SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN LOẠI VÀ GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC

Người thực hiện: Lê Thị Hiền
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2015


MỤC LỤC

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Lời mở đầu
Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Đối tượng và thời gian nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Cơ sở lí thuyết
Các dạng bài tập cơ bản
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
Kết quả
Kiến nghị

Trang
1

sinh không bị thụ động vì sự đa dạng của bài toán. Từ đó, tôi đã lựa chọn nghiên
cứu đề tài "Hướng dẫn học sinh phân loại và giải một số bài toán về Số phức"
với mong muốn giúp học sinh của mình thấy dễ dàng hơn khi học phần Số phức
và có thêm tài liệu trong quá trình ôn thi kì thi THPT quốc gia. Với kinh
nghiệm, năng lực và thời gian nghiên cứu có hạn, tôi mong được sự góp ý của
đồng nghiệp và hội đồng khoa học để đề tài hoàn thiện hơn.
II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
1. Thực trạng
Trên thực tế đã có rất nhiều năm trong các kì thi vào đại học cao đẳng, các
kì thi tốt nghiệp THPT đều có các bài toán về số phức trong bài thi. Tuy nhiên
sau nhiều năm trực tiếp tham gia giảng dạy môn Toán lớp 12 ở trường THPT
Triệu Sơn 2, tôi nhận thấy trình độ nhận thức, kĩ năng thực hành, phương pháp
tư duy,...của một số học sinh về các bài toán về số phức còn yếu, do một số
nguyên nhân sau:
- Học sinh nắm kiến thức cơ bản không vững, chưa chủ động học tập một cách
tích cực, ngại phát hiện và giải quyết những vấn đề mới dựa trên nền tảng kiến
thức cũ.
- Thời lượng dành cho nội dung số phức còn ít và lại xếp vào cuối chương trình
Giải tích 12.
- Số phức là một mảng kiến thức mới được đưa vào chương trình phổ thông nên
tài liệu tham khảo còn ít.
2. Hiệu quả vấn đề


Các dạng toán này đã được tôi áp dụng giảng dạy cho học sinh ở trường
THPT Triệu Sơn 2. Tôi đã áp dụng giảng dạy cho học sinh và khi các em gặp
các bài toán dạng này thì các em giải rất nhanh và thường đạt kết quả tốt.
III. ĐỐI TƯỢNG VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU
1. Đối tượng nghiên cứu
- Chỉ chủ yếu đề cập đến phương pháp giải một số bài toán về số phức và một

Hai số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) , z ' = a '+ b ' i

( a ', b ' ∈ ¡ )

gọi là bằng nhau nếu: a = a ', b = b ' . Khi đó ta viết z = z ' .
3. Biểu diễn hình học số phức
Một số phức z = a + bi được biểu diễn hình học bởi điểm M(a; b) trên mặt
phẳng Oxy. Ngược lại mỗi điểm M(a; b) biểu diễn một số phức z = a + bi.
Gốc toạ độ O: biểu diễn số 0
Trục Ox : Trục thực
Trục Oy : Trục ảo.
uuuur
4. Môđun của số phức: Độ dài của vectơ OM được gọi là môđun của số phức z
và kí hiệu z .
5. Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + bi . Ta gọi a - bi là số phức liên hợp
của z và kí hiệu z = a − bi .
6. Phép cộng số phức: Tổng của hai số phức z = a + bi và z ' = a '+ b ' i
(a, b, a ', b ' ∈ ¡ ) là số phức z + z ' = a + a '+ (b + b ')i .
7. Phép trừ số phức: Hiệu của hai số phức z = a + bi và z ' = a '+ b ' i
(a, b, a ', b ' ∈ ¡ ) là tổng của z với -z', tức là z − z ' = a − a '+ (b − b ')i .
8. Phép nhân số phức: Tích của hai số phức z = a + bi và z ' = a '+ b ' i
(a, b, a ', b ' ∈ ¡ ) là số phức z.z ' = aa '− bb '+ (ab '+ a ' b)i .
9. Tổng và tích của hai số phức liên hợp: Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) .
Ta có
z + z = 2a
2.
z. z = a 2 + b 2 = z
z ' z '.z
z
≠

của số phức z.
n
n
15. Công thức Moa-vrơ: [r (cos ϕ + i sin ϕ )] = r (cos nϕ + i sin nϕ ) .
n
Khi r = 1, ta có: (cos ϕ + i sin ϕ ) = cos nϕ + i sin nϕ .
* Nếu ∆ = 0 thì (1) có nghiệm kép: z1 = z2 = −

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
1. Giải phương trình trên tập số phức
1.1. Phương trình bậc nhất, bậc hai và phương trình quy về bậc hai
Bài 1: (Trích đề thi Đại học khối D năm 2012) Giải phương trình sau trên tập
2
số phức z + 3(1 + i ) z + 5i = 0 .
(1)
2
Giải: Ta có ∆ = [ 3(1 + i ) ] − 4.5i = −2i = 1 − 2i + i 2 = (1 − i ) 2 .
−3(1 + i ) − (1 − i )

= −2 − i
 z1 =
2
(1) ⇔ 
 z = −3(1 + i) + (1 − i ) = −1 − 2i
 2
2
Đáp số: z1 = -2 - i, z2 = -1 - 2i.
Bài 2: (Trích đề thi Cao đẳng khối A,B, D năm 2012) Cho số phức z thoả mãn
2−i
= ( 3 − i ) z (1)

4 + 3i − (2 − i )

z
=
= 1 + 2i (t/m)

2
Do đó: (2) ⇔ 
 z = 4 + 3i + (2 − i ) = 3 + i (t/m)

2
Đáp số: z = 1 + 2i và z = 3 + i .
2
2
Bài 4: Giải phương trình sau trên tập số phức ( 9 z 2 + 11) + 16 ( 3 z + 2 ) = 0.
2

2

Giải: ( 9 z 2 + 11) + 16 ( 3 z + 2 ) = 0 ⇔ ( 9 z 2 + 11) +  4 ( 3 z + 2 ) i  = 0
⇔ 9 z 2 + 11 + 4 ( 3 z + 2 ) i  9 z 2 + 11 − 4 ( 3 z + 2 ) i  = 0
2

2

2

2

⇔ ( 9 z 2 + 12iz + 11 + 8i ) ( 9 z 2 − 12iz + 11 − 8i ) = 0

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ≠ 0 .
 z1 + z2 = m + 4i
Khi đó theo định lí Vi-et ta có 
.
z
z
=
−
1
+
7
i
 1 2
2

z1 z2 3 + i
z12 + z22 3 + i
(z +z )
3+i
+ =
⇔
=
⇔ 1 2 −2=
Mặt khác:
z2 z1
2
z1 z2
2
z1 z2
2

=
−
3
−
8
i


Vậy m = 3; m = −3 − 8i.
=

trình


Chú ý: Bài này học sinh thường giải thiếu nghiệm m = −3 − 8i vì xem m là số
thực.
Bài 6: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
2
a) ( z 2 + z ) + 4 ( z 2 + z ) − 12 = 0 .
b)

( z + 3 − i)

2

− 6 ( z + 3 − i ) + 13 = 0 .

2

 iz + 3 

z2
4
3
Bài 7: Giải phương trình: z − z + + z + 1 = 0 trên tập số phức.
2
Giải: Dễ thấy z = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho nên chia cả
hai vế của phương trình cho z 2 ta được
2
1 1 1
1
1


2
z − z + + + 2 = 0 ⇔ 2  z − ÷ − 2  z − ÷+ 5 = 0
2 z z
z
z


1
1 ± 3i
Đặt t = z − ta được phương trình 2t 2 − 2t + 5 = 0 ⇔ t =
.
z
2
1 − 3i
1 1 − 3i
1+ i
⇔z− =


1
15
1
15
Đáp số: z1 = − −
i; z 2 = − +
i; z3 = 1 − 3i; z4 = 1 + 3i.
2
2
2
2
2
Bài 9: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: ( z − z ) ( z + 3) ( z + 2 ) = 10
4
Hướng dẫn: Chia cả hai vế của phương trình cho z 2 rồi đặt t = z + .
z
1
15
1
15
Đáp số: z1 = − −
i; z 2 = − +
i; z3 = 1 − 3i; z4 = 1 + 3i.
2
2
2
2
Bài 10: Giải phương trình sau trên tập số phức:
z 3 − ( 3 − i ) z 2 − ( 2 − i ) z + 16 − 2i = 0 (1)

+
8
−
i
=
0
⇔


(
) ( )
Do đó (1)
 2

 z − ( 5 − i ) z + 8 − i = 0 (2)
2
Phương trình (2) có ∆ = ( 5 − i ) − 4(8 − i) = −8 − 6i = 1 − 6i + 9i 2 = (1 − 3i ) 2
Do đó (2) ⇔ z = 2 + i, z = 3 − 2i.
Đáp số: phương trình (1) có 3 nghiệm z = −2, z = 2 + i, z = 3 − 2i.
1.2 Tìm số phức z bằng cách giả sử z = a + bi
Bài toán: Tìm số phức z thỏa mãn phương trình (1).
Ta thường thực hiện theo các bước:
Bước 1: Giả sử z = a + bi (a, b∈ ¡ )
Bước 2: Thay z = a + bi vào phương trình (1) và sử dụng định nghĩa hai số phức
bằng nhau để lập một hệ phương trình từ đó có thể tìm ra a, b.
Bước 3: Kết luận.
Bài 1: (Trích đề thi Đại học khối D năm 2011) Tìm số phức z , biết
z − ( 2 + 3i ) z = 1 − 9i .
Giải: Giả sử z = a + bi (a, b∈ ¡ ). Ta có
a + bi − ( 2 + 3i ) (a − bi ) = 1 − 9i ⇔ − a − 3b + (−3a + 3b)i = 1 − 9i

z
Giải: ĐK: z ≠ 0. Giả sử z = a + bi (a, b∈ ¡ , a 2 + b 2 > 0 )
 a ( a 2 + b 2 + 25 )
= 8 (2)

a ( a 2 + b 2 + 25 ) b ( a 2 + b 2 + 25 )

a 2 + b2
(1) ⇔
−
i = 8 − 6i ⇔ 
2
2
a 2 + b2
a 2 + b2
 b ( a + b + 25 )
= 6 (3)

a 2 + b2
a 3
3
= ⇒ a = b Thay vào (2) ta được
b 4
4
 a = 0 ⇒ b = 0 (l)
a ( a 2 − 8a + 16 ) = 0 ⇔ 
 a = 4 ⇒ b = 3 (t/m)
Vậy số phức cần tìm là: z = 4 + 3i.
iz − (1 + 3i) z
2

z 2 − 2(1 + i ) z + 2i = 0 .
1
Tìm phần thực và phần ảo của số phức .
z
1 1 1
2
Giải: z − 2(1 + i ) z + 2i = 0 ⇔ z = 1 + i . Ta có = − i
z 2 2
1
1
1
Vậy số phức có phần thực là và phần ảo là − .
z
2
2
Bài 2: (Trích đề thi Đại học khối D năm 2012) Cho số phức z thoả mãn
2 ( 1 + 2i )
= 7 + 8i . Tìm môđun của số phức w = z + 1 + i .
( 2 + i) z +
1+ i
Đáp số: z = 3 + 2i, w = 4 + 3i, w = 5 .
Bài 3: (Trích đề thi Cao đẳng năm 2012) Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của
phương trình z 2 − 2 z + 1 + 2i = 0 . Tính z1 + z2 .
z = i
2
Giải: Ta có z − 2 z + 1 + 2i = 0 ⇔ 
z = 2 − i
Vậy z1 + z2 = 1 + 5 .
Bài 4: (Trích đề thi Đại học khối A năm 2012) Cho số phức z thoả mãn
5( z + i )


Đáp số: z = 5 − 2i nên phần ảo là − 2 .
Bài 9: (Trích đề thi Đại học khối A năm 2010) Cho số phức z thoả mãn

( 1 − 3i )
z=

3

. Tìm môđun của số phức z + iz .

1− i
Đáp số: z = -4 + 4i, z + iz = −8 − 8i ⇒ z + iz = 8 2 .
Bài 10:(Trích đề thi Đại học khối A năm 2009) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức
2
2
của phương trình z 2 + 2 z + 10 = 0. Tính giá trị của biểu thức A = z1 + z2 .
2

2

Đáp số: A = z1 + z2 = 20 .
Bài 11: (Trích đề thi Cao đẳng năm 2009) Cho số phức z thỏa mãn
(1 + i ) 2 (2 − i) z = 8 + i + (1 + 2i ) z.
Tìm phần thực và phần ảo của z.
Đáp số: z có phần thực là 2 và phần ảo là −3 .
α
Bài 12: Cho α , β là hai số phức liên hợp thoả mãn
là số thực và
β2

3. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức
Bài toán: Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả
mãn điều kiện cho trước.
Cách giải: Giả sử z = x + yi, x, y ∈ ¡ .
Từ điều kiện của bài toán, tìm mối quan hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp các
số phức z thoả mãn điều kiện của bài toán.
3.1. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là một đường thẳng
Bài 1: Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z
thoả mãn điều kiện sau z + i = z − 2 .
Giải: Giả sử z = x + yi, x, y ∈ ¡ .
Theo bài ra z + i = z − 2 ⇔ x + yi + i = x + yi − 2 ⇔ x + ( y + 1)i = x − 2 + yi


x 2 + ( y + 1) 2 =

( x − 2)

2

+ y 2 ⇔ 4 x + 2 y − 3 = 0.

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán là
đường thẳng có phương trình 4 x + 2 y − 3 = 0 .
Bài 2: Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z
z+i
= 1.
thoả mãn từng điều kiện
z+2
Đáp số: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán là
đường thẳng có phương trình 4 x − 2 y + 3 = 0 .

a) z − 1 + 3i = 5
b) (2 − z )(i + z ) là số ảo
Đáp số: a) Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán
là đường tròn tâm I(1; -3) bán kính R = 5.
b) Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán là đường
 1
5
tròn tâm I  1; ÷ bán kính R =
.
 2
2
3.3. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là một hình tròn
Bài 1: Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z
thoả mãn từng điều kiện sau


a) z − 1 + i ≤ 2
b) z + 3 − 2i < 2
Đáp số:
a) Giả sử z = x + yi, x, y ∈ ¡ . Theo bài ra
z − 1 + i ≤ 2 ⇔ x + yi − 1 + i ≤ 2 ⇔ x − 1 + ( y + 1)i ≤ 2
⇔

( x − 1)

2

+ ( y + 1) 2 ≤ 2 ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) 2 ≤ 4.
2


trước.
Cách giải:
Bước 1: Tìm tập hợp A các điểm biểu diễn của z thoả mãn điều kiện cho trước.
Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm M ∈ ( A) sao cho khoảng cách OM
lớn nhất hoặc nhỏ nhất (với O là gốc tọa độ).
4.1. Tập hợp A là một đường thẳng
Chú ý: Trong trường hợp này bài toán thường chỉ yêu cầu tìm số phức có
môđun nhỏ nhất do đó ta cần tìm điểm M ∈ ( A) sao cho đoạn OM ngắn nhất.
Ta có các cách để tìm điểm M:


Cách 1: M là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng biểu thị tập A.
Cách 2: Từ phương trình đường thẳng biểu thị tập A rút y theo x (hoặc rút x
theo y) rồi thay vào công thức tính OM và tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc 2
vừa có được.
Bài 1: (Minh họa cho cách 1)
Biết rằng số phức z thoả mãn
u = ( z + 3 − i )( z + 1 + 3i ) là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của môđun của số
phức z.
Giải: Giả sử z = x + yi , x, y ∈ ¡ .Ta có:
u = ( z + 3 − i )( z + 1 + 3i ) = ( x + 3)( x + 1) − ( y − 1)(3 − y ) + [( x + 3)(3 − y ) + ( x + 1)( y − 1)]i
= x − y + 4 + [( x + 3)(3 − y ) + ( x + 1)( y − 1)]i
u là số thực ⇔ x − y + 4 = 0 .
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z để u là số thực là đường thẳng
∆: x − y + 4 = 0.
Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z. Mà z = OM nên z nhỏ nhất ⇔ M là
hình chiếu của O lên đường thẳng ∆ . Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc
với ∆ .
Ta có d: x + y = 0 . Khi đó M= d ∩∆ ⇒ Toạ độ M là nghiệm của hệ phương
x + y = 0

10 

⇔

2

6
1
3
1
3
1
1



= 10  x 2 − x + ÷ = 10  x 2 − 2 x + ÷ = 10  x − ÷ +
≥
, ∀x .
10
10 
10
10 
10  10
10



1
3 1

2
4.2. Tập hợp A là một đường tròn
Chú ý: Trong trường hợp này bài toán thường yêu cầu tìm số phức có môđun
nhỏ nhất và số phức có môđun lớn nhất, do đó ta cần tìm điểm M , N ∈ ( A) sao
cho đoạn OM ngắn nhất và đoạn ON dài nhất. Ta có các cách để tìm các điểm
M, N:
Cách 1: M, N là giao của đường thẳng OI với đường tròn biểu thị tập A (I là
tâm đường tròn biểu thị tập A).
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki.
Cách 3: Lượng giác hóa.
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + 1 + 2i = 1
(1)
Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất.
Giải
Cách 1: Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ )
(1) ⇔ z + 1 + 2i = 1 ⇔ x + yi + 1 + 2i = 1 ⇔ ( x + 1) + ( y + 2)i = 1

⇔ ( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 = 1 ⇔ ( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 = 1 .
Vậy tập hợp các điểm M(x; y) biểu diễn số phức z = x + yi thoả mãn điều kiện
(1) là đường tròn (C) có tâm I (−1; −2) , bán kính R = 1 .
Điểm M(x; y) biểu diễn số phức z có môđun nhỏ nhất ( hoặc môđun lớn
nhất) là một trong các giao điểm của đường thẳng OI với đường tròn (C) sao cho
độ dài đoạn OM nhỏ nhất ( hoặc lớn nhất).
Dễ thấy phương trình đường thẳng OI: y = 2x.
Tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ phương trình:


 
1
2 

+  −2 +
Vậy min z = 5 − 1 ⇔ z = −1 +
÷i
5 
5
1 
2 
max z = 5 + 1 ⇔ z = −1 −
+  −2 −
÷i .
5 
5
Cách 2: Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ )
(1) ⇔ z + 1 + 2i = 1 ⇔ x + yi + 1 + 2i = 1 ⇔ ( x + 1) + ( y + 2)i = 1
2

2

⇔ ( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 = 1 ⇔ ( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 = 1 . (2)
Ta có
2
z = OM 2 = x 2 + y 2 = ( x + 1 − 1) 2 + ( y + 2 − 2) 2 = ( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 − 2( x + 1) − 4( y + 2) + 5
= 6 − 2 [ ( x + 1) + 2( y + 2) ] do (2).
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki ta có
( x + 1) + 2( y + 2) ≤ ( 12 + 22 ) ( x + 1)2 + ( y + 2) 2  = 5 do (2)
⇔ − 5 ≤ ( x + 1) + 2( y + 2) ≤ 5 ⇔ 2 5 ≥ −2 [ ( x + 1) + 2( y + 2) ] ≥ 2 5

⇔ 6 + 2 5 ≥ 6 − 2 [ ( x + 1) + 2( y + 2) ] ≥ 6 − 2 5 ⇔

(

+  −2 −
5

( x + 1) + 2( y + 2) = − 5

Cách 3: Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ )
(1) ⇔ z + 1 + 2i = 1 ⇔ x + yi + 1 + 2i = 1 ⇔ ( x + 1) + ( y + 2)i = 1
⇔ ( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 = 1 ⇔ ( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 = 1 .
 x + 1 = cos t
 x = −1 + cos t
⇔
Đặt 
. Ta có
 y + 2 = sin t
 y = −2 + sin t

)

5 −1

2

2 
÷i
5
2 
÷i .
5

1

2

2

5 +1 ≥ z ≥

(

)

5 −1

π
− t + k 2π , k ∈ ¢ .
2

2

2


sin t = cos α = 5
 x = −1 +
⇒
Khi đó 
1
cos t = sin α =
 y = −2 +



−
1
−

1 
2 
5 
5
⇒
⇒ z = −1 −
+  −2 −
Khi đó 
÷i .
1
2
5
5


cos t = − sin α = −
 y = −2 −
5 
5

z + 2−i
= 2
Bài 2: Biết rằng số phức z thoả mãn
(1)
z +1− i
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của môđun số phức z.


Ta có 1 + z = 2 x + 2, 1 − z = 2 − 2 x
Vậy P = 2 x + 2 + 2 − 2 x với x ∈ [ −1;1] liên tục trên đoạn [ −1;1]


1
1
4
−
, x ∈ ( −1;1) ⇒ P ' = 0 ⇔ x = −
5
2x + 2
2 − 2x
 4
Ta có P (−1) = 6, P  − ÷ = 2 10; P(1) = 2
 5
Vậy: min P = 2 ⇔ x = 1, y = 0 ⇔ z = 1 ,
4
3
4 3
max P = 2 10 ⇔ x = − ; b = ± ⇔ z = − ± i.
5
5
5 5
3
Bài 2: Cho số phức z thoả mãn z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của M = z − z + 2 .
Giải: Giả sử z = x + yi; x, y ∈ ¡
2
2
2

5. Dạng lượng giác của số phức
Chú ý: Cách tìm dạng lượng giác của số phức z ≠ 0 :
1. Tìm r = a 2 + b 2 = OM (M là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z).
a
b
2. Tìm ϕ ( là một acgumen của z); ϕ là số thực sao cho cos ϕ =
và sin ϕ = .
r
r
Và ϕ là số đo của góc lượng giác tia đầu Ox tia cuối OM.
Bài 1: (Trích đề thi Đại học khối B năm 2012) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức
của phương trình z 2 − 2 3iz − 4 = 0 viết dạng lượng giác của z1 và z2 .
π
π
2π
2π 


+ i sin
Đáp số: z1 = 2  cos + i sin ÷, z2 = 2  cos
÷.
3
3
3
3 


Bài 2: Cho số phức z = 1 + 3i Hãy viết dạng lượng giác của số phức z 5 .
Đáp số:
π

3

  π
 π 
3
Đáp số: n = 3 , z = 2 cos  − ÷+ i sin  − ÷ ⇒ z = 8 cos ( −π ) + i sin ( −π ) 
 3 
  3
Bài 4: (Trích đề thi Đại học khối B năm 2011) Tìm phần thực và phần ảo của
3
1+ i 3 
số phức z = 
÷.
1
+
i


Hướng dẫn: Sử dụng dạng lượng giác của số phức ta được
π
π

z = 2 2  cos + i sin ÷ = 2 + 2i .
4
4

Vậy z có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 2.
2
Bài 5: Giải phương trình sau trên tập số phức z + z = −106 + 120i (1)
Giải: Giả sử z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) (r > 0)

  r 
3
2
⇔ ( r − 13) ( r + 13r + 168r + 1612 ) = 0 ⇔ r = 13 do r > 0.
119
119

 2
2
cos 2ϕ = − 169
cos ϕ − sin ϕ = − 169
⇔
Suy ra 
120
sin 2ϕ =
sin ϕ cos ϕ = 60


169
169
5
5


cos
ϕ
=
cos
ϕ
=

cos
=

2

3
a + b2
a 2 + b2
2
a, b > 0
⇔
⇔
Mặt khác 
(2)
b
b
b = a 3
sin π =
 3=
 3
 2
a 2 + b2
a 2 + b2
Từ (1) và (2) suy ra a = 1, b = 3 ⇒ z = 1 + 3i
Bài 7: Cho z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2 − 2 z + 4 = 0.
2010
2010
z1 ) + ( z2 )
(
Tính giá trị của biểu thức A =

2010
 π
 π 
z2 = 1 − i 3 = 2  cos  − ÷+ i sin  − ÷÷⇒ ( z2 )
 3
 3 


 2010π 
 2010π  
2010
= 22010  cos  −
÷+ i sin  −
÷÷ = 2
3 
3 



2010
2010
z1 ) + ( z2 )
(
2.22010
=
= 22009 .
Do đó A =
z1 + z2
4




TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục
2. Bài tập Giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục
3. Giải tích 12 (nâng cao) - Nhà xuất bản giáo dục
4. Bài tập Giải tích 12 (nâng cao) - Nhà xuất bản giáo dục
5. Tạp chí Toán học Tuổi trẻ
6. Bộ đề luyện thi thử đại học môn Toán - Nguyễn Văn Nho, Nguyễn
Văn Thổ - Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội năm 2012.
7. Đề thi đại học - cao đẳng qua các năm.