GV: §µo v¨n TiÕn LỜI MỞ ĐẦU
Trong quá trình giải các bài toán hình học như bài toán về
diện tích hay bài toán về tỷ số giữa các đoạn thẳng hay tỷ số
giữa diện tích các hình đôi khi ta gặp các bài toán rất phức
tạp mà nếu giải bằng phương pháp thông thường thì ta gần
như bế tắc song nếu giải bằng cách sử dụng định lý
Mênêlaus thì bài toán đó trở nên đơn giản vô cùng.
Vậy định lý Mênêlaus là gì? Cách sử dụng nó ra sao? Đó
là vấn đề mà hôm nay tôi muốn đưa ra để trao đổi với các
bạn.

PHẦN 1: ĐỊNH LÝ MÊNÊLAUS
Trên các đường thẳng BC, CA, AB của ΔABC lấy tương ứng các điểm
A
1
, B
1
, và C
1
(Không trùng với đỉnh nào của tam giác).
Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để 3 điểm A
1
, B
1
,C
1
thẳng

I
A
1
C
1
B
1
Qua các đỉnh A, B, C của ΔABC kẻ các đường vuông góc AH, BI, và CK
với đường thẳng A
1
B
1
C
1
.
Rõ ràng ta có AH // BI // CK.
Khi đó ta có:
gt
kl
ΔABC.
A
1
∈BC; B
1
∈AC; C
1
∈AB
A
1
B B

C B
1
A C
1
B
. .
=
BI CK AH
CK AH BI
. .
= 1
C
A
B

CHỨNG MINH ĐIỀU KIỆN ĐỦ
A
1
B B
1
C C
1
A
A
1
C B
1
A C
1
B

1
thẳng hàng
Giả sử A
1
C
1
cắt AC tại B’
1
.
Thế thì theo định lý Mênêlaus ta có:
A
1
B B’
1
C C
1
A
A
1
C B’
1
A C
1
B
. .
= 1.Mà
A
1
B B
1

.
Hay A
1
, B
1
,C
1
thẳng hàng

PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 1: Trong ΔABC đường phân giác AD chia cạnh BC theo tỷ số 1: 2.
Hỏi đường trung tuyến CE chia đường phân giác đó theo tỷ số nào?
A
B
C
D
E
K
Giải:
Gọi {K} = AD∩CE theo đầu bài ta có:
Áp dụng định lý Mênêlaus vào ΔADB
với cát tuyến CKE ta có:
.
CD
BD
=
2
1
Ta cần tính
AK

3
= 1
. .
1
KA
KD
Vậy trung tuyến CE chia phân giác AD theo tỷ số
3

2
AK
KD
3

2
⇒ =Thay vào (1) ta có:

Bài 2: Trên trung tuyến AD của tam giác ABC lấy điểm K sao cho
AK=3.KD. Gọi {P} = BK∩AC. Tính tỷ số diện tích của ΔABP và ΔBCP.
Giải:
Vì ΔABP và ΔCBP có chung đường cao nên:
Áp dụng định lý Mênêlaus vào ΔADC với cát tuyến BKP ta có:
AK BD PC
KD BC PA
. .
= 1
3

1
= 1

PA
PC
⇒
3

2
S
ABP

S
CBP
=
AP
CP
(2 tam giác chung đường cao)

PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Giải:
B
A
C
I
K
Q
Vì ΔABC và ΔQBC có chung cạnh đáy BC do đó
S
ABC

S
QBC

S
ABC

S
QBC
=
7
4
. Vậy S
ABC
=
7
4
(đvdt)
Bài 3: Cho ΔABC. Trên AB lấy K sao cho , trên BC lấy điểm I sao
cho . Gọi {Q} = AI∩CK. Tính S
ABC
biết S
ΔQBC
= 1 (đvdt)
=
AK
KB
1

2
=
CI
IB
2


PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 4:
Giải:
Gọi A’ là trung điểm cạnh BC, BB’ là phân giác ABC,
CC’ là phân giác ngoài đỉnh C của ΔABC cân tại A.
Ta phải chứng minh: C’, A’, B’ thẳng hàng.
+ Vì CC’ là phân giác ngoài đỉnh C nên theo tính chất
đường phân giác ta có:
=
C’B

C’A
CB
CA
+ BB’ là phân giác của ABC nên
=
AB’

B’C
AB
BC
Do A’ là trung điểm của BC nên = 1
A’B

A’C
Từ đó ta có:
C’B AB’ A’C
C’A B’C A’B
. .

C’
A’
N
M
P

PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 5:
Giải:
Ta có S
MNP
= S
ABC
– (S
AMB
+ S
BNC
+ S
CPA
) (1)
Áp dụng định lý Mênêlaus vào ΔAA’C với cát tuyến BMB’ ta có:
Mà
và
S
AMB

S
AA’B
=
AM


S
AA’B
=
9
10
hay S
AMB
=
9
10
S
3
S
AA’B
=
9
10
.
=
3S

10
(2)
Lập luận tương tự ta có: ΔBB’A với cát tuyến CNC’ ta có
BN CB’ C’A
NB’ CA C’B
. .
= 1
⇒

4
5
⇒ S
BNC
=
4
5
S
BB’C
=
4
5
S
4
S
5
.
=
(3)
Áp dụng Mênêlaus vào ΔCC’B với
cát tuyến APA’ ta có:
CP AC’ A’B
PC’ AB A’C
. .
= 1 ⇒
CP
PC’
= 4
CP 1
PC’ 2

⇒
S
CPA
S
CC’A
=
4
5
Thay (2), (3), (4) vào (1) ta được:
S
MNP
= S – ( ) = S -
3S
10

S
5
2S
5
+ +
9S
10
=
S
10
Vậy S
MNP
=
S
10

1
3
=
AD
DB
3
2
=
Bài 3: Cho tam giác đều ABC trên AB, BC, và AC lấy thứ tự các điểm M, N,
P sao cho
1
2
BM;AM =
1
2
CN;BN =
1
2
APCP =
AM∩CM = {A
1
}; CM∩BP = {C
1
}; AN∩BP = {B
1
}
a, Chứng minh: ΔA
1
B
1

ABC
.
1
2
AE.AG =