PHÒNG GD- ĐT LONG ĐIỀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
------------------ NĂM HỌC 2005-2006
--------------------------------
MÔN THI : TOÁN
Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 20 -01 -2006
Bài 1: (4,0 đ)
1/ Cho A = 1+2+3+……..+ 2004+2005 +2006
a/ Tính A (1,0 đ)
b/ Nếu thay tổng của hai số hạng bất kỳ ( chọn trong tổng A)ø bằng hiệu của hai
số hạng đó thì tổng mới của A là số lẻ hay số chẵn (1,0 đ)
2/ Chứng minh rằng số tự nhiên :
A = 1.2.3………2003.2004 (1+
1 1 1 1
+ + ...................+ +
2 3 2003 2004
)

chia hết cho 2005 (2,0 đ)
Đáp án và biểu điểm
1: a/ ( 1,0 đ) Ta có : A =
2006 (2006 1)
1003 . 2007
2
+
=
= 2013021
b/ ( 1,0 đ) Với hai số a, b bất kỳ thì tính chẵn lẻ của tổng và hiệu giống nhau. Ta có:
 a = 2p ; b = 2q
⇒
a + b = 2( p + q) ; a – b = 2( p – q): Chẵn

1002 1003
)

= 2005
1 1 1
( ....... )
2004 2 . 2003 1002 . 1003
+ + +
= 2005. k ( 1,0 đ)
B = 1.2.3………2003.2004
mà 1.2.3………2003.2004
1 1 1
( ....... )
2004 2 . 2003 1002 . 1003
+ + +

∈
N
⇒
B . k
∈
N
A = B. 2005 k
M
2005
⇒
ĐPCM ( 1,0 đ)
Bài 2: (4,0 đ)
1/ Chứng minh rằng nếu: x
2

2
+ y
2
= 1
⇒
2xy
≤
1 Do đó: x
2
+ y
2
+ xy
≤
1 + 1 = 2
⇔

( x + y )
2
≤
2
⇔
 x + y 
≤
2
⇔
-
2

≤
x + y

( 0,5 đ)
Và x
4
+ x + 1 =
( )
2
x 3
8
+
( 0,5 đ)
Thay vào A ta có A =
2
( 0,5 đ)
Bài 3: ( 4,0 đ)
1/ Cho x> 0, y> 0 thỏa mãn x+ y = 6
Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: A = 3x + 2y +
6 8
x y
+
2/ Tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình:
5x
y 3x 2 2y 1
3
− = + − −
Đáp án và biểu điểm
1/ Ta có: A = 3x + 2y +
6 8
x y
+
=( 0, 5đ)

y 1 0
3

+ − − =


− + =


(1,0 đ)
Giải hệ phương trình ta được nghiệm là(3; 6) ( 0,5 đ)
Bài 4: (4,0 đ)
Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c nội tiếp đường tròn ( O; R) Đường cao
AH.
a/ Chứng minh: bc = 2R. AH
b/ Gọi S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh: S
2
3 3
R
4
Đáp án và biểu điểm
a/( 2,0 đ) Vẽ đường kính AD ta có:
·
ACD 1V=
( 0,5 đ)
AHB và ACD có
·
·
ABH ADC=
( Cùng chắn cung AC)

≤
(0, 5 đ) dấu “ = “ xảy ra khi a = b = c Khi đó tam giác ABC
đều
⇒
R =
a
3
(0, 5 đ)

⇒
S
3
1
. a
4a
3
≤
=
2 2
3
. a
4
3 3 3
2
. (R 3) R
4 4
= =
Vậy: S
≤
2

1
OA . MH
2
+
1
OB . MK
2
( 0,5 đ)
Mà
( )
ABC
1
OA OB S OB. MH MK
2
= ⇒ = +
(2)
⇒
AD = MH + MK = l ( 0,5 đ)
OAB cố đònh . Đường tròn ngoại tiếp tứ giác OHMK có đường kính là OM
Điểm P Nhìn OM dưới một góc vuông nên P thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác OHMK
⇒

P là điểm cố đònh ( 0,5 đ)