Bài 3
1
AX XB A B
−
⇔= =

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
Đ
ạ
i

S

Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§3: Ma trận nghịch đảo

Ta xét hệ phương trình:
Ta xét hệ phương trình:
2 3 8 2 3 8
5 7 1 5 7 1
x x y
y x y
+ =
      
= ⇔


í
n
h
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u

≠===
−
abab
aa
b
x
1
.AX B X A B
−
= ⇔ =
Xét phương trình:
Xét phương trình:
a x = b.
a x = b.
Ta có:
Ta có:
Tương tự lập luận trên thì liệu ta có thể có
Tương tự lập luận trên thì liệu ta có thể có
như vậy là ma trận sẽ được định nghĩa
như vậy là ma trận sẽ được định nghĩa
như thế nào?
như thế nào?
1−
A

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế

− −
−
−
=
⇔ =
⇔ =
⇔ =
Ta để ý:
Ta để ý:
Phải chăng
Phải chăng
?
1
IAA =
−

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§3: Ma trận nghịch đảo


n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
Đ
ạ
i

S
ố

í
n
h
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế


T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§3: Ma trận nghịch đảo
Nhận xét:
Nhận xét:

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§3: Ma trận nghịch đảo


n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
Đ
ạ
i

S
ố

í
n
h
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u

Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n


u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§3: Ma trận nghịch đảo

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n

n

T
í
n
h
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§3: Ma trận nghịch đảo

Ví dụ: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau:
1 2 3
2 4 0
4 5 7

13
13
31
A =
-12
-12
32
A =
-6
-6
33
A =
8
8
11 21 31
12 22 32
13 23 33
A
A A A
P A A A
A A A
   
   
= =
   
   
   

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
Đ
ạ
i

S
ố

T
5
5
13
A =
17
17
21
A =0
0
22
A =
-2
-2
23
A =
-8
-8
31
A =0
0
32
A =

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h


T
í
n
h
∑
§3: Ma trận nghịch đảo

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
Đ
ạ
i

n
h
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§3: Ma trận nghịch đảo
1 2 3 28 29 12
2 4 0 14 5 6
4 5 7 6 13 8
A
AP
− −
   
   
= − − −


S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n

n

T
í
n
h
∑
§3: Ma trận nghịch đảo

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
Đ
ạ

í
n
h
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§3: Ma trận nghịch đảo

Ví dụ:
1
28 29 12
1
14 5 6
38
6 13 8

Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

A
 
 
=
 
 
−
 
det( ) 1A = −
1 2 5
0 1 4
0 0 1
−
 
 
− −
 
 
 
1 2 5
0 1 4
0 0 1
− −
 
 
 
 
−
 
A

ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h

4 6
1 2
−
 
 
−
 
1
2
2 3
4 6
1
1
1 2
2
−
−
 
 
=
 
 
−
−
 
 
A
P =
1
A

u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
Đ
ạ
i

det( ) ?
1
?
det( )
A
A
A
A P
P
A
−
=

⇒ =

=


Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y

ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑

u
y
ế
n

T
í
n
h
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

h
∑
§3: Ma trận nghịch đảo

Bài tập: Tìm ma trận nghịch đảo của ma
trận sau:
2 5
1 2
A
 
=
 
 
Chú ý:
Chú ý:Đối với ma trận vuông cấp 2
Đối với ma trận vuông cấp 2
A
a b d b
A P
c d c a
−
   
= ⇒ =
   
−
   
Đáp số:

n
h
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
1)
1)
AX = B
AX = B2)
2)
XA = B
XA = B3)
3)
AXB = C
AXB = C4)
4)
AX + kB = C
AX + kB = C

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế

− −
−
−
= ⇔ =
⇔
=
=
⇔
1
A B
−
≠