H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 1
H PHNG TRÌNH (Phn I)
1.
  
22
2 2 2
2
xy
y x xy
xy

   





2.
   
22
ln 1 ln 1
12 20 0
x y x y
x xy y
    



  



21
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y



    


    



5.
   
22
2
2
32
1
1
3log 2 6 2log 2 1
yx
x
e
y

22
15
4 4 12
x y x y
x xy y xy

    


     


8.
   
2 3 4 6
2
22
2 1 1
x y y x x
x y x

  


   



9.
2

11.
 
 
3
3
2 3 1
23
xy
xy







12.
 
 
2 1 2 2 1
32
1 4 .5 1 2
4 1 ln 2 0
x y x y x y
y x y x
    

  



 
 
22
22
2 5 4 6 2 0
1
23
2
x y x y x y
xy
xy

     


  



16.
22
22
3 4 1
3 2 9 8 3
x y x y
x y x y

   






19.
 
 
22
22
23
10
y x y x
x x y y







20.
65
62
9
x x y
x y x
x y xy





    


   



23.
  
22
2
1 1 3 4 1
1
x y x y x x
xy x x

     


  


24.
22
2 2 2
6
15
y xy x
x y x


12
x y x y y
x x y y

   


   



27.
  
33
22
2 9 2 3
3
x y x y xy
x xy y

   


  


28.
 
 
22

x
yx






  









30.
2
3
2
2
2
3
2
29
2
29
xy


32.
2
21
2
log 3log 2
xy
x y e e
xy

  


  



33.
 
 
32
32
12
12
x x x y
y y y x

   



35.
 
2
42
39
4 2 3 48 48 155 0
xy
y x y y x




     


36.
22
53
1
125 125 6 15 0
xy
yy




  




   
22
1 1 2
12
1 2 1 2
2
1 2 1 2
9
xy
xy
x x y y








   


40.
 
 
3
3 2 2 2 1 0
2 2 2 1 1
x x y y
xy


  


  



43.
22
2
2 3 4 9
7 6 2 9
x y xy x y
y x x

  


  


44.
4 3 2 2
32
1
1
x x y x y
x y x xy








47.
22
22
3
1 1 4
x y xy
xy

  


   


48.
 
21
1
x y x y
xy
e e x
e x y



x
y x y
y
x x y x y

   



    


51.
2
22
1
22
22
xx
y
y y x y

  



   

52.
22

14
2 7 2
x y xy y
y x y x y

   


   



55.
22
33
21
22
yx
x y y x




  


56.
2
2
2

2 3 4 9
7 6 2 9
x y xy x y
y x x

  


  



59.
3 3 2
44
8 4 1
2 8 2 0
x y xy
x y x y

  


   


60.
22
3 3 3
6

1
x y xy y
y
xy
x

   


  




63.
 
4 3 3 2 2
22
99
7
x x y y y x x y x
x y x

    





64.



   


66.
12
12
3
12
16
3
x
yx
y
yx






 








4 2 4
33
4 2 5
22
xy x
xy
xx
yx


  


  



69.

 
11 10 22 12
4 4 2
3
6 3 2 2 . 5 2 8
x xy y y
y x y x x x

  



x x y
x x y

   


    


72.
2 2 2
23
20
2 4 3 0
x y x y
x x y

  


   



H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 4
73.
 
 
44
3 3 2 2

 
32
32
2 2 1 1
4 1 ln 2 0
x x y x y
y x y x

    


    


76.
3 2 2
23
3
22
2 2 1 14 2
x y x y xy
x y y x

  


     




  
22
22
7
2 1 2 1
2
7 6 14 0
xy
xy
x y xy x y

  



     

80.
2
cos cos
3 18 0
x y x y
x y y
  


  


81.

67
x xy y
y x y







84.
32
22
3 49
8 8 17
x xy
x xy y x y

  


   



85.
32
22
2 12 0
8 12

x y x y

  


  


88.
3 3 3
22
27 125 9
45 75 6
x y y
x y x y








89.
44
3 2 2
2
22
xy
x x x y

  
  



    

92.
22
2
2
1
xy
xy
xy
x y x y

  




  


93.
 
2
5 3 2 4 3
1



   



95.
 
2
31
89
y x y
x y x y

   


   


96.
 
 
 
2 2 3
2
22
5 4 3 2 0
2
x y xy y x y


    


     



99.
 
   
22
2
2 1 3
1 2 3 0
x x y y y
x x y x y

   


    


100.
2 2 2
71
10 1
xy x y
x y y

   



    




2 2 2 2
3 3 3 3
22
2 2 2 2
x y x y
x y x y
y x x y

   



     



Xét hàm s
 

xy







  




Vy h có các nghim là
     
; 1;1 , 1; 1xy  

Bài 2: iu kin
,1xy
. Ta có:
   
  
   
22
2 10 0
ln 1 ln 1
ln 1 ln 1
12 20 0
x y x y
x y x y

   
ln 1f t t t  
trên


1; 
.
o hàm:
 
1
'1
11
t
ft
tt

  

. Ta có:
 
' 0 0f t t  
. Vy hàm s đng bin trên
 
1;0
và nghch bin trên
 
0;
.
+) Nu
,xy

mà không cha
xy
)
nên ta có th đa phng trình th nht v cùng mt hàm s ri s dng đo hàm đ gii.
iu kin
   
1;1 , 1;3xy  
. T đó suy ra:
 
 
1 2;0x  
và
 
 
3 2;0y   
.
Khai thác phng trình th nht ca h:
    
22
3 3 2 3 3 2
6 3 9 2 0 3 2 6 9 2 1 3x y y x y x x y y y x x y y                
       
22
1 3 1 3 3 3x x y y       
   
   
.
Xét hàm s
   
2 3 2

log log 2 0
45
2 4 3
xx
yy
yy

  

  


 


22
2
22
11
log 2
4 5 2 4 3
xx
y y y y

  
    



       

2 2 2 2
1 1 1 1
1
log 2 *
4
1 2 1 1 2 1
x x x x
x x x x
   
    
     

t
 
 
2
1 0;1x t t  
. Lúc này
 
*
tr thành:
 
 
 
 
 
2
3 2 3 2 3 2
2
11

11
xy
tx
xy
  

    

   


+)
2
1 7 1 2 7
39
tx
  
  
1 2 7 1 2 7
2
33
1 2 7 1 2 7
2
33
xy
xy



   

3 1 1 1 3 1 1 1 *
2 2 3 1
xy
y
x x y y
x x x



          



    


Xét hàm s
 
2
31
t
f t t t   
trên .
Hàm s có đo hàm:
 
2
22
1
' 3 .ln3 1 3 .ln3
11

       
2
2
1
ln 1 1 1 1 .ln3
1 1 3 1
x
xy
xy
x x x
xx









     

    





Li tip tc xét hàm s
 

nên
 
'0g t t  
. Nh vy hàm s
 
gt
nghch bin trên .
Mt khác ta li có
 
00g 
nên phng trình
 
có nghim duy nht là
1 0 1xx   
.
Vy nghim ca h là
   
; 1;1xy

Bài 5: Phng trình th nht ca h tng đng vi:
   
22
22
11
xy
x e y e  

Xét hàm s
   
1

. Thay vào phng trình th hai ca h ta đc:
   
1
3 2 3
3log 6 1 2log 2 3 log 6 1 6 3 3 3y y y y x              
.
+) Nu
xy
. Thay vào phng trình th hai ca h ta đc:
       
3 2 3 2
3log 3 6 2log 2 2 1 3 1 log 2 2 1 log 1 1y y y y
          
   
   

         
3 2 3 2
3log 2 2log 1 3log 2 2log 1 0 *y y y y
        
.
Xét hàm s
     
32
3log 2 2log 1g t t t   
trên
 
1; 
.
Hàm s này có đo hàm:

 
'0gt
.
Nh vy nên hàm s nghch bin trên
 
1; 
.
Ta li có
 
70g 
. Vy
 
*
có nghim
77yx  
.
Vy nghim ca h phng trình là
     
; 7;7 , 3; 3xy

Cách khác: Trong trng hp
xy
, ta đt
   
32
3log 2 2log 1 6x x u   
thì h tr thành:
H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 8
2
32

   

   
   
là hàm nghch bin mà
 
11h 
nên
1u 
là nghim
duy nht ca h
7xy  
.
Bài 6: iu kin:
0; 0x x y  
.
i t phng trình th hai ca h:
 
x y x y x y x y x x        
(1)
Xét hàm s
 
2
f t t t
trên


0;
. ohàm:
 

t t t t t t t
t

         

 
   
33
2 2 12 0 2 do 2 12 12t t t t t t         
.
Vi
2 4,tx  
2y 
.
Vy nghim ca h là
   
; 4;2xy

Cách gii khác: Phng trình th nht ca h tng đng vi:
Phng trình th nht ca h tng đng vi:

    
 
2
24
8
16 2 0 4 4 0
xy x y
xy
x y xy x y x y


Ta đt
3
t x y
(điu kin:
1t 
) thì
 
1
tr thành:
3
15tt  
.
D thy rng hàm s
 
3
1f t t t  
đng bin trên


1; 
(vì khi t tng thì
 
ft
tng).
Nh vy phng trình vi n t trên s có nhiu nht mt nghim. Nhn thy t = 2 là mt
nghim ca phng trình.
Vy, ta có:
28t x y   
. Phng trình th hai ca h tng đng vi:

8
8
4
4 2 1 81
16
2 1 2 1 9
xy
xy
xy
xy
xy x y
xy
xy







     
  
   

  






0x
.
Chia hai v ca (1) cho
3
0x 
ta có:
3
3
3
2
2
yy
xx
xx
  
(3).
Xét hàm s
 
3
2f t t t
trên có đo hàm
 
2
' 3 2 0f t t  
nên hàm s đng bin trên .
Mt khác (3) có dng
 
2
yy
f f x x y x

22
2
3
3
3
1 6 1
1 6 1
I
6 1 6 1 1
1 6 1
x y y
x y y
x x x y y y
y x x


    
    



        
    





Xét hàm s
 

 
2
3
1
2
3. 6
t
t


. Tht vy:
 
 
2
3
2
3
1
2 6 . 6 1
3. 6
t t t
t
   

.
iu này hin nhiên đúng do t thuc đon


1;
.



Nhm đc nghim ca (2) là
2x 
nên ta dùng phng pháp nhân liên hp:
 
 
   
2
3
2 4 1 1 6 2 0x x x        

  
 
2
3
3
22
2 2 0
11
6 2. 6 4
xx
xx
x
xx

     

   


x
x
x
xx





   


   
2x

H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 10
(D thy phng trình
 
3
vô nghim do
1
1
11x



và

2
7 49
11
39
yy     
(1)
Li xem phng trình th hai là phng trình bc hai n y, tham s x :
 
22
4 3 4 0y x y x x     

Phng trình này có nghim
 
 
2
22
0 4 4 3 4 0 3 4 0
y
x x x x x            4
4 256
00
3 81
xx     
(2)
T (1) và (2) suy ra
42
49 256 697 698

x
xx












  







Xét hàm s
 
3
3f t t t
trên . o hàm:
 
2
' 3 3 0f t t t    

22
2
yx
x

      
.
Vy nghim ca h là
   
1
; 1;1 , ; 2
2
xy






Bài 12: t
2t x y
thì phng trình th nht tr thành:
 
1
4
5 5. 1 2 0 *
5
t
tt


   


. Do
4
ln2 0,ln5 0,ln 0
5
  

nên
 
'0f t t  
. Mt khác ta li có
 
10f 
nên
 
* 1 2 1t x y    
.
H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 11
Thay vào phng trình th hai ca h ta có:
 
32
2 3 ln 1 0y y y y     
.
Tip tc xét hàm s
 
 
32
2 3 ln 1g t t t t t     

1y 
,
1
0
2
y
x

  
.
Vy nghim ca h là
   
; 0 ; 1xy
( thi hc sinh gii quc gia 1998 – 1999)
Bài 13: iu kin
7 0, 2 0x y x y   
.
t
 
7 , 2 , 0a x y b x y a b    

22
38
55
a b x y   
. H tr thành:
 
2
2
22

  
  
  





5 77
5
2
5 77
15 77
2
2
ab
b
b
a












xy
x
y
xy




  




   






  

  






Vy nghim ca h đã cho là

theo y đ th li và gii phng trình ban đu.
Bài 14: Bin đi h nh sau:
     
   
22
22
2 2 1 2 21
3 2 16
2 4 33
1 2 38
xy x y x y
xy x y
x y x y
xy
       

  




   
   




H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 12
      
   

38
2 38 2 80 0
ab a b ab a b
ab a b
ab
a b ab a b a b
     

  



  

       




 
34
10
21
31 3 4
8
10
13
8
34
8




   






  


  





  











Vy nghim ca h là
 
   
; 3 3; 2 3 , 3 3 ; 3 2xy      

Cách gii khác:
Cách 1: Ly phng trình (1) nhân 2, sau đó cng vi phng trình (2) đc
hng đng thc.
Cách 2: Có th rút
16 2
3
y
x
y



, thay vào phng trình th hai gii phng trình bc 4.
Bài 15: iu kin:
20xy
. Vi điu kin này h tng đng vi:
 
 
 
2
22
22
22
2 5 4 6 2 0
5 6 0

  






22
23
23
22
1
23
1
23
2
2
x y x y
x y x y
x y x y
xy
xy
xy
xy


  
  



8 6 1 0
8
4
1
3 3 1 0
33
xy
xy
y
y
y
y
yy
y
x
xy
xy
x
x
yy
yx
y
y








  










  









(D thy phng trình
2
3 3 1 0xx  
có
0
, vô nghim)
H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 13
Vy nghim ca h là
 




   

   




t
22
3 , 4a x x b y y   
thì h
 
I
tr thành:
11
3 2 3 0
a b a
a b b
  



  

.
+)
22

22
3 3 2 2
2 2 2 2
2 2 3 2 2 3
33
5
85
8
5 3 8 4 0
55
ab
a a b b a b
a a b b a b
a b b ab a b a
ab



    



  

     


  



     
   
   
   

     
   

     


2 2 2 2
5 5 (1)
22
2 1 2
33
a b a b
b b b
b a b a b a
a a a

   



           



+) Nu

. Bin đi h v h đng cp bc hai:
22
2 2 2 2
2 2 2 2
5
5 4 4 4 20
52
2
2 4 5 4 20 25 10 20
2
x xy y
x xy y x xy y
yx
y x xy x xy y
x y xy

  

     
  

  
   
      





  

2
2
16
16
I II
5 5 5
5
5
8
y
y
x
xy
x y x
yy
x xy y







  


  
  



Vy nghim ca h là
     
; 2;1 , 2; 1xy  

Bài 19: Nhn xét rng
0x 
khi và ch khi
0y 
. Vy h có mt nghim là
 
0;0
.
Trng hp
,0xy
. Nhân chéo v theo v nh sau:
 
 
   
 
 
2 2 2 2 2 2 2 2
4 2 2 4
22
2 2 2 2
2 3 20 3
3 17 20 0
23
10 2 3
y x y x y x y x x y
x x y y

4 3 5 0
3 5 0
23
II
23
xy
y x y x
x y x y
xy
y x y x
y x y x









  


















2
3
2
2
3
2
11
22
1
21
2
1
2
2
xy
yy
y y x y x
y
x y y
xy
y
x


   





Gii h th hai:
 
 
22
22
3
22
3
5
5
5
3
3
3
II
4
23
49
9
xy
xy
xy
y


9 3 2 27 2 27
x y y y
y x x
  
   
  
  

  
  
   
  
  

(Hi tt, gii h này không khó)
Vy nghim ca h là
       
4 4 4 4
3 125 3 5 3 125 3 5
; 0;0 , 2;1 , 2; 1 , . ; . , . ; .
2 27 2 3 2 27 2 3
xy
   
    
   
   

Bài 20: iu kin
 

22
3 2 9 2 3 9 0y y y y
     
, vô nghim do
63 0   
.
+)
1 6 1
23
22
x
a y x
xy
    

. Thay vào phng trình th hai ta có:
22
24 23 9 23 24 9 0x x x x     
, vô nghim do
' 63 0   
.
Vy h phng trình đã cho vô nghim
Bài 21: T phng trình th hai ca h, ta đánh giá đc
 
, 1;1xy
. Ta có:
 
   
 
 

5 0 do , 1;1 5 0
11
x y x xy y x y x y x y xy
x y x y

            



     


42
22
1 5 5 1
51
10
22
2
xy
x y x y
xy
xx
xx
x






2
44
32 32 6 21x x x x y y       
. ánh giá hai v ca phng trình này nh sau:
+)
   
2
2
VP 6 21 3 12 12 1y y y      
. Du bng xy ra khi
3y 
.
+) ánh giá v trái bng bt đng thc Cauchy – Schwart (Bu–nhi–a–cp–xki) nh sau:
 
 
 
 
 
22
22
44
32 1 1 32 8
VT 12 2
32 1 1 32 2.8 4
x x x x
x x x x

      




Bài 23: Thay
0x 
vào h thy không tho mãn
0x
. T phng trình th hai ca h ta
rút:
 
2
1
1*
x
y
x


.
Th vào phng trình th nht ca h ta đc:
H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 16
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 1
3 4 1 . . 3 4 1
x x x x
x x x x x x x
x x x x
  
   
       
  

   
5
; 1; 1 , 2;
2
xy


  



Bài 24: Thay
0x 
vào phng trình th hai thy không tho mãn nên suy ra
0x 
.
Vi điu kin này, h tng đng vi:
2
2
2
2
2
1
6
6
1
12
5
5
y



 
I

t
1
,
y
a y b
xx
  
thì h
 
1
tr thành:

 
 
2
2
2
2
2
2
3
5
5
5
6






  
   



  
   
  






2
2
2
5
2
3
2
37
3 3 4 0
24
a

2
1
2
3
2
1
23
2 3 1 0
2
yx
y
yx
x
y
x
xx
x
x









  

  



  
  












Vy nghim ca h là
   
1
; 1;2 , ;1
2
xy





Bài 25: H đã cho tng đng vi:

 

5 16 16
2 4 2 0
0 2 4
y x x
y x x
y y x
y y x


   
   



  
   




H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 17
 
  
 
 
2
2
24
0
I II




.
Gii h
 
2
24
0
II
4
90
yx
x
y
x










.
Vy nghim ca h là
     
4





  



.
t
 
2
1
,0
x
x y a b b
y

   
thì h tr thành:
 
2
44
4
1
11
3
2 2 4 0
2 1 0
a b a b

25
1
1 3 2 0
xy
y x y x x x
x
yy
x x x x
y



      

  
   

    


     






Vy nghim ca h là
     
; 1;2 , 2;5xy

x xy y x xy y



   

   
   
   
     




11
22
yy
xx
  



  


Vy nghim ca h là
     
; 2;1 , 2; 1xy  

Bài 28: Bin đi h đ đt n ph:



H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 18
t
 
 
 
 
2
2
2
11
; 2 2a x y b x y a a x y
xy
xy
          


. H tr thành:
 
22
2
2
2
3
3
3 13
3 4 6 4 0
3 3 13
ba

aa
b x y
ba
y





  
  


   
   
  








Vy nghim ca h là
 
31
;;
22
xy

3
3
32
84
84
84
84
b
ba
ba
b
ba
ba
a
a
ba
a
a
ba
ba
ba










2
2 2 2
10 2 5 1 2 1 2
1 1 661
3 . 3 0 5. 132 0
44
88
5
ba
b a b a b a
a a a
a a a
a


  
  
   
   
   

       

   
  


 
1 661
2

1 661
331 661
132
8712
331 661
1 1 661
4356
2 66
x
x
y
y











   







x x y y


  

   


ánh giá hai v ca phng trình này:
+)
   
33
22
33
1 1 1 1
VT 2 2 2
88
1 8 1 8
xy xy xy
xy



    



   

.


Bài 31: Nhn thy rng nu s dng phép th thì bc ca phng trình nhn đc s rt ln (c
th là bc 9, ta có th nhm đc mt nghim và vic chng minh phng trình bc 8 nhn
đc (sau khi dùng chia bng s đ Hooc–ne) s rt khó chng minh nó vô nghim). Vì vy vi
bài này chúng ta s dng phng pháp đánh giá:
 
 
     
     
2
3
3
3
32
2 3 2
2 1 2 1
34
I
2 2 3 2
2 6 2
2 2 1 2 2
y x x
y x x
y x x
x y y
x y y
x y y


    

 
22y
, mâu thun nên cng loi nt.
+) Nu
2x 
thì thay vào ( I ) tìm đc
2y 
.
Vy nghim ca h là
   
; 2;2xy

Bài 32: T phng trình th hai ta đt điu kin
,0xy
.
Phng trình th nht ca h tng đng vi:
xy
e x e y
  

 
1
.
Xét hàm s
 
t
f t e t
trên
 
0;

xx




        






Vy nghim ca h là
     
; 2;2 , 4;4xy

Bài 33: Tr v theo v hai phng trình ca h đã cho ta đc:
 
 
 
  
3 3 2 2 2 2
2 2 2 2 2x y x y x y x y x xy y x y x y             
 
22
2 2 4 0 0x y x y xy x y x y x y            






  
   

   
    
  






Vy nghim ca h là
   
1 5 1 5 1 5 1 5
; 1;1 , ; , ;
2 2 2 2
xy
   
   

   
   

Bài 34: iu kin
2

H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 20
Kt hp
   
1 , 2
ta đc h:
22
2 2 2 2
22
2 2 2 2
1 1 2 1 2 1
11
1 1 1 1
xy
x x y y y x
x x y y
y y x x x x y y



       
  

  
    
  
         



22



  


(loi
0xy
do
2
1x 
).
Vy
xy
. Thay vào phng trình th nht ca h thy tho mãn và thay vào phng trình
th hai ca h ta đc
 
2
35
01
12
1
y
y
y
  

. D thy rng
0y 
(vì nu
0y 

35 35 35 35 1225
.2
12 12 12 6 144
y y y y y y y y
     
         
     
     

22
2 2 2
35 1369 37 35 37 35 37
1 1 1 0
12 144 12 12 12 12 12
y y y y y y
      
            
      
      

22
35 49 35 25 5 5 35 3577
0
12 12 12 12 4 3 12
y y y y y y y
   
  
           
  
  

2
1 35
0
12
1
1
y
y
  

.
Vi điu kin y < –1, ta có th đt
1
cos ;
2
tt
y









thì phng trình trên tr thành:
 
2
1 1 35 1 1 35 35

Xem nh đây là mt phng trình bc hai vi n là
2
y
và tham s là
x
, ta có:
 
2
2
2
' 4 2 3 16 48 11 25 0
y
x x x       
nên phng trình có hai nghim là:
 
2
2 2 3 5yx   
hay chính là
2
14yx

hoc
2
11 4yx
.
+) Nu
2
2
1
14

2
2 11 0 1 2 3 3 3
2 11 0
2 13 0 (VN)
1 2 3 3 3
y y y x
yy
yy
yx


         
     


  
      




(tho mãn)
+) Nu
2
2
11
11 4
4
y
y x x

yy
yy

   



   


Gii tng phng trình:
 
2
11 6 2 3 3 2
6 2 3
42
*
6 2 3 3 2
6 2 3
2
y
yx
yx

  
      






 
   
; 3 3 ;2 3 1 , 3 3 ; 2 3 1 ,
6 2 3 3 2 6 2 3 3 2
; 2 3 6 , ; 2 3 6 ,
22
3 2 2 3 6 2 3 3 2 6
; 6 3 2 , ; 6 2 3 .
22
xy       
   
   
    
   
   
   
   
   
   
   

H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 22
Bài 36: t
15
5
t
y 
. T phng trình th nht suy ra
 

1 3 6 4 2 0
3 6 4 2 0 1
t
t t t t
t t t


      

   


.
Xét hàm s
 
32
3 6 4 2f t t t t   
trên đon
15 15
;
33




. Hàm s có đo hàm
   
2
2
' 9 12 4 3 2 0f t t t x     

. Thay vào phng trình th nht ca h ta tìm đc
10
5
x 
.
Vy các nghim ca h là
 
10 15
;;
55
xy





Bài 37: Bin đi h nh sau:
 
32
32
32
32
2000
2000 0
500 *
500 0
x xy y
x xy y
y yx x
y yx x

5 4 0 4 0x x y y x y x y       

22x y x y x y x y         

– Nu
xy
. Thay vào (*) ta đc:
33
500 0x x x x   
, loi.
– Nu
xy
. Thay vào (*) ta đc:
   
3
2
500 0x x x x x     
, loi nt.
– Nu
2xy
. Thay vào ta đc:
 
3 3 3 2
4 1000 1000 0 1000 0y y y y y y y       

iu này không th xy ra do
2
0 , 1000 0yy  
.
– Nu

   


   
   

Bài 38: Thay
0y 
vào h thy không tha mãn nên h tng đng vi:
 
 
 
   
2
4
2
2
22
2
23
2
3
11
11
2
1
2 2 1 1
2 1 1 2
y
xy x y

33
1 0 1 1y y y
         
.
Vì vy y ch có th bng –1

1x 
.
Vy nghim ca h là
   
; 1; 1xy

Bài 39: iu kin
1
, 0;
2
xy




. Vi điu kin này suy ra
1
0
4
xy
.
Khai thác phng trình th nht ca h. Áp dng bt đng thc Cauchy – Schwart ta có:
 
2

xy






(vi
1
0
4
xy
).
Tht vy
 
  
 
    
22
2 2 2 2
22
2 2 2 2
1 1 2 1 1 2 1 2
12
1 2 1 2
xy
xy x y x y
xy
xy


*
suy ra
2
22
1 1 4
12
1 2 1 2
xy
xy







.
Ly cn hai v ta có :
22
1 1 2
12
1 2 1 2
xy
xy



.
Trong bài này, du bng xy ra, tc là
1

xy
xy
xx
x
x







  
  
  


  

  





(tha mãn)
H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 24
Vy nghim ca h là
 
9 73 9 73 9 73 9 73



      
   
    
   



   

   



Ta đt
 
2 , 2 1 , 0a x b y a b    

thì h trên tr thành:

   
 
 
2 2 2 2
33
3
33
1 1 1 0
21

a b a b ab
ab
a a a
aa
ab



     



  
  
   



  



15
1
2
ab
aa




   
1 5 5 5
; 1;1 , ;
24
xy






Lu ý: Có th dùng phng pháp hàm s đ kt lun
2 2 1xy  
.
Bài 41: Bin đi h nh sau:
3 3 3 3 3 2 3 2
2 2 2 2 2 2
9 1 8 3 3 1 6 12 8
2 4 0 6 12 3 3 2 4 0
x y x y x x x y y y
x y x y y y x x x y x y
  
           
  

  
           
  
  



   





3 2 1
1 2 1 2
x y x x
y y y y
   
  
  
  
        
  

Vy nghim ca h là
     
; 2; 1 , 1; 2xy  

Bài 42: Chuyn s 3 t v trái ca phng trình th hai sang v phi:
 
 
 
 
 
2
3 2 2

  






  
   
  

   







H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 25
 
 
 
 
2
2
2
2
22
2









  



  

   
   

  



  
  


  





x
x
xx
x x x x
x












  
  


  
  
      







  
    
    
  


  
  

  



Vy nghim ca h là
     
4 78 78 4 78 78
; 3;1 , 3; 1 , ; , ;
13 13 13 13
xy
   

  
   
   

Cách gii khác:
Cách 1: a phng trình th nht v dng
33
28x y y x  
và đa phng


  

  



      
  





  
 
2
2
2
4 3 2
7 2 9 6
7 2 9 6
2 2 1 2 9 27 0
4 24 31 99 54 0
y x x
y x x
x x x x
x x x x

  

y
x
x
y
y
y
x x x












   
   
   




   


