Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
PHẠM HỒNG NAM
KIỂU ĐA THỨC CỦA MÔĐUN
TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG

L
L
U
U
Ậ
Ậ
N

O
Á
Á
N
NH
H
Ọ
Ọ
C
C
Thái Nguyên - năm 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

N
NV
V
Ă
Ă
N
NT
T
H
H
Ạ
Ạ
C
CS
S
Ĩ
ĨT
T

A = d q ∈ A
q m− d A
q l
A
(A/q) = e(q; A)
l
A
(∗) A e(q; A)
A q q
l
A
(A/q) ≥ e(q; A) I(q; A) = l
A
(A/q) − e(q; A) I(q; A)
q A
I(q; A) = 0 q
q
I(q; A) < ∞, q
A
(A, m)
M A− M = d.
x = (x
1
, . . . , x
d
) A M
l
A
(M/xM) < ∞. n = (n
1

(n; x)
n n  0
I
M
(n; x) x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
I
M
(n; x) I
M
(n; x)
n
1
. . . n
d
l(M/(x
1
, . . . , x
d
)M)
n I
M
(n; x)
M,
M.
n I
M
(n; x)
x. M.
p(M) M.

n
M) n  0
d = dim M = deg(l(M/q
n
M)
= inf{t|∃ x
1
, . . . , x
t
∈ m l(M/(x
1
, . . . , x
t
)M) < ∞}.
l(M/q
n
M) n  0
q. {x
1
, . . . , x
d
} ⊆ m
l(M/(x
1
, . . . , x
d
)M) < ∞. {x
1
, . . . , x
d

)A
q l(M/q
n
M)
n  0,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
l(M/q
n+1
M) = e
0
(q; M)

n + d
d

+e
1
(q; M)

n + d − 1
d − 1

+. . .+e
d
(q; M),
e
i
∈ Z, e
0
> 0 i = 0 . . . , d.

M
: x
1
)) < ∞,
(x
2
, . . . , x
t
) 0
M
: x
1
.
e((x
2
, . . . , x
t
); M/x
1
M) e((x
2
, . . . , x
t
); 0
M
: x
1
)
e(x; M) = e((x
2

n e(x; M) = 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
0 −→ M
n
−→ . . . −→ M
1
−→ M
0
−→ 0
A− x M
i
,
i = 0, . . . , n.
n

i=0
(−1)
i
e(x; M
i
) = 0.
x = (x
1
, . . . , x
t
) M. e(x; M) = 0
t > dim M.
(n
1
, . . . , n

)M) − e(x; M)
=

d−1
i=0
e((x
i+1
, . . . , x
d
); (x
1
, . . . , x
i−1
)M : x
i
/(x
1
, . . . , x
i−1
)M.
M A
x = (x
1
, . . . , x
d
)
l(M/(x
1
, . . . , x
d

2
d
)−e((x
2
1
, . . . , x
2
d
); M)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M M
I(M) = l
A
(M/(x
1
, . . . , x
d
)M) − e(x; M)
x
M M
p
M
p
+ A/p = d p ∈
M \{m}. A

M m M. M

M
M

e(x; M) M
x. I
M
(n; x) n
1
, , n
d
A = k[[X, Y, Z]]/I, k[[X, Y, Z]]
X, Y, Z k I = (X
2
, XY Z).
A = 2 x = (x
1
, x
2
) A, x
1
Y + Z A x
2
Y A.
x
n
1
A : x
m
2
=

(x, x
n

m
2
)M)
= l(x
n
1
M : x
km
2
/x
n
1
M) − l(x
n
1
M : x
m
2
/x
n
1
M)
+ e((x
n
1
, x
(k−1)m
2
); M) + e(x
(k−1)m)

(k−1)m
2
/x
n
1
M)
k. n M
k
x
n
1
M : x
km
2
= x
n
1
M : x
(k−1)m
2
.
l(x
n
1
M : x
m
2
/x
n
1

M) n, m
0
x
n
1
M : x
m
2
= x
n
1
M : x
m
0
2
,
I
M
(n; x) = (M/x(n)M) − n
1
n
d
e(x; M)
n  0.
I
M
(n; x)) = (M/x(n)M)−
n
1
n

i−1
i−1
)M : x
n
0
i
n
1
, . . . , n
j
 0 i = 1, . . . , j x
0
= 0).
x
1
, x
2
, . . . , x
j
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x = (x
1
, . . . , x
d
) M.
x
n
0
n
1

α(1)
α(1)
, . . . , x
n
α(i−1)
α(i−1)
)M, ∀i = 1, . . . , d;
n
0
n
1
, . . . , n
d
≥ n
0
α {1, . . . , d}
((x
n
α(1)
α(1)
, . . . , x
n
α(d−1)
α(d−1)
)M : x
n
α(d)
α(d)
)


α(1)
, . . . , x
n
α(d−1)
α(d−1)
)M : x
n
α(d)
α(d)
= (x
n
α(1)
α(1)
, . . . , x
n
α(d−1)
α(d−1)
)M : x
n
0
α(d)
.
=⇒ x
1
, . . . , x
d
((x
n
1
1

1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M : x
n
i
i
)

(x
n
1
1
, . . . , x
n
i
i
)M
a =

i
j=1
y
j
x
j
n

(i−1)
i−1)
)M n
i
≥ n
0
y
i
∈ (x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M : x
2ni
i
= (x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M : x
n
i

≥ n
0
((x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
n
0
d
)

(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
, x
n
0
d
)M = (x
n

d−1
)M : x
n
0
d
.
(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
kn
0
d
= (x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
n
0
d

n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
, x
k
i+1
, . . . , x
k
d
)M : x
n
i
i
)
=
∞

k=n
0
((x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1

i−1
i−1
)M : x
n
i
i
,
i = 1, . . . , d n
1
, . . . , n
d
≥ n
0
.
x
1
, . . . , x
d
. x
1
, . . . , x
d
l(M/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d
d

(n; x) = l(M/x
n
1
1
M) − n
1
e(x
1
; M)
n
1
n
1
 0.
lim
n
1
→∞
lM/(x
n
1
1
M)
n
1
= e(x
1
; M)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
I

M
(n; x) = l(E/(x
n
2
2
, . . . , x
n
d
d
)E) − n
1
.n
2
. . . n
d
e(x; M).
I
M
(n; x) n
2
, . . . , n
d
.
n
2
, . . . , n
d
F = M/(x
n
2

d
e(x; M).
I
M
(n; x) n
1
.
I
M
(n; x) n n  0
x
l(M/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
, x
kn
d
d
)M) − l(M/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1

1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
n
d
d
/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M)
+
d−1

i=1
e((x
n
i+1
i+1
, , x
n
d−1
d−1

n
i+1
i+1
, , x
n
d−1
d−1
, x
n
d
d
); (x
n
1
1
, , x
n
i−1
i−1
)M : x
n
i
i
/(x
n
1
1
, , x
n
i−1

d−1
)M : x
n
d
d
/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M)
+
d−1

i=1
e((x
n
i+1
i+1
, , x
n
d−1
d−1
, x
(k−1)n
d
d

kn
d
d
/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M)
−l((x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
n
d
d
/(x
n
1
1
, . . . , x
n

n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M)
k. d − 1 n
1
, . . . , n
d
1
k
(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
kn
d
d
= (x
n
1
1

n
1
1
, . . . , x
n
d
d
)M)
+l(M/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
, x
(k−1)n
d
d
)M) − l(M/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
, x
kn

d−1
n
0
(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
n
d
d
= (x
n
1
1
, . . . , x
n
d
d−1
)M : x
n
0
d
n
d
≥ n

n
1
, . . . , n
d
≥ n
0
.
x
1
, . . . , x
d
e(∅; (x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1
d−1
)M : x
n
d
d
/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−1

d−1
, x
n
d
d
); (x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M : x
n
i
i
/(x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M)
n
1
, . . . , n
i

i−1
i−1
)M)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
n
1
, . . . , n
d
 0. α = (α(1), , α(d))
{1, . . . , d} α(i − 1) = i, α(i) = i − 1 α(j) = j
j = {i − 1, i}. x
1
, . . . , x
d
n
0
0 = l(M/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d
d
)M) − l(M/(x
n
α(1)
α(1)
, . . . , x
n

i−2
)M)
+ e((x
n
i+1
i+1
, . . . , x
n
d
d
); (x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M : x
n
0
i
/(x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1

− e((x
n
i+1
i+1
, , x
n
d
d
); (x
n
α(1)
α(1)
, , x
n
α(i−1)
α(i−1)
)M : x
n
0
i−1
/(x
n
α(1)
α(1)
, , x
n
α(i−1)
α(i−1)
)M
n

, . . . , x
n
i−2
i−2
)M)
− e((x
n
i+1
i+1
, , x
n
d
d
); (x
n
α(1)
α(1)
, , x
n
α(i−1)
α(i−1)
)M : x
n
0
i−1
/(x
n
α(1)
α(1)
, , x

i−2
i−2
)M)
− e((x
n
i+1
i+1
, . . . , x
n
d
d
); (x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M : x
n
0
i
/(x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1

, . . . , x
n
i−2
i−2
)M : x
n
0
i
/(x
n
1
1
, . . . , x
n
i−2
i−2
)M)
− e((x
n
i+1
i+1
, . . . , x
n
d
d
); (x
n
1
1
, . . . , x

n
1
1
, . . . , x
n
0
i−1
)M : x
n
0
i
/(x
n
1
1
, . . . , x
n
0
i−1
)M)
= e((x
n
i+1
i+1
, . . . , x
n
d
d
); (x
n

, x
n
i+1
i+1
. . . , x
n
d
d
); (x
n
1
1
, . . . , x
n
i−2
i−2
)M : x
n
0
i
/(x
n
1
1
, . . . , x
n
i−2
i−2
)M)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

)M : x
n
0
i
/(x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M)
= e((x
n
i+1
i+1
, , x
n
d
d
); (x
n
α(1)
α(1)
, , x
n
α(i−1)
α(i−1)
)M : x

1
, . . . , x
i−1
)M)\m},
i = 1, . . . , d.
M M
M
p
p = m.
x = (x
1
, . . . , x
d
)
M.
e((x
i+1
, . . . , x
d
; (x
1
, . . . , x
i−1
)M : x
i
/(x
1
, . . . , x
i−1
)M) = 0,

A M
x = (x
1
, . . . , x
d
)
e((x
i+1
, . . . , x
d
; (x
1
, . . . , x
i−1
)M : x
i
/(x
1
, . . . , x
i−1
)M) = 0
i = 1, . . . , d.
I
M
(n; x) = l((x
n
1
1
, . . . , x
n

(n; x)
n  0, M
M M
M
M
I
M
(n; x) M
M
M
x M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M x
M
x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(A, m)
M R− dim M = d
a ∈ M A.
H
i
a
(M) i M a
i a Γ
a
(•) H
i
a
(M) = R
i

i
m
(M) = 0, ∀i =
0, . . . , d − 1.
M l
A
(H
i
m
(M)) <
+∞, ∀i = 0, . . . , d − 1.
a
i
(M) =
A
H
i
m
(M), i = 0, . . . , d a(M) = a
0
(M) . . . a
d−1
(M).
b
x
(M) =
d−1

i=0
(

d
⊆ a(M).
x
1
, . . . , x
i
M.
a ∈ a(M) (x
1
, . . . , x
i
, a)
M.
(x
1
, . . . , x
i
)M : a(M) =

t≥0
((x
1
, . . . , x
i
)M : a
t
(M)
=

t≥0

n > d P
d
= 0 (A) = ∞.
A M
(

R/

p) = M

p ∈

R

M.
A
p ∈ A A/p
D
•
: . . . → D
−n
→ . . . → D
0
→ D
1
→ . . . →
D
n
→ . . . A D
•

A dim A < ∞.
A
M
(M) = {p ∈ M|M
p
},
(A)
A i = 0, . . . , d
dim(A/a
i
(M)) ≤ i.
x = (x
1
, . . . , x
d
) n = (n
1
, . . . , n
d
)
∈ N
d
l(M/(x
n
1
1
, . . . , x
n
d
d

1
M
x
1
−→ M/x
3
1
M −→ M/x
1
M −→ 0.
l(M/x
3
1
M) ≤ l(M/x
2
1
M) + l(M/x
1
M).
l(M/x
3
1
M) ≤ 3l(M/x
3
1
).
l(M/x
n
1
1

)E)
≤ n
2
. . . n
d
l(E/(x
2
, . . . , x
d
)E)
= n
2
. . . n
d
l(F/x
n
1
1
F )
≤ n
1
. . . n
d
l(M/(x
1
, . . . , x
d
)M).
n
1

n
I
M
(n, x) x
t = (t, . . . , t) ∈ N.
t I
M
(t, x)
x p

(M) p(x)
I
M
(n, x)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
I
M
(n, x)
I
M
(m, x) ≥ I
M
(n, x), m
i
= n
i
, ∀i < d.
I
M
(m, x) = l(M/(x

d−1
d−1
)M)
+
d−1

i=1
e((x
m
i+1
i+1
, . . . , x
m
d
d
); (x
m
1
1
, . . . , x
m
i−1
i−1
)M : x
m
i
i
/(x
m
1

i=1
e((x
m
i+1
i+1
, . . . , x
m
d
d
); (x
m
1
1
, . . . , x
m
i−1
i−1
)M : x
m
i
i
/(x
m
1
1
, . . . , x
m
i−1
i−1
M)

n
d
d
); (x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M : x
n
i
i
/(x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M)
= l(x
n
1
1
, . . . , x
n

1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M : x
n
i
i
/(x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
)M)
= I
M
(n, x).
I
M
(t, x) ≤ I
M
(n, x), t ≤ n
i
, i = 1, . . . , d.
p
