®Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn
m«n to¸n 9
Thời gian làm bài: 150 phút
§Ò sè 1
Câu 1: Cho biểu thức
3
1 1
1 1 1
x x
A
x x x x x
−
= + +
− − − + −
a, Rút gọn A
b, Tìm x để A > 0
c, Tính Giá trị của A khi
3
5
9 2 7
x =
−
Câu 2: Cho (p):
2
y x=
(d):
3 2y x= −
a, Tìm hai toạ độ giao điểm của (p) và (d)
b, Tính diện tích tam giác tạo bởi hai toạ độ giao điểm và gốc toạ độ.
Câu 3: Giải hệ phương trình:
1

a, Chứng minh rằng
·
·
CHI CBA=
b, Chứng ming
CO EI⊥
c, Khi
·
0
60ACB =
Chứng minh
CH CO
=
Câu 5: Cho
ABC
∆
có
µ
0
90A =
;
AB BC
<
. AM là đường trung tuyến của tam giác.
·
AMB
β
=
;
·

(x; y; z) = (1; 2; 3) và (x; y; z) = (-1; -2; -3) 2,0đ
Câu 4:
a,
·
·
CHI CBA=
2,0đ
b, Kẽ đường kính CD

·
·
DAB BCD=·
·
DAB ABE=·
·
ABE ABF=
·
·
ACE HIE=
sin . sin cosAH AC BC
α α α
= =

sin 2sin cos
β α α
⇒ =

2
1 sin (sin cos )
β α α
⇒+ = +
2,0đ

2
H . O

F
E
I
D
A
C
B
A
C
M
H
B
®Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn

chung của hai đường tròn, D ∈ (O), E ∈ (O’), K là giao điểm của BD và CE.
a) Tứ giác ADKE là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh AK là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’)
c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MK vuông góc với DE.
Câu 5(2,0 điểm): Giải phương trình :
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 21 5 2x x+ + + + + = − −
.
........................HÕt.........................
3
híng dÉn chÊm ®Ò sè 2
Câu: Nội dung cơ bản: Điểm
1
a) ĐKXĐ:
≥ ≠x 0, x 9
P =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
− − − − + +
+
=
+

x 1 x 4
x 1

Vậy min P = 4 khi x = 4
0.5
1.0
1.0
1.0
0.5
0.5
0.5
2
*Xét ba trường hợp:
Với x
≤
0 thì y = -x – x +1 = -2x + 1
Với 0 < x < 1 thì y = x – x + 1 = 1
Với x
≥
1 thì y = x + x – 1 = 2x -1
Vậy y =
2x 1 nÕu x 0
1 nÕu 0 < x < 1
2x - 1 nÕu x 1
− + ≤




≥

.
Theo giả thiết:
( )
10 16
3
9
90 9 16
10 10 27
x y
x y
xy
x y xy
x y y x
+

=
− =


⇔
 
+ =


+ − + =

Giải hpt ta được:
1 2
3
9;

+∠A
2
=∠D
1
+∠D
2
=90
0
nên KA ⊥ BC. Vậy AK là tiếp tuyến
của (O) và (O’).
c) ∠K
1
+ ∠E
1
= ∠C + ∠EKA = 90
0
nên MK ⊥ DE.
2.0
2.0
2.0
5
Viết lại phương trình dưới dạng :

2 2 2
3(x 1) 4 5(x 1) 16 6 (x 1)+ + + + + = − +
.
Vế trái của phương trình không nhỏ hơn 6, còn vế phải không lớn
hơn 6.
Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi cả hai vế đều bằng 6, suy ra x = -1.
1.0

A
có nghĩa. Hãy rút gọn
A
2. Tính
A
khi
2833
=
x
3. Chứng minh rằng:
3
1
<
A
Bài 2. (4đ)
Giải các phơng trình, hệ phơng trình sau
1.
1111
423
+=++++
xxxxx
2.







=+

cba ,,
là ba số dơng. Chứng minh rằng:






+
+
+
+
+
++
accbbacba 2
1
2
1
2
1
3
111
Bài 4. (3,5đ) Cho
ABC

đều cạnh
a
. Điểm
Q
di động trên cạnh

chứa
A
. Gọi
MKMIMH ,,
theo thứ tự là các đờng vuông góc kẻ từ
M
đến
ACABBC ,,
.
Chứng minh rằng
MK
AC
MI
AB
MH
BC
+=
.....................Hết.....................
6
hớng dẫn chấm đề số 3
Bài 1. (4đ)
1. (2đ)
A
có nghĩa khi và chỉ khi







x
xx
x
A
=
( )( )
1
1
1
1
11
2


++
+
+
++
+
xxx
x
xxx
x
(0,25đ)
=
( )( ) ( )
( )( )
11
1112
++

xx
(0,5đ)
Do đó
2433
124
11242833
124


=
++

=
A
(0,5đ)
3.(1đ) Ta có
0
3
1
3
1
<<
AA
hay
0
3
1
1
<
++

, đúng (0,5đ)
Vì
( ) ( )
01;013
2
>>++
xxx
, vì
1

x
Kết luận: Với
10

x
thì
3
1
<
A
(0,25đ)
Bài 2. (3,5đ)
1.(1,5đ) ĐK:
1
01
01
01
4
23


10111
==+=+
abaabba
hoặc
1
=
b
(0,25đ)
* Với
1
=
a
thì
211
==
xx
(thoả mãn) (0,25đ)
* Với
1
=
b
thì
( )
011111
22323
=++=+++=+++
xxxxxxxxx0







4
1
4
1
4
1
014
014
014
z
y
x
y
x
z
(0, 5đ)
Ta có








=++
zzyyxx
(0,25đ)
( ) ( ) ( )
0114214114214114214
=+++++
zzyyxx
(0,25đ)
( ) ( ) ( )
0114114114
222
=++
zyx
(0,25đ)





=
=
=









z
y
x









=
=
=






=
=
=

2
1
2
1
2

Bài 3. (6,0đ)
1.(2,5) Vì
, , ,a b c d
dơng nên
;
dcba
a
cba
a
+++
>
++

;
dcba
b
dba
b
+++
>
++
;
dcba
c
dcb
c
+++
>
++
;