www.MATHVN.com
www.mathvn.com 1BT NG THC VÀ CC TR
(Chuyên đ LTH 2011)

 chng minh các BT ta có th s dng mt s bt đng thc hoc dùng phng
pháp đánh giá.

I.S dng mt s BT c bn:

Các BT c bn  đây là BT Cô-Si: Vi n s không âm bt kì:
1 2
; ; ( 2)
n
a a a n
³
ta luôn có:
1 2
1 2

( )
n
n
n
a a a
a a a I
n
+ + +

= = =
. BT:
2 2 2
( )
a b c ab bc ca III
+ + ³ + + ; du bng xy ra
khi
.
a b c
= =

BT:
2
1 2 1 2
1 1 1
( )

n n
n
IV
a a a a a a
+ + + ³
+ + +
; trong đó
1 2
, ,
n
a a a
là các s
dng; du bng xy ra khi và ch khi các s này bng nhau.
Bài 2: Cho a > 1; b > 1. Chng minh:
1 1 .
a b b a ab
- + - £www.MATHVN.com
www.mathvn.com 2

Gii: Theo BT (I) ta có:
( 1) 1
1 ( 1).1 .
2 2
b ab
a b a b a
- +
- = - £ =
; tng t ta
cng có:
1
2
ab
b a - £
. Cng các v ca các BT này li ta s đc đpcm. Du bng xy ra
khi a = b = 2.
Bài 2’: a,b,c là ba s không âm có tng bng 1. Chng minh:
8/ 27
ab bc ca abc

+ + ³ =
; tng t ta
cng có:
3 3 3 2 3 3 3 2
4 6 ;4 6
b c a b ca c a b c ab
+ + ³ + + ³ cng các v ca các BT này li
ri đn gin ta s đc BT cn chng minh. Du bng xy ra khi a = b = c.
Bài 3’: Cho ba s dng x,y,z. Chng minh:
6 2 3
( ) / 432
x y z xy z+ + ³
.
Bài 4: Tìm GTNN ca biu thc
9 3 6
( ) /
P x y x y
= +
trong đó x,y là các s dng.
Gii: Theo BT (I) ta có:
3 6
9 9 9
9
3 6 3 6 6
( ) 9 3
3. 6. 9.
3 6 3 6 3 6 2
x y x y x y
x y P
x y

x y
£ £ £ £
. Tìm GTLN
ca biu thc:

www.MATHVN.com
www.mathvn.com 3

(3 )(4 )(2 3 )
A x y x y
= - - +
.
Gii: Theo BT (I) ta có:
3
(6 2 ) (12 3 ) (2 3 )
2(3 ).3(4 ).(2 3 ) 6
3
x y x y
x y x y
- + - + +
- - + £ =

3
6 6 36
A A
Û £ Û £
. Vy GTLN ca A bng 36 khi x = 0 và y = 2.
Bài 7: x,y,z là các s không âm có tng bng 1. Tìm GTLN ca biu thc:
( )( )( )
P xyz x y y z z x

.
Tng t
ta cng có:
( ) ; ( )
m n m n
n n n n
m m
b c
n mc m n b n ma m n c
c a
+ +
+ ³ + + ³ + . Cng các BT
này li ri đn gin ta s đc BT cn chng minh. Du bng xy ra khi a = b = c.
Chú ý: Nu
1
m n
= =
thì ta đc BT:
2 2 2
.
a b c
a b c
b c a
+ + ³ + +

Bài 9: Cho 3 s thc dng a,b,c. Chng minh:
3 3 3
.
( ) ( ) ( ) 2
a b c a b c

6
x y z
+ + ³
. Tìm GTNN
ca biu thc:
3 3 3
x y z
S
y z x z y x
= + +
+ + +
.

www.MATHVN.com
www.mathvn.com 4

Bài 11: Cho ba s thc dng a,b,c tha mãn h thc:
6
a b c
+ + =
. Tìm GTNN
ca biu thc:
3 3 3
1 1 1
(1 )(1 )(1 )
P
a b c
= + + +
.
Bài 12: Cho x,y,z là ba s thc tho mãn h thc:

.
Bài 13: Cho hai s thc dng x,y có tng bng 1. Tìm GTNN ca biu thc:
1 1
x y
S
y x
= +
- -
.
Gii: D thy S dng. Theo BT (I) ta có:
2 2
2
2 2
x y
S x y xy xy
y x
+ + ³ + + + ³

2 2
2
3
3
3. 3. 3( ) 2 2
x y
xy xy x y S S
y x
+ = + Þ ³ Û ³
. Vy
2
MinS =

+ + £
+ + +
.

www.MATHVN.com
www.mathvn.com 5

Gii: Do
( ) ( )( )
xy z xy z x y z x z y z
+ = + + + = + +
nên theo BT (I) ta có:
1
.
2
xy x y x y
xy z x z y z x z y z
æ ö
= £ +
ç ÷
+ + + + +
è ø
. Tng t ta cng có:
1
2
yz y z
yz x x y x z
æ ö
£ +
ç ÷

3 6 8 3 3 3 6 8 3
2. . 2. . .6
2 2 2 2 2 2 2
x y x y x y
P
x y x y
= + + + + + ³ + +

6 4 9 19
= + + =
. Vy MinP = 19 khi x = 2 và y = 4.
Bài 18: Cho 3 s thc dng x,y,z tha mãn điu kin:
2 1
xy xz
+ =
. Tìm
GTNN ca biu thc:
3 4 5
yz xz xy
S
x y z
= + + .
Gii: Theo BT (I) ta có:
2 3 2 4 6
yz xz yz xy xy xz
S z y x
x y x z z y
æ ö æ ö
æ ö
= + + + + + ³ + + =

www.mathvn.com 6

2 3 3 9 2 3
( ) (3 ) 6 2 3 4 6 6 2 3 4. 6. 6 2 3
2 6
a x y b x y a b
- -
= + + + + + Ê + + + = + + +

9 4 3
= + . ( Do
3 3& 2/ 3 (2 3 3)/ 2 & (9 2 3)/ 6
a b a b a b+ = + = ị = - = - ).
Vy
9 4 3
MaxP = + khi
1& 3
x y
= =
.
Bi 20: Cho 3 s dng a,b,c. Chng minh BT:
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 4
a b c a b c a b c a b c
ổ ử
+ + Ê + +
ỗ ữ
+ + + + + +
ố ứ
.

ỗ ữ
ố ứ
;
1
2
a b c
+ +
1 1 1 2
16
a b c
ổ ử
Ê + +
ỗ ữ
ố ứ
.Cng cỏc v ca cỏc
BT ny li ri n gin ta s c BT cn chng minh. Du bng xy ra khi
.
a b c
= =

Bi 21: Cho hai s dng a,b cú tng bng 1. Chng minh cỏc BT sau:
2 2 2 2
1 1 2 3
/ 6; / 14.
a b
ab a b ab a b
+ +
+ +
1/ 1/ 1/ 15/ 2.
a b c a b c
+ + + + +

Bi 23: Ba s dng x,y,z cú tớch bng 1. Chng minh:
2 2 2
x y z x y z
+ + + +
.

www.MATHVN.com
www.mathvn.com 7

Gii: Áp dng BT (II) và (I) ng vi n = 3 ta có:
2
2 2 2
( )
( ).
3
x y z
x y z x y z
+ +
+ + ³ = + +

3
( ).
3
x y z
x y z xyz x y z
+ +

t đó suy ra BT ccm. Du
bng xy ra khi
( )
ab c a b
= +

Bài 25: Cho 4 s dng x,y,a,b tha man các điu kin:
;
a x a b x y
> + > +
.
Chng minh:
2 2 2
( )
x a x a
x y a b x y a b
-
+ ³
+ + - - +
.
Gii: Áp dng BT (II) cho hai b s
; & ( ; )
x a x
x y a b x y
x y a b x y
æ ö
-
+ + - -
ç ÷
ç ÷

+ + + + + £ +

Gii: Áp dng BT (II) ng vi n = 3 ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( 1 )( );
x ax b x x x a b
+ + £ + + + +

www.MATHVN.com
www.mathvn.com 8

2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( 1 )( )
x cx d x x x c d
+ + £ + + + + Þ
2 2 2 2
( ) ( )
x ax b x cx d
+ + + + + £

2 2 2 2 2 2 2 2 2
(2 1)( ) (2 1)
x x a b x c d x
+ + + + + + = +
(đpcm). Du bng xy ra khi
b=d=1&x=a=c.
Bài 27: Cho 5 s dng x,y,z,p,q bt kì. Chng minh:
3
x y z
py qz pz qx px qy p q

+ + + + + + + ³ + +
ç ÷
+ + +
è ø

Kt hp vi BT (*) ta s đc BT ccm. Du bng xy ra khi;
py qz pz qx px qy
+ = + = +
.

Bng cách gii tng t ta s chng minh đc các BT sau:
1/
3
2
a b c
b c a c b a
+ + ³
+ + +
vi a,b,c là các s dng bt kì.
2/
2
a b c d
b c d c d a a b
+ + + ³
+ + + +
vi a,b,c,d là các s dng bt kì.
3/
2 2 2
2
a b c a b c

+ = + =
. Chng
minh:
( ) ( ) 2
u x y v x y- + + Ê

Gii: Theo BT (II) :
[
]
2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) 2
u x y v x y u v x y x y x y
ộ ự
- + + Ê + - + + = + =
ở ỷ

T ú suy ra BT cn chng minh. Du bng xy ra khi
( ) ( ).
u x y v x y
+ = -

Bi 29: Cho a,b,c l 3 s dng tha món iu kin:
2 2 2
1.
a b c
+ +
Chng minh:
3 3 3
1

x x y y z z
- + - + - Ê

Chng minh:
1 4
x y z
- Ê + + Ê
.
Gii: T iu kin ta suy ra:
2 2 2
( 1/ 2) ( 1/2) ( 1/ 2) 25/12
x y z- + - + - Ê
. p
dng BT (II) ta c:
[
]
2
2 2 2
1.( 1/ 2) 1.( 1/ 2) 1.( 1/ 2) 3 ( 1/ 2) ( 1/ 2) ( 1/ 2) 25
x y z x y z
ộ ự
- + - + - Ê - + - + - Ê
ở ỷ

3/ 2 5/ 2 5/ 2 3/2 5/ 2 1 4
x y z x y z x y z
ị + + - Ê - Ê + + - Ê - Ê + + Ê
(pcm).
Du bng xy ra khi
4/3

ở ỷ

15 4 3 25 15 10 4 3 40
a b a b
- Ê + - Ê Ê + Ê
(pcm). Du bng xy ra khi a =
24/5,b = 24/3
hoc a = 16/5, b = 6/5.

Bi 32: Ba s x,y,z tha món iu kin:
2 2 2
4 2 0.
x y z x z
+ + - + Ê
Tỡm GTNN
v GTLN ca biu thc:
2 3 2 .
S x y z
= + -

Bi 33: Cho a,b,c l ba s khụng õm tha món h thc:
3.
a b c+ + = Tỡm GTNN
ca biu thc:
2 2 2 2 2 2
S a ab b c cb b a ac c
= + + + + + + + +
.
Gii: Theo BT (II) ta cú:
2

a ab b a bị + + + . Tng t ta cng cú:
2 2
3( )/ 2
c cb b c b
+ + + ;
2 2
3( )/ 2 3( ) 3
c ca a c a S a b c
+ + + ị + + =
. Vy MinS = 3 khi
3 /3
a b c= = =
.

II.S dng phng phỏp ỏnh giỏ:

Bi 34: Cho 3 s dng a,b,c. Chng minh cỏc BT sau:
3 3 3 3 3 3
2 2 2
1 1 1 1
/ ;
1 1 1
/ .
2
a
a b abc c b abc a c abc abc
a b c
b
a bc b ac c ab abc
+ + Ê

£ £
+ + + + + + + +
. Cng các v ca
các BT này li
ri gin c ta s đc BT cn chng minh. Du bng xy ra khi
.
a b c
= =

b/ Theo BT (I) ta có:
2
2
1 1
2 0
2 4
2
bc b c
a bc a bc
a bc abc abc
a bc
+
+ ³ > Þ £ = £
+
.
Tng t ta cng có:
2 2
1 1
;
4 4
a c b a

c a b
= + + £
- - -

Bài 37: Cho 3 s dng a,b,c tha mãn điu kin:
1/ 1/ 1/ 3.
a b c
+ + =
Tìm GTLN
ca biu thc:
3 3 3 3 3 3
.
ab cb ac
S
a b c b a c
= + +
+ + +

Bài 38: Cho ba s dng x,y,z có tích bng 8. Tìm GTNN ca biu thc:
2 2 2
2 2 2
log 1 log 1 log 1.
S x y z
= + + + + +

Gii: Ta có:
2 2 2
2 2 2
2 2
(log 1) (log 1) (log 1) 1

4 4 4 2 2 2 2 2
1 1 1 1
( ) ( )
3 3 3 27
x y z x y z x y z
é ù
+ + ³ + + ³ + + =
ê ú
ë û
. Áp dng
BT (I) ta đc:
4 4 4
4 4 4
4
3 1 1 1/ 27 3
.4
4 4 3 4.27 4 4 3
xyz
x y z
S x y z xyz
+ +
æ ö
= + + + + - - ³ +
ç ÷
è ø

1
0.
4.27
xyz xyz xyz

+ + +III.Chng minh BT hoctìm cc tr bng phng pháp đi bin:

Bài 42: Cho các s thc dng a,b,c tha mãn h thc:
.
ab bc ca abc
+ + =
Chng
minh BT:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3
b a c b a c
S
ab cb ac
+ + +
= + + ³
.
Gii: t x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điu kin tr thành:
1
x y z
+ + =
và BT tr
thành:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 3
S x y y z z x= + + + + + ³ . Theo BT (II) ta có:
2 2 2

2 2 2
3
2
a b c
S
b c a c b a
= + + ³
+ + +
.Áp dng BT (II)&(I) ta có
ngay:
2
( ) 3
2( ) 2 2
a b c a b c
S
a b c
+ + + +
³ = ³
+ +

Du bng xy ra khi
1
a b c
= = =
hay
1.
x y z
= = =

Bài 44: Cho 3 s dng x,y,z tha mãn điu kin:

3.
x y z
= = =

Bài 45: Cho hai s thc x,y khác 0 và tha mãn điu kin:
2 2 2 2
2
x y x y y x
+ = + .
Tìm GTNN và
GTLN ca biu thc:
2/ 1/ .
S x y
= +

Gii: t
1/ & 1/
u x v y
= =
thì điu kin tr thành:
2 2 2 2
2 ( 1/ 2) ( 1) 5/ 4
u v u v u v+ = + Û - + - =
. Theo BT (II) ta có:
[
]
2
2 2 2 2 2
( 2) 2( 1/ 2) 1 (2 1 ) ( 1/ 2) ( 1) 25/ 4 5/ 2
S u v u v S

3 2
( ) 3 9 7
A f x x x x
= = + - -

T BBT ca hàm s ta suy ra:

( ) ( 3) (3) 20
MaxA Maxf x f f
= = - = =[
]
4;3
-

( ) (1) 12
MinA Minf x f
= = = -[
]
4;3
-
Bài 47: Cho hai s dng x,y tha mãn điu kin:

2 2
2 2
3 2
3 2
x xy y
T
x xy y
+ -
=
+ +
. Nu
2
0 1 1.
y x T
= Þ = Þ =

Nu
0
y
¹
đt
2
2
2
3 2 1
/ (3 3) 2( 1) 1 0(*)
3 2 1
t t
t x y T T t T t T
t t

biu thc:
4/ 1/ 4 .
S x y
= +

Bài 50: Cho hai s không âm x,y có tng bng 1. Tìm GTNN và GTLN ca biu
thc:
2008 2008
1 1
S x y
= + + +
.
x -4 -3 1 3

f’(x) + 0 - 0 +

f(x)
20 20

13 -12

www.MATHVN.com
www.mathvn.com 15
Gii: Ta có:
2007 2007
2008 2008
2008 2008
1004 1004(1 )
( ) 1 1 (1 ) . '( )
1 1 (1 )

( ) 0; ( ) 0
P x P x
> >
)
Do
2008 200
(0) (1) 1 2; (1/2) 2 1 1/ 2 1 2; 2 1 1/ 2
f f f MaxS MinS= = + = + Þ = + = +