MỤC LỤC
I. Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đối tượng nghiên cứu
4. Phương pháp nghiên cứu
II. Nội dung sang kiến kinh nghiệm
1. Cơ sở lý luận của đề tài
2. Thực trạng của đề tài
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
4. Kết quả thực nghiệm của đề tài
III. Kết luận, kiến nghị
1. Kết luận
2. Những kiến nghị đề xuất

1


I. Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Khoảng cách và góc trong mặt phẳng tọa độ là mảng kiến thức rất quan
trọng trong phần hình học lớp 10, nó có mặt hầu hết trong các kì thi đặc biệt là
kì thi thpt quốc gia. Các bài toán về khoảng cách và góc rất đa dạng, là môn học
khó đối với nhiều học sinh THPT.
Vì vậy việc nghiên cứu phân loại và đưa ra phương pháp giải một số bài
toán về khoảng cách và góc trong mặt phẳng tọa độ là hết sức cần thiết nhằm
giúp cho người học tiếp nhận kiến thức một cách đầy đủ, có hệ thống, tránh
được cảm giác mơ hồ, chán nản, lười suy nghĩ. Là giáo viên giảng dạy toán tại
trường THPT tôi được nhà trường phân công giảng dạy toán 10. Tôi luôn luôn
suy nghĩ làm sao giúp cho học sinh giải thành thạo các bài toán về khoảng cách
và góc đạt được kết quả cao.

* M và N nằm cùng phía đối với ∆ khi : ( axM +byM+c)( axN +byN+c ) > 0;
* M và N nằm khác phía đối với ∆ khi : ( axM +byM+c)( axN +byN+c ) < 0
1.1.4. Công thức đường phân giác.
Cho hai đường thẳng ∆ 1: a1x+b1y+c1= 0 và ∆2 : a2x+b2y+c2 = 0.
Khi đó: Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi ∆1 và ∆2 là :
a1 x + b1 y + c1
a12 + b12

a2 x + b2 y + c2

=

a22 + b22

1.2. Góc giữa hai đường thẳng
1.2.1. Định nghĩa :
Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các
góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b, hay đơn giản là
góc giữa a và b. Khi a song song hoặc trùng với b, ta quy ước góc giữa chúng
bằng 0 . Kí hiệu: góc giữa hai đường thẳng a và b kí hiệu là (a, b).
1.2.2. Liên hệ góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai vectơ
Gọi

r r
a b

, lần lượt là hai VTCP của đường thẳng a và đường thẳng b.

r
a

)
r
a

( ,

r
b

)

1.2.3. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆ 1: a1x+b1y+c1= 0 và ∆2: a2x+b2y+c2 = 0.Khi đó góc giữa
hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được xác định bởi công thức :
a1 a2 + b1b2

cos (∆1 , ∆2) =

a12 + b12 . a2 2 + b2 2

.

Nếu đường thẳng cho dưới dạng ∆1 : y = kx + b, ∆2 : y = k’x + b’ ( k, k’ lần
lượt là hệ số góc của hai đường thẳng ∆1 và ∆2 ) thì ∆
2. Thực trạng của đề tài:
3

⊥

∆

hoạt động phân tích, giải thích, so sánh kiến thức, kĩ năng đã biết.
Mức độ 3: Các bài tập ở mức vận dụng, đòi hỏi học sinh phải biết kết nối
và sắp xếp lại các kiến thức, kĩ năng đã học.
Với các mức độ bài tập như trên tôi đã áp dụng vào thực tiễn dạy học
thông qua những giải pháp cụ thể sau:

4


3.1.Giải pháp 1: Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức về khoảng cách và
góc trong việc tính góc giữa hai đường thẳng và khoảng cách từ một điểm
đến đường thẳng, xét vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Dạng 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và góc giữa hai đường
thẳng (mức độ1).
Phương pháp: áp dụng các công thức sau:
• Khoảng cách giữa hai điểm A(xA;yA ), B(xB;yB) là:
AB =

( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2

(1)

• Khoảng cách từ điểm M(x0 ;y0 ) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 được tính

d (M / ∆ ) =

ax0 + by0 + c
a 2 + b2

theo công thức :

Bài toán 1: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được cho tương ứng
như sau:
a) A(1 ; −5) và ∆:

b) B(2 ; 1) và ∆’:

3x + 4 y − 3 = 0
x = 3 + t

y = 2−t

Giải
5


3.1 + 4.(−5) − 3
42 + 32

a) Áp dụng công thức (2) ,ta có d(A , ∆) =

b) Chuyển phương trình đường thẳng ∆’:
quát là:

=

x = 3 + t

y = 2 −t

−20


x + y −1 = 0

.

Giải
Xét tam giác ABC với phương trình các cạnh của tam giác như đã cho. Khi đó
tọa độ các đỉnh của tam giác là nghiệm của các hệ phương trình sau:
 x + 2 y = 0 2 x + y = 0  x + 2 y = 0
;
;

2 x + y = 0  x + y = 1  x + y = 0

Giải các hệ này ta được tọa độ các đỉnh tam giác là (0 ; 0), (2 ; -1), (-1 ; 2).
Giả sử A(0 ; 0), B(2 ; -1), C(-1 ; 2). Vì AB = AC =

A.Ta có: cosA = cos(
⇒ µB µC ≈

=

uuu
r uuur
AB; AC

uuur uuur
AB. AC
uuu
r uuur


Dạng 2: Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng (mức độ 1).
Phương pháp: Để xét vị trí tương đối của hai điểm A, B đối với đường thẳng
(d) ta làm như sau: Thay tọa độ điểm A, B vào vế trái của phương trình đường
thẳng (d)
• Nếu được hai giá trị cùng dấu thì kết luận A, B cùng phía đối với (d).
6


• Nếu được hai giá trị khác dấu thì kết luận A, B khác phía đối với (d).
Bài toán 1: Biết các cạnh của tam giác ABC có phương trình:
Hãy cho biết gốc tọa độ O nằm trong hay nằm ngoài tam giác ABC.
AB: x – y + 4 = 0; BC: 3x + 5y + 4 =0; AC: 7x + y – 12 = 0.
Giải
Thay lần lượt tọa độ của O vào vế trái của phương trình đường thẳng BC, AC,
AB ta được: 3.0 + 5.0 + 4 = 4; 7.0 + 0 – 12 = -12; 0 – 0 + 4 = 4.
Thay tọa độ của A, B, C lần lượt vào vế trái của phương trình đường thẳng: BC,
AC, AB ta được: 3 + 5.5 + 4 = 32; 7.(-3) + 1 – 12 = 32; 2 + 2 + 4 = 8.
Như vậy : O và A nằm cùng phía đối với BC, O và B nằm cùng phía đối với AC,
O và C nằm cùng phía đối với AB. Vậy: O nằm trong tam giác ABC.
Nhận xét: Hai dạng toán trên là những dạng toán cơ bản với mục đích để cho
học sinh nhớ được các công thức cơ bản cũng như rèn kĩ năng tính toán. Tuy
nhiên, ta không thể bỏ qua bởi nó là cơ sở giúp chúng ta hình thành những ý
tưởng mới trong việc giải các bài toán phức tạp hơn đặc biệt là bài toán về cực
trị, bài toán quỹ tích . Khi làm gặp bài toán dạng này ta chỉ việc sử dụng công
thức, tính chất đã nêu ở phần phương pháp hoặc nếu cần thì chỉ vẽ hình phác
họa, mà không cần phải biểu diễn một cách chính xác tọa độ từng điểm hay từng
đường thẳng lên mặt phẳng tọa độ. Đây cũng là ưu điểm của phương pháp tọa
độ trong mặt phẳng.
3.2.Giải pháp 2: Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức khoảng cách và góc

, từ đó suy ra tọa độ D

• Viết phương trình đường thẳng AD đi qua hai điểm A, D.
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC có : A(1;5); B(-3;1);
C(2;-2).Viết phương trình đường phân giác trong góc A
Giải
Cách 1:
• Phương trình cạnh AB:
Phương trình cạnh AC:

x− y+4=0
7 x + y − 12 = 0

• Phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng AB, AC
x− y+4
7 x + y − 12
=±
2
49 + 1

⇔ x + 3 y − 16 = 0

hoặc

3x − y − 2 = 0

• Vì hai điểm B, C nằm cùng phía đối với
Nên

3x − y + 2 = 0


3x − y + 2 = 0

Bài toán 2: a) Cho hai điểm A(x1 ; y1) và B(x2 ; y2), Viết phương trình đường
thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng m > 0.
b) Cho đường thẳng d có phương trình ax + by +c = 0. Viết phương trình đường
thẳng ∆ song song với d và cách d một khoảng bằng n > 0.
Phương pháp
a)
• Giả sử phương trình đường thẳng đi qua A có dạng: a(x-x1)+b(y-y1)=0 (∆)
• d(B/ ∆)=m , suy ra biểu thức liên hệ giữa a và b
• Vì một đường thẳng có vô số VTPT nên ta có thể chọn một bộ (a;b) thỏa mãn
biểu thức vừa tìm, từ đó suy ra phương trình đường thẳng cần tìm.
b)
≠

• Vì ∆ // d nên ∆ có dạng ax+by+c’ =0 (c’ c)
• d(M/d)=n ( M là một điểm bất kì trên ∆)

⇒

c’

⇒

phương trình đường thẳng ∆

Ví dụ 2
a) Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;5),B(5;1) . Viết phương trình đường
thẳng d qua A sao cho khoảng cách từ B đến d bằng 3

7
2

≠

b) Vì ∆ // d nên ∆ có dạng : 8x - 6y + c =0 (c -5)
Lấy một điểm M bất kì trên d: M(1;1/2).Khi đó : d(M/∆)=5
8.1 − 6.1 / 2 + c
82 + (−6) 2

c = 45
=5⇔
c = −55

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là : 8x-6y+45=0 hoặc 8x-6y-55=0.
Bài toán 3: viết phương trình đường thẳng (∆) qua điểm A và tạo với đường
thẳng (d) một góc α
Phương pháp:
r
n

• Gọi VTPT của đường thẳng (∆) là : (a ; b)
• Viết phương trình đường thẳng (∆) qua điểm A.
• Dùng công thức tính góc giữa hai đường thẳng (∆) và (d), từ đó tìm được biểu
thức liên hệ giữa a và b,
• Vì một đường thẳng có vô số VTPT nên ta có thể chọn một bộ a, b thỏa mãn
biểu thức vừa tìm được. Thay a, b vào phương trình tổng quát ban đầu ta tìm
được phương trình đường thẳng cần tìm.
Ví dụ 3 : Trong (Oxy) cho A(2;5) và đường thẳng d : 2x+3y+4=0. Viết phương
trình tổng quát của đường thẳng d' qua A và tạo với d một góc bằng

10

.


b = −5a → d ' : ( x − 2 ) − 5 ( y − 5 ) = 0 ↔ x − 5 y + 23 = 0
∆ 'b = 169a ⇒ 
b = a ↔ a = 5b → d ' : 5 ( x − 2 ) + ( y − 5 ) = 0 ↔ 5 x + y − 15 = 0

5
2

Ta có :

Bài toán 4: Trong (Oxy) ,viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;2) cắt

0x,0y tại A,B sao cho :

1
1
+
2
OA OB 2

bé nhất

Giải :

Cách 1:Kẻ OH



bé nhất hay OH lớn nhất

. Dấu =xảy ra khi OH=OM. Khi đó : d đi qua M và nhận

uuuu
r
OM

làm

VTPT
Vậy phương trình đường thẳng d là : x+2y-5=0
Nhận xét: Phép biến đổi trên chuyển biểu thức ban đầu với hai đại lượng biến
thiên OA,OB về một biểu thức còn một đại lượng biến thiên OH.
Bài toán 5 : Lập phương trình đường thẳng đi qua P(2 ; 1) sao cho cùng với 2
đường thẳng (d): 2x – y + 5 = 0 và (d’): 3x + 6y – 1 = 0 tạo thành tam giác cân
có đỉnh là giao điểm của (d) và (d’).
Giải
Cách 1:Từ phương trình đường thẳng (d) và (d’) ta có:
r
n

VTPT của (d) là (2 ; -1) ; VTPT của (d’) là
Vì 2.3 + (-1).6 = 0 nên (d)

⊥

r
n'


⇔

)=cos45

5. a 2 + b 2

0

=

 a = 3b
⇔
2
b = −3a

1

Với a = 3b, chọn b =1, a =3 ta được phương trình đường thẳng
3(x – 2) + (y – 1) = 0

⇔

d ''

là:

3x + y – 7 = 0

Với b =-3a , chọn b = -3, a = 1 ta được phương trình đường thẳng

Vì M thuộc d3 nên M(2y ; y). Theo giả thiết, ta có:
⇔

d(M;d1 )= 2 d(M;d2)

2y + y + 3
2

=2

2y − y − 4
2

Với y = -11 ta được điểm M (-22 ; -11).
Với y = 1 ta được điểm M (2 ; 1).
12

 y = −11
⇔
y =1


Bài toán 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;2) và các đường
thẳng d1: x + y – 2 = 0, d 2: x + y – 8 = 0. Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt
thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A
Giải
B thuộc d1 nên B(b ;2 – b) , C thuộc d2 nên C(c; 8-c).
Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên:
uuur uuur
(b − 2).(c − 2) − b(6 − c) = 0

−
4)
=
3
 c = 3


Suy ra: B(-1 ; 3), C(3 ; 5) hoặc B(3 ; -1), C(5 ; 3)
Bài toán 3: Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A(1;-1) ,B(2;1), diện

tích bằng

11
2

và trọng tâm G thuộc đường thẳng d : 3x+y-4=0 . Tìm tọa độ đỉnh

C của tam giác ABC
Giải
- Vì G thuộc d nên G(t;4-3t). Gọi C(

 1 + 2 + x0
t =
 x0 = 3t − 3
3
⇔

 y0 = 12 − 9t
4 − 3t = y0


15t − 21
5

.

1
AB.h ( C , AB ) ⇒
2

 32
 17 36 
 32
t=
→ C =  ;− ÷
t=


15t − 21 15t − 21 11
1
15
5 
15
 5
S=
5
=
= ⇔ 15t − 21 = 11 ⇒ 
⇔
2
2

⇔ CD = ( 4;1) ↔ CD = 17; ( CD ) :
=
⇔ x − 4 y + 17 = 0
4
1
h1 = ( M , AB ) =

4a + 3 ( 3a − 5 ) − 4

- Tính :

5

=

13a − 19
5

, h2 =

a − 4 ( 3a − 5 ) + 17
17

=

3 − 11a
17

- Nếu diện tich 2 tam giác bằng nhau thì :
5. 13a − 19

MA + 3MB

điểm A(1;0) ,B(3;-4). Hãy tìm trên d điểm M sao cho

nhỏ nhất.

Giải
- Trên d có M(3-2t;t) suy ra :

uuur
uuur
uuur
MA = ( 2 − 2t ; t ) , MB = ( −2t ; t + 4 ) ⇒ 3MB = ( −6t + 3t + 12 )

uuur uuur
uuur uuur
MA + 3MB = ( 2 − 8t; 4t + 12 ) ⇒ MA + 3MB =

( 2 − 8t )

2

+ ( 4t + 12 )

2

- Do vậy :

- Hay : f(t)=



450

Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm M(1;1) đến đường thẳng ∆: x−y−2=0
Bài 3: Trong mp (Oxy) cho đường thẳng (∆) có phương trình:2x – y – 1 = 0
∈

và hai điểm P (1;6); Q (-3;-4). Tìm điểm M (∆) sao cho:
MP + MQ có giá trị nhỏ nhất
Bài 4:

Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC có : A(1;1)

B(2;4);C(8;2).Viết phương trình đường phân giác trong góc A
Bài 5: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2;−1), đường cao
và đường phân giác trong qua đỉnh A và C lần lượt là d: 3x−4y+27=0 và
∆: x+2y−5=0
Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh
A(6;6), đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình

15


x+y−4=0.Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1;−3) nằm trên đường cao đi
qua điểm C của tam giác đã cho.
4. Kết quả thực nghiệm của đề tài.
Từ kinh nghiệm thực tiễn của bản thân trong quá trình dạy học, sự giúp đỡ
đồng nghiệp, thông qua việc nghiên cứu các tài liệu có liên quan đề tài đã hoàn
thành và đạt được những kết quả chính sau đây:
+ Đề tài đã nêu lên thực trạng của việc dạy và học chủ đề “Khoảng cách và

sinh học tốt phần này.
2. Những kiến nghị đề xuất: Để đạt được yêu cầu trên, sự cố gắng hải từ hai
phía cả thầy và trò.
Đối với học sinh:
- Phải phân tích đề bài thật kỹ và tìm lời giải theo các bước mà giáo viên
đã hướng dẫn.
- Phải kiên trì,chịu khó đầu tư thời gian nhất định để trau dồi kiến thức
qua các tư liệu tham khảo (giáo viên giới thiệu).
- Chủ động trong giờ học, phát huy tính tích cực, sáng tạo trong tư duy
của mình dưới sự hướng dẫn của thầy.
Đối với giáo viên:
- Phải đầu tư soạn giáo án cẩn thận,chu đáo từ nguồn tư liệu và kiến thức
cũng như kỹ năng của mình (nếu có hỗ trợ của máy chiếu thì hiệu quả càng cao)
- Phải có hướng khai thác hợp lý, khoa học thấu đáo, phát huy trí, lực của
học sinh.
- Phải thực sự kiên trì và chịu khó vì học sinh là đối tượng tiếp thu bài
không nhanh và dễ nản lòng, bỏ cuộc.
Mặc dù đã cố gắng bằng việc tham khảo rất nhiều các tài liệu để viết và xin
ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp và đưa vào giảng dạy cho học sinh để
kiểm nghiệm và dần hoàn thiện đề tài. Nhưng thật khó tránh khỏi những thiếu
xót bởi những hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế, rất mong nhận được ý kiến
bổ xung của các đồng nghiệp để tôi có nhận thức hoàn thiện hơn, đầy đủ hơn và
có tác dụng trong thực tế giảng dạy .
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Xác nhận của thủ trưởng
Triệu Sơn,Ngày 25 tháng 4 năm 2018
đơn vị:
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
17