“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
MỘT SỐ GIẢI PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN
LỚP 5
GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG CỦA KIM ĐỒNG HỒ
***
A/ ĐẶT VẤN ĐỀ:
Toán học có một vai trò hết sức quan trọng trong đời sống thực tế của nhân
loại. Chính vì thế, môn Toán luôn được chú trọng và được dành một thời lượng
rất lớn trong việc giảng dạy chương trình Giáo dục phổ thông. Theo yêu cầu của
Bộ Giáo dục và Đào tạo về đổi mới nội dung và phương pháp dạy học ở Tiểu học,
ngoài việc tổ chức các hoạt động dạy học để học sinh nắm được kiến thức chuẩn
thì tùy vào năng lực của học sinh, giáo viên cần phải phát triển, khai thác, mở
rộng thêm kiến thức một cách phù hợp để đáp ứng nhu cầu học tập của các em.
Trong những năm học gần đây, Quỳnh Lưu là một trong những huyện đã
triển khai và tổ chức có hiệu quả việc dạy học 2buổi/ngày theo hướng phân hóa
đối tượng học sinh. Đây là điều kiện để giáo viên có thể lựa chọn, phân nhóm đối
tượng học sinh theo nguyện vọng, năng lực của các em để vừa phụ đạo, ôn tập
củng cố lại kiến thức chuẩn (đối với đối tượng học sinh yếu, trung bình) và nâng
cao kiến thức bồi dưỡng học sinh năng khiếu (đối với học sinh giỏi theo từng bộ
môn), góp phần đào tạo nhân tài cho đất nước.
Trong những năm học vừa qua, được Ban giám hiệu nhà trường phân công
đảm nhận công tác bồi dưỡng học sinh năng khiếu Toán, khi nghiên cứu mở rộng,
phát triển kiến thức để bồi dưỡng cho các em, chúng tôi nhận thấy ở chương trình
Toán 5, có nhiều mảng, nhiều dạng toán phong phú, đa dạng, trong đó toán về
chuyển động của kim đồng hồ là dạng khó. Nhưng đây là những bài toán rất lý
thú, hoàn toàn có thể hướng dẫn học sinh giải theo phương pháp Tiểu học. Giáo
viên cần cho học sinh tiếp cận để mở mang kiến thức, rèn luyện tư duy và khả
năng nhanh nhạy cho các em khi học toán. Xuất phát từ vấn đề đó, chúng tôi đã
lựa chọn và dày công nghiên cứu tìm ra những giải pháp tốt nhất để giúp học sinh
học tốt dạng toán này.
B/ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:

giải những bài toán này, các em thường gặp những khó khăn sau:
- Không nhận diện được các bài toán đã cho thuộc dạng toán nào trong mảng
toán chuyển động đều.
- Cách hiểu vận tốc, hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ còn mơ hồ.
- Lúng túng trong việc xác định khoảng cách ban đầu giữa hai kim.
- Nhầm lẫn cách tính thời gian giữa các dạng bài và các bài trong cùng dạng
(hai kim chuyển động để trùng khít lên nhau; để tạo với nhau thành một góc
vuông; tạo với nhau thành một đường thẳng;…)
Từ những nguyên nhân trên, chúng tôi đã cố gắng nghiên cứu tìm ra những
giải pháp tốt nhất để các giáo viên có thể tự tin khi lên lớp bồi dưỡng và học sinh
tiếp cận dạng toán này một cách hứng thú có hiệu quả.
C/ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:
I/ Xây dựng các công thức của dạng toán “Chuyển động cùng chiều đuổi
nhau”:
Dựa vào quan hệ chuyển động giữa các kim (được coi như là các động tử
chuyển động trên mặt số của đồng hồ), phần lớn các bài toán về kim đồng hồ
được xếp vào dạng “Chuyển động cùng chiều”. Giáo viên phải giúp học sinh xây
dựng, nắm vững và vận dụng các công thức thuộc dạng toán này một cách thành
thạo trước khi cho học sinh tiếp cận với các bài toán về kim đồng hồ. Việc xây
dựng các công thức chỉ cần thông qua một bài toán đơn giản.

2
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
* Ví dụ: Một người đi xe đạp từ B đến C với vận tốc 12km/giờ. Cùng lúc đó một
người đi xe đạp từ A cách B 48 km với vận tốc 36km/giờ và đuổi theo xe đạp. Hỏi
sau bao lâu xe máy đuổi kịp xe đạp? (B nằm trên AC)
* GV vẽ sơ đồ tóm tắt nội dung bài toán:
Giả sử N là điểm hai xe gặp nhau, ta có sơ đồ:
Xe máy Xe đạp Chỗ gặp nhau
A

(3)
.
* Giáo viên cho Hs đọc thuộc 3 công thức để áp dụng giải các bài toán “Chuyển
động cùng chiều đuổi nhau”, trong đó có các bài toán về kim đồng hồ.
II/ Hướng dẫn HS tìm hiểu vận tốc; hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ:
Thông thường các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ chỉ liên quan
đến quan hệ chuyển động giữa kim phút và kim giờ. Gv hướng dẫn HS xác định
vận tốc của kim phút, kim giờ và hiệu vận tốc giữa hai kim như sau:
* Vẽ một hình tròn tượng trưng cho bề mặt của đồng hồ.
12 * GV nêu câu hỏi dẫn dắt tìm hiểu:
Chia đường tròn bao quanh mặt đồng hồ
thành 12 phần bằng nhau (như hình vẽ).

3
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
9 3 - Trong 1 giờ, kim giờ di chuyển được quãng
đường bằng bao nhiêu phần của vòng đồng hồ?
(1 giờ, kim giờ di chuyển từ một vạch này
đến một vạch tiếp theo => Kim giờ đi được
6 đoạn đường bằng 1/12 vòng đồng hồ)
- Trong 1 giờ, kim phút đi được đoạn đường nào?
(1 giờ, kim phút quay đúng 1 vòng trên bề mặt đồng hồ)
- Trong 1 giờ kim phút đi hơn kim giờ đoạn đường bằng bao nhiêu?
( 1 giờ kim phút đi hơn kim giờ là: 1 –
12
1
=
12
11
(vòng đồng hồ) )


4
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
3 đến só 5 ứng với 1/6 vòng đồng hồ. Như vậy KCBĐ giữa kim phút và kim giờ
là 1/6 + 1/48 = 9/48 vòng đồng hồ.
* Vấn đề cần lưu ý:
- Cả hai kim chuyển động cùng chiều xoay vòng trên đường khép kín nhưng vì
kim phút có vận tốc lớn hơn kim giờ nên ta xem như kim phút chuyển động để
đuổi theo kim giờ. Vì thế ta quy ước khoảng cách ban đầu (KCBĐ) luôn luôn
được tính từ vị trí của kim phút đến vị trí kim giờ theo chiều quay của kim đồng
hồ. Cách xác định KCBĐ này được áp dụng cho tất cả các bài toán về kim đồng
hồ trình bày trong bản sáng kiến này.
- Có một số tài liệu, một số bài xác định KCBĐ như trên, một số bài lại xác định
KCBĐ là phần còn lại của vòng đồng hồ.Chính sự không đồng nhất đó đã gây
khó khăn cho HS trong quá trình làm bài tập.Vì vậy khi bồi dưỡng, chúng tôi đã
thống nhất xác định KCBĐ như trên để dễ dàng hơn cho HS khi giải toán.
- Hiểu được vận tốc, hiệu vận tốc giữa kim phút, kim giờ và nắm vững cách xác
định KCBĐ sẽ trợ giúp đắc lực cho các em trong quá trình giải các bài toán về
kim đồng hồ. Vì vậy, hai bước này GV cần tách riêng và hướng dẫn thật kĩ trước
khi ra những đề toán cụ thể cho HS.
III/ Áp dụng kiến thức mục I, II,III để giải các bài toán về chuyển động của
kim đồng hồ:
Để giúp HS phân biệt rạch ròi, nắm vững công thức và phương pháp giải một
cách chính xác, nhanh nhạy, chúng tôi đã chia các bài toán chuyển động của kim
đồng hồ thành các dạng sau để bồi dưỡng cho các em:
1) Dạng 1: Hai kim chuyển động để chồng khít lên nhau.
Ở dạng này chia làm hai trường hợp:
a) Trường hợp đề toán cho thời điểm ban đầu .
* Bài toán mẫu: Hiện nay là 1 giờ. Hỏi kim phút sẽ đuổi kịp kim giờ sau bao lâu
thời gian nữa?

vòng đồng hồ/giờ.
Vận tốc của kim phút là 1 vòng đồng hồ/giờ.
Hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ là:
1 -
12
1
=
12
11
(vòng đồng hồ/giờ)
Thời gian để kim phút đuổi kịp kim giờ là:

12
1
:
12
11
=
11
1
(giờ)
Đáp số:
11
1
giờ.* Các bài toán để luyện tập:
1/ Hiện nay là 2 giờ (3 giờ; 4 giờ; ;11 giờ; 12 giờ). Hỏi sau bao lâu nữa thì
hai kim trùng khít lên nhau?

vòng đồng hồ. Đến khi kim phút và kim giờ trùng
nhau giữa 1 và 2 giờ thì kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường đúng bằng
12
1

vòng đồng hồ.
(Bước tiếp theo giải hoàn toàn tương tự bài toán mẫu ở trường hợp 1).
Đáp số: 1
11
1
giờ.
* Mẹo giải các bài toán mẫu này: Khi đề toán cho kim phút và kim giờ trùng
nhau giữa a và b giờ (0 < a < b < 12) thì đưa về a giờ đúng để suy luận và giải
bài toán như bài toán mẫu ở mục a.
* Các bài toán khác để luyện tập:
1/ Khi kim phút và kim giờ trùng nhau ở vị trí 2 và 3 giờ (3 và 4 giờ; 4 và 5
giờ; ; 10 và 11 giờ; 11 và 12 giờ) thì lúc đó là mấy giờ?
2/ Trong một ngày có bao nhiêu lần hai kim đồng hồ trùng khít lên nhau?
2) Dạng 2: Hai kim đồng hồ tạo với nhau thành một góc vuông.
Dạng này chia làm hai trường hợp sau:
a) Trường hợp 1: Để khoảng cánh giữa hai kim tạo với nhau thành một góc
vuông (tính theo chiều kim đồng hồ từ kim phút đến kim giờ hoặc từ kim giờ
đến kim phút) thì kim phút phải chuyển động vượt qua kim giờ.
Trường hợp này tương ứng với các bài toán cho thời điểm lúc đầu tạo nên:
KCBĐ < 1/4 vòng đồng hồ.
* Bài toán mẫu: Hiện nay là 1 giờ . Hỏi sau bao lâu nữa thì kim phút và kim
giờ tạo với nhau thành một góc vuông?
* Giáo viên dẫn dắt học sinh tìm hiểu:
12 - Vào lúc 1 giờ đúng, kim phút, kim giờ nằm ở vị trí
nào?

Bài giải:
Lúc 1 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 1. Khoảng cách giữa kim
phút và kim giờ là
12
1
vòng đồng hồ. Khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành
một góc vuông thì kim phút đã đi hơn kim giờ là:

12
1
+
4
1
=
3
1
(vòng đồng hồ).
Trong 1 giờ, kim giờ đi được
12
1
vòng đồng hồ. kim phút đi được 1 vòng đồng
hồ.
Vậy trong 1 giờ, kim phút đi hơn kim giờ là:
1 –
12
1
=
12
11
( vòng đồng hồ)
Kết luận: Thời gian hai kim tạo với nhau thành một góc vuông được tính
như sau: t = (KCBĐ + 1/4) : 11/12.

*Chú ý thêm là vào lúc 12 giờ đúng thì KCBĐ bằng 0. Muốn tìm thời gian
hai kim tạo với nhau thành một góc vuông, ta chỉ việc lấy 1/4 chia hiệu vận tốc.
* Các bài toán để luyện tâp:
Bài 1: Hiện nay là 12 giờ (hoặc 2 giờ; 3 giờ). Hỏi sau bao lâu nữa khoảng
cách giữa hai kim tạo thành một góc vuông?

8
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
Bài 2:Đức bắt đầu từ nhà mình để đi đến nhà Tài lúc 7 giờ 20 phút.Khi Đức
đến nơi thì vừa lúc hai kim đồng hồ tạo với nhau thành một góc vuông. Hỏi Đức
đến nhà Tài lúc mấy giờ?
Bài 3: Trong một ngày đêm có bao nhiêu lần hai kim đồng hồ vuông góc với
nhau?
b) Trường hợp 2: Để khoảng cánh giữa hai kim tạo với nhau thành một góc
vuông (tính theo chiều kim đồng hồ từ kim phút đến kim giờ hoặc từ kim giờ
đến kim phút) thì kim phút chuyển động không phải vượt qua kim giờ.
Trường hợp này lại chia thành hai nhóm nhỏ:
Nhóm 1: Nhóm các bài toán có thời điểm lúc đầu tạo nên:
1/4vòng đồng hồ < KCBĐ < 3/4 vòng đồng hồ
* Bài toán mẫu: Hiện nay là 9 giờ. Hỏi sau bao nhiêu thời gian thì khoảng
cách giữa hai kim tạo thành một góc vuông?
12
* Gv vẽ hình, cho HS quan sát hình và nhận xét:Vào
lúc 9 giờ đúng, kim phút nằm ở vị trí số 12, kim giờ
9 3 nằm ở vị trí số 9. Khoảng cách từ kim phút đến kim

2
1
4
1
4
3
=−
(vòng đồng hồ).
Trong 1 giờ, kim giờ đi được
12
1
vòng đồng hồ. Kim phút đi được 1 vòng đồng
hồ.
Vậy trong 1 giờ, kim phút đi hơn kim giờ là:
1 –
12
1
=
12
11
( vòng đồng hồ)

9
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
Thời gian để hai kim tạo với nhau thành một góc vuông là:

11
6
12
11

2/ Khi Thông bắt đầu ngồi vào bàn làm bài tập Toán cô giáo ra về nhà thì bạn
xem giờ và thấy đồng hồ chỉ 2 giờ 45 phút. Thông dự định làm bài trong 30 phút.
Đến khi Thông giải xong thì thấy vừa lúc hai kim đồng hồ vuông góc với nhau.
Hỏi với thời gian dự định Thông có làm xong bài tập không?

Nhóm 2: Nhóm các bài toán có thời điểm lúc đầu tạo nên:
KCBĐ > 3/4 vòng đồng hồ.
* Bài toán mẫu: Hiện nay là 10 giờ. Hỏi sau bao lâu nữa thì khoảng cách giữa
hai kim tạo với nhau thành một góc vuông?
12 * Gv vẽ hình, cho HS quan sát hình và nhận xét:Vào
lúc 10 giờ đúng, kim phút nằm ở vị trí số 12, kim giờ
nằm ở vị trí số 10. KCBĐ từ kim phút đến kim giờ
6 (tính theo chiều kim đồng hồ) là 5/6 vòng đồng hồ.
9 3 Đến khi hai kim tạo với nhau thành một góc vuông
thì khoảng cách tính từ kim giờ đến kim phút
(tính theo chiều quay của kim đồng hồ)
đúng bằng 1/4 vòng đồng hồ => KCBĐ từ kim
6 phút đến kim giờ (tính theo chiều quay của kim đồng
hồ) là 3/4 vòng đồng hồ. (1 -
4
3
4
1
=
).

10
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
Như vậy, trong khoảng thời gian đó kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn
đường bằng KCBĐ trừ đi 3/4 (

12
1
4
3
6
5
=−
(vòng đồng hồ).
Trong 1 giờ, kim giờ đi được
12
1
vòng đồng hồ. kim phút đi được 1 vòng đồng
hồ.
=> Trong 1 giờ, kim phút đi hơn kim giờ là:
1 –
12
1
=
12
11
( vòng đồng hồ)
Thời gian để hai kim tạo với nhau thành một góc vuông là:

11
1
12
11
:
12
1

2/ Hiện nay là 12 giờ 50 phút. Hỏi khi hai kim tạo với nhau thành một góc
vuông thì lúc đó là mấy giờ?
3) Dạng 3: Hai kim đồng hồ tạo với nhau thành một đường thẳng.
Dạng này chia làm hai trường hợp sau:
a) Trường hợp 1: Để khoảng cánh giữa hai kim tạo với nhau thành một đường
thẳng thì kim phút phải chuyển động vượt qua kim giờ.
Trường hợp này tương ứng với các bài toán cho thời điểm ban đầu tạo nên:
KCBĐ < 1/2 vòng đồng hồ
* Bài toán mẫu: Hiện nay là 4 giờ. Hỏi sau bao lâu nữa kim phút và kim giờ sẽ
tạo với nhau thành một đường thẳng?Lúc đó là mấy giờ?
* Gv hướng dẫn HS quan sát hình, nêu câu hỏi dẫn dắt để giúp các em giải bài
toán:
- Vào lúc 4 giờ đúng, kim phút; kim giờ ở vị trí nào?
(kim phút ở vị trí số 12, kim giờ ở vị trí số 4)
12 - Khoảng cách ban đầu tính từ kim phút đến kim giờ
(theo chiều quay của kim đồng hồ) là bao nhiêu?
(1/3 vòng đồng hồ)
9 3 - Đến khi hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng
thì kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường bằng bao
nhiêu phần của vòng đồng hồ?
(Đây là câu hỏi khó, GV cần cho HS định hình
6 cách di chuyển của hai kim để thấy rõ:
khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một đường thẳng thì kim phút đã chạy
vượt lên gặp kim giờ (như bài toán mẫu ở dạng 1). Tại thời điểm đó, kim phút đã
đi hơn kim giờ đoạn đường bằng khoảng cách ban đầu là 1/3 vòng đồng hồ. Sau
đó kim phút tiếp tục vượt lên, đến khi khoảng cách giữa nó và kim giờ tạo với
nhau thành một đường thẳng thì nó tiếp tục đi hơn kim giờ 1/2 vòng đồng hồ nữa.
Như vậy nó đã đi hơn kim giờ đoạn đường là: 1/3 + 1/2 = 5/6 ( vòng đồng hồ). )
Từ đây, áp dụng bài toán mẫu ở dạng 1, mục a, học sinh đã có thể dễ dàng tìm
ra đáp số của bài toán bằng cách lấy tổng quãng đường kim phút đi hơn kim giờ

1
=
12
11
( vòng đồng hồ)
Thời gian để hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng là:

11
10
12
11
:
6
5
=
( giờ )
Lúc đó là: 4 +
11
10
4
11
10
=
(giờ)
Đáp số:
11
10
giờ; 4
11
10

* Bài toán mẫu: Hiện nay là 8 giờ. Hỏi khi hai kim tạo với nhau thành một đường
thẳng thì lúc đó là mấy giờ?
12 Tương tự các bài toán trên HS sẽ nhanh chóng xác
định được KCBĐ giữa kim phút và kim giờ là 8/12

13
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
(hay 2/3) vòng đồng hồ. Đến khi hai kim tạo
9 3 với nhau thành một đường thẳng thì khoảng cách
9 3 được rút ngắn lại còn 1/2 vòng đồng hồ. Khi đó
kim phút đã đi hơn kim giờ là 1/6 vòng đồng hồ
6 (2/3 – 1/2 = 1/6). Sau đó lấy 1/6 chia hiệu vận tốc
là tìm được thời gian để hai kim thẳng hàng với
6 nhau.
Bài giải:
Lúc 8 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 8. Khoảng cách giữa kim
phút và kim giờ (tính theo chiều kim đồng hồ) là
3
2
vòng đồng hồ.
Đến khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một đường thẳng thì kim phút
đã đi hơn kim giờ là:

6
1
2
1
3
2
=−

2
=
(giờ)
Đáp số: 8
11
2
giờ.
* Giáo viên gộp 3 bước giải cuối để có biểu thức:
(
3
2
-
2
1
) :
12
11
=
11
2
( giờ )
(KCBĐ - 1/2 ) : Hiệu vt = Thời gian.
Kết luận: Thời gian hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng được tính
như sau: t = (KCBĐ - 1/2) : 11/12.
* Các bài toán sau:

14
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
1/ Hiện nay là 7 giờ (hoặc 9 giờ; 10 giờ;11 giờ). Hỏi sau bao lâu nữa khoảng
cách giữa hai kim tạo thành một tạo thành một đường thẳng?

dạng bài hai kim chuyển động và đổi chỗ cho nhau. Ở dạng bài này hướng giải
hoàn toàn khác với 3 dạng trên. Cách xác định quãng đường đi đơn giản hơn,
chúng tôi xin được nêu một ví dụ sau:
Bài toán: Tuấn ngồi làm văn cô giáo cho về nhà. Khi Tuấn làm bài xong thì
thấy vừa lúc hai kim đồng hồ đã đổi chỗ cho nhau. Hỏi Tuấn làm bài văn hết bao
nhiêu phút?

15
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
* Phân tích: Khi hai kim đồng hồ đổi chỗ cho nhau thì kim phút đã đi được
một quãng đường từ vị trí kim phút đến vị trí của kim giờ, còn kim giờ thì đi một
quãng đường từ vị trí kim giờ đến vị trí của kim phút. Như vậy, tổng quãng đường
mà hai kim đồng hồ đã đi là đúng bằng một vòng đồng hồ. Lấy tổng quãng đường
của hai kim đã đi chia cho quãng đường hai kim đi được trong một giờ là tính
được thời gian để hai kim đổi chỗ cho nhau…
Bài giải:
Từ khi Tuấn bắt đầu làm bài cho đến khi hai kim đồng hồ đổi chỗ cho nhau thì:
- Kim phút đi được quãng đường từ vị trí kim phút đến vị trí kim giờ lúc đầu.
- Kim giờ đi được quãng đường từ vị trí kim giờ đến vị trí kim phút lúc đầu.
=> Tổng quãng đường hai kim đã đi đúng bằng một vòng đồng hồ.
- Trong 1 giờ: Kim phút đi được một vòng đồng hồ.
Kim giờ đi được
12
1
vòng đồng hồ.
=> Trong 1 giờ, cả hai kim chạy được:
1 +
12
1
=

kì thi HS giỏi (đặc biệt là giải toán qua mạng) có những bài toán này các em trong
đội tuyển toán của lớp đã nhanh chóng nhận diện dạng bài, áp dụng công thức
phù hợp để làm bài nhanh và chính xác.
Xin được phép trích dẫn lại bài toán và cách giải của tác giả Pham Đình Thực
mà chúng tôi đã đề cập đến ở phần “Đặt vấn đề”.
Bài toán: Bây giờ 15 giờ 40 phút. Hỏi sau bao nhiêu lâu nữa thì kim giờ và kim
phút làm thành một đường thẳng?

16
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
12 Bài giải của tác giả:
Trước hết ta tính xem lúc đầu kim giờ chạy
sau kim phút mấy phần vòng đồng hồ?
Lúc 15 giờ 40 phút thì kim phút chỉ đúng vào
9 3 số 8 còn kim giờ chỉ vào 2/3 khoảng cách từ số
3 đến số 4 (vì 40 phút = 2/3 giờ). Nói cách khác
Kim giờ chỉ vào 1/3 khoảng cách từ số 4 đến số 3
6 (vì 1 –
3
2
=
3
1
).
Khoảng cách từ số 4 đến số 8 là:
3
1
12
48
=

1

vòng.
Vậy:
(Quãng đường kim phút đi) – (Quãng đường kim giờ đi) =
2
1
vòng (KCBĐ)
=
2
1
vòng -
36
1
vòng =
36
5
vòng
Vì kim phút đi nhanh gấp 12 lần kim giờ nên ta có sơ đồ:
Quãng đường kim giờ đi: x
Quãng đường kim phút đi: x x x x x x x x x x x x

36
5
vòng
Vậy quãng đường kim giờ đã đi là:

36
5
: (12 – 1) =

3
2
giờ.
Vào lúc 3 giờ đúng, kim giờ chỉ số 3, kim phút chỉ số 12. Vì 1 giờ kim phút
đi được đoạn đường bằng một vòng đông hồ, kim giờ đi được
12
1
vòng đông hồ
(tức là di chuyển được từ vạch này đến vạch tiếp theo). Vậy khi thời gian tăng
thêm 40 phút (tức là
3
2
giờ) thì kim giờ di chuyển
3
2
đoạn đường từ khoảng cách
giữa số 2 và số 3.
3
2
đoạn đường đó ứng với:
12
1
x
18
1
3
2
=
(vòng đồng hồ).
Còn kim phút đã di chuyển thêm được

−
) :
12
11
=
33
5
(giờ)
Đổi:
33
5
giờ =
11
1
9
(phút)
Đáp số:
11
1
9
phút.

18
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
* Rõ ràng trong hai cách giải trên, cách mà HS trình bày vừa ngắn gọn lại
vừa dễ hiểu. Chúng tôi cảm thấy rất vui vì những cố gắng của mình đã đạt được
hiệu quả. Không chỉ ở dạng toán này, ở tất cả các phần khác, chúng tôi đều cố
gắng sưu tầm, sáng tác, tập hợp thành từng dạng, tìm cách hướng dẫn cho HS
từng dạng bài để giúp các em nắm và vận dụng kiến thức một cách chắc chắn.
Chính vì vậy, đội tuyển HS giỏi toán lớp 5 của chúng tôi trong những năm qua,

những cuộc chạy đua thầm lặng trong việc kiếm tìm, phát hiện và chiếm lĩnh kiến
thức.
Với các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ, bước quan trọng đầu tiên
là tập cho các em định hình và tính được KCBĐ giữa kim phút và kim giờ.

19
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
Khoảng cách này luôn được tính từ vị trí kim phút đến vị trí kim giờ (Tính theo
chiều quay của kim đồng hồ). Sau đó sắp xếp, phân chia các bài toán theo từng
dạng, mỗi dạng lại chia ra các trường hợp và xây dựng công thức tính thời gian
cho từng trường hợp. Cụ thể như sau:
Dạng 1: Hai kim đồng hồ chuyển động để trùng khít lên nhau:
a) Trường hợp đề toán cho thời điểm ban đầu.
t = KCBĐ : Hiệu vận tốc
b) Trường hợp đề toán không cho thời điểm ban đầu.
Mẹo giải: Đưa về giờ đúng để suy luận và áp dụng công thức trường hợp a để
tính thời gian.
Dạng 2: Hai kim đồng hồ tạo với nhau thành một góc vuông:
a) Trường hợp 1: Các bài toán cho thời điểm ban đầu tạo nên:
KCBĐ < 1/4 vòng đồng hồ
t = (KCBĐ + 1/4) : 11/12
b) Trường hợp 2: Các bài toán cho thời điểm ban đầu tạo nên:
1/4 vòng đồng hồ < KCBĐ < 3/4 vòng đồng hồ
t = (KCBĐ - 1/4) : 11/12
c) Trường hợp 3: Nhóm các bài toán có thời điểm ban đầu tạo nên:
KCBĐ > 3/4 vòng đồng hồ
t = (KCBĐ - 3/4) : 11/12
Dạng 3: Hai kim đồng hồ tạo với nhau thành một đường thẳng:
a) Trường hợp 1: Các bài toán cho thời điểm ban đầu tạo nên:
KCBĐ < 1/2 vòng đồng hồ