Chng 4: NHN DNG MÔ HÌNH CÓ THAM S  Hunh Thái Hoàng – B môn iu khin T đng

1

Chng 4

NHN DNG MÔ HÌNH CÓ THAM S Chng 4: NHN DNG MÔ HÌNH CÓ THAM S
4.1. Phng pháp sai s d báo
4.2. Mô hình h tuyn tính bt bin
4.3. Mô hình h phi tuyn
4.4. Các phng pháp c lng tham s
4.5. Thut toán lp và thut toán đ qui c lng tham s Tham kho:
[1] L. Ljung (1999), System Identification – Theory for the user.
chng 3, 4, 5, 7, 10.
[2] R. Johansson (1994), System Modeling and Identification.
chng 5, 6, 11, 14. 4.1 PHNG PHÁP SAI S D BÁO


 Hunh Thái Hoàng – B môn iu khin T đng

2

Gi s quan h gia tín hiu vào và tín hiu ra ca h thng ri rc có th
mô t bi phng trình sai phân:
)()()1()()1()(
11
temtubtubntyatyaty
mn
+
−++−=−++−+ KK (4.2)

⇒

)()()1()()1()(
11
temtubtubntyatyaty
mn
+−
++−+−−−−−= KK
(4.3)

Ký hiu:
[]
T
mn
bbaa KK
11

θϕθ
)(),(
ˆ
tty
T
=
(4.7)

Các thut ng:
- Biu thc (4.2) gi là
cu trúc mô hình.
- Vector
θ
gi là vector tham s ca h thng.
- Vector
ϕ
(t) gi là vector hi qui (do
ϕ
(t) gm tín hiu vào và tín hiu ra
trong quá kh); các thành phn ca vector
ϕ
(t) gi là các phn t hi qui.
- Mô hình (4.2) gi là mô hình ARX (A
uto-Regressive eXternal input).
- B d báo có dng (4.7) đc gi là b d báo dng hi qui tuyn tính
(Linear Regression)

Phng pháp bình phng ti thiu
Cn xác đnh tham s
θ

T
N
t
N
N
tty
N
tyty
N
ZV
θϕθθ
(4.8)

Chng 4: NHN DNG MÔ HÌNH CÓ THAM S  Hunh Thái Hoàng – B môn iu khin T đng

3

Ký hiu giá tr
θ
làm ti thiu biu thc (4.8) là
N
θ
ˆ
:

)()(
1
11
2
=−−=






−
∑∑
==
N
t
T
N
t
T
ttyt
N
tty
Nd
d
θϕϕθϕ
θ

⇒
∑∑

N
t
N
t
T
N
tyttt
1
1
1
)()()()(
ˆ
ϕϕϕθ
(4.10)

4.1.2 Phng pháp sai s d báo

1. Chn cu trúc mô hình và rút ra b d báo:

),(),(
ˆ
1−
=
t
Zgty
θθ
(4.11)
B d báo có th tuyn tính hay phi tuyn; có th là mng thn kinh nhân
to, h m, chui wavelet,…


N
ZV
1
),(
1
),(
θθ ε
l
(4.14)
trong đó l(.) là hàm xác đnh dng.

5. Tìm tham s
θ
ti thiu hóa tiêu chun đánh giá:

),(minarg
ˆ
N
NN
ZV
θθ
θ
=
(4.15)
Chng 4: NHN DNG MÔ HÌNH CÓ THAM S
Mô t nhiu v(t) bng biu thc (4.18) tng đng vi mô t v(t) là nhiu có
ph là:

2
)()(
ω
λω
j
v
eH=Φ
(4.19)
trong đó
λ
là phng sai ca nhiu trng e(t). Gi s H(q) đc chun hóa v
dng:

∑
+∞
=
−
+=
1
1)(
k
k
k
qhqH (4.20)
Thay (4.18) vào (4.16) ta đc:

)()()()()(

θθθ

⇒ )()(),(),()()],(1[)(
11
tetuqGqHtyqHty ++−=
−−
θθθ
(4.23)
Chng 4: NHN DNG MÔ HÌNH CÓ THAM S  Hunh Thái Hoàng – B môn iu khin T đng

5

Do (4.20) ta thy rng:

∑
+∞
=
−−
=
−
=−
1
1
),(

θθθθ
−−
+−=
(4.25)

4.2.2 Các cu trúc mô hình tuyn tính thng gp

Thông thng G và H trong biu thc (4.22) là hàm truyn dng phân thc
có t s và mu s là hàm ca toán t tr q
−
1
. nf
nf
nbnk
nb
nknk
qfqf
qbqbqb
qF
qB
qG
−−
+
−−−−−
+++
+++
==

1
1
1
1
1
)(
)(
),(
θ
(4.27)

Thay (4.26) và (4.27) vào (4.22) ta đc: )(
)(
)(
)(
)(
)(
)( te
qD
qC
tu
qF
qB
ty +=
(4.28)

Mô hình tuyn tính có dng (4.28) gi là
 Hunh Thái Hoàng – B môn iu khin T đng

6
• D(q) = F(q) = A(q), C(q) = 1: mô hình ARX
(A
uto-Regressive eXternal Input Model) )()()()()(
tetuqBtyqA +=
(4.31)

• D(q) = F(q) = A(q), B(q) = 0:
mô hình ARMA
(A
uto-Regressive Moving Average Model) )()()()(
teqCtyqA =
(4.32)

• D(q) = F(q) = A(q), B(q) = 0, C(q) = 1: mô hình AR
(A
uto-Regressive Model) )()()(


[]
T
nbn
bbaa KK
11
=
θ
(4.36)

[]
T
nbnktunktunatytyt )1()()()1()( +−−−−−−−= KK
ϕ
(4.37)

Mô hình AR:

[]
T
na
aa K
1
=
θ
(4.38)

[]
T
natytyt )()1()( −−−−= K

tham s. Nu vector hi qui ph thuc tham s ta vit (4.35) li di dng:

θθϕθ
),(),(
ˆ
tty
T
= (4.42)
(4.42) gi là b d báo hi qui tuyn tính gi (Pseudo Linear Regression)

B d báo ca mô hình ARMAX, OE, BJ có dng hi qui tuyn tính gi. Mô hình ARMAX:
Áp dng công thc (4.25) vi
)(
)(
)(
qA
qB
qG = ,
)(
)(
)(
qA
qC
qH = ta đc:

)(
)(

⇒
[] [ ]
),(
ˆ
)(1)()()()()(),(
ˆ
θ
tyqCtuqBtyqAqCty −++−=
θ

⇒
[] [ ][ ]
),(
ˆ
)(1)()()()()(1),(
ˆ
θ
tytyqCtuqBtyqAty −−++−=
θ
(4.43)

t: Sai s d báo:

),(
ˆ
)(),(
θθ
tytyt −=
ε
(4.44)

)(
qF
qB
qG =
, 1)(
=qH ta đc:

)(
)(
)(
),(
ˆ
tu
qF
qB
ty =
θ⇒ )()(),(
ˆ
)( tuqBtyqF
=
θ

⇒
[ ]
),(
ˆ
)(1)()(),(

[]
T
nfnb
ffbb KK
11
=
θ
(4.49)
Vector hi qui:

[]
),(),1()1()(),(
θθθϕ
nftwtwnbnktunktut −−+−−−= KK
(4.50)
(4.47) có th vit li di dng hi qui tuyn tính gi (4.42). Mô hình BJ:
Áp dng công thc (4.25) vi
)(
)(
)(
qF
qB
qG = ,
)(
)(
)(
qD

)(
),( tu
qF
qB
tw =
θ[ ]
),(1)()()(),(
θθ
twqFtuqBtw −−=

⇒
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1),(
ˆ
tw
qC
qD
ty
qC
qD
ty +


)(),(
ˆ
θθ
tv
qC
qD
tyty −=

⇒ ),()()()(),(
ˆ
)(
θθ
tvqDtyqCtyqC −=

⇒
[]
),()()()(),(
ˆ
)(1),(
ˆ
θθθ
tvqDtyqCtyqCty −+−=⇒
[] [ ]
),(),(1)()()(),(
ˆ
)(1),(
ˆ


⇒
[][][ ] [ ]
),(1)()()(),(1)(),(1)(),(
ˆ
θθθθ
twqFtuqBtvqDtqCty −−+−−−=
ε

Chng 4: NHN DNG MÔ HÌNH CÓ THAM S  Hunh Thái Hoàng – B môn iu khin T đng

9

Vector tham s:

[]
T
nfndncnb
ffddccbb KKKK
1111
=
θ
(4.52)
Vector hi qui:

n
k
k
k
qbqG
1
),(
θ
(4.54)
• Có hai u đim:
- có dng hi qui tuyn tính (trng hp đc bit ca mô hình ARX)
- có dng mô hình sai s ngõ ra (trng hp đc bit ca mô hình OE)
Do đó tham s ca mô hình FIR:
- có th c lng d dàng (đc đim ca mô hình ARX)
- bn vng so vi nhiu (đc đim ca mô hình OE).
• Có mt khuyt đim: có th cn nhiu tham s. Nu h thng thc có cc nm
gn vòng tròn đn v thì đáp ng xung suy gim rt chm, do đó cn chn n đ
ln mi có th xp x đc h thng.

⇒ Cn cu trúc mô hình va gi đc dng hi qui tuyn tính và bn vng vi
nhiu, va có th mô t đc h thng có đáp ng xung suy gim chm. Tng
quát, mô hình đó phi có dng chui hàm:

∑
=
=
n
k
kk
qBqG

nm
nm
deBeBeBeB
j
n
j
m
j
n
j
m
π
π
ωωωω
ω
π
(4.56)
n gin nht, có th chn:

α
α
−
=
−
q
q
qB
k
k
),( )11(

−
−
=
k
k
aq
aq
aq
a
aqL )11(
≤≤− a (4.58)
Hàm Laguerre thích hp đ mơ hình hóa h tuyn tính có đáp ng xung suy
gim chm và khơng dao đng (h thng cn nhn dng ch có cc thc).
• Hàm Kautz:

1
2
2
2
2
12
)1(
1)1(
)1(
)1()1(
),,(
−
−



−






−−+
+−+−
−−+
−−
=
k
k
cqcbq
qcbcq
cqcbq
bc
cbq
ψ
(4.60)

)11,11(
≤≤−≤≤− cb

Hàm Kautz thích hp đ mơ hình hóa h tuyn tính có đáp ng xung suy gim
chm và có dao đng (h thng cn nhn dng có cc phc).

♦
Biu thc b d báo ca mơ hình chui hàm c s trc giao:

K
21
=
θ Biu thc b d báo có th vit li di dng hi qui tuyn tính:

θϕθ
)(),(
ˆ
tty
T
=
Cụ thể
:
• Mô hình Laguerre:

)(
11
)(),()(
1
2
tu
aq
aq
aq
a
tuaqLt
k

−
=
ϕ

⇒
)(1)()1(
12
1
1
tuqatq
−−
−=−
ϕ

⇒
)1(1)1()(
2
11
−−+−= tuatt
ϕϕ
(4.61)

Chng 4: NHN DNG MÔ HÌNH CÓ THAM S  Hunh Thái Hoàng – B môn iu khin T đng


−








−
−
=
ϕ

⇒
)(
1
)(
1
t
aq
aq
t
kk −







ψϕ
=
− Vôùi
1=
k
:

)(
)1(
)1()1(
)(
2
2
1
tu
cqcbq
qc
t
−−+
−−
=
ϕ

⇒
)()()1()(])1(1[
212
1
21
tuqqctcqqcb
−−−−

)()1)(1()(])1(1[
22
2
21
tubctcqqcb −−=−−+
−−
ϕ

⇒
)2()1)(1()2()1()1()(
22
222
−−−+−+−−= tubctctcbt
ϕϕϕ
(4.64)
− Vôùi nk ≤−< 121 :

)(
)1(
1)1(
)(
32
2
2
12
t
cqcbq
qcbcq
t
kk −−

−+−−=
−−−
−−−
ttcbtc
tctcbt
kkk
kkk
ϕϕϕ
ϕϕϕ
(4.65)
− Vôùi
n
k ≤< 22
:

)(
)1(
1)1(
)(
22
2
2
2
t
cqcbq
qcbcq
t
kk −



kkk
kkk
ϕϕϕ
ϕϕϕ
(4.66)
Chng 4: NHN DNG MÔ HÌNH CÓ THAM S  Hunh Thái Hoàng – B môn iu khin T đng

12
4.2.4 Mô hình không gian trng thái

H thng tuyn tính có th mô t bng phng trình trng thái:




++=
++=+
)()()()(
)()()()1(
tvtutty
twtutt
DCx
BAxx
(4.67)





=
DC
BA
Θ
(4.69)







=
)(
)(
)(
tu
t
t
x
Φ
(4.70)



Chng 4: NHN DNG MÔ HÌNH CÓ THAM S  Hunh Thái Hoàng – B môn iu khin T đng

13
Có th s dng thông tin bit trc v đc tính vt lý phi tuyn bên trong
h thng cn nhn dng đ đa ra cu trúc mô hình thích hp ⇒ xây dng đc
mô hình đn gin, ít tham s, d c lng. Phng pháp này gi là mô hình
hóa bán vt lý (semi-physical modeling).
♦ Mô hình Wiener và mô hình Hammerstein Hình 4.2: (a) Mô hình Hammerstein (b) Mô hình Wiener Trong nhiu trng hp h thng có th mô t bng mô hình tuyn tính

θϕθ
)(),(
ˆ
tty
T
=
trong đó các phn t hi qui là hàm (phi tuyn) bt k ca tín hiu vào và tín
hiu ra trong quá kh.

)()(
1−
=
t
ii
Zt
ϕϕ

Mô hình
tuyn tính

f
u(t)
y(t)
f(u(t))
Mô hình
tuyn tính

f
u(t)
z(t)

tgty = (4.75)
Tùy thuc vào cách chn:
• vector hi qui )(
t
ϕ
t tín hiu vào và tín hiu ra trong quá kh;
• hàm phi tuyn ),(
θϕ
g
mà ta có các dng mô hình phi tuyn khác nhau.

4.3.2.1 Phn t hi qui cho mô hình phi tuyn

Mô hình Các phn t hi qui
NFIR u(t – k)
NAR y(t – k)
NARX y(t – k) và u(t – k)
NARMAX
y(t – k), u(t – k) và
ε
(t – k,
θ
)
NOE
u(t – k) và ),(
θ
ktw −
NBJ
y(t – k), u(t – k),
ε

• Hàm
κ
(x) là hàm ca đi lng vô hng x.
• g
i
là phiên bn t l và tnh tin ca
κ
(x).
Trng hp vector hi qui
ϕ
(t) ch có mt chiu ( )1dim ==
ϕ
d thì :

))((),,()(
iiiii
g
γϕβκγβϕκϕ
−==
(4.77)
trong đó
β

i
và
γ

i
là tham s xác đnh t l và v trí ca hàm
)(

Hình 4.3: Hàm c s nhiu bin cu trúc dãy

♦ Dng xuyên tâm:

)(),,()(
i
iiiii
gg
β
γϕγβϕϕ
−==
κ
(4.79)
chun
.
thng chn là chun toàn phng:

ϕβϕϕ
β
i
T
i
=
2
(4.80)
Cu trúc xuyên tâm có đc đim là giá tr hàm c s ca tt c các phn t hi
qui nm trên cùng mt siêu cu s có cùng mt giá tr.

(4.81)
Hình 4.5: Hàm c s nhiu bin cu trúc tích tensor Hai dng hàm c s gc thng dùng:

♦ Hàm Gauss:

2/
2
2
1
)(
x
ex
−
=
π
κ
(4.82)
Hàm c s dng Gauss là hàm c s cc b vì s thay đi ca hàm ch ch yu
xy ra trong mt min cc b.

♦ Hàm sigmoid:

x
e