PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN 10
KIỂM TRA HỌC KỲ II
Năm học: 2015 – 2016
Môn: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Học sinh được phép sử dụng máy tính không có thẻ nhớ.
Câu 1: (3 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình sau:
11x  3 y  7
a / 
4 x  15 y  24

b/ 9x4 – 12x2 + 4 = 0
c/ (x + 2)(x – 1) =10
Câu 2: (2 điểm) Cho hàm số (P): y = –x2 và đường thẳng (d): y = x – 2
a/ Vẽ Parabol (P) và đường thẳng (d) trên cùng một hệ trục tọa độ.
b/ Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
Câu 3: (1,5 điểm) Cho phương trình x2 – (m + 1)x + m – 2 = 0 (x là ẩn số, m là tham số)
a) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
b) Tính tổng và tích của hai nghiệm x1 và x2 của phương trình theo m.
c) Tính biểu thức A = x12 + x22 – 6 x1x2 theo m và tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 4: (3,5 điểm) Cho ∆ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R), hai
đường cao BE, CF cắt nhau tại H.
a/ Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp. Xác định tâm M của đường tròn ngoại tiếp tứ
giác BCEF.
b/ Tia AH cắt BC tại D. Chứng minh: DH.DA = DB.DC.
c/ Gọi N là điểm đối xứng của H qua M. Chứng minh điểm N thuộc đường tròn (O).
Suy ra AN là đường kính của đường tròn (O).
d/ Gọi K là hình chiếu của B trên AN. Chứng minh ba điểm E, K, M thẳng hàng.

55 x  15 y  4 x  15 y  35  24
 
4 x  15 y  24

0,25 điểm

 x  1
 
4 x  15 y  24

 x  1

 
4
 y   3

0,25 điểm

0,25 điểm

Giải bằng phương pháp thế:
Rút được một ẩn thứ nhất theo ẩn còn lại: 0,25 điểm
Thế ẩn thứ nhất vào phương trình kia:

0,25 điểm

Tìm được hai ẩn: 0,25 điểm x 2 = 0,5 điểm
b/ 9x4 – 12x2 + 4 = 0
HS đưa về phương trình bậc hai ẩn y: y = x2 (y ≥ 0)
9x4 – 12x2 + 4 = 0

HS không đặt ẩn phụ y=x2 mà giải phương trình bậc hai 9y2 – 12y + 4 = 0: không chấm
điểm)
c/ (x + 2)(x – 1)=10 1 điểm
 x2 – x + 2x – 2 = 10
 x2 + x – 12 = 0
∆ = b2 – 4ac

0,25 điểm


= 12 – 4.1.( –12) = 49

0,25 điểm

=>x1 = –4

x2 = 3 (0,25 điểm)

(0,25 điểm)

*/ HS giải theo cách đưa về phương trình tích:
x2 +x – 12= 0  x2 + 4x – 3x – 12= 0  ...  (x + 4)(x – 3)= 0

0,5 điểm

Tìm được x1, x2: 0,25 x 2 điểm
Câu 2: (2 điểm)
a/ Lập bảng giá trị của (P) đúng, có ít nhất 3 giá trị của (x;y) và các giá trị của x đối xứng qua
điểm O(0 ;0):
0,25 điểm


c
 x1.x2  a  m  2

0,5 điểm

0,25 điểm + 0,25 điểm

d) Tính biểu thức A = x12 + x22 – 6 x1x2 theo m và tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất
điểm
A = x12 + x22 – 6 x1x2 = (x1+x2)2 – 8x1x2 = (m+1)2 – 8(m – 2)
A = (m –3)2 +8 ≥ 8
A đạt gtnn là 8 khi m = 3

0,25 điểm

0,25 điểm

0,5


Câu 4: (3,5 điểm)
Cho ∆ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R), hai đường cao BE, CF cắt
nhau tại H.
a/ Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp. Xác định tâm M của đường tròn ngoại tiếp tứ
giác BCEF.
1 điểm

A


Tâm M là trung điểm của BC.

0,25 điểm

HS chứng minh tứ giác BCEF đúng nhưng không ghi đủ luận cứ : trừ 0,25 điểm

b/ Tia AH cắt BC tại D. Chứng minh: DH.DA = DB.DC
H là trực tâm của ∆ABC => AD vuông góc với BC

0,25 điểm

1 điểm


Xét ∆BDA và ∆HDC:
Góc D chung
  HCD
 (cùng phụ với 
BAD
ABC )

0,25 điểm

 ∆BDA đồng dạng ∆HDC (gg)


BD DA

=> DH.DA = DB.DC
HD DC


 BEK
 phụ với BNA
  BCA

và BAK
(1)
Mặt khác ta có: ∆BEC vuông tại E, EM là trung tuyến
  MBE

 BEM
0,25 điểm
 phụ với góc BCA

và MBE
(2)


Từ (1), (2) => BEK  BEM => E, K, M thẳng hàng

----------- Hết ----------