Nội dung và phơng pháp bồi dỡng học sinh lớp
5 giải các bài toán về phân số
Phần mở đầu.
I. Lý do nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm
Đất nớc ta đang trên con đờng đổi mới tiến tới chủ nghĩa hoá -
hiện đại hoá đất nớc. Một trong những yếu tố quyết định cho sự thành
công của sự nghiệp đó chính là yếu tố con ngời. Bởi vậy Đảng và Nhà
nớc ta đã đặt nhiệm vụ giáo dục lên hàng đâu, coi giáo dục là Quốc
sách. Điều đó đợc thể hiện rõ ở Nghị quyết 2 của Ban chấm hành
trung ơng Đảng khoá VIII đó là: Nâng cao toàn diện chất lợng bậc
tiểu học. Đó là nhiệm vụ đặc biệt quan trọng của bậc Tiểu học. Một
trong những yếu tố quyết định sự hình thành và phát triển nhân cách,
óc sáng tạo, khả năng t duy độc lập và sự ham khám phá, tìm tòi kiến
thức khoa học đó là việc học toán, Học toán sẽ giúp học sinh phát triển
khả năng t duy khá linh hoạt. Do đó ngời thầy cần phải phát hiện, bồi
dỡng kịp thời những mầm mống trí tuệ toán học. Việc giải toán, đòi
hỏi học sinh phải t duy linh hoạt, tổng hợp các kiến thức một cách hệ
thống và giải quyết các tình huống toán học thật chính xác cao. Trong
thực tế giảng dạy, ở một lớp học luôn có 4 đối tợng học sinh: Giỏi -
Khá - Trung bình - Yếu.
Do đó đòi hỏi ngời giáo viên phải biết bao quát các đối tợng học
sinh để có phơng pháp dạy học thích hợp nhằm phụ đạo những hóc inh
còn yếu kém và phát hiện những học sinh có khả năng toán học. Đặc
biệt là các bài toán về phân số có nội dung hết sức phong phú và phức
hợp - là dạng toán điểm hình trong chơng trình toán lớp 5, luôn gắn
với các tình huống thực tế, và các bài toán về phân số đòi hỏi học sinh
có khả năng t duy nhanh. Trong nhiều năm dạy toán lớp 5, tôi đã tích
góp đợc một số kinh nghiệm bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5 giải toán về
phân số, vì vậy tôi quyết định chọn đề tài: Nội dung và phơng pháp
bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5 giải toán về phân số nhằm nâng cao trình
độ

nghiệm.
Chơng 1: Hệ thống các chuyên đề toán nâng cao dành cho học
sinh giỏi toán ở tiểu học.
Chơng 2: Vị trí và tầm quan trọng của mạch kiến thức về phân
số.
Chơng 3: Phân tích thực trạng việc dạy và học kiến thức về phân
số.
Chơng 4: Nội dung biên pháp và kết quả bồi dỡng mạch kiến
thức về phân số.
VI. Một sô kết quả đạt đợc trong sáng kiến
kinh nghiệm.
Đa ra đợc nội dung và phơng pháp bồi dỡng học sinh giỏi toán
theo đề tài: Nội dung và phơng pháp bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5 giải
toán về phân số.
Cụ thể:
+ Hệ đồng hoá kiến thức cần nhớ cho học sinh, đề xuất cách
giải, xây dựng thí dụ minh hoạ, su tầm và giới thiệu một số bài toán
theo từng dạng có trong sáng kiến.
+ Trao đổi kinh nghiệm cùng đồng nghiệp góp phần nâng cao
hiệu quả cùng các bồi dỡng học sinh giỏi toán về phân số.
VII. Triển vọng nghiên cứu tiếp sáng kiến kinh
nghiệm.
Từ việc viết SKKN này đã giúp bản thân có cơ sửo để sau này
tiếp tục nghiên cứu các đề tài khác có liên quan đến việc phát hiện và
bồi dỡng học sinh giỏi ở bậc tiểu học.
B. Phần nội dung.
Chơng I: Hệ thống các chuyên đề toán nâng cao
dành cho học sinh giỏi toán ở tiểu học.
Chuyên đề 1: Số và cấu tạo số.
Chuyên đề 2: Đếm số vào phép tính

thức. Đối với những học sinh có khả năng tiếp thu nhanh nhạy thì hay
hấp tấp. Dẫn đến những sai sót không đáng có. Một số học sinh cha
thích ứng nhanh nhạy kỹ năng toán học nên còn lúng túng trong việc
định hớng cách giải từng dạng toán về phân số.
Qua khảo sát chất lợng đầu năm học (tháng 9 năm 2005) ở lớp
5B - Trờng Tiểu học Đông Lĩnh A về việc giải toán về phân số.
Kết quả dạt đợc nh sau:
+ Nội dung khảo sát: 3 bài
+ Thời gian khảo sát: 40 phút
+ Số học sinh đợc khảo sát: 29 em
+ Kết quả khảo sát nh sau:
Điểm Số lợng Tỷ lệ (%)
9 - 10 5 17,3
7 - 8 7 24,1
5 - 6 7 24,1
Dới 5 10 34,5
* Một số sai lầm học sinh thờng mắc là:
+ Học sinh còn lúng túng trong việc định hớng cách giải từng
dạng toán về phân số.
+ Học sinh cha nắm chắc cách giải từng dạng toán về phân số
nên dẫn đến lúng túng cách trình bày bài giải.
3. Về việc sử dụng tài liệu dạy học:
Hiện nay, tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5 giải toán rất
nhiều. NHờ có tài liệu tham khảo mà học sinh đã tích luỹ đợc nhiều
kiến thức một cách tổng hợp và bao quát các dạng toán. Song tài liệu
chỉ mang tính chất tham khảo. Điều cơ bản là ngời học phải biến tài
liệu thành kiến thức của chính bản thân mình. Do vậy đòi hỏi giáo viên
phải là ngời định hớng cho hóc inh cách tham khảo tài liệu học toán để
học sinh tự chiếm lĩnh kiến thức toán học của mình.
Chơng IV: Nội dung, biện pháp và kết quả bồi dỡng mạch kiến

a là số tự nhiên và b là số tự nhiên

0) ta viết:
b
a
- Mẫu số b chỉ số phần bằng nhau đợc chia ra từ 1 đơn vị, tử số a
chỉ số phần đợc lấy đi.
Phân số
b
a
còn hiều là ? của phép chia a: b.
2. Mỗi số tự nhiên a có thể coi là một phân số có mẫu số bằng 1
a =
1
a
3. Phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số thì nhỏ hơn 1; có tử số lớn
hơn mẫu số thì lớn hơn 1 và tử số bằng mẫu số thì bằng 1.
4. Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với một số tự
nhiên khác 0 thì đợc phân số bằng phân số đã cho:
)0n(
b
a
bxn
axn
=
5. Nếu ta chia cả tử số và mẫu số của một phân số đã cho cùng
một số tự nhiên khác 0 (gọi là rút gọn phân số) thì đợc phân số bằng
phân số đã cho.
)0n(
b

Các bài toán về khái niệm phân số.
+ Lập bảng phân tích một số thành tổng ? của 2 số.
+ Dựa vào bảng phân tích để kết luận phân số cần tìm.
Loại 2:

Các bài toán về phân số áp dụng các tính chất.
+ áp dụng 4 tính chất của phân số để nhận xét tổng hoặc hiệu
của 2 phân số đã cho.
+ Dựa vào nhận xét để đa về bài toán về dạng tìm 2 số khi biết
tổng (hoặc hiệu) và tỷ số của chúng
Một số ví dụ minh hoạ dạng 1:
Loại 1:

các bài toán về khái niệm phân số.
Ví dụ 1:

Hãy viết các phân số có tổng các tử số và mẫu số bằng
8.
Giải
Ta lập bảng phân tích 8 thành tổng 2 số có tổng bằng 8:
0 1 2 3 4 5 6 7
8 7 6 5 4 3 2 1
Nhìn vào bảng trên ta có các phân số cần tìm là:
1
7
;
2
6
;
3

3
;
6
2
;
7
1
;
8
0
Ví dụ 2:

Hãy viết các phân số có tích của tôs vàmaux số bằng
200 sao cho khi chia các tử số và mẫu số của phân số đó cho 5 ta đợc 1
phân số tối giảm.
Giải
Ta có bảng phân tích 200 thành tích các cặp số sau:
200
1 2 4 5 8 10 20
200 100 50 40 25 20 10
Nhìn vào bảng phân tích trên ta có phân số cần tìm là:
5
40
và
40
5
Trả lời: Phân số cần tìm là:
5
40
và

(áp dụng tính chất 2)
Khi tất cả tử số và mẫu số của 1 phân số
151
271
đi cùng 1 STN
Ta đợc 1 phân số bằng phân số
3
7
tìm STN đó
Giải:
Hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số đã cho là:
271 - 151 = 120
Ta nhận xét; Khi bớt đi cả tử số và mẫu số của 1 phân số với
cùng 1 STN thì hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số đó không thay
đổi.
Ta có sơ đồ sau:
Tử số mới:
Mẫu số mới: 120
Mẫu số của phân số mới là:
120 : (7-3) x 3 = 90
STN cần tìm là:
151 - 90 = 61
Ví dụ 3:

(áp dụng tính chất)
Khi cộng thêm tử số và biết đi ở mẫu số của phân số
67
53
với cùng
1 STN ta đợc 1 phân số

với cùng 1 STN thì tồng của phân số đó không thay đổi.
Ta có sơ đồ sau:
Tử số mới: 120
Tử số của phân số mới là:
120: ( 7 + 8) x 7 = 70
STN cần tìm là: 87 - 70 = 17
Trả lời: STN cần tìm là 17
4. Su tầm và giới thiệu 1 số bài toán ở dạng 1:
Loại 1:
Bài 1: Hãy viết các phân số tối giám lớn hơn 1 có tổng của tử số
và mẫu số bằng 8.
Bài 2: Tìm một phân số bằng
13
7
sao cho mẫu số cua rnó lớn hơn
tử số 114 đơn vị.
Bài 3: Tìm 1 phân số bằng
16
9
sao cho tổng của tử số và mẫu số
của phân số ấy bằng 1000.
Bài 4: Tìm phân số lớn hơn 1 sao cho tích của tử số và mẫu số
của phân số ấy bằng 111.
Bài 5: Viết tất cả các phân số có:
a. Tổng của tử số và mẫu số bằng 10.
b. Tích của tử số và mẫu số bằng 100.
Loại 2:
Bài 1: Cho phân số
11
5

Khi ra đề cần 3 điều kiện: ĐK 1: Phân số đã cho < 1 hoặc >1
ĐK 2: Phân số đã cho
phải ?
ĐK 3: Hiệu giữa tần số mẫu số của
phân số thứ nhất chia hết cho hiệu
giữa tử số và mẫu số của phân số
T2.
- Loại áp dụng t/c 3 và t/c 4:
Khi ra đề cần 3 đk: ĐK 1: Phân số đã chó >1
ĐK 2: Phân số đã chó tối giảm
ĐK 3: tổng của t/số vàmaux số của
phân số tạo thành phải chia hết
cho tổng của t/số và mẫu số của
phân số đã cho.
Dạng 2: các bài toán về so sánh phân số.
1. Kiến thức cần nhớ.
1. Muốn quy đồng mẫu số của 2 phân số ta nhận cả tử số và mẫu
số của phân số thứ nhất với mấu số của phân số thứ 2: Nhân tử số
vàmaux số của phân số t2 với mẫu số của phân số T1.
3. Các cách thờng sử dụng để so sánh phân số:
Cách 1:

áp dụng quy tắc so sánh phân số có cùng mẫu số khi so
sánh 2 phân số có cùng mẫu số: ta so sánh 2 tử số, phân số nào có tử
số lớn hơn là lớn hơn.
Cách 2:

áp dụng quy tắc so sánh 2 phân số khác mẫu số khi so
sánh 2 phân số khác mẫu số: Trớc hết ta quy đồng mẫu số rồi áp dụng
cách 1.

áp dụng quy tắc so sánh 2 phân tử với 1 của mỗi phân
số:
1 -
d
c
1
b
a
<
thì
d
c
b
a
>
Cách 6:

áp dụng quy tắc so sánh 2 phần hơn với 1 của mỗi phân
số:

1
d
c
1
b
a
<
thì
d
c

131
<<
Vậy:
59
133
67
131
<
Ví dụ 6:

Hãy sắp sếp các phân số sau theo thứ tự từ lớn đến bé
bằng cách hợp lý nhất:
1999
1995
;
99
95
;
57
53
;
17
13
Giải:
áp dụng quy tắc so sánh 2 phần bù với 1 ta có:
1 -
17
4
17
13

17
4
57
4
99
4
1999
4
<<<
Do đó các số định sắp xếp để từ từ lớn lên đến lúc là:
17
13
57
53
99
95
1999
1995
>>>
Trả lời: các số đợc sắp xếp theo thứ tự từ lớn đến bé là:
17
13
57
53
99
95
1999
1995
>>>
Ví dụ 7:

3
1
64
67
=
;
1995
2
1
1993
1997
=
Ta thấy:
95
2
1995
2
và
4
3
64
3
<<
áp dụng quy tắc so sánh qua 1 phân số trung gian ta có:
64
3
95
3
95
2

1995
1997
<<<
Ví dụ 8:

Hãy viết 5 phân số nằm giữa 2 phân số
7
6
và
7
5

Giải
Ta có:
42
30
6x7
6x5
7
5
==
42
36
6x7
6x6
7
6
==
Vậy giữa 2 phân số
7

là:
42
35
;
42
34
;
42
33
;
42
32
;
42
31
Ví dụ 1:

Rút gọn phân số:
1737
1313
Giải:
áp dụng quy tắc nhân nhẩm 1 số có 2 chữ số với 101 ta có:
37
13
101x37
101x13
3737
1313
==
Trả lời: Phân số đã đợc rút gọn là :

ở mấu số thì mẫu số gấp 5 lần tử số.
Ta có:
85 88
7 17
=
5
1
5x7 17
7 17
=
Trả lời: Phân số đã đợc rút gọn là:
5
1
Ví dụ 4:

Rút gọn phân số:
65 66
3 13
biết rằng tử số có 100 chữ số 3 và mẫu số có 100 chữ số 6
Giải:
Ta nhận xét: 65 = 13 x 5
665 = 133 x 5
Vậy quy luật ở đây là: Nếu số chữ số 3 ở tử số bằng số chữ số 6
ở mẫu số thì mẫu số gấp 5 lần tử số.
Ta có:
65 66
3 13
=
5
1

1995
1996
;
1994
1995
;
1993
1994
;
1992
1993
;
1991
1992
theo thứ tự tăng dần.
b.
98
97
;
58
57
;
18
17
;
8
7
theo thứ tự giảm dần
Bài 3: Hãy tìm 5 phân số có tử số chia hết cho 5 và nằm giữa 2
phân số:

951995199519
;
19911996
19951995
Cách ra để ở dạng 2.
Khi ra đề cần: Cho tất cả các phân số có tử số lớn hơn mẫu số
hoặc cho tất cả các phân số có tử số bé hơn mẫu số.
Dạng 3: các bài toán về vận dụng kỹ năng thực hành bốn phép
tính trên phân số.
1. Kiến thức cần nhớ:
1. Pháp cộng: Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số ta cộng tử
số với tử số và giữ nguyên mẫu số:
b
ca
b
c
b
a
+
=+
- Muốn

cộng hai phân số khác mẫu số, trớc hết quy đồng mẫu số
của chúng, sau đó cộng tử số với nhau và giữ nguyên mấu số chung:
bd
cxbaxc
d
c
b
a

c
d
c
b
a
+=+
b
a
x
d
c
d
c
x
b
a
=
b. Tính chất kết hợp:






++=+






d
c
x
b
a
f
e
x
d
c
x
b
a
c. Tính chất phân phối:
f
e
x
b
a
d
c
x
b
a
f
e
d
c
x
b

1995 x 1993 + 1994
= 1
1993 x 1995 + 1994 1993 x 1995 + 1994
b)
20,2 x 5,1 - 30,3 x 3,4 + 14,58
14,58 x 460 + 7,29 x 540 x 2
=
20,2 x 3 x 1,7,1 - 30,3 x 2 x 1,7 + 14,58
14,58 x 460 + 7,29 x 540 x 2
=
60,6 x 1,7 - 60,6 x 1,7 + 14,58
14,58 x 460 + 14,58 x 540
=
14,58
14,58 x (460 + 540)
14,58
=
14,58 x 100
=
1
1000
Ví dụ 2: tính giá trị biểu thức sau bằng cách hợp lý nhất:
0,36 x 950 + 0,18 x 726 x 2 + 3 x 324 x 0,12
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + + 27 + 29 + 31 - 152
Giải
Tính 1: ta tính giá trị của tử số nh sau:
Tính 2: Ta tính giá trị của mẫu số nh sau:
Ta nhận xét: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + + 27 + 29 + 31 là 1 dãy số
cách đều có khoảng cách là 2
Số hạng của dãy số là:

42,9 x 10 + 11
55 x (0,6 + 1 x 0,4) 55 x 2