Hướng dẫn HS lớp 10 ở trường THPT Cây Dương làm tốt bài toán lập PTĐT trong mặt phẳng

MỤC LỤC
Tiêu đề

Trang

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài……............…………………………………….......

2

1.2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu......................................................

3

1.2.1.1. Mục đích ........................................................................................

3

1.2.1.2. Nhiệm vụ nghiên cứu ....................................................................

3

1.3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu....................................

3

1.4. Phương pháp nghiên cứu .....................................................................

3

TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Chương 3 hình học 10 các em học sinh được tìm hiểu về phương pháp tọa
độ trong mặt phẳng. Trong chương này học sinh được trang bị một số kiến thức
cơ bản và các bài tập về lập phương trình một đường thẳng như: Lập phương
trình tham số đường thẳng biết véctơ chỉ phương và một điểm đi qua, lập
phương trình tổng quát của đường thẳng có véctơ pháp tuyến và đi qua một
điểm, lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm….Tuy nhiên
cách trình bày các ví dụ mẫu trong sách giáo khoa chưa rõ ràng nên học sinh khó
nắm được cách giải, dù là các bài tập dễ dàng. Bên cạnh đó, đa số học sinh có
năng lực còn thấp nên khả năng tiếp thu của các em chưa được nhanh nhạy.
Trong các đề thi TN THPT các năm gần đây thường cho các bài toán vận
dụng phương trình đường thẳng trong mặt phẳng, và câu này ở mức độ khó nêu
học sinh gặp nhiều khó khăn, lúng túng do kiến thức học đã lâu; chưa hệ thống
kiến thức, phương pháp làm chưa khoa học nên thường bị bế tắt, mất thời gian
dẫn đến kết quả bài thi không cao.
Hơn nữa, khi học sinh nắm vững kiến thức phương trình đường thẳng
trong mặt phẳng thì đây là kiến thức quan trọng, là nền tảng để các em dễ dàng
tiếp thu, học tập phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng trong
không gian ở chương trình hình học 12, hay các em ôn thi học sinh giỏi hoặc ôn
luyện thi TN THPT sau này.
Với những lí do trên nhằm giúp học sinh không bỡ ngỡ, khắc xâu kiến thức
và làm tốt các bài toán về tìm phương trình đường thẳng trong mặt phẳng nên
tôi chọn đề tài : “Hướng dẫn học sinh lớp 10 ở trường THPT Cây Dương
làm tốt bài toán lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng”.
2


Hướng dẫn HS lớp 10 ở trường THPT Cây Dương làm tốt bài toán lập PTĐT trong mặt phẳng

trong mặt phẳng sẽ là nguồn tư liệu quý để giáo viên và học sinh tham khảo.

3


Hướng dẫn HS lớp 10 ở trường THPT Cây Dương làm tốt bài toán lập PTĐT trong mặt phẳng

PHẦN 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1. Cơ sở lí luận
Để học sinh làm tốt các bài tập lập phương trình đương thẳng trong mặt phẳng
trước hết giáo viên cần trang bị cho hoc sinh của mình các kiến thức cơ bản như
sau:
2.1.1. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của véctơ.
Cho hai điểm

A( x A ; y A ) và B( xB ; y B ) Ta có:

uuu
r
AB = ( xB − x A ; y B − y A )

2.1.2. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm của tam giác.
Cho đoạn thẳng AB có

A( x A ; y A )

và

B ( xB ; y B )


 y = y A + yB + yC
 G
3
2.1.3. Véctơ chỉ phương của đường thẳng.
Véctơ
giá của

r
u

r
u

được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng

song song hoặc trùng với

Chú ý: Nếu

r
u

∆.

là véctơ chỉ phương của

véctơ chỉ phương của đường thẳng

∆



có véctơ chỉ phương

r
u = ( u1; u2 )

với u1

r
n

r
n

được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng

vuông góc với vectơ chỉ phương của
Chú ý: Nếu

thì

u2
.
u1

2.1.5. Véctơ pháp tuyến của đường thẳng.
Véctơ

≠0


∆

có véctơ pháp tuyến là

r
n = ( a; b )

thì có vectơ chỉ

r
phương là u = ( −b; a ) .
2.1.7. Phương trình tham số của đường thẳng.
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng

r
nhận u = ( u1; u2 )
∆

∆ đi qua điểm M ( x0 ; y0 )

và

là vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của đường thẳng

 x = x0 + u1.t
(t ∈ R )
y
=
y
+

Phương trình tổng quát của đường thẳng có véctơ pháp tuyến n = ( a; b )
và đi qua điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng: a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0
Phương trình tổng quát của đường thẳng có hệ số góc k và đi qua điểm

M ( x0 ; y0 ) có dạng: y − y0 = k ( x − x0 )
2.2. Thực trạng của đề tài
2.2.1. Thuận lợi
- Được sự quan tâm, giúp đỡ và chỉ đạo kịp thời của BGH, Công Đoàn và Qúy
lãnh đạo cấp trên, Quý đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi cho bản thân an tâm hoàn
thành công tác.
- Đa số các em học sinh tương đối chăm ngoan, chịu khó học hỏi, có ý thức trong
học tập, biết hợp tác cùng các bạn trong nhóm và giáo viên trong công việc.
- Được dự các buổi hội thảo, chuyên đề về đổi mới phương pháp do tổ, trường tổ
chức giúp chuyên môn bản thân ngày càng nâng cao và vững chắc hơn.
2.2.2. Khó khăn
- Trong sách giáo khoa hình học lớp 10 trình bày các ví dụ mẫu không theo hệ
thống từ dễ đến khó và có ít bài tập mẫu về lập phương trình đường thẳng trong
mặt phẳng nên học sinh gặp nhiều khó khăn khi làm bài.
- Bài tập về lập phương trình đương thẳng trong mặt phẳng đa dạng và khó
nên học sinh thường lúng túng khi gặp những bài toán loại này.
- Đa số học sinh có học lực trung bình và yếu. Khả năng tư duy của các em
còn nhiều hạn chế do đó khi giải bài tập lập phương trình đương thẳng trong mặt
phẳng các em thường không nắm được phương pháp giải.
2.3. Giải pháp thực hiện.
Bản thân tôi đã nghiên cứu chương trình sách giáo khoa và các tài liệu tham
khảo phân tích thành các dạng toán gắn với các phương pháp giải cụ thể. Trong
bài toán lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng thì phương pháp chung
nhất là:
- Xác định tọa độ véctơ chỉ phương hoặc véctơ pháp tuyến của đường thẳng
- Tìm tọa độ điểm mà đường thẳng đó đi qua.

theo dạng:

 x = x0 + u1.t
(t ∈ R, u12 + u22 ≠ 0)

 y = y0 + u2 .t
Lưu ý: Ta cũng có thể thực hiện bước 2 trước rồi đến bước 1.
Ví dụ 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng

r
a) ∆ có véctơ chỉ phương u = ( 3; −2 )

∆

biết rằng:

và đi qua điểm

A(−4;5)

M (−1;2) N (3; −2)
r
c) ∆ có véctơ pháp tuyến n = ( −4;1) và đi qua điểm C (2; −5)
b)

∆

đi qua hai điểm

d)

t
y
=
5
−
2.
t

0
2

Nhận xét: Vì giải thiết của bài toán đã cho đủ các yếu tố điểm mà đường thẳng
đi qua và véctơ chỉ phương nên ta chỉ cần thế toạn độ vào công thức. Thường
thế tọa độ điểm và véctơ theo cột để tránh nhằm lẩn.

7


Hướng dẫn HS lớp 10 ở trường THPT Cây Dương làm tốt bài toán lập PTĐT trong mặt phẳng

b) Vì

∆

uuuu
r
MN = ( 4; −4 )
thẳng qua

M (−1;2) N (3; −2)

Nhận xét: Vì giải thiết của bài toán đã chỉ cho yếu tố điểm mà đường thẳng đi
qua, t ần tìm véctơ chỉ phương của đường thẳng. Vì

∆

đi qua hai điểm M, N

uuuu
r
nên MN là véctơ chỉ phương của ∆ . Khi có đủ các yếu tố ta thực hiện như câu
uuuu
r
trên. Lưu ý ta có thể chọn NM là véctơ chỉ phương của ∆ và viết phương trình
N (3; −2) .
r
có
véctơ
pháp
tuyến
n = ( −4;1)
∆

tham số của đường thẳng qua
c) Vì
của

nên

r
u = ( 1;4 ) là véctơ chỉ phương


0
2

Nhận xét: Vì giải thiết của bài toán đã chỉ cho yếu tố điểm mà đường thẳng đi
qua, ta cần tìm véctơ chỉ phương của đường thẳng.

∆

có véctơ pháp tuyến

nhưng ta cần véctơ chỉ phương để lập phương trình tham số của

r
n

∆ . Do đó ta

phải chuyển véctơ pháp tuyến về véctơ chỉ phương . Khi có đủ các yếu tố ta thực
hiện như câu trên.
d) Vì

∆

có hệ số góc

k = −2 ⇔

Chọn u1 = 1 ⇒ u2 = −2
Phương trình tham số của

=
y
+
u
.
t
y
=
−
3
−
2.
t

0
2

Nhận xét: Vì giải thiết chỉ cho biết điểm mà đường thẳng đi qua, ta cần tìm

véctơ chỉ phương của đường thẳng. Vì
thường chọn u1

= 1 ⇒ u2 = k

∆ có

hệ số góc

u2
(u1 ≠ 0) ta

 x = 8 − 3.t
(t ∈ R )

y
=
2
+
5.
t

Nhận xét: Nếu giả thiết bài toán cho phương trình d:
được véctơ pháp tuyến của d là

ax + by + c = 0

ta có

uur
nd = (a; b) . Thực hiện giải tiếp như ví dụ 1,

câu c).

9


Hướng dẫn HS lớp 10 ở trường THPT Cây Dương làm tốt bài toán lập PTĐT trong mặt phẳng

r
b) Ta có véctơ chỉ phương của d là u = ( −3;5 )
r

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có A(1;4), B ( −2;0), C (2; −6) .
véctơ chỉ phương của

a) Lập phương trình tham số đường trung tuyến AM của tam giác ABC.
b) Lập phương trình tham số đường cao BH của tam giác ABC.
Giải:

a) Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC

10


Hướng dẫn HS lớp 10 ở trường THPT Cây Dương làm tốt bài toán lập PTĐT trong mặt phẳng

xB + xC
(−2) + 2


x
=
x
=
=0
 M
 M
2
2
⇒
Do đó, ta có 
y

BH ⊥ AC

r
u = ( 10;1)

nên

r uuur
n = AC = ( 1; −10 )

là véctơ pháp tuyến của BH.

là véctơ chỉ phương.

Vậy phương trình tham số đường cao BH của tam giác ABC là:

 x = −2 + 10.t
(t ∈ R )

y
=
t

Bài tập làm thêm:
Bài 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng

r
a) ∆ có véctơ chỉ phương u = ( 1;5 )

∆

7.
t


Bài 2: Cho đường thẳng d có phương trình 

Lập phương trình tham số của đường thẳng:
a) Đi qua điểm M(2; -5) và song song với d.
b) Đi qua điểm N(4; 6) và vuông góc với d.
Bài 3: Cho tam giác ABC có

M (−3;2), N (2;1), C ( −2; −5) .

a) Lập phương trình tham số đường trung tuyến MK của tam giác MNP.
11


Hướng dẫn HS lớp 10 ở trường THPT Cây Dương làm tốt bài toán lập PTĐT trong mặt phẳng

b) Lập phương trình tham số đường cao CH của tam giác MNP.
2.3.1.2. DẠNG 2: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng.
Phương pháp giải: Để lập phương trình tổng quát đường thẳng

∆ ta thực hiện

các bước sau:

M ( x0 ; y0 ) ∈ ∆
r
B2: Tìm tọa độ của véctơ pháp tuyến n = ( a; b )


có véctơ pháp tuyến

P(−1;1), Q(4; −3)

C (1;2)

Giải:
a) Đường thẳng

∆ có

có hệ số góc k = 3.

r
n = ( 5; −3) là

A(−4;5) . Vậy phương trình tổng quát

véctơ pháp tuyến và đi qua điểm

của

∆

có dạng:

a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) = 0

⇒ 5( x − (−4)) + 3( y − 5) = 0

Vậy phương trình tổng quát của

∆

có dạng:

a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0

⇒ 5( x − (−1)) + 4( y − 1) = 0
⇔ 5x + 5 + 4 y − 4 = 0
⇔ 5x + 4 y + 1 = 0
Nhận xét: Vì giải thiết của bài toán đã cho đủ các yếu tố điểm mà đường thẳng
đi qua và véctơ pháp tuyến nên ta chỉ cần thế toạn độ vào công thức. Ta có thể
viết phương trình đường thẳng

∆ đi qua điểm Q(4; -3).

c) Phương trình tổng quát của đường thẳng có hệ số góc k= 3 và đi qua điểm

C ( 1;2 ) có dạng: y − y0 = k ( x − x0 ) ⇒ y − 2 = 3( x − 1) hay 3 x − y − 1 = 0
Ví dụ 5: Cho đường thẳng d có phương trình 7 x − 5 y + 1 = 0
Lập phương trình tổng quát của đường thẳng:
a) Đi qua điểm M(-2; 3) và song song với d.
b) Đi qua điểm N(4; -6) và vuông góc với d.
Giải:

a) Ta có: véctơ pháp tuyến
Vì

∆ song song với d nên

ta dễ dàng

uur
nd = (a; b) . Thực hiện giải tiếp như ví dụ

4, câu a). Nếu bài toán cho phương trình đường thẳng d ở dạng tham số thì ta

uur

phải chuyển ud

= (u1; u2 )

về véctơ pháp tuyến và thực hiện giống như trên.

uur
b) Ta có véctơ pháp tuyến của d là nd = ( 7; −5 )
uur
Vì ∆ vuông góc với d suy ra nd = ( 7; −5 ) là véctơ chỉ phương
uur
Nên véctơ pháp tuyến của ∆ là: n∆ = ( 5;7 )
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng

∆

của

∆.

đi qua N(4; -6) là:

(−5) + 7


x
=
x
=
=1
 M
 M
2
2
⇒
Do đó, ta có 
vậy M(1; 3)
y
+
y
2
+
4
C
y = B
 yM =
=3
M


2
2


b) Đi qua hai điểm
c) Đi qua điểm

P(−7;3), Q (−5;2)

C (−3;8)

có hệ số góc k = -7.

Bài 2: Cho đường thẳng d có phương trình −3 x + 2 y + 1 = 0
Lập phương trình tổng quát của đường thẳng:
a) Đi qua điểm M(5; -3) và song song với d.
b) Đi qua điểm N(-2; 9) và vuông góc với d.
Bài 3: Cho tam giác ABC có

A(7; −1), B(−3;2), C (4; −5) .

a) Lập phương tổng quát đường trung tuyến AM của tam giác ABC.
b) Lập phương trình tổng quát đường cao CH của tam giác ABC.
15


Hướng dẫn HS lớp 10 ở trường THPT Cây Dương làm tốt bài toán lập PTĐT trong mặt phẳng

2.3.2. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Trong quá trình dạy lớp 10A6, 10A7 (2015 - 2016) tôi đã đưa ra phương
pháp giải các dạng bài tập về lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng, lấy
ví dụ minh họa cho từng dạng, cho các em lên bảng làm, để từ đó các em rút ra
kinh nghiệm cho bản thân mình.

khó, nên phân loại cho học sinh dễ học, nên để học sinh lên bảng làm bài để kịp
thời phát hiện những sai lầm, hướng giải sai lệch và giúp các em khác xâu kiến
thức hơn.
3.2. Kiến nghị.
3.2.1. Sở Giáo dục và Đào tạo
16


Hướng dẫn HS lớp 10 ở trường THPT Cây Dương làm tốt bài toán lập PTĐT trong mặt phẳng

- Kính mong Sở GD & ĐT mở thêm nhiều lớp tập huấn đổi mới cho giáo
viên giúp bản thân giáo viên được tiếp cận, trao đổi chuyên môn nhiều hơn.
- Cần công khai các sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cao trên mạng internet để
giáo viên và học sinh tất cả các trường trong tỉnh và ngoài tỉnh áp dụng vào thực
tiễn và học hỏi cách viết một đề tài sáng kiến kinh nghiệm.
3.2.2. BGH trường
- Trong các buổi họp, hội thảo nên trao đổi về các bài học khó để tìm ra cách
giảng dạy hay nhất và đạt hiệu quả cao và chỉ ra những cách giảng dạy chưa
được.
- Mở rộng phạm vi áp dụng đề tài trong nhà trường phổ thông.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi đúc rút được trong quá trình
giảng dạy, chắc chắn còn mang tính chủ quan của bản thân, và sẽ không tránh
khỏi nhiều sai sót, các vấn đề tôi nêu ra rất mong được sự góp ý của các thầy
cô giáo, các bạn đồng nghiệp và đặc biệt từ phía các em học sinh.
Duyệt của BGH

Phụng Hiệp, ngày 15 tháng 10 năm 2016
Người thực hiện

Trương Văn Toản

...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................

Xếp loại:

19