DeThiThu.Net - Thi Th i H c - THPT Qu c Gia - Ti Li u ễn Thi.C p nh t h ng ngy!

DETHITHU.NET | www.dethithu.net

S DNG K NNG NHN LIấN HP
GII PHNG TRèNH Vễ T
www.DeThiThu.Net

Nguyn Vn Cng GV THPT M c A - H Ni
Email :

Trong thi i hc khi B nm 2010 cú cõu gii phng trỡnh vụ t,cõu ny gõy nhiu khú
khn cho hc sinh khi lm bi thi. giỳp hc sinh nm vng cỏch lm dng phng trỡnh
trờn,bi vit ny tụi xin trỡnh by k nng bin i s dng biu thc liờn hp trong gii
phng trỡnh vụ t . Hy vng rng s giỳp ớch cho cỏc em lm tt cỏc dng bi trờn .
ab
a-b
a b=
(a,b>0, a ạ b); 3 a 3 b =
3 2
am b
a m 3 ab + 3 b 2
Vớ d 1 Gii phng trỡnh 3 x + 1 - 6 - x + 3 x 2 - 14 x - 8 = 0 (1) ( Khi B-2010)
Phõn tớch:
1
Ta tỡm mt s x ( - Ê x Ê 6 ) sao cho 3x+1 v 6-x l mt s chớnh phng tha món phng
3
trỡnh trờn .D thy x=5 tha (*).Vỡ vy ta a phng trỡnh trờn v dng (x-5)f(x)=0,nhng nh
lý Bzu ch ỳng i vi f(x) l a thc ,vỡ vy ta cn lm xut nhõn t chung x-5 t v trỏi ca
phng trỡnh bng phng phỏp liờn hp. Mun vy tỡm hai s a , b > 0 sao cho h phng
trỡnh sau cú nghim x=5.

1
Li gii: k x .Vit li phng trỡnh nh sau :
2
2( x - 1)
2
ổ
ử
( 2 x - 1 - 1) + x 2 - 3 x + 2 = 0
+ ( x - 1)( x - 2) = 0 ( x - 1) ỗ
+ x - 2ữ = 0
2x -1 +1
ố 2x -1 + 1
ứ
ộx =1
ờ
2
ờ
www.DeThiThu.Net
+ x - 2 = 0(*)
ờở 2 x - 1 + 1
t t= 2 x - 1 0 , (*) t 2 + 2t - 1 = 0 t = 2 - 1 ị x = -2 - 2 .
Vy nghim ca phng trỡnh l x=1, x = 2 - 2
www.DETHITHU.NET & Nguyn Vn Cng

1

Tham gia ngay! Group: ễN THI H TON - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


DeThiThu.Net - Thi Th i H c - THPT Qu c Gia - Ti Li u ễn Thi.C p nh t h ng ngy!

ở
ờở
ờở
x+6 +3 x-2
2

www.DeThiThu.Net

1 - x 2x + x2
=
(4)
x
1 + x2
1
Phõn tớch: Ta thy phng trỡnh cú nghim x= ,ta phõn tớch nh sau
2
Li gii:
k 0 < x Ê 1 ,(3) (1 + x 2 ) 1 - x = ( 2 x + x 2 ) x x 2 1 - x - x +
Vớ d 4 :Gii phng trỡnh

(



x 2 (1 - 2 x )
1- x + x

+

) (

x
x
ờ

ờ
1
ờở x = 2
Nhn thy (*) vụ nghim vi 0 < x Ê 1 .Vy x =
Vớ d 5:Gii phng trỡnh : 9
Li gii: k x

(

www.DeThiThu.Net
1
l nghim dy nht .
2

)

4 x + 1 - 3x - 2 = x + 3 (5) (HSG k12 H Ni -2010)

2
,Nhn thy x=6 l mt nghim ca phng trỡnh ,ta phõn tớch nh sau
3

27( x - 6) ự
ộ 36( x - 6)
4 x + 1 - 5 + 4 - 3x - 2 ự = x - 6 ờ
ỳ = x-6

ử
Cỏch khỏc : (5) 9 ỗ
ữ = x + 3 9 = 4 x + 1 + 3x - 2
ố 4 x + 1 + 3x - 2 ứ
Bỡnh phng hai v ta cng thu c x=6
(5) 9 ộ
ở

(

) (

Vớ d 6 Gii phng trỡnh :

)

x 2 + 12 + 5 = 3 x + x 2 + 5 (6)

www.DETHITHU.NET & Nguyn Vn Cng

www.DeThiThu.Net
2

Tham gia ngay! Group: ễN THI H TON - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


DeThiThu.Net - Thi Th i H c - THPT Qu c Gia - Ti Li u ễn Thi.C p nh t h ng ngy!

DETHITHU.NET | www.dethithu.net
x 2 + 12 - x 2 + 5 = 3 x - 5 > 0 x >

2
x2 + 5 + 3 ứ
ố x + 12 + 4
x+2
x+2
5
(D dng chng minh c :
- 3 < 0, "x > )
3
x 2 + 12 + 4
x2 + 5 + 3
Vớ d 7. Gii phng trỡnh : 3 x 2 - 1 + x =

x3 - 1 (7)

Li gii : k x 3 2
Nhn thy x=3 l nghim ca phng trỡnh , nờn ta bin i phng trỡnh
3

ộ
ờ
x 2 - 1 - 2 + x - 3 = x 3 - 2 - 5 ( x - 3) ờ1 +
ờở
x+3

Ta chng minh : 1 +
3

(x




2x2 - x -1
3

4 x 4 + 3 2 x 2 ( x + 1) + 3 ( x + 1) 2

=0

www.DeThiThu.Net
www.DETHITHU.NET & Nguyn Vn Cng

3

Tham gia ngay! Group: ễN THI H TON - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!

DETHITHU.NET | www.dethithu.net
é2 x2 - x - 1 = 0
ê
1
1
Ûê
+
= 0(*)
ê 3 (2 x 2 + 1) 2 + 3 (2 x 2 + 1)( x + 2) + 3 ( x + 2)2 3 4 x 4 + 3 2 x 2 ( x + 1) + 3 ( x + 1)2
ë

1
é

(11)

(

)(

)

Lời giải: Đk x ³ -1 . Nhận xét rằng x=0 không là nghiệm của phương trình ,nhân cả hai
vế của phương trình trên với 1 + x - 1 ¹ 0 ta có

(

) (

)

x 1 + x + 2x - 5 = x 1 + x -1 Û 1 + x + 2x - 5 = 1 + x -1 Û x = 2
Nhận xét: Qua lời giải trên cho thấy vai trò và tầm quan trọng của việc sử dụng biểu thức liên hợp
.Bạn hãy giải theo hướng khác để thấy được tầm quan trọng của phương pháp này .
Ví dụ 12 Giải phương trình : 2 x 2 + 3x + 5 + 2 x 2 - 3x + 5 = 3x (12)
Lời giải: Từ vế trái của phương trình dương,suy ra phương trình có nghiệm khi x >0
Nhân cả hai vế của phương trình với
(12) Û 6 x = 3 x

(

2 x 2 + 3x + 5 - 2 x 2 - 3x + 5 ¹ 0

)

2x - 3 + x
2 x - 3 + x úû
2x - 3 + x
ë

Lời giải:Đk x ³

Ví dụ 14: Giải phương trình x + 9 x + 20 = 2 3x + 10
2

Lời Giải: ĐK x ³ -

2 ( 3 x + 10 - 1)( 3 x + 10 + 1)
10
,pt Û ( x + 3)( x + 6 ) =
Û
3
( 3x + 10 + 1)

www.DETHITHU.NET & Nguyễn Văn Cường

4

Tham gia ngay! Group: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!

DETHITHU.NET | www.dethithu.net



0(*)
Hoặc x=-3.Mặt khác x>-3 và -

10
£ x £ -3 phương trình (*) vô nghiệm
3

Ví dụ 15 Giải phương trình 2 x 2 - 11x + 21 = 3 3 4 x - 4
Lời giải: pt tương đương
( x - 3)(2 x - 5) =

3

(

3

(

( 4x - 4) - 2) 3 ( 4x - 4)

x=3 hoặc 2 x - 5 -

(

3

(4x - 4)



12( x - 3)
3

(4x - 4)

+ 2 3 (4x - 4) + 4

2

)

12


x
=0
1+ x +1

www.DeThiThu.Net

x -1
x -1
+
( x + 1 - 2) + (1 - 2 - x )
PT (2) Û ( x - 1) +
= 0 Û ( x - 1) + x + 1 + 2 1 + 2 - x = 0
( 2 + 2 - x )(1 + x + 1)
( 2 + 2 - x )(1 + x + 1)
1
1
+
Û ( x - 1)[1 + x + 1 + 2 1 + 2 - x ] = 0 Û x = 1.Vay PT(1) có 2 nghiem x=0, x=1.
( 2 + 2 - x )(1 + x + 1)
Ví dụ 18:Tìm a để bất phương tình sau có nghiệm x3 + 3 x 2 - 1 = a
Lời giải: Đk x ³ 1 ;(13) Û

(

x3 + 3x 2 - 1
x - x -1

)



x + x -1

)

3

>0, đồng biến trên [1; +¥ )

www.DETHITHU.NET & Nguyễn Văn Cường

5

Tham gia ngay! Group: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Dacebook.com/groups/onthidhtoananhvan


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!

DETHITHU.NET | www.dethithu.net
suy ra hàm f(x) = ( x + 3 x - 1)
3

2

(

x + x -1

)