Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
MỤC LỤC Trang
Mục lục……………………………………………………………... 1
Lời nói đầu…………………………………………………………. 2
Chương I. Tập
 
12
,,EE

-lồi……………………………………...
4
1.1. Tập
 
12
,,EE

-lồi………………………………………………
4
1.2 Các ví dụ....................................................................................... 8
1.3 Các tính chất của tập
 
12
,,EE

-lồi……………………………
12

 
13
,,EE

-tựa lồi………………………………………..
49
Chương 3: Tối ưu hàm
E
-lồi……………………………………... 58
3.1 Bài toán tối ưu một mục tiêu với hàm
E
-lồi…………………… 58
3.2 Một số kết quả cho bài toán
 
E
P
………………….................…
59
3.3 Một số kết quả cho bài toán
 
E
P
………………….................…
63
Kết luận…………………………………………………………… 69
Tài liệu tham khảo………………………………………………… 70

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2

-lồi trên tập
 
12
,,EE

-lồi. Khái niệm
 
12
,,EE

-lồi cho
phép thống nhất một số khái niệm trong giải tích
E
-lồi (tập
E
-lồi, tập
E
-lồi
mạnh, hàm
E
-lồi, hàm
E
-lồi mạnh, hàm semi hàm
E
-lồi,…).
Bố cục luận văn gồm phần Mở đầu, Ba chương và Tài liệu tham khảo.
Chương 1: Tập
 
12
,,EE

Tôi xin cảm ơn khoa Toán, khoa Sau Đại Học trường ĐHSP Thái Nguyên
và trường Cao đẳng Kinh tế Kĩ thuật Thái Nguyên đã quan tâm giúp đỡ, tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện kế hoạch học tập của mình.
Xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè đã cổ vũ động viên tôi trong
suốt quá trình làm luận văn.
Thái Nguyên, ngày 19.8.2010
Ngô Thị Thu Trang
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
Chương I. TẬP
 
12
,,EE

– LỒI
1.1. Tập
 
12
,,EE

-lồi
Ta đã biết, một tập
n
M  
được gọi là lồi nếu
(1 )x y M

(tương ứng với ánh xạ
E
) nếu với mọi
,x y M
và
 
0,1


ta có
( ) (1 ) ( )E x E y M

  
. (1.1)
Rõ ràng, tập lồi là tập
E
-lồi với
EI
là ánh xạ đồng nhất (
()I x x
với mọi
n
x
). Do đó, khái niệm
E
-lồi là mở rộng của khái niệm tập lồi. Ta có
Mệnh đề 1.1 (Youness, 1999, [14], Proposition 2.2)
Nếu
M
là tập


5
Ánh xạ
:
nn
E 
được cho bởi công thức
   
1 2 1 2
1
,,
2
E x E x x x x




.
Khi ấy
 
EM
là hợp của hai tam giác
AOB
và
COD
nên không là tập lồi
(Hình 1.1).
Tuy nhiên, vì
M
là tập lồi nên bao hàm thức (1.1) nghiệm đúng với mọi

 
 
22
1 2 1 2
, : 1M x x x x x   

Ánh xạ
:
nn
E 
được cho bởi công thức
     
1 2 1 2
, 2 ,2E x E x x x x
.
Khi ấy
 
EM
là hình tròn
(0,2)B
tâm tại gốc bán kính bằng 2 (Hình 1.2).
Do
 
E M M
nên
M
không phải là
E
-lồi.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ta có
   
( ) (1 ) ( )x E x y E y M
   
    
. (1.2)
Nhằm thống nhất một cách hợp lí các khái niệm
E
-lồi và
E
-lồi mạnh (tương
ứng, khái niệm hàm
E
-lồi và hàm
E
-lồi mạnh trong Chương 2), chúng tôi
đưa ra khái niệm tập
 
12
,,EE

-lồi sau đây.
Định nghĩa 1.3 ([9])
Cho trước tập
n
M  
, hai ánh xạ
1,2
:
nn


thì ta nói
M
là tập
 
12
,EE
-
lồi mạnh.
Nếu bất đẳng thức (1.3) đúng với
0


thì ta nói
M
là tập
 
12
,EE
-lồi .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7
Nhận xét 1.3
Nếu
12
E E I
và
0


1
EE
với
:
nn
E 
là một ánh xạ nào đó và
0


thì (1.3)
có dạng
( ) (1 ) ( )E x E y M

  
với mọi
,x y M
và
 
0,1


. Khi đó
M

là tập
 
0, ,EI
-lồi khi và chỉ khi nó là tập
E

Nhận xét 1.6
Youness trong [14] đã định nghĩa tập
E
-lồi như sau.
Định nghĩa 1.4 (Definition 2.1, [14])
A set
n
M  
is said to be
E
-convex iff there is a map
:
nn
E 
such
that
 
1 ( ) ( )E x E y M

  
, for each
,x y M
and
01


.
Theo Nhận xét 1.5, rõ ràng luôn luôn tồn tại ánh xạ
:
nn

0
EE
) theo Định nghĩa 1.4. Vì vậy,
Định nghĩa của Youness trong [14] cần được sửa lại như Định nghĩa 1.1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8
Nhận xét 1.7
Nếu tập
n
M  
là
 
12
,EE
-lồi mạnh (
 
12
,,EE

-lồi với mọi
01


), với
1
EE
và
2
EI

1,2
:E 
được xác định theo công thức
   
12
0,E x x
;
   
2 1 2
2,E x x x
với mọi
 
2
12
,x x x
; nghĩa là
1
E
là phép chiếu
(vuông góc) từ
2

xuống trục tung, còn
2
E
là một ánh xạ tuyến tính giữ
nguyên tọa độ
2
x
, tọa độ

 
2
EM
là các tập lồi theo nghĩa thông thường và
   
12
E M E M
hay
 
1 1 2
( ) (1 ) ( )E x E y E M

  
với mọi
,x y M
và
 
0,1


. Vậy
M
là tập
 
12
0, ,EE
-lồi.
Tuy nhiên,
M
không phải là tập

   
 
   
1 1 2
1 4,5x E x y E y E M
   
     
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9
Chứng tỏ
M
không phải là tập
 
12
1, ,EE
-lồi.
Chọn
1
2


và
0


,
 
4,1xM

-lồi (khái niệm
 
1
0, ,EI
-lồi trùng với khái niệm
1
E
-lồi). Do đó
M
cũng
không phải là tập
1
E
-lồi mạnh theo Định nghĩa 1.2.
Ví dụ 1.4
Cho
         
         
3
2
1 2 3 1 2 3
1
3
2
1 2 3 1 2 3
1
, , 0,0 2,1 0,3 ; , , 0, 1
, , 0,0 0, 3 2, 1 , , , 0; 1 .
i
i

-lồi (hay
M
là
1
E
-lồi).
Cho
22
1
:E 
,
   
12
0,E x x
với
 
12
,x x x
hay
1
E
là phép chiếu
(vuông góc) từ
2

xuống trục tung,
2
EI
với
 

1 1 1
0 ( ) (1 ) 0 ( ) ( )x E x y E y E M M

     

hay
M
là tập
 
1
0, ,EI
-lồi (hay
1
E
-lồi).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10

Hình 1.3
Ví dụ 1.5
Cho
22
1,2
:E 
;
 
2 1 1 2
1 1 2
24

11
Tập
M
không là tập lồi (xem Hình 1.3) và cũng không là
 
12
1, ,EE
-lồi. Thật
vậy, chọn
 
0,3x 
,
 
2, 1y   
và
1
2


thì
     
11
0,3 2,1E x E
và
     
11
2, 1 0, 3E y E    
thì ta có
       
1 1 2

 
22
1 2 1 2 1 2 1 2
, : 1, 0 , : 1, 0M x x x x x x x x        
.
Tập
M
là hợp của hai tập lồi rời nhau, do đó không phải là tập lồi. Tuy nhiên,
     
 
1 2 2 2
0, ,E M E M x x   
là tập lồi và
 
1
E M M
. Chứng tỏ
M

không phải là tập
1
E
-lồi theo nghĩa Youness, nhưng là tập
 
12
0, ,EE
- lồi.
Điều này nói lên rằng khái niệm tập
 
12


-
lồi với
2
E
này nhưng không là
 
12
,,EE

-lồi với
2
E
khác. Như vậy, một tập
có thể không lồi theo nghĩa thông thường, nhưng có thể là
 
12
,,EE

-lồi với
một bộ
 
12
,,EE

nào đó. Điều này cho phép mở rộng các khái niệm và kết
quả của giải tích lồi sang cho giải tích
 
12
,,EE

()EM
của nó có thể cho phép ta hiểu tốt hơn về tập
M
.
1.3 Các tính chất của tập
 
12
,,EE

-lồi
Cho
n
M  
và
1,2
:
nn
E 
. Mệnh đề 1.2 dưới đây là mở rộng của Mệnh
đề 2.2 trong [14].
Mệnh đề 1.2
Nếu tập
n
M  
là
 
12
,EE
-lồi tương ứng với các ánh xạ
12

   
12
E x E M
với mọi
xM
, vậy
   
12
E M E M
.
Mệnh đề được chứng minh.
Nếu
2
EI
và
1
EE
thì Mệnh đề 1.1 là hệ quả của Mệnh đề 1.2.
Theo một nghĩa nào đó, Mệnh đề dưới đây là đảo lại của Mệnh đề 1.2.
Mệnh đề 1.3
Giả sử
1
()EM
hoặc
2
()EM
là tập lồi. Nếu
 
12
()E M E M

.
Mặt khác,
 
12
()E M E M
nên
   
1 1 1 2
( ) (1 ) ( )E x E y E M E M

   
với
mọi
 
0,1


. Vậy
M
là tập
 
12
,EE
-lồi.
Trường hợp 2:
2
()EM
là tập lồi. Vì theo giả thiết
 
12

()EM
là tập lồi thì
M
là tập
 
12
,EE
-lồi.
Nếu
2
EI
và
1
EE
thì ta có
Hệ quả 1.1 (Grace-Thangavelu, 2009, [7], Proposition 2.3)
Giả sử
()EM
là tập lồi. Nếu
()E M M
thì
M
là
E
-lồi.
Mệnh đề 1.4
Giả sử
1
:
nn

,xy
bất kỳ thuộc tập
12
MM
. Khi đó ta có
12
x x x
với
1 1 2 2
;x M x M

và
12
y y y
với
1 1 2 2
;y M y M
.
Với mọi
 
0,1


, do
1
E
là ánh xạ tuyến tính nên
   
1 1 1 2 1 1 1 2
( ) ( )E x E x x E x E x   

,EE
-lồi nên
1 2 1 2 2 2
( ) (1 ) ( ) ( )E x E y E M

  
.
Vì
2
E
có tính chất
     
2 1 2 2 2 1 2
E M E M E M M  
nên ta có
   
 
   
 
   
 
   
 
     
1 1 1 1 1 2 1 1 1 2
1 1 1 1 1 2 1 2
2 1 2 2 2 1 2
( ) (1 ) ( ) (1 )
(1 ) (1 )
.

12
,EE
-lồi.
Nhận xét 1.8
Nếu
2
E
là ánh xạ tuyến tính, tức là
     
2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2
E t x t x t E x t E x  
với
mọi
12
,tt
thì điều kiện
     
2 1 2 2 2 1 2
E M E M E M M  
mặc nhiên thỏa
mãn.
Nếu
2
EI
và
1
EE
thì ta có
Hệ quả 1.2 (Younes, 1999, [14], Lemma 2.2)
Giả sử

 
12
,EE
-lồi. Khi ấy với mọi bộ số thực
i
t
tập
1
m
ii
i
M t M



là
 
12
,EE
-lồi.
Chứng minh
Lấy
,xy
bất kỳ thuộc tập
M
. Khi đó tồn tại các phần tử
, ( 1, )
i i i
x y M i m


E x E y E t x E t y
   

   
    
   
   


=
 
 
     
 
1 1 1 1 1 1 1 1
... 1 ... 1
m m m m
t E x t E x t E y t E y
   
      

=
     
 
 
 
1 1 1 1 1 1 1
1 ... 1
m m m
t E x E y t E x E y

 
1 1 1 2 1 2 2 2 2
1 ...
mm
E x E y t E M t E M t E M

     

Vì
2
E
là ánh xạ tuyến tính nên
   
 
   
 
 
 
1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2
2 1 1 2 2 2
... ...
... .
m m m m
mm
t E M t E M t E M E t M E t M E t M
E t M t M t M E M
      
    

Suy ra với mọi

thì ta có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16
Hệ quả 1.3 (Grace-Thangavelu, 2009, [6], Proposition 5.1)
Giả sử
:
nn
E 
là ánh xạ tuyến tính, các tập
, 1,
i
M i m
là
E
-lồi. Khi ấy
với mọi bộ số thực
i
t
,
1,im
, tập
1
m
ii
i
M t M



22
E M a E M a  
thì
Ma
cũng là tập
 
12
,EE
-lồi.
Chứng minh
Lấy
,xy
bất kỳ thuộc tập
M
. Khi đó ta có
x a M a  
và
y a M a  
.
Vì
1
E
là ánh xạ tuyến tính nên
     
1 1 1
E x a E x E a  
và
     
1 1 1
E y a E y E a  



=
     
11
1E x E y a

  



Vì
M
là tập
 
12
,EE
-lồi nên
       
1 1 2
1E x E y E M

  
. Do đó ta có
       
1 1 2
1E x E y a E M a

    


2
EI
và
1
EE
thì ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17
Hệ quả 1.4 (Grace-Thangavelu, 2009, [6], Proposition 3.1)
Giả sử
:
nn
E 
là ánh xạ tuyến tính,
()E a a
với một số thực
n
a 

nào đó và
M
là tập
E
-lồi. Khi ấy
Ma
cũng là tập
E
-lồi.
Nhận xét 1.9


Khi ấy
 
2
( ) 0;1EM
nên
 
2
( ) 1;2E M a
, nhưng
 
2
( ) 0E M a
. Vì
vậy điều kiện
   
22
E M a E M a  
không thỏa mãn.
Mệnh đề 1.7
Giả sử
1,2
n
M  
là các tập
 
12
,,EE

-lồi. Nếu ta có

 
12
,,EE

-lồi nên với mọi
 
0,1


ta có
 
 
   
 
 
1 1 1 2 1 2 2 1
1x E x x E x E M
   
    

Và
 
 
   
 
 
1 1 1 2 1 2 2 2
1x E x x E x E M
   
    

Nhận xét 1.10
Ta luôn có
     
1 2 1 2
f M M f M f M  
nhưng dấu bằng có thể không
xảy ra. Thí dụ, cho
12
M M M
với
 
1
1;0M 
và
 
2
0;1M 
. Hàm
   
: 1,1 1,1f 
được xác định bởi công thức
 
 
1, 1;0 ;
()
1, 0;1 .
xx
fx
xx


Hệ quả 1.5 (Younes, 1999, [14], Proposition 2.4)
Giả sử
1,2
n
M  
là các tập
E
-lồi thì
12
MM
cũng là tập
E
-lồi.
Nhận xét 1.11
Chứng minh hoàn toàn tương tự, Mệnh đề 1.7 có thể mở rộng thành
Mệnh đề 1.7’
Giả sử
n
j
M  
là các tập
 
12
,,EE

-lồi, trong đó
jJ
là tập chỉ số bất
kì. Nếu ta có
     

là tập chỉ số bất kì. Khi ấy
j
jJ
M


cũng là tập
E
-lồi.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

19
Nhận xét 1.12
Giả sử
1,2
n
M  
là các tập
 
12
,,EE

-lồi. Khi ấy
12
MM
có thể không
phải là
 
12

1 1 2 1 2 3 1 2 3
1
: , : , 0,0 2,1 0,3 ; , , 0; 1
i
i
M x x R x y
      


      



;
         
3
2
2 1 2 1 2 3 1 2 3
1
: , : , 0,0 0, 3 2, 1 ; , , 0; 1
i
i
M x x R x y
      


         




1
0,3 2,1E 
, vậy
 
1 1 1
E M M
.
Ta cũng có
 
 
 
1
2, 1 0, 3E    
,
 
 
 
1
0, 3 2, 1E    
, vậy
 
1 2 2
E M M
.
Do đó
1
M
và
2
M

, hay
         
1 1 2 1 2
1 1; 1E x E y E M M

     
.(Hình 1.5)
Hình 1.5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

20
Mệnh đề 1.8
Giả sử
n
M  
là tập
 
12
,EE
-lồi và
 
12
,EE

-lồi. Nếu
2
()E M M
thì
M


   
12
E M E M


.
Giả sử
M
không phải là
 
1 1 2
,E E E


-lồi, tức là theo định nghĩa, phải tồn tại
số
 
0;1


và tồn tại các điểm
,x y M
sao cho
        
1 1 1 1 2
1E E x E E y E M


  


và
     
1 1 2
y E y E M E M M
  
   
,
tức là
       
1 1 2
1E x E y E M


  
,
trái với giả thiết
n
M  
là tập
 
12
,EE
-lồi.
Vậy
M
là
 
1 1 2
,E E E


E

-lồi thì
M
cũng là
EE


-lồi và
EE


-lồi.
Mệnh đề 1.9
Cho
1,2
:
nn
E 
và
1,2
:
mm
E


là các ánh xạ bất kì,
:
nm
A 

Vì
M
là
 
12
,EE
-lồi nên với
,x y M
và
 
0,1


ta có
       
1 1 2
1E x E y E M

  
.
Ta có

 
 
   
 
11
1E A x E A y



là ánh xạ affine nên
 
 
 
   
 
 
11
1A E x A E y


=
 
 
   
 
11
1A E x A E y



=
     
 
11
1A E x E y



Do

hay
 
 
   
 
 
 
1 1 2
1E A x E A y E A M

  
  
.
Vậy theo định nghĩa
()AM
là tập
 
12
,EE

-lồi.
Nếu
2 n
EI
và
2 m
EI


thì ta có

()
m
AM  
là tập
E

-lồi.
Mệnh đề 1.10
Giả sử
1
:
nn
E 
là ánh xạ tuyến tính và
M
là tập
 
12
,EE
-lồi. Khi ấy
nếu
2
:
nn
E 
có tính chất
   
22
E M E M


E
là ánh xạ tuyến tính nên
   
11
E x E x


và
   
11
E y E y


.
Hơn nữa, với mọi
 
0,1


ta có:
     
11
1E x E y
   

     
11
1E x E y
  
  


nên ta có
         
1 1 2 2
1E x E y E M E M
     
   
.
Vậy
M

là tập
 
12
,EE
-lồi.
Nếu
2
EI
,
1
EE
thì ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

23
Hệ quả 1.9 (Grace-Thangavelu, 2009, [6], Proposition 3.2)
Giả sử

:
n n n n
E


được xác định như sau:
 
1 11 12
( , ): ( ), ( )E x y E x E y
;
 
2 21 22
( , ): ( ), ( )E x y E x E y

với mọi
12
( , )
nn
z x y  
.
Khi ấy nếu
i
n
i
M  
,
1,2i 
là tập
 
12

1,2i 
là tập
 
12
,
ii
EE
-lồi nên
       
11 1 11 2 21 1
1E x E x E M

  

và
       
12 1 12 2 22 2
1E y E y E M

  
.
Với
 
0;1


ta có

     
1 1 1 2

1 ; 1E x E x E y E y E M E M
   
     

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

24
hay
           
 
 
11 1 11 2 12 1 12 2 2 1 2
1 ; 1 .E x E x E y E y E M M
   
     

Vậy
12
M M M
là
 
12
,EE
-lồi.
Nếu
1
21 n
EI
và
2

: , : ,M M M x y x M y M    
là tập
E
-lồi.
Định nghĩa 1.5
Ánh xạ
:
nn
E 
được gọi là ánh xạ chiếu (Projection) nếu nó là affine và
lũy đẳng, nghĩa là
     
1 1 2 2 1 1 2 2
E t x t x t E x t E x  
với mọi
1,2
t  
và mọi
1,2
n
x 
và
   
2
E x E x
với mọi
n
x 
.
Mệnh đề 1.12


ta có
 
1 2 1 1 1 2 1
( ) ( ) ( )E M E M E M
   
  
.
Chứng minh
Lấy
   
1 2 1
z E M


. Khi đó tồn tại
xM
sao cho
           
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1
z E x E x E x E M E M
     
     
.
Vậy ta luôn có
       
1 2 1 1 1 2 1
E M E M E M
   
  




Vậy ta có

       
1 1 2 1 1 2 2
E x E y E M
   
  
.
hay
   
 
   
 
1 1 1 2 1 1 1 2 2
E E x E y E E M
   
  
. (1.6)
Vì
1
E
là ánh xạ chiếu nên
   
 
       
22
1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1


       
 
   
 
   
1 1 2 1 1 1 1 2 1
1 1 2 2 1 2 1
E x E y E E x E y
E E M E M
   
   
  
   

hay

       
1 1 2 1 1 2 1
E M E M E M
   
  
. (1.7)
Từ (1.5) và (1.7) suy ra
     
1 2 1 1 1 2 1
()E M E M E M
   
  
.

0


.
Định nghĩa 1.6
Giả sử
:
nn
E 
và
1
,...,
n
m
x x M
. Tổng
 
 
11
...
n
mm
E x E x

  
, trong đó
0, 1,...,
i
im
