THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ TAM GIÁC
 Dạng 71. Thể tích khối lăng trụ tam giác đều

Câu 1. Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a .

a3 3
A. V =
.
4

a3 3
B. V =
.
3

a3 3
C. V =
.
2

a3
D. V =
.
3

Lời giải tham khảo

Diện tích đáy: S =



D. Một kết quả khác.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

1


Lời giải tham khảo
Gọi I là giao điểm của AH và BC . Theo giả thiết H là trực

A'
C'

tâm của tam giác đề ABC nên AH là đường cao và H cũng
lả trọng tâm của tam giác đều ABC

B'

600

Nên AH =

A
C

H
I
B



ABC.ABC .
A. V =

a3 3
.
12

B. V =

a3 3
.
24

C. V =

3a 3
.
24

D. V =

a3 5
.
24

Lời giải tham khảo
Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Ta có SA ⊥ ( ABC )  AM
là hình chiếu vuông góc của AM trên ( ABC ) , nên



C
M

B

1
1 a2 3 a a3 3
.
.SABC .AA = .
. =
3
3 4 2
24

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

2


Câu 4. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng

( A’BC ) và ( ABC ) bằng 600 . Tính thể tích V
A. V =

3 3 3
a .
8

B. V =

a 3
3a
 AA’ = AM. tan 600 =
2
2

VABC . A ’B ’C ’ = SABC .AA’ =

3 3 3
a .
8

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

3


 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ✓

Câu 5. Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của A’ trên
mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của cạnh BC , AA ' = a 7 . Tính thể tích V của khối lăng
trụ đã cho.
A. V =

5 3a 3
.
24

B. V =


.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

Câu 6. Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều, các mặt bên đều là hình
vuông. Biết rằng mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC. A’B’C’ có diện tích bằng 21 . Tính thể
tích V của khối lăng trụ ABC. A’B’C’ .
A. V = 18 .

B. V =

27 3


. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

4


. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

Câu 7. Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy là các tam giác đều cạnh bằng 1 , AA ' = 3.
Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng ( A’BC )
A. d =

2 15
.
5


. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

'
Câu 8. Cho lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên

( ABC ) là trung điểm
( ACC ' A ' ) .
A. d =


.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................


3a 210
.
35

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................


C.

V A. AMN 1
= .
V A. ABC
4

D.

V A. AMN 1
= .
V A. ABC
5

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................


.
5

B. cos  =

3
.
5

C. cos  =

10
.
5

D. cos  = 5 .

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................



Câu 13. Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu của

C ’ trên ( ABC ) là trung điểm I của BC . Góc giữa AA’ và BC là 30 o . Tính thể tích V của

khối lăng trụ ABC. A’B’C’ .
A. V =

a3
.
2

B. V =

a3
.
8

C. V =

3a 3
.
8

D. V =

a3
.
4


.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

Câu 14. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 3 .
Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. A’B’C’ .
A. V =

a3
.
4

B. V =

3a 3
.
8

C. V =

a3
.
8

D. V =

3a 3


. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

8


Câu 15. Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu
vuông góc của A’ xuống ( ABC ) là trung điểm của AB . Mặt bên ( ACC ’ A’) tạo với đáy góc

450 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
3a 3
A. V =
.
16

a3 3
B. V =
.

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

9


 Dạng 72. Thể tích khối lăng trụ tam giác vuông

Câu 16. Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a,


VABC . A ’B’C ’ = SABC .AA’ =

a3 2
.
2

Câu 17. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC. A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A
có cạnh BC = a 2 và biết A ' B = 3a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V = a3 .

B. V = a3 2 .

C. V = 2a3 .

D. V = a3 3 .

Lời giải tham khảo
A'

C'
B'

A

+) Tam giác ABC vuông cân tại A , BC = a 2 nên AB = AC = a

C
B



a3 5
.
2

D. V = a3 5 .

Lời giải tham khảo

h = AH = HB =

AC a 5
a3 5
.
=
V =
2
2
2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

11


 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ✓

Câu 19. Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AC = a, Đường chéo

BC ’ của mặt bên ( BCC ’B’) tạo với mặt phẳng ( AA’C ’C ) một góc 300 . Tính thể tích V của


.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

Câu 20. Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B , AB = a , AC = a 3 ,
đường thẳng A ' C tạo với đáy một góc 450 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. A’B’C’ .
A. V =


. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

12



.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................


+4
+ 7 , AB = h + 1 , AD =
Đặt AA = h  BD =
4
4
2

Do tam giác BDA' vuông tại A nên AB2 = BD 2 + AD 2  h = 2 5 . Suy ra V = 15 .

Câu 23. Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13, 14, 15, cạnh bên tạo với mặt
phẳng đáy một góc 300 và có chiều dài bằng 8 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

13


A. V = 340 .

B. V = 336 .

C. V = 274 3 .

D. V = 124 3 .

A'

C'

Lời giải tham khảo

V A '. ABC
1
= .
V ABC . A ' B ' C ' 4

C.

V A '. ABC
.
V ABC . A ' B ' C '

V A '. ABC
1
= .
V ABC . A ' B ' C ' 6

D.

V A '. ABC
1
= .
V ABC . A ' B ' C ' 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

14


THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ TỨ GIÁC
 Dạng 74. Thể tích khối lập phương

C’

A’

D’

Câu 26. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' biết AD = 2a.
B. V = 8a3 .

A. V = a3 .

C. V = 2 2a3 .

D. V =

2 2 3
a .
3

Lời giải tham khảo
AD = AD 2 = 2a  AD = a 2  V = 2a3 2 .

Câu 27. Hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' có độ dài đường chéo bằng a . Tính thể tích

V của khối tứ diện AA’B’C’ .
A. V =

a2
3 3




( )

x2 + x 2
x=

V=

2

= a2

a
3

1
1
a3
.
SA ' B ' C ' AA ' = x3 =
3
6
18 3

Câu 28. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' , biết AD ' = 3a .
A. V = a3 .

B. V = 3 3a 3 .



a3
.
27

C. V =

16a3 2
.
27

D. V =

2a 3 2
.
27

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................


B. a = 5 cm .

C. a = 6 cm .

D. a = 4 cm .

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

D. V = 100.

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................


. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................



.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

19


C. V = 3a3 .

D. V = 18a3 .

Lời giải tham khảo
Chọn đáp án D.
+) AC = AC '2 − CC '2 = 3a , ABCD là hình vuông nên

AB =

AC
2

=

3a
2

.

+) Thể tích khối lăng trụ ABCD.A ' B ' C ' D ' là
2

V = AA '.SABCD

 3a 
3
= 4a. 
 = 18a .

C. V =

a3 6
.
3

D. V =

a3 6
.
6

Lời giải tham khảo
D'

C'

Ta có tam giác ABD đều nên: BD = a và SABCD = 2SABD =

A'
B'

a2 3
2

D
C

Theo đề bài BD ' = AC = 2



a

C

A
H

a 3
.
7

D. d = a

3
.
7

Lời giải tham khảo

CH ⊥ AA suy ra CH ⊥ ( ABB’ A’) . Do đó góc giữa A’C

2a

B

·
và mp ( ABB’ A ’) là góc CA ' H = 300

+ Ta có SABC =

B
http://dethithpt.com
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
/

21


+ SABC =

a2 3 1
3
= AB.CH  CH = a
2
2
7

(

+ Vậy: d (CC ’ ; AM ) = d CC ’ ; ( ABB’A’)

(

)

d C ; ( ABB’A’) = CH = a

)

3


S1
.
S2

S1 8 3
.
=
S2
3

Lời giải tham khảo
Độ dài cạnh của bát diện đều bằng một nửa độ dài đường chéo một mặt của hình lập
phương.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

22


 Dạng 76. Thể tích hình hộp chữ nhật

Câu 40. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì thể tích
bằng nhau.
B. Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì thể tích bằng nhau.
C. Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì thể tích
bằng nhau.
D. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì thể tích bằng nhau.



V a3 1
3a 3
a2 3
a 3
= SA1BD .d( B1 ; ( A1 BD)) , SA BD =
.V =
suy ra VB1A1BD = =
1
6
4 3
2
2
2
3VB1A1BD a 3
.
d( B1 ; ( A1 BD)) =
=
SA1BD
2

Sd = a2 3 , h =

Câu 42. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
AD = a 3 và AB = 3a. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng

( ABCD )

trùng với tâm O của hình chữ nhật ABCD . Tính thể tích V của khối lăng trụ



Trong ABD vuông tại A, ta có BD2 = AB2 + AD2 = a2 + 3a2 = 4a2 .

 BD = 2a. Ta có BO =

1
BD = a.
2

Trong AOB vuông tại O, ta có:

C’

3a

a

A
a

3
D

O
C

B

AO2 = AB2 − BO2 = 9a2 − a2 = 8a2  AO = 2a 2.
Chiều cao của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ .


.......................................................................

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

24


. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................


.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

Câu 45. Khi tăng độ dài tất cả các cạnh của một khối hộp chữ nhật lên gấp đôi thì thể tích
khối hộp tương ứng sẽ tăng lên bao nhiêu lần?
A. tăng 2 lần.

B. tăng 4 lần.

C. tăng 6 lần.


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

25