I. DAO ĐỘNG CƠ
A. LÝ THUYẾT.
1. DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ
* Dao động cơ, dao động tuần hoàn
+ Dao động cơ là chuyển động qua lại của vật quanh vị trí cân bằng.
+ Dao động tuần hoàn là dao động mà sau những khoảng thời gian bằng nhau,
gọi là chu kì, vật trở lại vị trí cũ theo hướng cũ.
* Dao động điều hòa
+ Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là một hàm côsin (hay
sin) của thời gian.
+ Phương trình dao động: x = Acos(ωt + ϕ).
+ Điểm P dao động điều hòa trên một đoạn thẳng luôn luôn có thể được coi là
hình chiếu của một điểm M chuyển động tròn đều trên đường tròn có đường
kính là đoạn thẳng đó.
* Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hoà
Trong phương trình x = Acos(ωt + ϕ) thì:
+ A là biên độ dao động, đó là giá trị cực đại của li độ x; đơn vị m, cm. A luôn
luôn dương.
+ (ωt + ϕ) là pha của dao động tại thời điểm t; đơn vị rad.
+ ϕ là pha ban đầu của dao động; đơn vị rad.
+ ω trong phương trình x = Acos(ωt + ϕ) là tần số góc của dao động điều hòa;
đơn vị rad/s.
+ Chu kì (kí hiệu T) của dao động điều hòa là khoảng thời gian để thực hiện một
dao động toàn phần; đơn vị giây (s).
+ Tần số (kí hiệu f) của dao động điều hòa là số dao động toàn phần thực hiện
được trong một giây; đơn vị héc (Hz).
+ Liên hệ giữa ω, T và f: ω =
T
π
2
= 2πf.

Gia tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng
ngược pha với li độ (sớm pha
2
π
so với vận tốc).
Véc tơ gia tốc của vật dao động điều hòa luôn hướng về vị trí cân bằng và có
độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ.
- Ở vị trí biên (x = ± A), gia tốc có độ lớn cực đại : a
max
= ω
2
A.
- Ở vị trí cân bằng (x = 0), gia tốc bằng 0.
+ Lực tác dụng lên vật dao động điều hòa F = ma = -mω
2
x = - kx luôn hướng về
vị trí cân bằng, gọi là lực kéo về.
+ Đồ thị dao động điều hòa (li độ, vận tốc, gia tốc) là đường hình sin.
+ Phương trình dao động điều hòa x = Acos(ωt + ϕ) là nghiệm của phương trình
x’’ + ω
2
x = 0. Đó là phương trình động lực học của dao động điều hòa.
2. CON LẮC LÒ XO.
* Con lắc lò xo
+ Con lắc lò xo gồm một lò xo có độ cứng k, khối lượng không đáng kể, một
đầu gắn cố định, đầu kia gắn với vật nặng khối lượng m được đặt theo phương
ngang hoặc treo thẳng đứng.
+ Con lắc lò xo là một hệ dao động điều hòa.
+ Phương trình dao động: x = Acos(ωt + ϕ); với: ω =
m

.
* Năng lượng của con lắc lò xo
+ Động năng : W
đ
=
2
1
mv
2
=
2
1
mω
2
A
2
sin
2
(ωt+ϕ).
+ Thế năng: W
t
=
2
1
kx
2
=
2
1
k A

+ Con lắc đơn gồm một vật nặng treo vào sợi dây không giãn, vật nặng kích
thước không đáng kể so với chiều dài sợi dây, sợi dây khối lượng không đáng
kể so với khối lượng của vật nặng.
+ Khi dao động nhỏ (sinα ≈ α (rad)), con lắc đơn dao động điều hòa với phương
trình:
s = S
o
cos(ωt + ϕ) hoặc α = α
o
cos(ωt + ϕ); với α =
l
s
; α
o
=
l
S
o
+ Chu kỳ, tần số, tần số góc: T = 2π
g
l
; f =
π
2
1
l
g
; ω =
l
g

mglα
2
(α ≤ 10
0
, α (rad)).
+ Cơ năng: W = W
t
+ W
đ
= mgl(1 - cosα
0
) =
2
1
mglα
2
0
.
Cơ năng của con lắc đơn được bảo toàn nếu bỏ qua ma sát.
* Con lắc đơn chịu tác dụng thêm lực khác ngoài trọng lực
+ Trọng lực biểu kiến:
→
'P
=
→
P
+
→
F
+ Gia tốc rơi tự do biểu kiến:

m
F
.
→
F
có phương thẳng đứng hướng xuống thì g’ = g +
m
F
.
4. DAO ĐỘNG TẮT DẦN, DAO ĐỘNG CƯỞNG BỨC
* Dao động tắt dần
+ Khi không có ma sát, con lắc dao động điều hòa với tần số riêng. Tần số riêng
của con lắc chỉ phụ thuộc vào các đặc tính của con lắc.
+ Dao động có biên độ giảm dần theo thời gian gọi là dao động tắt dần. Nguyên
nhân làm tắt dần dao động là do lực ma sát và lực cản của môi trường làm tiêu
hao cơ năng của con lắc, chuyển hóa dần cơ năng thành nhiệt năng. Vì thế biên
độ của con lắc giảm dần và cuối cùng con lắc dừng lại.
+ Ứng dụng: các thiết bị đóng cửa tự động, các bộ phận giảm xóc của ô tô, xe
máy, … là những ứng dụng của dao động tắt dần.
* Dao động duy trì
Nếu ta cung cấp thêm năng lượng cho vật dao động có ma sát để bù lại sự tiêu
hao vì ma sát mà không làm thay đổi chu kì riêng của nó thì dao động sẽ kéo dài
mãi và được gọi là dao động duy trì.
* Dao động cưởng bức
+ Dao động chịu tác dụng của một ngoại lực cưởng bức tuần hoàn gọi là dao
động cưởng bức.
+ Dao động cưởng bức có biên độ không đổi và có tần số bằng tần số của lực
cưởng bức.
+ Biên độ của dao động cưởng bức phụ thuộc vào biên độ của lực cưởng bức,
vào lực cản trong hệ và vào sự chênh lệch giữa tần số cưởng bức f và tần số

→
1
A
và
→
2
A
biểu diễn hai phương trình dao động thành phần. Sau
đó vẽ véc tơ tổng hợp của hai véc tơ trên. Véc tơ tổng
→
A
=
→
1
A
+
→
2
A
là véc tơ quay biểu diễn phương trình của dao
động tổng hợp.
+ Nếu một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần
số với các phương trình: x
1
= A
1
cos(ωt + ϕ
1
) và x
2

coscos
sinsin
ϕϕ
ϕϕ
AA
AA
+
+
.
Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp phụ thuộc vào biên độ và pha
ban đầu của các dao động thành phần.
+ Khi hai dao động thành phần cùng pha (ϕ
2
- ϕ
1
= 2kπ) thì dao động tổng hợp
có biên độ cực đại: A = A
1
+ A
2
.
+ Khi hai dao động thành phần ngược pha (ϕ
2
- ϕ
1
) = (2k + 1)π) thì dao động
tổng hợp có biên độ cực tiểu: A = |A
1
- A
2

2
A.
Gia tốc a ngược pha với li độ (sớm pha
2
π
so với vận tốc).
Liên hệ tần số góc, chu kì và tần số: ω =
T
π
2
= 2πf.
Công thức độc lập: A
2
= x
2
+
2






ω
v
.
Ở vị trí cân bằng: x = 0 thì |v| = v
max
= ωA và a = 0.
Ở vị trí biên: x = ± A thì v = 0 và |a| = a

= 2A(1 - cos
2
ϕ
∆
).
Để tính vận tốc trung bình của vật dao động điều hòa trong một khoảng thời
gian ∆t nào đó ta xác định góc quay được trong thời gian này trên đường tròn từ
đó tính quãng đường ∆s đi được trong thời gian đó và tính vận tốc trung bình
theo công thức: v
tb
=
t
s
∆
∆
.
Quỹ đạo của vật dao động điều hoà có chiều dài là 2A.
Dao động điều hòa có phương trình đặc biệt:
Dạng: x = a ± Acos(ωt + ϕ) thì cũng giống dạng x = Acos(ωt + ϕ), chỉ khác ở
chổ tọa độ vị trí cân bằng là x = a, tọa độ vị trí biên là x = a ± A. Dạng: x = a ±
A
2
cos(ωt + ϕ). Hạ bậc ta có biên độ: A’ =
2
A
; tần số góc: ω’ = 2ω.
Phương trình động lực học của dao động điều hòa: x’’ +
m
k
x = 0.

0
và v
0
là li độ và vận tốc tại thời điểm ban
đầu t = 0.
Thế năng: W
t
=
2
1
kx
2
=
2
1
kA
2
cos
2
(ω + ϕ).
Động năng: W
đ
=
2
1
mv
2
=
2
1

mv
2
=
2
1
kA
2
=
2
1
mω
2
A
2
.
Lực đàn hồi của lò xo: F = k(l – l
o
) = k∆l.
Con lắc lò xo treo thẳng đứng: ∆l
o
=
k
mg
; ω =
o
l
g
∆
.
Chiều dài cực đại của lò xo: l

F
đh
= k|∆l
0
+ x| với chiều dương hướng xuống.
F
đh
= k|∆l
0
- x| với chiều dương hướng lên.
Lực kéo về: F = - kx.
Lò xo ghép nối tiếp:
...
111
21
++=
kkk
; độ cứng giảm, tần số giảm.
Lò xo ghép song song: k = k
1
+ k
2
+ ... ; độ cứng tăng, tần số tăng.
* Con lắc đơn
Phương trình dao động: s = S
0
cos(ωt + ϕ) hay α = α
0
cos(ωt + ϕ); với s = α.l; S
0

0
).
Thế năng: W
t
= mgl(1 - cosα). Cơ năng: W = mgl(1 - cosα
0
).
Nếu α
o
≤ 10
0
thì: W
t
=
2
1
mglα
2
; W
đ
=
2
1
mgl(
2
0
α
- α
2
);

0
αα
−gl
.
Vận tốc khi đi qua vị trí cân bằng (α = 0): |v| = v
max
=
)cos1(2
0
α
−gl
.
Nếu α
0
≤ 10
0
thì: v =
)(
22
0
αα
−gl
; v
max
= α
0
gl
;
α, α
o

0
-
2
3
α
2
; T
max
= mg(1 + α
2
0
); T
min
= mg(1 -
2
2
o
α
).
Con lắc đơn có chu kì T ở độ cao h, nhiệt độ t. Khi đưa tới độ cao h’, nhiệt độ t’
thì ta có:
2
t
R
h
T
T ∆
+
∆
=

F
→
. Khi đó: T’ = 2π
'g
l
.
Thường gặp: Lực điện trường
→
F
= q
→
E
; lực quán tính:
→
F
= - m
→
a
.
Các trường hợp đặc biệt:
→
F
có phương ngang thì g’ =
22
)(
m
F
g +
.
→

ag
l
−
.
* Dao động tắt dần, dao động cưởng bức, cộng hưởng
Con lắc lò xo dao động tắt dần với biên độ ban đầu A, hệ số ma sát µ
Quảng đường vật đi được đến lúc dừng lại: S =
g
A
mg
kA
µ
ω
µ
22
222
=
.
Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì: ∆A =
k
mg
µ
4
=
2
4
ω
µ
g
.

Hiện tượng cộng hưởng xảy ra khi f = f
0
hay ω = ω
0
hay T = T
0
.
* Tổng hợp các dao động điều hoà cùng phương cùng tần số
Nếu: x
1
= A
1
cos(ωt + ϕ
1
) và x
2
= A
2
cos(ωt + ϕ
2
) thì
x = x
1
+ x
2
= Acos(ωt + ϕ) với A và ϕ được xác định bởi:
A
2
= A
1

2
.
+ Hai dao động ngược pha (ϕ
2
- ϕ
1
)= (2k + 1)π): A = |A
1
- A
2
|.
+ Nếu độ lệch pha bất kỳ thì: |A
1
- A
2
| ≤ A ≤ A
1
+ A
2
.
Trường hợp biết một dao động thành phần x
1
= A
1
cos(ωt + ϕ
1
) và dao động tổng
hợp là x = Acos(ωt + ϕ) thì dao động thành phần còn lại là x
2
= A

AA
AA
−
−
.
Trường hợp vật tham gia nhiều dao động điều hòa cùng phương cùng tần số thì
ta có: A
x
= Acosϕ = A
1
cosϕ
1
+ A
2
cosϕ
2
+ A
3
cosϕ
3
+ …
A
y
= Asinϕ = A
1
sinϕ
1
+ A
2
sinϕ

3. Một vật nhỏ khối lượng 100 g dao động điều hòa trên một quỹ đạo thẳng dài
20 cm với tần số góc 6 rad/s. Tính vận tốc cực đại, gia tốc cực đại và cơ năng của
vật dao động.
4. Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T = 0,2 s, biên độ A = 4 cm.
Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian ngắn nhất khi đi từ vị trí
biên có li độ x = A đến vị trí có li độ x =
2
A
−
.
5. Một vật dao động điều hoà trên quỹ đạo dài 40cm. Khi ở vị trí có li độ x = 10
cm vật có vận tốc 20π
3
cm/s.
a) Viết phương trình dao động của vật, chọn gốc thời gian lúc vật đi qua vị
trí cân bằng theo chiều dương.
b) Tính vận tốc và gia tốc cực đại của vật.
6. Một chất điểm dao động điều hoà với chu kì T = 0,314 s và biên độ A = 8 cm.
Tính vận tốc của chất điểm khi nó đi qua vị trí cân bằng và đi qua vị trí có li độ
x = 5 cm.
7. Vật dao động điều hòa với biên độ A = 5 cm; tần số f = 2 Hz.
a) Viết phương trình dao động của vật, chọn gốc thời gian là lúc vật có li độ
cực đại.
b) Vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương vào những thời điểm nào?
8. Một chất điểm dao động theo phương trình x = 2,5cos10t (cm).
a) Vào thời điểm nào thì pha dao động đạt giá trị
3
π
? Lúc ấy li độ x bằng bao
nhiêu?

và chu kỳ dao động của con lắc.
14. Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm một vật có khối lượng 100 g và lò xo
khối lượng không đáng kể, có độ cứng 40 N/m. Kéo vật nặng theo phương
thẳng đứng xuống phía dưới cách vị trí cân bằng một đoạn 5 cm và thả nhẹ cho
vật dao động điều hoà. Chọn gốc O trùng với vị trí cân bằng; trục Ox có phương
thẳng đứng, chiều dương là chiều vật bắt đầu chuyển động; gốc thời gian là lúc
thả vật. Lấy g = 10 m/s
2
.
a) Viết phương trình dao động của vật.
b) Tính vận tốc cực đại và cơ năng dao động của con lắc.
15. Một con lắc lò xo có khối lượng m = 400 g và độ cứng k = 40 N/m. Kéo vật
nặng ra cách vị trí cân bằng 4 cm và thả tự do. Chọn chiều dương cùng chiều
với chiều kéo, gốc thời gian lúc thả vật.
a) Viết phương trình dao động của vật nặng.
b) Tính vận tốc cực đại và cơ năng của vật nặng.
16. Một con lắc lò xo có khối lượng m = 50 g, dao động điều hòa trên trục Ox
với chu kì T = 0,2 s và chiều dài quỹ đạo là L = 40 cm.
a) Tính độ cứng của lò xo và viết phương trình dao động của con lắc. Chọn
gốc thời gian lúc con lắc qua vị trí cân bằng theo chiều âm.
b) Xác định độ lớn và chiều của các véc tơ vận tốc, gia tốc và lực kéo về tại
thời điểm t = 0,75 T.
17. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm một vật nặng có khối lượng m gắn
vào lò xo có khối lượng không đáng kể, có độ cứng k = 100 N/m. Chọn trục toạ
độ thẳng đứng, gốc toạ độ tại vị trí cân bằng, chiều dương từ trên xuống. Kéo
vật nặng xuống về phía dưới, cách vị trí cân bằng 5
2
cm và truyền cho nó vận
tốc 20π
2

Tính độ cứng của lò xo.
20. Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ gắn với vật nặng dao động điều hòa theo
phương ngang với tần số góc 10 rad/s. Biết rằng khi động năng và thế năng
(mốc ở vị trí cân bằng của vật) bằng nhau thì vận tốc của vật có độ lớn bằng 0,6
m/s. Tính biên độ dao động của con lắc.
21. Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 5 cm. Biết
trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không
vượt quá 100 cm/s
2
là
3
T
. Lấy π
2
= 10. Xác định tần số dao động của vật.
22. Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 4 cm. Biết
trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không
nhỏ hơn 500
2
cm/s
2
là
4
T
. Lấy π
2
= 10. Xác định tần số dao động của vật.
23. Tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s
2
, một con lắc đơn dao động điều hoà

> l
2
) có chu kỳ dao động tương ứng là
T
1
, T
2
và tại nơi có gia tốc trọng trường là g = 10 m/s
2
. Biết tại nơi đó, con lắc
đơn có chiều dài l
1
+ l
2
có chu kỳ dao động là 2,7 s và con lắc đơn có chiều dài
l
1
- l
2
có chu kỳ dao động là 0,9 s. Tính T
1
, T
2
và l
1
, l
2
.
26. Trong cùng một khoảng thời gian và ở cùng một nơi trên Trái Đất một con
lắc đơn thực hiện được 60 dao động. Tăng chiều dài của nó thêm 44 cm thì

0
nhỏ (α
0
< 10
0
). Lấy mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Xác định vị trí (li độ
góc α) mà ở đó thế năng bằng động năng trong các trường hợp:
a) Con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương về vị trí cân bằng.
b) Con lắc chuyển động chậm dần theo chiều dương về phía vị trí biên.
30. Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ khối lượng m = 100 g, treo vào đầu
sợi dây dài l = 50 cm, ở một nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s
2
. Bỏ qua
mọi ma sát. Con lắc dao động điều hòa với biên độ góc α
0
= 10
0
= 0,1745 rad.
Chọn góc thế năng tại vị trí cân bằng. Tính thế năng, động năng, vận tốc và sức
căng của sợi dây tại:
a) Vị trí biên.
b) Vị trí cân bằng.
31. Trên mặt đất nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s
2
. Một con lắc đơn dao
động với chu kỳ T = 0,5 s. Tính chiều dài của con lắc. Nếu đem con lắc này lên
độ cao 5 km thì nó dao động với chu kỳ bằng bao nhiêu (lấy đến 5 chử số thập
phân). Cho bán kính Trái Đất là R = 6400 km.
32. Người ta đưa một con lắc đơn từ mặt đất lên độ cao h = 10 km. Phải giảm độ
dài của nó đi bao nhiêu % để chu kì dao động của nó không thay đổi. Biết bán

.
c) Thang máy đi xuống nhanh dần đều với gia tốc 4 m/s
2
.
d) Thang máy đi xuống chậm dần đều với gia tốc 6 m/s
2
.
36. Một con lắc đơn có chiều dài dây treo 50 cm và vật nhỏ có khối lượng 0,01 kg
mang điện tích q
= +
5.10
-6
C, được coi là điện tích điểm. Con lắc dao động điều
hòa trong điện trường đều mà vectơ cường độ điện trường có độ lớn E = 10
4
V/m
và hướng thẳng đứng xuống dưới. Lấy g = 10 m/s
2
, π = 3,14. Xác định chu kì dao
động của con lắc.
37. Treo con lắc đơn vào trần một ôtô tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8
m/s
2
. Khi ôtô đứng yên thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là 2 s. Tính chu
kì dao động của con lắc khi ôtô chuyển động thẳng nhanh dần đều trên đường
nằm ngang với giá tốc 3 m/s
2
.
38. Một vật nhỏ có khối lượng m = 100 g thực hiện đồng thời hai dao động điều
hoà cùng phương, cùng tần số góc ω = 20 rad/s. Biết biên độ các dao động thành

cos(5πt +
6
π
) (cm). Tìm phương trình dao
động tổng hợp.
42. Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng
phương có các phương trình lần lượt là
1
x 4cos(10t )
4
π
= +
(cm) và x
2
=
3cos(10t +
4
3
π
) (cm). Tính độ lớn vận tốc của vật ở vị trí cân bằng.
43. Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương có biểu thức x =
5
3
cos(6πt +
2
π
) (cm). Dao động thứ nhất có biểu thức x
1
= 5cos(6πt +
3

năng, vận tốc cực đại của vật.
46. Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng
phương. Hai dao động này có phương trình lần lượt là x
1
= 3cos10t (cm) và x
2
=
4sin(10 )
2
t
π
+
(cm). Xác định vận tốc cực đại và gia tốc cực đại của vật.
47. Một con lắc lò xo dao động tắt dần. Cứ sau mỗi chu kì, biên độ của nó giảm
0,5%. Hỏi năng lượng dao động của con lắc bị mất đi sau mỗi dao động toàn
phần là bao nhiêu % ?
48. Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,02 kg và lò xo có độ cứng 1 N/m.
Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số ma
sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 10 cm
rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần. Lấy g = 10 m/s
2
. Tính vận tốc cực đại
mà vật đạt được trong quá trình dao động.
49. Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,2 kg và lò xo có độ cứng 20 N/m.
Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số ma
sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,01. Từ vị trí lò xo không bị biến dạng, truyền
cho vật vận tốc ban đầu 1 m/s thì thấy con lắc dao động tắt dần trong giới hạn đàn
hồi của lò xo. Lấy g = 10 m/s
2
. Tính độ lớn của lực đàn hồi cực đại của lò xo trong