)dξ π
0
0
+∞
¸+∞
.
1. 2
f (ξ)dξ. 2 ¸ cos(y(x + ξ))(Fcg)
=
(y)dy
2 π
π

1
√ ¸+∞
2
π

Tù (1.7), (1.8) ta có
+∞

¸

¸

{(Fcf )(Fcg)}(y)cos(xy)dy =
0

.

¸

1

0

g(x + ξ) +
g(|x − ξ|)
.dξ

f (ξ)[g(x + ξ) + g(|x − ξ|)]dξ (1.8)

0


¸
Hay
0

¸
f (ξ)[g(x + ξ) + g(ξ −
1
{(Fsf )(Fsg)}(y)cos(xy)dy =
x)]dξ
20

Đ%nh lý (1.1.2) ta chúng minh tương tn như đ%nh lý (1.1.1)
1.1.2.

Phép bien đoi Laplace

Đ%nh nghĩa 1.1.4. (Xem [4) Giá sú vói moi hàm f (t) là hàm phúc
cúa
+∞
¸
bien so thnc t sao cho tích phân
f (t)e−stdt h®i tn ít nhat vói m®t so
0

phúc s = a + ib. Hàm F đưoc xác đ%nh bói công thúc sau
+∞

¸


1
s−
a

e

−(s−a)t

.+∞

..
t=0

=

1

s−a

0

vói res(s − a) > 0
Đ%nh lý 1.1.3. (Xem[4]). Neu hàm F (s) là ánh cúa hàm goc f(t) vói
¸∞
chs so tăng p0. Thì tích phân
f (t)e−stdt h®i tn vói moi s = a + ib
0 có
Res > p0



a−ib

Trong đó tích phân lay doc theo đưòng thang bat kì Res = p > p0

1.2.
1.2.1.

Tích ch¾p và tích ch¾p suy r®ng
Tích ch¾p

Đ%nh nghĩa 1.2.1. (Xem [6], [7], [12]). Cho U1(X), U2(X) là các
không gian tuyen tính, V (Y ) là đai so. Khi đó
(∗) : U1(X) × U2(X) → V (y)
(f, g) → (f ∗ g)(y)
đưoc goi là phép toán tích ch¾p. Kí hi¾u :(*)
Giá sú K là m®t toán tú tuyen tính tù không gian tuyen tính U (X)
vào đai so V (Y )
K : U (X) → V (Y )
Tích ch¾p cna hai hàm f ∈ U1(X), g ∈ U2(X) đoi vói phép bien đoi
K là m®t hàm, kí hi¾u (f ∗ g) sao cho đang thúc nhân tú hóa sau đây
đưoc thóa mãn
K(f ∗ g)(y) = (Kf )(y)(Kg)(y)


Khi đó U (X) cùng vói phép nhân ch¾p như trên xác đ%nh m®t đai so
Cho đen nay hau het các phép bien đoi tích phân đã đưoc xây dnng
tích ch¾p chang han như phép bien đoi Fourier, phép bien đoi Fourier
sine, phép bien đoi Fourier cosine, phép bien đoi Hilbert, phép bien đoi
Stieltjes, phép bien đoi Laplace, phép bien đoi Mellin, phép bien đoi
Kontorovich-Lebedev,...


Ví dn 1.2.2. (Xem [11], [12]).Cho f, g ∈ L1(R+). Tích ch¾p đoi vói
phép bien đoi tích phân Laplace (1.9) cna hai hàm f và g đưoc xác đ
%nh bói công thúc
.f

¸x

∗ g.(x)

f (x − y)g(y)dy, x > 0

(1.12)

0

=
L

Tích ch¾p này giao hoán đưoc và thu®c không gian L1(R+), đong thòi
thoá mãn đang thúc nhân tú hóa
L.f ∗ g.(y) = (Lf )(y)(Lg)(y), y > 0

(1.13)

L

Tuy nhiên trưóc nhung năm 50 cna the kí trưóc, các tích ch¾p đã
đưoc biet đen là các tích ch¾p không có hàm trong. Đen năm 1967,
V.A.

2 2π
0
− t|)]
∞

γ1

f ∗ .(x)
g =
Fs

+ sign(x − 1 + t)g(|x − 1 + t|) + sign(x − 1 − t)g(|x − 1 − t|)]dt, x
>0
(1.14)
Tích ch¾p (1.14) thu®c không gian L1(R+) và thoá mãn đang thúc
nhân tú hóa
γ1

Fs.f ∗ g.(y) = siny(Fsf )(y)(Fsg)(y), y > 0

(1.15)

Fs

Chú ý rang cho đen nay tích ch¾p đoi vói phép bien đoi tích phân
Fourier sine cna hai hàm f và g van chưa đưoc xây dnng khi không có
hàm trong γ(y) tham gia vào.
Ví dn 1.2.4. (Xem [6]).Cho f, g ∈ L1(R+). Tích ch¾p có hàm trong
γ2(y) = cosy cna hai hàm f và g đoi vói phép bien đoi tích phân Fourier
cosine (Fc) (1.3) đưoc xác đ%nh như sau

chung là trong đang thúc nhân tú hóa chí có m®t phép bien đoi tích phân
tham gia . Do đó các tích ch¾p này không phái là các tích ch¾p suy r®ng,
đieu đó ít nhieu làm han che úng dung cna nó. Năm 1998, V.A.Kakichev
và Nguyen Xuân Tháo đã xây dnng đưoc sơ đo kien thiet tong quát nhat
cna tích ch¾p suy r®ng vói hàm trong đoi vói ba phép bien đoi tích phân
bat kì(xem[8]). Trong phan tiep theo chúng tôi se trình bày m®t so tích
ch¾p suy r®ng như nhung ví du minh hoa cho sơ đo tích ch¾p suy r®ng
(1.18) đong thòi các tích ch¾p này còn đưoc sú dung trong chương 2,
chương 3.
1.2.2.

Tích ch¾p suy r®ng vái hàm trong đoi vái các phép bien
đoi tích phân
Năm 1998, V.A.Kakichev và Nguyen Xuân Tháo (xem[8]) đã cho

ket quá xây dnng tích ch¾p suy r®ng vói hàm trong đoi vói 3 phép bien
đoi tích phân và đưoc tóm tat như sau:
Xét các phép bien đoi tích phân
Kj : Uj (Xj ) → V (Y ), j = 1, 2, 3
¸
˜
f j (y) = (Kj fj )(y) kj (y, xj )fj (xj )dxj ∈ V (Y )
=
Xj

é đó Uj (Xj ) là các không gian tuyen tính, V(Y) là đai so
Đ%nh nghĩa 1.2.2. Tích ch¾p tong quát đoi vói các phép bien đoi tích
phân K1, K2, K3 vói hàm trong γ1 cúa hai hàm f và g là bieu
thúc
. γ .

.

f
∗ g thóa mãn đang thúc nhân tú hóa

3

.
K3 .f ∗ g (y) = γ3(y)(K1f )(y)(K2g)(y)
γ3

Khi K1 ≡ K2, thì có :
. γ .
1 g , thóa mãn đang thúc nhân tú hóa
∗
f
. γ1 . (y) = γ1(y)K1f )(y)(K3g)(y)
K1 f ∗ g
.f γ

.
∗ g thóa mãn đang thúc nhân tú hóa

2

.
K1
.f γ

. (y) = γ2(y)K1f )(y)(K3g)(y)

K1 .f ∗ g (y) = γ(y)(K1f )(y)(K1g)(y)
γ

Tong so có 24 tích ch¾p tong quát và 3 tích ch¾p (chưa ke đen các hàm
trong). Đe minh hoa cho các sơ đo ve tích ch¾p suy r®ng vói hàm trong
đoi vói các phép bien đoi tích phân khác nhau sau đây ta xét m®t so ví
du:
Ví dn 1.2.5. (Xem[8])Cho f, g ∈ L1(R+) . Tích ch¾p suy r®ng đoi vói
phép bien đoi tích phân Fourier cosine (Fc) (1.3) và Fourier sine (Fs)


(1.5) cna hai hàm f và g, kí hi¾u (f ∗ g), đưoc xác đ%nh bói công thúc
2

(f ∗ g)(x)
=
2

+∞

¸

√1
2
x>
π0

f (u)[sign(u − x)g(|u − x|) + g (u + x) ]du,

0


(f ∗ g)(x)
=
1

¸∞ f (u)[g(|x − u|) − g(x + u)]du, x > 0 (1.22)
√1
2π
0


Ho¾c cũng có the viet
∞
1 ¸

(f ∗
g)(x) = √
1
2π

g(y)[f (x + y) + sign(x − y)f (|x − y|)]dy, x > 0
0

(1.23)

Tích ch¾p (1.22) thu®c không gian L1(R+) và thóa mãn đang thúc
nhân tú hóa
Fs(f ∗ g)(y) = (Fsf )(y)(Fcg)(y), ∀y > 0
1


•

M®t so không gian hàm

L1 (R) là t¾p hop tat cá các hàm f xác đ%nh trên (−∞; +∞) sao cho
+∞
¸
|f (x)|dx < +∞.
−∞

17