MỤC LỤC
1. Mở đầu..............................................................................................................1
1.1. Lý do chọn đề tài............................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu......................................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu.....................................................................................1
1.4. Phương pháp nghiên cứu................................................................................1
2. Nội dung ..........................................................................................................2
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.......................................................2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm........................2
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề..............................................2
2.3.1. Kiến thức toán và các kỹ năng có liên quan................................................2
2.3.2. Một số bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số......................................4
2.3.2.1. Dự đoán số hạng tổng quát và chứng minh bằng quy nạp.......................4
2.3.2.2. Áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của dãy số..5
2.3.2.3. Xác định số hạng tổng quát bằng phương trình đặc trưng …….………..8
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm .............................................................9
2.4.1. Đối với học sinh..........................................................................................9
2.4.2. Đối với bản thân và đồng nghiệp..............................................................10
2.4.3. Đối với nhà trường....................................................................................10
3. Kết luận, kiến nghị........................................................................................11
3.1. Kết luận........................................................................................................11
3.2. Kiến nghị......................................................................................................11


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Nâng cao năng lực nghiên cứu khoa học cho giáo viên là một nhiệm vụ quan
trọng trong các nhà trường nói chung và các trường THPT nói riêng. Trường THPT
Như Thanh thường xuyên phát động phong trào viết chuyên đề, sáng kiến kinh

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sang kiến kinh nghiệm :
Khuyến khích học sinh vận dụng kiến thức từ thực tiễn trong học tập. Làm cho
kiến thức toán học thêm phong phú, đa dạng, tăng thêm sự đam mê, hứng thú và sinh
động đối với học sinh, nhằm phát triển, năng lực và phẩm chất học sinh.
Khuyến khích sự tìm tòi, sáng tạo của giáo viên và học sinh trong đổi mới
phương pháp giảng dạy, học tập góp phần nâng cao kết quả trong dạy và học. Qua đó,
kiến thức học sinh thu nhận được sâu sắc hơn.
Học sinh thấy được chủ đề “ Dãy số ” có vai trò quan trọng trong việc giáo dục
kĩ năng giải toán, giúp học sinh đạt được kết quả cao hơn trong kỳ thi THPT và kỳ thi
học sinh giỏi cấp tỉnh.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề :
Giáo viên đưa ra hệ thống các bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số phù
hợp và giúp học sinh tư duy định hướng dẫn đến giải các bài toán một cách phù hợp.
Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán trước hết giáo viên cần
yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức về dãy số từ đó có thể tự suy ra các biểu thức
thường gặp. Sau đó giáo viên chọn một số bài toán điển hình để học sinh vận dụng.
Trong đề tài này, tôi xin đưa ra một số bài tập về tìm số hạng tổng quát của dãy
số.
2.3.1. kiến thức liên quan
* Định nghĩa 1: Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương N * được gọi là
dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:
u : N* � R
n a u (n)

Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển
u1 , u2 ,..., un ,...,


Trong đó un  u (n) hoặc viết tắt là (un ) , và u1 được gọi là số hạng đầu, un được gọi là
số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.

un 1  un 1
2

+) Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng
Gọi Sn là tổng n số hạng đầu của cấp số cộng , sn  u1  u2  ...  un , ta có
Sn 

* Cấp số nhân.

n
n
(u1  un )   2u1  ( n  1) d 
2
2


+) Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số(hữu hạn hặc vô hạn), trong đó kể từ số
hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số
không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
+) Số hạng tổng quát: Nếu cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1 và công bội q thì số
hạng tổng quát được xác định như sau:
un  u1.q n 1

+) Tính chất: Trong cấp số nhân, trừ số hạng đứng đầu và số hạng đứng cuối, trị tuyệt
số hạng đứng giữa bằng trung bình nhân hai số hạng liền kề
un  un 1un

+) Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân
Gọi Sn là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân , sn  u1  u2  ...  un , ta có
S n  u1

k

+) Giả sử công thức (1) đúng đến n  k , (k �1) , nghĩa là ta đã có uk  .
+) Ta cần chứng minh (1) vẫn đúng đến n  k  1, (k �1) , nghĩa là cần chứng minh
uk 1 

1
. Thật vậy
k 1
uk 1 

�

u
1
1
� k 
k  1 1  uk k  1

1
k

1
1
k



1
1

3
3
; u3 
; u5 
;...
2
2
2

3
, n �1
2

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được un 

3
, n �1 .
2

Bài toán 3.Tìm số hạng tổng quát của dãy số, biết
�
u1  2
�
, n  1, 2,3,...
�
un 1  2  un
�


4

Ta dự đoán và chứng minh được un  tan

n
, n �1.
12

2.3.2. 2. Áp dụng cấp số cộng và cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của dãy
số
Đưa dãy số về công thức của cấp số cộng hoặc cấp số nhân, và tìm ra số hạng
tổng quát.
Bài toán1. Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được cho bởi
u1  1
�
, n  2,3,...
�
un  un 1  2
�

Ta có un  un 1  2 là cấp số cộng có u1  1; d  2 . Vậy số hạng tổng quát là
un  3  2n

Bài toán 2. Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được cho bởi
u1  2
�
, n  2,3,...
�
un  3un 1  1
�



1
2

Bài toán 3. Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được cho bởi
u1  2
�
, n  2,3,...
�
un  2un 1  3n  1
�
v 4
�
, n  2,3,...
vn  2vn 1
�

1
Đặt un  3n  1  vn ,ta thu được cấp số nhân �

Suy ra số hạng tổng quát của cấp số nhân (vn ) là vn  5.3n 1 .
Theo cách đặt ta có un  5.3n 1  2 n1 .
u1  
�
, n  2,3,...
un  aun 1  b
�

Tổng quát: Tìm số hạng tổng quát của dãy số biết �
Ta thu được un  u1  (n  1)b nếu a  1 ;
un  u1.a n 1  b

Theo cách đặt ta có un  5.3n 1  2 n1
Bài toán 5. Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được cho bởi
u1  1
�
, n  2,3,...
�
un  2un 1  3n  n
�

Ta có

un  3n 1  n  2  2(un 1  3n  (n  1)  2) .
v  11
�
, n  2,3,...
vn  2vn 1
�

1
Đặt vn  un  3n 1  n  2 ,ta thu được cấp số nhân �


Suy ra số hạng tổng quát của cấp số nhân (vn ) là vn  11.2n 1 .
Theo cách đặt ta có un  3n 1  n  2  11.2n 1 .
Trên đây ta xết dãy số cho dưới dạng hàm đa thức, đối với một số dãy cho dưới
dạng hàm phân thức ta vẫn có thể áp dụng được nếu ta biết cách đặt phù hợp
Bài 5. Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được cho bởi
u1  1
�
�


� 5
v1 
�
, n  2,3,...
� 2
�
vn  2vn 1
�

Bài toán 6. Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được cho bởi
u1  2
�
�
� 9un 1  24 , n  2,3,...
un 
�
5un 1  13
�

Ta đặt un 1  xn1  t thay vào công thức trên ta được
xn  t 

9( xn 1  t )  24
9 xn 1  9t  24
� xn 
5( xn 1  t )  13
5 xn 1  5t  13

� xn 

un  5un 1  6un  2
�


x2
�
x3
�

2
Xét phương trình đặc trưng x  5 x  6  0 � �

Vậy số hạng tổng quát của dãy số có dạng un   .2n   .3n
u0  1
    1
  6
�
�
�
��
nên ta có �
u1  3
2  3  3 �  5
�
�

Do �

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là un  5.2n  6.3n
Bài toán 2. Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được cho bởi

nên ta có �
u1  2
(2  5)  (2  5)   2
�
�
�  1
� 2
1
2

1
2

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là un  (2  5) n  (2  5) n .
Bài toán 3. Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được cho bởi
u0  1; u1  3
�
, n  2,3,...
�
un  4un 1  4un  2  0
�

Xét phương trình đặc trưng x 2  4 x  4  0 � x  2
Số hạng tổng quát của dãy số có dạng un  (k .n  l ).2n 1
u0  11
�
Do �
nên ta có
u1  3
�

2
Xét phương trình đặc trưng x  7 x  11x  5  0 � �

x3  5
�

Số hạng tổng quát của dãy số có dạng un     n   .5n
13
�
 
�
16
u1  0
    5  0
�
�
�
3
�
�
�
Do �u2  1 nên ta có �  2  25  1 � � 
4
�
�
  3  125  3 �
u3  3
�
�
1

 Dạng bài tập và phương pháp này chỉ có hiệu quả cao với học sinh khá, giỏi.
2.4.2. Đối với bản thân và đồng nghiệp:
 Đề tài này có thể dùng làm tài liệu cho học sinh và giáo viên trong quá trình dạy
học môn toán, ôn thi THPT Quốc Gia và thi học sinh giỏi.
 Từ đề tài này có thể mở rộng và ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán khó
về dãy số.
2.4.3. Đối với nhà trường:
 Đề tài đã và đang được áp dụng trong hoạt động giảng dạy góp phần nâng cao chất
lượng giáo dục môn Toán, nâng cao kết quả thi học sinh giỏi, kết quả thi THPT Quốc
gia của học sinh trường THPT Như Thanh.


3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Quá trình nghiên cứu đề tài đã thu được một số kết quả sau:
 Trong đề tài đã nghiên cứu về kỹ năng giải một số các bài tập tìm số hạng
tổng quát của dãy số
 Xây dựng được một hệ thống các bài tập về tìm số hạng tổng quát của dãy số
Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng dạy học nói chung và các kỹ năng cơ bản dạy
học môn toán nói riêng.
3.2. Kiến nghị
Sau khi tổng kết thực nghiệm sư phạm, chúng tôi có một số đề xuất sau:
 Giáo viên nên thay đổi phương pháp dạy học của mình để phù hợp với từng đối
tượng, từng nội dung bài học. Giáo viên hướng dẫn học sinh tự học, tự nghiên cứu, để
tạo ra những sản phẩm hữu ích giúp các em có một lượng kiến thức và kỹ năng tốt để
chuẩn bị cho các kỳ thi.
 Nhà trường, các tổ chuyên môn cần khuyến khích hình thức, tự học tự nghiên cứu,
hợp tác nhóm của học sinh theo sự hướng dẫn của giáo viên, từ đó tạo điều kiện cho
giáo viên và học sinh hợp tác làm việc nhằm cải thiện chất lượng học tập giúp các em
có một nền tảng kiến thức thật sự vững chắc.