3
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay, đổi mới nội dung và phương pháp giảng dạy tạo điều kiên cho
sinh viên Cao đẳng Sư phạm, những giáo viên Trung học cơ sở tương lai, đáp
ứng đòi hỏi của xã hội đang là mục tiêu lớn được ngành Giáo dục và đào tạo
quan tâm. Việc đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo phải khắc phục lối truyền
thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo cho sinh viên, từng bước áp
dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện vào quá trình dạy và học.
Trên tinh thần đó, để phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của sinh
viên, người thầy cần tăng cường cho sinh viên vận dụng kiến thức đã học vào
nhiều tình huống khác nhau thông qua hệ thống bài tập. Ngược lại, khi vận dụng
kiến thức vào nhiều tình huống khác nhau sinh viên sẽ nhạy bén hơn trong việc
giải bài tập, từ đó rèn luyện được kĩ năng giải toán và phát triển tư duy cho sinh
viên.
Việc bồi dưỡng các năng lực tư duy cho sinh viên ngành sư phạm Toán
khi dạy các học phần toán là một nhiệm vụ cơ bản của quá trình dạy học và
đồng thời cũng là yêu cầu thường xuyên, cần thiết. Trong đó, việc phát triển
năng lực giải toán cho sinh viên là một nhiệm vụ rất quan trọng đối với các học
phần toán. Vì vậy người thầy không chỉ cung cấp cho sinh viên phương pháp
giải, những dạng toán cụ thể mà cần phải thông qua nó, rèn luyện cho sinh viên
các năng lực phân tích, tổng hợp, năng lực khái quát hóa, năng lực suy luận
lôgic, năng lực tư duy linh hoạt, trí nhớ toán học,…
Như vậy, bài tập toán là một phần không thể thiếu trong giảng dạy các
học phần toán. Trong đó dạng bài toán chứng minh có vị trí quan trọng hơn cả.
Còn đối với phần Hình học sơ cấp, dạng bài toán chứng minh không những là
dạng toán quan trọng mà đây là dạng toán chủ yếu.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm các học phần toán hình cho sinh viên
CĐSP toán chúng tôi nhận thấy kỹ năng giải hình của sinh viên còn nhiều hạn
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài.
Chương 2: Rèn luyện kỹ năng giải toán chứng minh hình cho sinh viên
CĐSP toán- Trường CĐSP Điện Biên.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.
6
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
1.1. Cơ sở lý luận
1.1.1. Khái niệm kỹ năng, kĩ năng giải toán
1.1.1.1. Khái niệm về kỹ năng
Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm thì: “Kỹ năng là khả năng
vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết một nhiệm vụ
mới”.
Còn Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ
liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện
những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ
lý luận hay thực hành xác định”.
Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định: "Kỹ năng là khả năng vận dụng
những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế".
1.1.1.2. Khái niệm về kỹ năng giải toán
Theo G.Pôlya: “Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán,
thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng
minh nhận được”.
Ví dụ: Chứng minh rằng trong số các tam giác có cùng chu vi, tam giác
đều có diện tích lớn nhất.
Sinh viên phải có khả năng nhận biết các mối quan hệ trong bài toán là
các tam giác có chu vi không đổi, liên quan đến diện tích khi biết tổng độ dài
các cạch không đổi, từ đó ta chọn công thức Hêrông để tính diện tích và sử dụng
hoạt động giải toán. Cụ thể hơn thông qua hoạt động giải toán hình, rèn luyện kỹ
năng toán cho sinh viên cần:
* Yêu cầu sinh viên phải hiểu đề, phải nắm được yêu cầu của bài toán,
phải biết bài toán cho cái gì, yêu cầu của bài toán là gì. Để hiểu rõ đề toán hơn
nên vẽ hình cho bài toán.
Ví dụ 1: Trong hình vuông ABCD, vẽ nửa đường tròn đường kính AD
và vẽ cung AC mà tâm là D. Nối D với điểm P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nửa
đường tròn đường kính AD ở K. Chứng minh PK bằng khoảng cách từ P đến
AB.
Để giải bài toán này, sinh viên phải xác định được khoảng cách từ P đến
AB. Từ đó nhận dạng bài toán là dạng chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau,
tiếp tục tư duy đến các cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
8
* Giúp sinh viên hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài tập,
các đối tượng cùng loại.
Trong ví dụ 1, khi sinh viên đã tìm hiểu kĩ đề, vẽ hình cho bài toán, nắm
rõ yêu cầu của bài toán là chứng minh PK=PI. Ta đi tìm tòi lời giải bằng sơ đồ
phân tích đi xuống
PK =
PI
⇓
∆APK = ∆API
⇓
µ =P
µ
Ngoài ra, còn tạo nhu cầu hướng thú cho sinh viên, khắc phục ảnh hưởng
tiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện ba mặt sau:
+ Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạch khác nhau, từ đó tìm ra các cách giải
khác.
Trở lại ví dụ 1, ngoài cách chứng minh hai tam giác ∆ APK và ∆ API bằng
nhau bằng cách chứng minh P$ 1 = P$ 2 trong lời giải 1, ta còn có thể chứng minh
µ1 = A
µ 2.
A
Lời giải 2: Gọi F là giao điểm của AP với đường tròn đường kính AD
·
Ta có: AFD
= 900 (Góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)
Tam giác ADP cân tại D có DF là đường cao nên DF cũng là phân giác
µ1 =D
µ 2 mà D
µ2 =A
µ1 ; D
µ1 =A
µ 2 (Vì đều là góc có các cặp cạnh tương ứng
suy ra D
vuông góc).
µ1 = A
µ 2 ⇒ ∆ APK = ∆ API (Có chung cạnh huyền và một cặp
Suy ra: A
Bài toán chứng minh là dạng toán chủ yếu, quan trọng bậc nhất đối với
học phần Hình học sơ cấp và thực hành giải toán, cũng như phần hình học của
chương trình toán ở THCS. Các dạng toán chứng minh trong học phần “Hình
học sơ cấp và thực hành giải toán”, ở trường CĐSP được học ở các ngành SP
Toán, nhằm mục đích củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng giải toán chứng minh
cho sinh viên qua đó góp phần nâng cao kĩ năng nghề cho sinh viên.
Trong học phần “Hình học sơ cấp và thực hành giải toán” bài toán chứng
minh có mặt xuyên suốt học phần (trừ chương 6: Quỹ tích , dựng hình), và được
phân loại ở chương 2.
1.2. Cơ sở thực tiễn
1.2.1. Khái quát về khảo sát, điều tra thực trạng
1.2.1.1. Mục đích khảo sát điều tra
Qua khảo sát điều tra thực tế nhằm đánh giá thực trạng biện pháp rèn kỹ
năng giải toán chứng minh hình của giảng viên; thực trạng kỹ năng giải toán
chứng minh hình của sinh viên ngành sư phạm toán trường CĐSP Điện Biên
làm cơ sở thực tiễn cho đề tài. Từ đó đề xuất các biện pháp rèn kỹ năng giải toán
chứng minh hình học sơ cấp có hiệu quả.
1.2.1.2. Nội dung điều tra khảo sát
11
* Thực trạng về biện pháp rèn kỹ năng giải toán chứng minh hình của giảng viên
toán trường CĐSP Điện Biên
* Thực trạng về kỹ năng giải toán chứng minh hình của sinh viên ngành sư
phạm Toán trường CĐSP Điện Biên
1.2.1.3. Phương pháp khảo sát điều tra
- Quan sát sư phạm
- Dự giờ
- Đàm thoại, phỏng vấn
Để nghiên cứu mức độ nắm vững kỹ năng giải toán chứng minh hình của
sinh viên toán sau khi đã học xong học phần “Hình học sơ cấp và thực hành giải
toán”, chúng tôi đã tìm hiểu đánh giá vấn đề này từ 6 giáo viên đã từng dạy học
phần “Hình học sơ cấp và thực hành giải toán” ở trường CĐSP Điện Biên.
Bảng 1: Đánh giá của giáo viên CĐSP về kỹ năng giải toán chứng minh
hình của sinh viên.
Số ý kiến
Kỹ năng giải toán chứng minh hình
Hiểu được kiến thức, có kỹ năng cơ bản.
Nắm vững kiến thức và có kỹ năng thành thạo.
Nắm vững kiến thức và có kỹ năng thành thạo, vận
dụng linh hoạt, sáng tạo trong mọi tình huống.
tán thành
4
1
1
%
66,7
16.65
16.65
Qua phiếu điều tra, kết hợp với phỏng vấn cán bộ giảng dạy “Hình học sơ
cấp và thực hành giải toán”, chúng tôi thu được kết quả:
Phần lớn sinh viên toán CĐSP mới chỉ dừng ở mức hiểu được kiến thức
và có kỹ năng cơ bản khi giải toán chứng minh hình mà chưa hiểu thấu đáo nội
dung kiến thức và có kỹ năng thành thạo khi giải toán chứng minh hình. Chỉ có
một số rất ít sinh viên biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo trong mọi tình huống khi
giải toán chứng minh trong dạy học “Hình học sơ cấp và thực hành giải toán”
cho sinh viên, kết quả thu được là:
Bảng 2: Các biện pháp cần thực hiện
Tán
Không
Không có
ý kiến gì
STT
Các giải pháp
thành
tán
1
Rèn luyện cho sinh viên một số kỹ năng
6/6=
0%
cơ bản khi giải toán chứng minh hình 100%
0%
16,7%
0%
Hình học sơ cấp và thực hành giải toán.
Rèn luyện cho SV có kỹ năng vận dụng
3/6 =
2/6 =
1/6 =
linh hoạt, sáng tạo khi giải toán chứng
50%
33,3%
16,7%
minh hình trong mọi tình huống.
Từ số liệu ở bảng 2 cho thấy:
Hầu hết các giảng viên đều đồng ý cả 4 giải pháp đã nêu trên. Đây là những
tiêu chí quan trọng để định hướng xây dựng một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải
toán chứng minh hình nhằm nâng cao hiệu quả của việc dạy học “Hình học sơ cấp
và thực hành giải toán” và góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán cho sinh
viên toán CĐSP.
Tóm lại, từ thực trạng dạy học “Hình học sơ cấp và thực hành giải toán” ở
bài toán càng rõ ràng, sáng sủa càng tốt. Phải nắm vững các khái niệm đề cập
trong bài toán. Cần phải nhớ lại các khái niệm đó được định nghĩa như thế nào
hoặc một số tính chất tương đương với định nghĩa khái niệm đó.
Ví dụ 1: Trong đề toán cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Ít nhất sinh
viên cũng phải hiểu được định nghĩa hình bình hành hoặc tính chất tương đương
như:
- Tứ giác ABCD có các cạnh đối song song
- Tứ giác ABCD có hai cạnh đối song song và bằng nhau
- Tứ giác ABCD có các cạnh đối bằng nhau
- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Tiếp tục phân tích bài toán, phải trả lời được các câu hỏi: Yêu cầu (ẩn, kết
luận, cái cần tìm) của bài toán là gì? Bài toán cho cái gì (Giả thiết, cái đã biết,
dữ kiện)? Đâu là điều kiện (Mối liên hệ giữa cái đã biết và cái cần tìm)? Điều
kiện của đề bài có thỏa mãn không? Điều kiện đề bài có đủ xác định ẩn không?
Có thừa hay thiếu hay mâu thuẫn không?
Nếu cần thiết phải vẽ hình cho bài toán. Hình vẽ hiện lên đồng thời các
yếu tố đã biết, các yếu tố chưa biết cũng như mối quan hệ giữa chúng. Vì thế,
sau khi vẽ đúng hình giúp ta hiểu được đề toán một cách cụ thể và rõ ràng hơn.
Khi vẽ hình cần lưu ý:
- Hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ hình trong trường hợp
đặc biệt vì như thế dễ gây ngộ nhận.
Ví dụ 2: Khi đề toán cho tam giác ABC không nên vẽ tam giác vuông,
cân hay đều nếu như bài toán không yêu cầu; đối với tam giác thường nên vẽ
17
tam giác có các góc xấp xỉ là 400 ,600 ,800 . Đề toán cho các đoạn thẳng bất kì
không nên vẽ các đoạn thẳng bằng nhau. Đề toán cho các đường thẳng bất kì
không nên vẽ các đường thẳng song song hoặc vuông góc…
Với bài toán này thông thường học sinh sẽ vẽ tuần tự theo các thứ tự nêu
trong đề bài toán và vì vậy khi đó hình vẽ sẽ dẫn đến AE không là phân giác góc
BAD hoặc E không là trung điểm của BC như hình bên.
18
B
A
A
B
E
E
D
C
D
C
Từ việc vẽ hình thiếu chính xác trên rất khó có thể tìm được lời giải của
bài toán hoặc dự đoán được các bước đi cho việc xây dựng chương trình giải.
Trong trường hợp này ta có thể vẽ hình theo theo một trật tự khác.
- Trước hết cần vẽ phác họa hình vẽ theo đúng trật tự của bài toán.
tương ứng, chẳng hạn nếu muốn chứng minh hai tam giác ABC và DEF bằng
nhau có
; AB = ED và BC = DF ta nên viết xét hai tam giác ABC và
EDF. Với cách viết này ta không cần nhìn vào hình vẽ cũng xác định được các
góc
;
và CA = EF.
- Không dùng một kí hiệu để chỉ các đại lượng khác nhau. Các kí hiệu cùng
loại để chỉ các đối tượng cùng loại. Ví dụ như: Các chữ cái in hoa A, B, C,…để
chỉ các điểm, các chữ cái in thường a, b, c,… để chỉ các đường thẳng.
2.1.2. Kỹ năng tìm lời giải
Tìm tòi lời giải là bước quan trọng nhất trong hoạt động giải toán. Nó
quyết định sự thành công hay không thành công. Điều cơ bản của bước này là
biết định hướng đúng để tìm ra được nhanh chóng hướng giải bài toán. Không
có một thuật toán nào để giải mọi bài toán cả. Để tìm được lời giải sau khi đã
hiểu kĩ đề bài, sinh viên có thể nghĩ đến các bài toán liên quan, có thể vẽ thêm
hình, có thể mò mẫm dự đoán bằng cách xét trường hợp tương tự, đặc biệt, hoặc
có thể phân tích, biến đối bài toán về những bài toán đơn giản hơn,…
2.1.2.1. Nghĩ đến những bài toán liên quan
Bài toán liên quan có thể là bài toán tương tự hoặc gần giống với bài toán
cần giải, hoặc bài toán tổng quát hơn bài toán đã cho, hoặc là trường hợp đặc
biệt của bài toán đã cho,… Thực tế khó mà đặt ra được một bài toán hoàn toàn
mới, không giống hay không liên quan một chút nào đến các bài toán đã có.
Cũng có thể có rất nhiều bài toán liên quan đến bài toán đang xét, ta cần phải lựa
chọn bài toán hợp lí nhất. Nghĩ đến bài toán liên quan để tìm cách sử dụng kết
=
+
.
OI AB CD
Chứng minh bài toán liên quan:
A
D
O
B
I
C
Theo giả thiết ta có AB //CD // OI và IB + IC = BC
IC
OI
=
AB BC (*)
Áp dụng định lí Ta-lét ta có
OI = IB (**)
CD BC
Cộng vế với vế các đẳng thức (*) và (**) ta có:
OI OI
IC IB
1 IC + IB BC
1
+
+
OM AB CD
Lời giải: Áp dụng bài toán liên quan ta có
,
1 = 1 + 1
ON AB CD
suy ra
1
1
=
⇒ OM = ON . Hay O là trung điểm của MN.
OM ON
2.1.2.2. Tìm cách vẽ thêm các phần tử phụ
Nhiều bài toán phải vẽ thêm hình phụ để tìm thêm các mối quan hệ mới
giữa yếu tố đã biết với yếu tố cần tìm, từ đó bài toán mới được giải quyết. Đồng
thời mỗi cách vẽ hình phụ lại cho ta một cách giả bài toán. Chẳng hạn:
Ví dụ 2: Cho ∆ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC. Kẻ
·
·
·
đường cao AH, bán kính OA. Chứng minh OAH
= ACB
- ABC
.
·
·
·
·
minh
được
bài
toán.
Vẫn áp dụng tính chất góc ngoài tam giác nhưng ta có thể vẽ hình phụ
theo cách khác. Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại A cắt BC ở D . Ta có
·
·
ABC
= CAD
» ), OAH
·
·
(Cùng chắn AC
(góc có các cặp cạnh tương ứng
= ADC
vuông góc). Từ đó ta chứng minh được bài toán.
22
Ngoài cách đi vẽ hình phụ để áp dụng tích chất của góc ngoài tam giác, ta
·
(góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc), ABC
(2) (so le trong). Để
· Ax = ACB
·
chứng minh được bài toán ta chỉ cần chứng minh B
, điều này là rõ
ràng.
23
2.1.2.3. Tìm tòi theo sơ đồ “phân tích đi lên” hoặc sơ đồ “phân tích đi xuống”
• Phân tích đi lên: Giả sử ta cần chứng minh mệnh đề A, ta nhận thấy
mệnh đề A sẽ chứng minh được nếu A1 đúng, mệnh đề A1 đúng nếu mệnh đề A2
đúng, … nghĩa là ta có sơ đồ sau: A ⇐ A1 ⇐ A 2 ⇐ ... ⇐ A n −1 ⇐ A n .
Theo sơ đồ này, để chứng minh mệnh đề A đúng, ta chỉ cần chứng minh
mệnh đề An đúng. Nếu An là mệnh đề sai thì không có cơ sở để kết luận A là
đúng (hay là sai).
• Phân tích đi xuống: Giả sử ta cần chứng minh mệnh đề A, ta nhận thấy
rằng A đúng thì mệnh đề A1 đúng, mệnh đề A1 đúng thì mệnh đề A2 đúng, …,
nghĩa là ta có sơ đồ sau: A ⇒ A1 ⇒ A 2 ⇒ ... ⇒ A n −1 ⇒ A n .
Theo sơ đồ trên ta thấy rằng nếu A n là mệnh đề đúng chưa thể kết luận
được gì về A. Tuy nhiên sơ đồ đó cho ta một dự đoán là có thể chứng minh được
sơ đồ sau: A n ⇒ A n−1... ⇒ A 2 ⇒ A1 ⇒ A . Khi đó nếu mệnh đề An là đúng thì mệnh
đề A được chứng minh.
Chú ý trong sơ đồ trên, nếu “An là mệnh đề sai” thì kết luận “A là mệnh
đề sai”.
Đối với mỗi sinh viên, sau này các em là những giáo viên tương lai nên
việc áp dụng tìm tòi lời giải theo sơ đồ phân tích đi lên hoặc đi xuống là không
AD AB
AD AB
⇒
=
=
và chứng minh sơ đồ sau:
BD BE
BD BE
·
·
⇒ DB là tia phân giác của ·ADE .
∆ADB : ∆EDB ⇒ ADB
= BDE
·
·
DBA
= BEC
Lời giải: Ta có ∆ADB : ∆CBE ⇒ AD CB
=
DB BE
Mà AB=BC nên
AD AB
·
·
⇒ ∆BDE : ∆CBE (c − g − c)
đến suy luận để giảm phép thử. Các em thường không biết nhận xét khi thử,
không suy luận khi thử, cũng không xét đến các trường hợp đặc biệt, trường hợp
tương tự hay tổng quát hơn...Chính vì vậy phép thử nhiều mà không đem lại
hiệu quả.
·
Ví dụ 4: Cho góc xOy
= 900 , trên tia Ox lấy điểm A cố định, trên tia Oy
lấy điểm B di động. Đường tròn nội tiếp tam giác OAB tiếp xúc với AB tại M,
OB tại N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Với bài toán này nếu không mò mẫm, chỉ bằng suy luận thiết nghĩ để có
được MN đi qua điểm cố định nào quả thật là bài toán khó.
Cách dự đoán nhờ mò mẫm kết hợp với suy luận:
Trước hết cần phải xác định MN đi qua điểm cố định nào? Không còn
cách nào khác là học sinh phải cho B chuyển động trên hình (lấy điểm B’ khác
26
B). Sau khi lấy thêm điểm B’, ta thấy M’N’ và MN cắt nhau tại điểm H, cho B’
tiếp tục chuyển động (nếu vẽ trên máy tính) hoặc lấy thêm điểm B” để kiểm tra
lại H có phải là điểm cố định hay không.
Ngoài ra nếu vẽ trên máy tính (sử dụng phần mềm hình học Geo Skechpat,
Cabri II,…) có thể không cần lấy điểm B mà cho B chạy, tạo vết cho MN thì ta
có thể dễ dàng xác định được điểm cố định bằng trực quan. Sau khi có được
điểm H ta tiếp tục quan sát tới đặc điểm của điểm H. Bằng quan sát ta có thể
thấy được O, I, H thẳng hàng, suy ra H nằm trên tia OI (tia OI cũng là đường
phân giác của góc
Trở lại đề toán
Copyright: Tài liệu đại học ©