C
A
B
A
B
C
M
N
Kiến thức hình GV: Châu Minh Kim
HÌNH CƠ BẢN
1) Các đường trong tam giác:
a) Đường trung tuyến AM:
M là trung điểm BC
b) Đường phân giác AK:

·
·
BAK KAC=
Giao điểm của 3 đường
phân giác là tâm đường
tròn nội tiếp tam giác
O
A
B
C
: c) Đường cao AH

AH BC
⊥
Giao điểm của 3 đường cao
gọi là trực tâm

là trung điểm AC

A
B
C
M
N
4) Đường trung bình MN của
ABC∆
:
MN lần lượt đi qua trung điểm hai cạnh AB,
AC của
ABC
∆
. Có:
/ /
2
MN BC
BC
MN



=


5) Hệ thức lượng trong
∆
vuông
a)

=
;
cos
AC
C
BC
=
;
tan
AB
C
AC
=

6)
ABC
∆
có AM là trung tuyến
·
0
90
2
BC
AM BAC
= ⇔ =

·
0
90MA MB MC BAC
= = ⇔ =

S AB
=
11)
∆
vuông
1
A
B
C
H
A
B
C
M
A
B
C
M
N
G
A
B
C
M
A
D
B
C
A
D

12) Tam giác thường1
.
2
S BC AH
=

13) Hình thang

( )
2
AB CD AH
S
+
=
14) Hình bình hành.S DC AH
=

15) Hình thoi
.S AD BH
=
,
1
.
2

∆
bằng 180
0
e) Tổng 4 góc trong 1 tứ giác bằng
0
360
Các phương pháp chứng minh
18) CM 2
∆
bằng nhau
a) Tam giác thường (3 cách)
(c-g-c), (g-c-g), (c-c-c)
b)
∆
vuông (5 cách)
(c-g-c), (g-c-g), (c-c-c)
Cạnh huyền, 1 cạnh góc vuông
Cạnh huyền, 1 góc nhọn
19) CM
∆
cân
a) 2 cạnh bằng
b) 2 góc bằng
c) 1 đường có 2 trong 3 tính chất:
cao, phân giác, trung tuyến

3) CM
∆
đều


c) 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau
d) 2 cặp góc đối bằng nhau
e) 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đường
23) CM tứ giác là hình thoi:
A
B
D
C
CM tứ giác
2
A
B
C
H
A
B
C
D
H
x
A
B
C
A
B
D
H
D
A

d) là hcn có 2 đường chéo vuông góc

26) CM 1 đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường
tròn: CM đường thẳng đó vuông góc với bán kính
tại đầu mút của bán kính
OB là bán kính đường tròn
a
⊥
OB tại B
Vậy a là tiếp tuyến của
đường tròn (O)
27) CM 2 đoạn thẳng bằng nhau :
a) CM 2
∆
bằng nhau
b) Cùng bằng cạnh thứ ba
c)
EFAB CD GH AB GH= = = ⇒ =
d) Tổng (hay hiệu) của hai cặp đoạn thẳng bằng
nhau từng đôi một thì bằng nhau
e)
∆
có 2 góc =
⇒
∆
cân
⇒
2 cạnh bằng nhau
f)
∆

bằng nhau
b)
∆
có 2 cạnh bằng
⇒
∆
cân
⇒
2 góc bằng
c)
∆
cân thì đường cao hay trung tuyến cũng là
phân giác
d) 2 cặp góc bằng
⇒
2∆
đồng dạng
⇒
cặp góc
thứ ba bằng
e) 2 góc đối đỉnh
f) 2 đường thẳng song song bị chắn bởi đường
thẳng thứ ba
⇒
2 góc so le trong bằng nhau, 2 góc
đồng vị bằng
g) 2 góc (cùng nhọn hoặc cùng tù) có cạnh đôi
một song song
h) 2 góc (cùng nhọn hoặc cùng tù) có cạnh đôi
một vuông góc

a) 2 góc so le trong bằng nhau
⇒
2 đt //
b) 2 góc đồng vị bằng nhau
⇒
2 đt //
c) 2 góc trong (hoặc ngoài) cùng phía bù nhau
⇒
2 đt //
d) 2 đt cùng // với đt thứ ba
⇒
2 đt //
e) 2 đt cùng
⊥
với đt thứ ba
⇒
2 đt //
f) CM tứ giác là một trong các hình: hbh, hcn,
h.thoi, h.vuông
⇒
2 cạnh đối //
g) Đường trung bình trong một
∆
thì // với cạnh
thứ ba
h) Áp dụng đl Ta let đảo mục I) 7)
30) CM 2 đường thẳng vuông góc với nhau
a) 2 đt giao nhau tạo thành 2 góc kề =
⇒
2 đt

g) 2 tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc
h) Định lý Pitago đảo
3
A
B
C
M
O
M
A
B
B
C
O
A
B
a
O
Kiến thức hình GV: Châu Minh Kim
i) Đường cao thứ 3 trong 1
∆
j) Đường kính qua trung điểm 1 dây không qua
tâm
⇒
đường kính
⊥
dây cung
k) Tiếp tuyến
⊥
bán kính đi qua tiếp điểm

xAB xAC= ⇒
A, B, C thẳng hàng
e) Định lý về các đường đồng quy trong 1
∆
f) Đường tròn (O) có AB là đường kính
⇒
A, O,
B thẳng hàng
g) Đường tròn (O) và (O
’
) tiếp xúc nhau tại A
⇒

O, A, O
’
thẳng hàng
32) CM 4 điểm nằm trên 1 đường tròn
a) CM 4 điểm cách đều 1 điểm nào đó
b) CM 4 điểm là 4 đỉnh của hình thang cân, hcn,
h.vuông
c) CM là đỉnh của tứ giác có tổng 2 góc đối bằng
180
0
d) 2 điểm M, N cùng nhìn đoạn AB dưới 1 góc
vuông
e) 2 điểm M, N cùng nhìn đoạn AB dưới 1 góc
α

HÌNH 10
33) Quy tắc hình bình hành

( ; ), ( ; )u x y u x y
ur
r,
,
,
x x
u u
y y

=

= ⇔

=


ur
r
39) Toạ độ của vt: Cho A(x
A
;y
A
) và B(x
B
;y
B
)

=
2
A B
y y+

41) Toạ độ trọng tâm G(x
G
;y
G
) của
ABC∆
x
G
=
3
A B C
x x x+ +
, y
G
=
3
A B C
y y y+ +
42) Tích vô hướng của hai véctơ

. . cos( , )ab ab a b
=
r r r r
43) Tam giác ABC


.
.
a b
a b
r r
r r
=
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
.
a b a b
a a b b
+
+ +
47) Khoảng cách giữa hai điểm
AB =
2 2
( ) ( )
B A B A
x x y y− + −
48) Định lý Cô sin
a
2
= b
2
+ c
2
-2bc cosA
b

2( )
4
a c b+ −
,

4
A
B
D
C
m
A
B
C
M
Kiến thức hình GV: Châu Minh Kim
m
c
2
=
2 2 2
2( )
4
a b c+ −
50) Định lý sin:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C

,
r là bán kính đường tròn nội tiếp
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp
52) Phương trình tham số của đường thẳng
∆

0 1
0 2
x x tu
y y tu
= +


= +
∆
qua M
0
(x
0;
y
0
) và nhận
1 2
( ; )u u u=
r
làm vtcp
(

54) Vtcp
u
r

⊥
n
r
nên
u
r
=(c;d)
⇔
n
r
=( -d;c)
55) Góc giữa hai đường thẳng

1
∆
: a
1
x +b
1
y +c = 0

2
∆
: a
2
x +b

( ; )n a b=
uur

Chú ý: a)
1 2
∆ ⊥ ∆
⇔
1 2
n n⊥
ur uur
⇔
1 2 1 2
0a a b b+ =
b)
1 1 1
: k x m∆ +
và
2 2 2
: k x m∆ +

1 2
∆ ⊥ ∆
⇔
1 2
. 1k k = −
56) Khoảng cách từ điểm M
0
đến đường thẳng
∆
d ( M

59) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C)
tâm I(a;b). Gọi
∆
là tiếp tuyến với (C) tại M
0

∈
(C)
(x
0
–a)(x –x
0
) + (y
0
–b)(y –y
0
) = 0
60) Phương trình đường elip
M(x;y)
∈
( E)
⇔
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
Trong đó b
2

a // b
b
a
Q
P
(P) // a, (Q) // a,
( ) ( )P Q a∩ = ⇒
a // b
∆
Q
P
b
a
a // b, (P) qua a, (Q) qua b,
( ) ( )P Q∩ = ∆

⇒
∆
// a,
∆
// b hoặc
∆
trùng với a hoặc b
b
a
∆
P
Q
b
a

C3 : Dùng hệ quả: Hai mặt phẳng phân biệt và cùng // với một mặt phẳng thứ ba thì // với nhau .
>
Quan hệ vng góc
64/
Chứng minh hai đường thẳng vng góc.
C1 : Dùng các quan hệ vng góc đã biết trong mặt phẳng.
C2 :
a b
⊥ ⇔
góc
( ; ) 90
o
a b =
.
C3: Dùng hệ quả:
7
( )
( )
a P
a b
b P
⊥

⇒ ⊥

⊂

a
b
P

//
( )P
P
b
a
Q
, ( )a b Q⊂
, a cắt b, a // (P) và b // (P)
⇒
( )P
//
( )Q
P
a
Q
( )P
,
( )Q
phân biệt,
( ) , ( )P a Q a⊥ ⊥
⇒
( )P
//
( )Q
Kiến thức hình GV: Châu Minh Kim
C4: Dùng hệ quả:
C5 : Dùng hệ quả:
C6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
C7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông góc với cạnh còn lại của
tam giác


∆
A
C
B
A B
BC
A C
∆ ⊥

⇒ ∆ ⊥

∆ ⊥

c
a
b
P
b
,
c
cắt nhau ,
, ( )b c P⊂
,
,a b a c⊥ ⊥
⇒
( )a P⊥
P
b
a

( )
( ) ( ),( ) ( )
P
P P
α β
α β
∩ = ∆

⇒ ∆ ⊥

⊥ ⊥

Kiến thức hình GV: Châu Minh Kim
66/ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
.
C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông.

C2 : Dùng hệ quả:Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này
vuông góc với mặt phẳng kia.

 CÁCH XÁC ĐINH GÓC
67/ Góc của hai đường thẳng
68/ Góc của hai mặt phẳng
69
/ Góc của đường thẳng và mặt phẳng
>
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng
9
ϕ
y

•

( ) ( ) 90
o
α β ϕ
⊥ ⇔ =
β
α
a
( )
( ) ( )
( )
a
a
β
α β
α
⊂

⇒ ⊥

⊥

• Chọn điểm O tuỳ ý.
• Dựng qua O : a’ // a; b’ // b .
• Góc (a,b) = góc (a’,b’) =
·
A OB
• Thường chọn điểm O
∈



⊥ ∆

• Góc
( , )
α β
= Góc
( , )OA OB
=
·
A OB
ϕ
=
Chú ý: *
0 90
o
ϕ
≤ ≤

* Nếu
90
o
ϕ
>
thi chọn góc
·
( ; ) 180
o
α β ϕ

α
= Góc
( , )OA OB
=
·
A OB
ϕ
=
.
Kin thc hỡnh GV: Chõu Minh Kim
KHOANG CACH
HèNH V MT S HèNH CHểP T BIT
70/ Hỡnh choựp tam giaực ủeu

>
Hỡnh chúp tam giỏc u:


ỏy l tam giỏc u


Cỏc mt bờn l nhng tam giỏc cõn

>
c bit: Hỡnh t din u cú:


ỏy l tam giỏc u



10
Dựng MH



: d(M,

) = MH

M
H
Dựng: MH

(

), H thuộc (

) ta có: d(M,(

)) = MH

M
H
Chọn điểm M trên

1
, dựng MH




)), ta có d(

,(

)) = MH

// (

)


H
M
Ta có: d((

),(

)) = d(

,(

)) = MH
(M thuộc

, MH

(

), H thuộc


)

Dựng a' trong mặt phẳng (

), a' // a
đ0ờng thẳng a' cắt đ0ờng thẳng b tại B

Dựng

qua B và // MH,

cắt a tại A
Khi đó:
d(a,b) = d(a,(

))
= d(M,(

)) = MH =
AB

a và b chéo nhau

B
A
H
M
a'
b
a

71/ Hình chóp tứ giác đều>
Hình chóp tứ giác đều:

∗
Đáy là hình vuông

∗
Các mặt bên là những tam giác cân

>
Cách vẽ:

∗
Vẽ đáy ABCD

∗
Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC & BD

∗
Vẽ SH
⊥
(ABCD)

•
Ta có:

∗

,
b/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =
3
2
a
c/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng
nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
d/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
11
β
α
I
H
D
A
B
C
S
β
α
A
C
B
S
ϕ
β
α
D
A
B

∗
Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là:
·
SCA
β
=
∗
Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là:
·
SDA
ϕ
=
B
h
c
a
b
a
B
h
Kiến thức hình GV: Châu Minh Kim
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
74) Thể tích khối lăng trụ.V B h
=
Với: B là diện tích mặt đáy
h là chiều cao
75) Thể tích khối hộp chữ nhật

' ' '
' ' '
SCDE
SC D E
V
SC SD SE
V SC SD SE
=
79) Thể tích khối chóp cụt CDEC’D’E’: ( )
1
' '
3
V h B B BB
= + +
B, B’ là diện tích hai đáy
h là chiều cao
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
80). Tọa độ điểm :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz:
1.
( ; ; )
M M M M M M
M x y z OM x i y j z k
⇔ = + +
uuuur r r r
2. Cho A(x
A

E'
D'
C'
Kiến thức hình GV: Châu Minh Kim
3. M là trung điểm AB thì M






+++
2
;
2
;
2
BABABA
zzyyxx
81). Tọa độ của véctơ:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz .
1.
1 2 3
( ; ; )a a a a
=
r
⇔
1 2 3
a a i a j a k
= + +

1 2 3 1 2 3
. . .
s( , )
.
a b a b a b
co a b
a a a b b b
+ +
=
+ + + +
r r
(với
0 , 0a b≠ ≠
r r r r
)
e)
a
r
và
b
r
vuông góc
1 1 2 2 3 3
. . . 0a b a b a b⇔ + + =
f)
a
r
và
b
r


=

r r
82) . Phương trình mặt cầu :
1. Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) , bán kính r :
(S): (x – a )
2
+( y – b)
2
+ ( z – c )
2
= r
2

2. Mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với
2 2 2
0A B C D+ + − >
Có tâm I (-A; -B; - C ) , bán kính r =
2 2 2
A B C D+ + −

83). Phương trình mặt phẳng:
1.Định nghĩa :

) + C(z-z
0
) = 0.
Nếu (
α
) có cặp vectơ
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), b ( ; ; )a a a a b b b= =
r r
không cùng phương và có giá song
13
Kiến thức hình GV: Châu Minh Kim
song hoặc nằm trên (
α
) thì vectơ pháp tuyến của (
α
) được xác định
,n a b
 
=
 
r r r
.
2.Các trường hợp riêng của phương trình mặt phẳng :
Trong không gian Oxyz cho mp(
)
α
: Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó:
a) D = 0 khi và chỉ khi (
)

A B C
= − = − = −
Khi đó

( ): 1
x y z
a b c
α
+ + =
(ptmp theo đoạn chắn)
84). Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho (
1
α
):
1 1 1 1
0A x B y C z D+ + + =
và (
2
α
):
2 2 2 2
0A x B y C z D+ + + =
1) (
α
) // (
α
’) ⇔
1 1 1 2 2 2
1 2

α
)
⊥
(
α
’)
1 2 1 2 1 2 1 2
. 0 . . . 0n n A A B B C C⇔ = ⇔ + + =
ur uur
85) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :
Khoảng cách từ điểm M
o
(x
o
;y
o
;z
o
) đến mặt phẳng (
α
) : Ax + By + Cz + D = 0

2 2 2
( ,( ))
o o o
o
Ax By Cz D
d M
A B C
α



= +

¡

Nếu a
1
, a
2
, a
3
đều khác không .Phương trình đường thẳng
∆
viết dưới dạng chính tắc như
sau:
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =
87) Vị Trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng:
14
Kiến thức hình GV: Châu Minh Kim
1)Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng
' '
1
1


d có vtcp
( )
1 2 3
; ;u a a a
r
đi qua M
o
; d’có vtcp
( )
' ' '
1 2 3
; ;u a a a
r
đi qua M
o
’
(I)
' '
1 1
' '
2 2
' '
0 3 3
'
'
'
o o
o o
o

0 3
: ,
o
o
x x a t
d y y a t t
z z a t
= +


= + ∈


= +

¡
Phương trình : A(x
o
+a
1
t)+B(y
o
+a
2
t)+C(z
0
+a
3
t)+D = 0 (1)
a) Phương trình (1) vô nghiệm thì d // (α)

); có vtcp
1 2 3
( ; ; )a a a a
=
r
; d’ qua M’(x’
0
;y’
0
;z’
0
) ; vtcp
1 2 3
' ( ' ; ' ; ' )a a a a
=
uur
Phương pháp :
 Lập phương trình mp(
α
) chứa d và song song với d’
 d(d,d’)= d(M’,(
α
))
15
Kiến thức hình GV: Châu Minh Kim
16