ẹAẽI HOẽC ẹONG A
Soỏ 7-2012
23
ng dng ca nh lý
CHO MA TRN VUễNG CP 2
ThS. Nguyn Hu Hc
Phũng Khoa Hc - i Hc ụng
TểM TT
õy l nh lý c bn ca i s tuyn tớnh. õy ta s xem xột ng dng ca nú trong vic
tớnh toỏn ly tha v tỡm ma trn nghch o ca ma trn vuụng cp 2.
T khúa: nh lý Cayley-Hamilton, ma trn.
ABSTRACT
This is the basic theorem of linear algebra. In this paper, we will consider about its
applications in calculating the power and finding the inverse matrix of quare matrix level 2.
Keyword: Cayley-Hamilton theorem, matrix.
Trong bi vit ny ta ký hiu E, O ln lt l ma trn n v, ma trn khụng cựng
cp vi ma trn tham gia trong biu thc.
1. nh lý Cayley-Hamilton
1.1. nh lý
Cho T l ma trn vuụng cp n. a thc c trng ca T bc n l nh thc:
T
() E T = (E l ma trn n v cp n)
Khi ú ta cú: =()
T
TO

(O l ma trn khụng cp n) (1)
Chng minh nh lý trờn cú th tham kho ti cỏc giỏo trỡnh i s tuyn tớnh hoc
ti blog ca GS Ngụ Bo Chõu />Khi T l ma trn vuụng cp 2 ta thu c kt qu sau:
ẹAẽI HOẽC ẹONG A
Soỏ 7-2012

ab
EA a d b c
cd

= = = (
)
2
a d (ad bc)= + +
Thay bi A, 1 bi E ta thu c (2).
2. ng dng ca nh lý Cayley-Hamilton
2.1. Tớnh ly tha ca ma trn vuụng
T
2
(2) A (a d)A (ad bc)E (*)=+

T ú ta thu c:
(
)
(
)
(
)
32 2
A A.A A a d A (ad bc)E a d A ad bc A

= = + =+


A 5A 6E
5 20 0 6 5 14


== =



32
1 10 1 2 11 38
A 5A 6A 5 6
5 14 1 4 19 46


= = =



ẹAẽI HOẽC ẹONG A
Soỏ 7-2012
25
T nhn xột trờn ta cú th ngh n vic tớnh
n
A (n 1,2,3, )= . Khi gp loi toỏn ny,
phng phỏp quen thuc m ta ngh n chớnh l phng phỏp quy np toỏn hc tng
c dựng tớnh s hng tng quỏt ca dóy s hay tớnh o hm cp n ca mt hm s.
Ni dung ca phng phỏp ny l tớnh mt s s hng ban u, d oỏn s hng tng
quỏt v chng minh d oỏn bng quy np toỏn hc.
Vớ d 2:
Cho


=+ =


n
n
n
a0
A
0b

=



Ta cú:

n n1
n1 n
n n1
a0
a0 a 0
A A .A
0b
0b 0 b
+
+
+



26
nn
(A E)A (A E)−α = −α β
(i)
Hồn tồn tương tự, ta có:
nn
(A E)A (A E)−β = −β α (ii)
(2.2) (2.1) : ( ) ( ) ( )
n nn n n
AA E
α β α β α β αβ
− − =−−−
n n n1 n1
n
()
AA E
−−
α −β αβ α −β
⇒= −
α−β α−β

(3)
Ví dụ 3:
Cho
42
11
A
−

=

1
2.3 2 2(3 2 )
( ) ( ) : (3 2 ) (2.3 3.2 )
32 32
nn nn
n nn n n
nn nn
i ii A A E
+

− −−
− =−−− =

− −+


2.1.2. Trường hợp
αβ
=
Khi đó (2) trở thành:
2
()AE O
α
−=

Đặt:
A EB A EB
αα
− =⇒= +
với

Trong cho
βα
→
ta cũng sẽ thu được

!
(ii)-(i)
(iii)-(iv)
(4)
(3)
(4)
ẹAẽI HOẽC ẹONG A
Soỏ 7-2012
27
Vớ d 4:
Cho
31
11
A


=


. Tớnh
n
A

Gii:
Theo nh lý Cayley-Hamilton:

theo khớa cnh a thc, a thc c trng ca ma trn A:
2
() ( ) ( )a d ad bc

= + +
. Gi
,

l hai nghim ca
()

.
- Trng hp



Theo nh lý v phộp chia a thc, tn ti a thc
()Q

v cỏc s p, q sao cho:
2
( ) ( ) ()
n
a d ad bc Q p q


= + + + +

Ln lt thay
,


+=


=




T ú ta thu c cụng thc (3):


=

11
()
nn n n
n
AA E
- Trng hp =
Khi ú ta cú:
2
( ) ()
n
Q pq

= ++

=+=



= =



T ú ta thu c cụng thc (4):

=
1
( 1)
nn n
A n An E


i vi trng hp a thc c trng cú nghim phc, ta th xột vớ d c th sau õy:
Vớ d 5:
Cho
37
12
A


=


. Tớnh
n

m
AE m

= = =


31
37
( 0,1,2, )
12
m
AA m
+


= = =


32 2
27
( 0,1,2, )
13
m
AA m
+

= = =





==== =


31
31
31
37
( 0,1,2, )
12
m
m
m
AA m


+
+
+



=
== =


=


32 2


S dng nhng kt qu thu c trờn, ta d dng kim tra li ly tha bc n ca
cỏc ma trn c bit:
0
0
0
0
n
n
n
a
a
AA
b
b


= =





(vớ d 2)
1
0
0
nn
n
n



2.2. Tỡm ma trn nghch o
i vi ma trn vuụng cp 2, vic tỡm ma trn nghch o khỏ n gin. õy, ta
th xột mt vớ d s dng nh lý Cayley-Hamilton tỡm ma trn nghch o.
Vớ d 6:
Cho
14
23
A

=


. Tỡm ma trn nghch o
1
A


Gii:
p dng nh lý Cayley-Hamilton ta cú:
2
45A A EO
=
Nhõn hai v ng thc trờn vi
1
A

:
ĐẠI HỌC ĐÔNG Á


−

Kết luận
Bài tốn về lũy thừa của ma trận vng cấp 2 có nhiều cách giải khác nhau, chẳng
hạn ngồi cách sử dụng phương pháp quy nạp như đã nêu trong bài ta có thể sử dụng
phương pháp chéo hóa ma trận Trong nhiều giáo trình Đại số tuyến tính khơng giới
thiệu định lý này, nên bài viết này nhằm giới thiệu một số ứng dụng của định lý Cayley-
Hamilton trong việc tính tốn với các ma trận vng cấp 2. Kết hợp với các kiến thức
Tốn sơ cấp sẽ cho ta nhiều lời giải ngắn gọn và thú vị. Đối với các ma trận vng cấp
cao hơn dĩ nhiên việc tính tốn cũng phức tạp hơn, vấn đề này tơi xin đề cập trong một
bài viết khác■
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. />2. />