DH9L
Lý thuyết:
1/ Ngoặc poission:
[ ]
1
, . .
f
i
i i i i
A B A B
A B
q p p q
=
 
∂ ∂ ∂ ∂
= −
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 
∑
2/ Tích phân poission:
2 2
2
2
2 1
(2 1)!!
. , 0:
2
n ax ax
n
n n

n n
a
n
a a a a
e
n n
∞
=
   
= + + + + =
 ÷  ÷
   
∑
4/ Tích phân Gama- euler:
{ }
1
0
1
exp ax
.
k l
k
l
k
l
x dx
l a
∞
+
+

N hat
g m s
−
=
=
= +
= =
=
1.@/ Chứng minh:
k
k
H
p
p
θ
∂
=
∂
. Hay tính giá trị trung bình của động năng ứng với bậc tự do thứ
k có thể tính được nhờ phân bố chính tắc Gibbs :
Giải
Xét hệ N hạt, hàm Haminton trong không gian pha có dạng:
(d)
( ) ( )H E p U q= +
Động năng của hệ:
(d)
1
1
2
f

k
k
k
H
E p
p
H
E p
p
=
=
 
∂
=
 ÷
∂
 
 
∂
⇒ =
 ÷
∂
 
∑
∑
Và động năng trung bình của hạt thứ k là:
(dk)
1
2
k

ψ
∂ ∂ −
 
=
 
∂ ∂
 
∫
Tách một phần tử thứ k để xét ta được:
1
1 1
( , )
.exp
f f
k k k i k
i k
k k
i k
H H H p q
p p dp dp dq
p p kT
ψ
+∞
−
= =
−∞
≠
∂ ∂ −
 
=

H H p q H p q
dv dp v kT
p kT kT
ψ ψ
= ⇒ =


∂ − −
    
= ⇒ = −
   

∂
   

Ta được:
( )
( , ) ( , ) ( , )
exp exp ( )exp
k k k k
k
H H p q H p q H p q
p dp p kT kT dp
p kT kT kT
ψ ψ ψ
+∞
+∞ +∞
−∞ −∞
−∞
∂ −  −  −

exp . exp
k k k
k
H H p q H p q
p dp kT dp
p kT kT
ψ ψ
+∞ +∞
−∞ −∞
∂ − −
   
=
   
∂
   
∫ ∫
với điều kiện chuẩn hóa:
1
),(
exp
)(
=






−
∫

= =
 ÷
∂
 
∑
2.@/ Chứng minh:
( )
2
2
2
H
H H
θ
θ
∂
− =
∂
Giải
Ta có giá trị trung bình của phân bố chính tắc:
( )
.exp
X
H
H H dX
kT
ψ
−
 
=
 

θ
ψ ψ ψ
θ θ θ
∂ ∂ −
 
=
 
∂ ∂
 
∂ −
 
=
 
∂
 
∂ − −
   
= −
 
 
∂
   
∫
∫
∫
Lấy đạo hàm 2 vế của điều kiện chuẩn hóa:
( )
( )
2
( )

⇔ =
 
∂
 
∂ − −
   
⇔ − =
 
 
∂
   
∫
∫
∫
Vì
θ
và
ψ
không phụ thuộc vào X nên:
2 2
( )
1
(2) exp exp 0 (3)
X X
H H H
dX dX
kT kT
ψ ψ ψ ψ
θ θ θ θ
∂ − −

 
=
 
 
∫
2 2
1
(3) 0
(4)
H
H
ψ ψ
θ θ θ θ
ψ
θ ψ
θ
∂
 
⇔ − + =
 ÷
∂
 
∂
 
⇔ = −
 ÷
∂
 
Thay (4) vào (1) ta được:
(

ψ
θ
ψ ψ
θ
θ
 
∂ − − −
 
= −
 
 
∂
 
 
 
− −
 
=
 
 
 
 
 
− −
   
= −
   
 
   
 

∫
r
Nghiệm đúng với mọi thể tích V và vận tốc
1 2 3 1 2 3
( , , , , , , , , , )
f f
v q q q q p p p p=
r
& & & & & & & &
Chứng minh:
0
d
dt
ρ
=
và rút ra nhận xét về phương trình này.
Trang3
DH9L
Giải
Ta có: Điều kiện chuẩn hóa:
( ) 0 (1)
V
v dV
t
ρ
ρ
∂
 
+∇ =
 ÷

( ) ( ) ( ) . (3)
f f f
i i
i i i i
i i i
i i i i i i
q p
v q p q p
q p q p q p
ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
= = =
     
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
∇ = + = + + +
 ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
∑ ∑ ∑
r
& &
& & & &
Từ phương trình chính tắc Hamilton:

,
i i
i i
H H

Từ (2) và (3) vào (4) suy ra:
1
0
f
i i
i
i i
q p
t q p
ρ ρ ρ
=
 
∂ ∂ ∂
+ + =
 ÷
∂ ∂ ∂
 
∑
& &
Mặt khác ta thấy:
à
i i
i i
q p
q v p
t t
∂ ∂
= =
∂ ∂
& &

chuyển động không ngừng trong không gian pha. Do tổng số các điểm pha không đổi nên
chuyển động của các điểm pha giống như sự chảy dừng của một chất lỏng không nén được. Vì
vậy ta có thể áp dụng phương trình liên tục cho quá trình này. Phương trình liên tục có dạng :
( ) 0 (1)v
t
ρ
ρ
∂
 
+∇ =
 ÷
∂
 
r
trong đó
ρ
là hàm phân bố thống kê, với
), ,,, ,(
11 ss
ppqqv
&&&&
r
=
là vận tốc của điểm pha trong
không gian pha 2f chiều.
Do đó ta có :
Tích vô hướng của
.( )v
ρ
∇

,
i i
i i
H H
q p
p q
∂ ∂
= = −
∂ ∂
& &
với
),( pqHH =
là hàm Hamilton của hệ.
2 2
1 1
1 1
(3) 0
à (4)
f f
i i
i i
i i i i i i
f f
i i
i i
i i i i i i
q p
H H
q p q p p q
H H

t q p p q
ρ ρ ρ
=
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − =
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
∑
Hay:
[ ]
, 0 (5)H
t
ρ
ρ
∂
+ =
∂
trong đó
[ ]
1
,
f
i
i i i i
H H
H
q p p q
ρ ρ

0
d
dt
ρ
=
hay
const
ρ
=
(7)
Vậy dọc theo quỹ đạo pha thì hàm phân bố của hệ là không đổi theo thời gian.
Phương trình (5) được viết lại là :

[ ]
, H
t
ρ
ρ
∂
= −
∂
hay
[ ]
,H
t
ρ
ρ
∂
=
∂

∂ ∂
và
(2)
H
H
ψ
θ ψ
θ
ψ
ψ θ
θ
∂
 
= −
 ÷
∂
 
∂
 
⇔ − = −
 ÷
∂
 
Lấy vi phân phương trình (2)ta được:
. (3)d H d d
ψ
ψ θ
θ
∂
 

∑
Đối chiếu với:
i
i
i
dU A da TdS+ =
∑
Suy ra:
dS d
ψ
θ
∂
 
= −
 ÷
∂
 
hay: đại lượng
ψ
θ
∂
 
−
 ÷
∂
 
chính là entropi thống kê của
ϕ

Do đó:

∂
=
Suy ra:
(1)
H H
S k k
ψ ψ
θ θ
− −
= = −
do
àv
θ ψ
không phụ thụ vào X nên ta có thể viết lại biểu thức (1):
exp (2)
X
H H
S k dX
ψ ψ
θ θ
− −
 
= −
 ÷
 
∫
Mặt khác khi lấy ln hàm phân bố xác xuất:
( )
exp
X

X
S k dX
S k
ω ω
ω
= −
⇒ = −
∫
Vậy entropi s tỉ lệ nghịch với trung bình pha của loragic mật độ xác xuất.
7.@/ Thiết lập phân bố Maxwell – Boltzmann:
Xét hệ N hạt đồng nhất không tương tác nhau, nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt động
ở nhiệt độ T. Khi đó hàm Hamilton H (X,a) của hệ trùng với năng lượng E(X) và có dạng
∑
=
=
N
i
i
H
1
ε
, với
i
ε
là năng lượng của hạt thứ i. Khi đó xác suất để hệ ở trong trạng thái có năng
lượng E(X) và ở trong yếu tố thể tích dX của không gian pha là :
Trang6
DH9L
1
1

i i
dW X const drdp dW r p
kT
ε
= =
 
 
= − =
 ÷
 
 
 
∏ ∏
r r r r
Trong đó:
( , ) .exp (2)
i
i i i i
dW r p const drdp
kT
ε
 
= −
 ÷
 
r r r r
Biểu thức (2) chính là xác suất để hạt thứ i có năng lượng bằng
i
ε
, có tọa độ nằm trong

ppp
zyx
i
+
++
=
ε
.
Do đó, phân bố (2) được viết lại là :
2 2 2
( , , )
( , , , , , ) .exp . (3)
2
x y z
x y z x y z
p p p
U x y z
dW x y z p p p const dxdydz dp dp dp
mkT kT
 
+ +
= − −
 ÷
 ÷
 
Đây chính là phân bố Maxwell – Boltzmann.
Biểu thức (3) còn được viết lại dưới dạng:
( , , , , , ) ( , , ). ( , , ) (4)
x y z x y z
dW x y z p p p dW x y z dW p p p=

a
dxax
π
=−
∫
+∞
∞−
2
exp
để
chuẩn hóa hàm phân bố (5) :
( )
( )
2
2
2
3
2
3
2
1 . exp . exp . exp . 2
2 2 2
2
y
x
z
x y z
p
p p
A dp dp dp A mkT

zyx
=++
.
Vậy phân bố Maxwell theo xung lượng ở (5) được viết thành phân bố Maxwell theo vận tốc:
zyxzyx
dvdvdv
kT
mv
kT
m
vvvdW






−






=
2
exp
2
),,(
2

 
 
= = − =
 
 ÷
 
 
∫
với:
3
2
2
2
( ) 4 .exp
2 2
m mv
v v
kT kT
ω π
π
 
 
= −
 
 ÷
 
 
là hàm phân bố vận tốc.
Trang7
DH9L