Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

01. MỞ ĐẦU VỀ LŨY THỪA

.c
fb

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

m
o

1) Khái niệm về Lũy thừa
Lũy thừa với số mũ tự nhiên: a n = a.a.a...a, với n là số tự nhiên.
1
Lũy thừa với số nguyên âm: a − n = n , với n là số tự nhiên.
a

/g

m

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a n = n a m =

( a)
n


 am > bm ⇔ m > 0
Tính chất 3 (so sánh lũy thừa khác cơ số): với a > b > 0 thì  m
m
 a < b ⇔ m < 0
Chú ý:
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

ie

3) Các công thức cơ bản của Lũy thừa
Nhóm công thức 1:
n

Nhóm công thức 2:

m+ n

m n

n

ab = n a . n b ,

m
n

b) a π . 4 a 2 : a 4π
3



=

a 2. .a1,3

= a1,3
a 2
Ví dụ 2: [ĐVH]. Đơn giản các biểu thức :

d) a 2 . .a1,3 : 3 a 3

c

( )

c) a

o

b) a π . 4 a 2 : a 4π

1
a2
= aπ π = a 2 = a
a

iH

2



1

3

h

3

1


→ a = a2 ;

T

( )

c) a

m

a

n

Ví dụ 1: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau :
1
a) a 2 .  
a


https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
a)

a2

(a

− b2

2
2

−b

3

.c
fb
a

c)

a


2 3
3

−b
3

7

d)

2 7
3

(a

+a

3

2

−b

(a

−a

7

+a 3 b 3 +b


a

=

5
3

−b
a

π

)(

− 1 a2
a4

3

3

7
3

2

+b

3


=

2a

π

2

3

2 3

2 7
3

2

−b

3

2 3

3

7
3

+ a3

a
(a − b )
) = ( a − 1)( a + 1) a ( a + 1 + a ) = a
(
a ( a − 1)( a + 1 + a )

2

+ a3

)( a

2

p
u

2 5
3

7
3

2 3

 1π 
π
π 2
a
+


)

(a
b)

+1

m
o

a)

2 5
3

3




 =a

5
3

−b

)


c) C = 4 x 2 3 x

b3 a
a b

( a > 0)

( ab > 0 )

Lời giải:


1
1
31
3
  3  3   1  5


25
10
2
2
 =  2  .2  =  2 .2  = 2 = 2

    

 
1
5


16
+1  2
+1  2


a
=    a 2  a  .a  : a 16 =   a 4  .a  : a 6 =  a 8  : a 16 = 11 = a 4





 


   

a 16








n

b) B = a a a a : a 16


iH

a

iD

3
3
  34

 34

4
4
a
−
b
a
+
b







1
1


1
1
1
1
1 1




1
1
1
1
2
2
2 2



a −b
a2 − b2   4
a
b
a
b
a
b
a
a

1
 





  a2 a4 + b4  a4 + b4  

4
2 4
a 4 + b 4  
a2  a4 + b4 
 a + a b


 




1
1
1


b2  a2 − b2 
b
= 1
=

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

m
o

.c
fb

3
3
3
1 1
1
1
  34
  32
 34

 12
   12

4
4











b) B = 
− ab  = 
= a −b
1
1
1
1
1
1
=



 

a2 − b2
a 2 − b2
 a2 − b2 

 


a 
 +4
 2a 

Lời giải:

/g

a
1


+
1
1
a 2 b2 + 1
 + a  :  a 4 + b 4  = b ab3 =


1
1
2
3
1
1
 ab 

 a 4 + b 4 ab3  a 4 + b 4 
 


=

a2 + 4

p
u

a2 + 4

b) B =

 a2 − 4 
( a2 + 4)
a 
 +4 a
4a 2
 2a 
Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho a, b là các số dương. Rút gọn biểu thức sau :
2
1
 2

 1
 
a
b
a) 3 a + 3 b  a 3 + b 3 − 3 ab 
b)  a 3 + b 3  :  2 + 3 + 3 
b

b
a
b
+
+



a b
1
3 3


 13

a
b
a
b

b)  a + b 3  :  2 + 3 + 3  =  1 1 2
=
= 1
2
2
1
1
b
a
 13


iL

(

a

)

T
s/

(

2

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

23 3 2
.
3 2 3

b3 a
.
a b

Bài 2: [ĐVH]. Có thể kết luận gì về số a trong các trường hợp sau?
1

3

> (2 − a) .
2

3− 2

) (

3+ 2

)

.

1
2

+


3− 2


−1

1

(




−

.

b b

iH

−3
−1
b) ( 2a + 1) > ( 2a + 1) .

a

2

5

f) F =

iD

e) D = 4 3 a8 .

−
−
a) ( a − 1) 3 < ( a − 1) 3 .

c) C = 5 2 3 2 2 .


.
4x + 2

a) Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1.

m
o

 1 
b) Tính tổng S = f 
+
 2011 

 2 
f
 + ... +
 2011 

 2010 
f
.
 2011 

Bài 5: [ĐVH]. So sánh các cặp số sau
5

3

7
và  


π
e)  
6

5

π
và  
5

3

 3
c)  
5

10
4

5
2

 4
và  
7

2

3


7
5

d) 4 13 và

23

Bài 7: [ĐVH]. Tìm x thỏa mãn các phương trình sau?

1
= 
9

x−2

x

x

1
6

−x

3) 81 − 3 x =
3
6)  
2


n

O

x

−x

8
125

u

12 ) . ( 3 ) =

=

ie

(

x +1

2  8 
5)   .  
 9   27 

1
 0, 25 
7)

c

o

iH

a

iD
Thầy Đặng Việt Hùng

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

02. CÔNG THỨC LOGARITH – P1

.c
fb

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

m

(8 2 ) = y ⇔ ( 2 ) = 8 2 = 2 . 2 = ( 2 ) ⇔ y = 7 → log ( 8 2 ) = 7
y

32 = y ⇔
2

y

2

10

5

2

p
u

• log

ro

• log 3 81 = y ⇔ 3y = 81 = 34 ⇔ y = 4 
→ log3 81 = 4

7

3


O

b > c ⇔ a > 1
• Tính đồng biến, nghịch biến của hàm logarith: log a b > log a c ⇔ 
b < c ⇔ 0 < a < 1

3) Các công thức tính của Logarith

( 2)

8

2

= 8...

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) P = log 1

a4 a

b) Q = log

.

a

a a a a.

iH


1
1
a 2 .a 4

=

1 1
+
a2 4

3
a4

= a

=

28 3
−
a 15 4

67
= a 60


→ P = log 1

67
a 60

15
.
8

1

Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:

=

7
a.a 8

67

 1 − 60
67
= log 1   = − .
 a 
60
a

0

1
a.a 2

=

28

a) A = log a a3 a 5 a

c) log 1

a 5 a3 3 a 2

a

a4 a

.c
fb

Lời giải:


a) A = log a a 3 a 5 a = log a  a



1 1 37
 = 3+ + =
2 5 10

1
1
 1+  1 + 1 + 2 3 
3



2 5

m
o

ro

/g

a) log 1 125 = .....................................................
5

b) log

2

64 = ....................................................................

d) log 0,125 2 2 = ..........................................................

e) log 3 3 3 3 3 = ................................................

f) log 7 7 8 7 7 343 = ............................................................

p
u

c) log16 0,125 = ..................................................

(



log3 4

1

ie

Ví dụ 1: [ĐVH]. 2

log 2 3

iL

a

Công thức 2: a loga x = x, ∀x > 0 , (2)
Chứng minh:
Đặt log a x = t ⇒ x = at , ( 2) ⇔ at = at

u

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:

2) 2
4)

log 2

2


T

Công thức 3: log a ( x. y ) = log a x + log a y , (3)
Chứng minh:
 x = a log a x
Áp dụng công thức (2) ta có 

→ x. y = a log a x .a log a y = a loga x + loga y
log a y
 y = a

iD
a

Áp dụng công thức (1) ta được : log a ( x. y ) = log a aloga x + loga y = log a x + log a y ⇒ dpcm
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) log 2 24 = log 2 ( 8.3) = log 2 8 + log 2 3 = log 2 23 + log 2 3 = 3 + log 2 3

3

5
2

32 = log

2

23 + log


c) log 2 8 5 32 = log 2 8 + log

3

−

1
1
3 = log 1 3 + log 1 3 = log 1   + log 1  
 3 
 3 
3
3
3
3

0

3

−3

1
3

3

c

b) log 1 27 3 = log 1 27 + log 1

........................................................................................................................................................................................

b) x = ab3 a 3bc ......................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................

m
o

/g

x
Công thức 4: log a   = log a x − log a y , (4)
 y
Chứng minh:
log x
x a log a x
 x = a a
Áp dụng công thức (2) ta có 

→
= log y = a log a x −log a y
log a y
y
a a
 y = a

ro

x

........................................................................................................................................................................................
a 5bc 3

iL

.........................................................................................................................................................
a 4 abc3
.......................................................................................................................................................................................

2


x2 + 1 
b) y = log 1  log 5

x+3 
5 

x −1
x+5

2

1
x2 − x − 6

x −1
− log 2 x 2 − x − 6
x +1


Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm tập xác định của các hàm số sau :

T

h

Lời giải:
x −1

 x −1
log 1
≥0
 x −1
 −2

 x + 1 ≤ 1
−1 ≤ 0
≤ 0 → x ≥ −1
x −1
 2 x +1


a) y = log 1
. Điều kiện : 
⇔
⇔  x +1
⇔  x +1
2 x+5
 x −1 > 0
 x − 1 > 0  x < −1; x > 1  x < −1; x > 1

3
 3
 x2 + 1

≥1



 x 2 − 5 x − 14
x2 + 1 
x2 + 1
x+3
b) y = log 1  log 5
.
Đ
i
ề
u
ki
ệ
n
:
0
≤
log
≤
1
⇔
⇔
≤0


Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

02. CÔNG THỨC LOGARITH – P2

.c
fb

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

m
o

3) Các công thức về logarith (tiếp theo)
Công thức 5: log a bm = m.log a b , (5)
Chứng minh:

(

Theo công thức (2) ta có b = a loga b ⇒ b m = a loga b



Ví dụ 2: [ĐVH].
−4
1
62.45
1
Ta có 2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 = log 1 62 − log 1 400 + log 1 45 = log 1
= log 1 81 = log 1   = −4.
2 3
3
3
3
3
3
3 20
3
3  3

iL

a

1
50 3
Ví dụ 3: [ĐVH]. log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5
= log 5 25 = 2.
2
2 3
1
3


Đặt log a n b = y ⇒ a n

1
log a b , (6)
n

n

Công thức 6: log a n b =

O

........................................................................................................................................................................................

1
log a b
n

h

Lấy logarith cơ số a cả hai vế ta được : log a a ny = log a b ⇔ ny = log a b ⇒ y =

iD

hay log a n b =

1
log a b ⇒ dpcm
n

11

2

0

1
log 2 16 = 2.4 = 8.
1
22
2
Ví dụ 1: [ĐVH].
1
log 5 2 64 = log 1 64 = log 2 64 = 5.6 = 30.
1
25
5
m
Hệ quả: Từ các công thức (5) và (6) ta có : log an b m = log a b
n
3
1
9
Ví dụ 2: [ĐVH]. log 3 5 4 125 = log 1 ( 53 ) 4 = 4 log5 5 = ; log 2
1
4
53
3
log 2 16 = log 1 16 =


1
1
log 3 + log 1  
81
3
3  

4

.

Hướng dẫn giải:
2

=2

 1
13
13
26
=
log3 3 5 = −2. = − .
1

5
5
 −
2

/g

1
log 3 + log 1  
81
3
3 
log c b
Công thức 7: (Công thức đổi cơ số) log a b =
, (7)
log c a
Chứng minh:

26
5 = 4.
=
−8 + 4 5
2−

(

)

T
s/

Theo công thức (2) ta có b = a loga b ⇒ log c b = log c a loga b = log a b.log c a ⇒ log a b =

log c b
⇒ dpcm
log c a



n

1
1− a

log 3 5 = − 1 =

1
1

a
a
b) Ta có log15 3 = a ⇔ a =
=

→
a
log 3 15 1 + log 3 5
log 3 =
5
1− a


h

T

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho log a b = 3. Tính
b


.

1
1
−
=
 b
 b  log
log b 
 log a 

 a 
 a 

b

1
b − log

a
b

−

log

a

1


iD

1
1
log 3 15
1
1
B = log 25 15 =
= a = a =

→B =
.
log 3 25 2log 3 5 2 1 − a 2 (1 − a )
2 (1 − a )
a

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
=

.c
fb


a log b
log a b − 2
3−2
a

  a 
a2
a
a 2
 a 
a
b
1
1
1
1
b) B = log ab
−
=
−
. = log ab b − log ab a =
a
log b ab log a ab log b a + log b b log a a + log
b

m
o

a


2
2 3 2
b2
2
log a
2
b
b
 b 
a = 2log a b − 1 = 2 3 − 1 .
Cách khác: Ta có B = log ab
= log
= log ab
=
2 

( ab )  a 
a log a ab 1 + log a b
a
1+ 3
Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính giá trị của các biểu thức sau :
1
log 2 3 + 3 log 5 5
 14 − 12 log9 4
log125 8 
log 7 2
1+ log 4 5
a)  81
+ 25
b) 16









=

log2 3+3log5 5

iL

a

T
s/

p
u

ro

/g

1

b) 161+log4 5 + 4 2
= 42(1+log4 5) + 2log2 3+6log5 5 = 16.25 + 3.26 = 592


1
c) C = log 36 2 − log 1 3
2
6

n

O

u

ie

(

h

Hướng dẫn giải:
15.18
1
3
a) A = log 9 15 + log 9 18 − log 9 10 = log 9
= log 9 33 = log 3 33 =
10
2
2
1
 36.45 
2

1

0

c

o

iH

( x = 2011!)

a

iD

Ví dụ 5: [ĐVH]. Hãy tính :
1
1
1
1
a) A =
+
+
+ .......... +
log 2 x log 3 x log 4 x
log 2011 x
b) Chứng minh :
log a b + log a x
+ log ax ( bx ) =

1
1
+
+
+ .......... +
= log x 2 + log x 3 + ... + log x 2011 = log x 1.2.3...2011 = log x 2011!
log 2 x log 3 x log 4 x
log 2011 x

Nếu x = 2011! Thì A= log 2011! ( 2011!) = 1

log a b + log a x
1 + log a x
log a bx log a b + log a x
Ta có log ax bx =
=
⇒ đpcm.
log a ax
1 + log a x

m
o

b) Chứng minh : log ax ( bx ) =

k ( k + 1)
1
1
1
+

s/

Ví dụ 6: [ĐVH]. Chứng minh rằng :
a) Nếu : a 2 + b 2 = c 2 ; a > 0, b > 0, c > 0, c ± b ≠ 1 , thì log c + b a + log c −b a = 2 log c + b a.log c −b a
b) Nếu 0
+
=
⇔ log b y =
log a x log c z log b y
log a x + log c z
2

a + b ln a + ln b
a+b
= 9ab ⇔ 
=
.
 = ab ⇒ ln
3
2
 3 
2

2

iD

d) Nếu : a + b = 7 ab ⇒ ( a + b )
2

h

⇔

iH

log 3 12 1 + log 3 4
x
x
2x

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Do đó : A = log 6 16 =

2 ( 3 − x ) .2 x 12 − 4 x
log 3 24
4log 3 2
=
. Thay từ (*) vào ta có : A=
=
log 3 6 1 + log 3 2
x ( x + 3)
x+3

.c
fb

log 2 5
a

5
=
=
2
log 2 7
2log 2 7 2 ( a − 1)

/g

Vậy : log 49 32 =

ro

Ví dụ 8: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức
a) A = ( log a b + log b a + 2 )( log a b − log ab b ) log b a − 1

p
u

1
b) B = log 2 2 x 2 + ( log 2 x ) x log x ( log2 x +1) + log 22 x 4
2
c) C = log a p + log p a + 2 ( log a p − log ap p ) log a p

Hướng dẫn giải:
2

T
s/




log a p 
 log a p −
 log a p =
1 + log a p 


log p

n

=

( log a p + 1)

O

c) C = log a p + log p a + 2 ( log a p − log ap p ) log a p =

u

ie

iL

a

 log a b + 1  
 log a b + 1  

= 1 + 3log 2 x + ( log 2 x ) + 8 ( log 2 x ) = 9 ( log 2 x ) + 3log 2 x + 1

h

T

Hướng dẫn giải:
a) Từ giả thiết a > 3b > 0; a + 9b = 10ab ⇔ a − 6ab + 9b 2 = 4ab ⇔ ( a − 3b ) = 4ab
2

2

2

1

0

c

b
c
= log 2a .
c
b
−1
2
b
c
b 


Ví dụ 9: [ĐVH]. Chứng minh rằng
1
a) log ( a − 3b ) − log 2 = ( log a + log b ) với : a > 3b > 0; a 2 + 9b 2 = 10ab
2
b) Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :
b
c
+) log 2a = log 2a
c
b
+) log a b.log b c.log c a = 1
c
a
b
+) Trong ba số : log 2a ;log 2b ;log 2c luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
b
c
a
b
c
a

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95

o

b) log 3 8.log 4 81 = ......................................................................
1
.log 25 3 2 = .................................................................
5
Ví dụ 11: [ĐVH]. Cho log a b = 7. Tính
a
a) A = log a b
.
b3

c) log 2

ro

/g

b) B = log b 3 ab 2 .

p
u

a

a

T
s/



logb a

= c logb a ⇒ dpcm

1

2

= 27 2 = 3 3...

ie

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:

= 27log 2

)

− 3log9 36 = ..........................................................................................................

log

3

n

O

u


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

03. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P1

.c
fb

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

I. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

m
o

Các ví dụ giải mẫu:

p
u

ro

/g

Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải phương trình 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 = 5 x + 2.5 x −1 .
Hướng dẫn giải:


1
=
243
Hướng dẫn giải:

3)

x +10
16 x −10

=

x +5
x
0,125.8 −15

x = 2
= 24 x + 4 ⇔ x 2 + 3x − 2 = 4 x + 4 ⇔ x 2 − x − 6 = 0 
→
 x = −3
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 2 và x = –3.
2
2
 x = −1
1
2) 3− x + 4 x =
⇔ 3− x + 4 x = 3−5 ⇔ − x 2 + 4 x = −5 ⇔ 
243
x = 5

 x − 15 ≠ 0
 x ≠ 15

O

u

(1) .

x +10

x +5

4.
3.
1
x + 10
x+5
Do 16 = 2 ; 0,125 = = 2−3 ; 8 = 23 nên ta có (1) ⇔ 2 x −10 = 2−3.2 x −15 ⇔ 4.
= −3 + 3.
8
x − 10
x − 15
x
=
0

4( x + 10)
60
⇔

iD

x

n

(

3) (

2 x +1

x

x

x

3

x

3

=3 2

⇔

4.9x −1


=1 = 
 ⇔ x = 2.
 2

3
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = .
2
x

81x
 81  18.81  9 
= 9.2.4 x ⇔   =
⇔ 
81
16
 4
 2

2x

3

3
9
=  ⇔ x = .
2
2

1


3 3
1)   .   =
⇔  .  =   ⇔   =   
→ x = 3.
3
8
64
3
8
4
   

  
4 4
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
x −1

x −1

a

Hướng dẫn giải:

5 + 2)

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01



x +1
x +1


Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = –2.
Do

5+2

5 − 2 = 1 
→ 5−2=

)

−1

m
o

Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:

(

)

1

x +3 2

)


(

3− 2

)

6

2

3) 5 x − 3x

2

+1

(

= 2 5x

2

−1

− 3x

2

−2

2)

p
u

(

=4

ro


1)  2 2


2
x −1


x



/g


1)  2 2


Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 9.

(

1

3+ 2

)

iL

3+ 2

=

a

(

Do

)

x 2 −5 x

=

(

3+ 2



x2 −5 x

(

=

)

−6

)

x2

O

x2

u

(

3+ 2

ie

( 2) ⇔ (

3


d) 14.7 x + 4.32 x = 19.32 x − 7 x

Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải phương trình
2

−1

− 3x = 3x
2

x +10

2

−1

− 2x

2

+2

b) 2 x

x +5

c) 16 x −10 = 0,125.8 x −15

d)

x +1

3

−4

=8

2x−

8
3

b) 9

x 2 +1

= 32− 4 x

d) ( x 2 − 2 x + 2 )

9 − x2

= 3 x2 − 2 x + 2

1

c) 2 x

x −3

x +1
x

= 2

cos x

+ x2

.c
fb

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA THEO MỘT HÀM SỐ MŨ
Các ví dụ mẫu:

Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải phương trình: 25 x − 30.5 x + 125 = 0
Hướng dẫn giải:

m
o

Phương trình đã cho tương đương: ( 5 x ) − 30.5 x + 125 = 0 .
2

Đặt t = 5 x , điều kiện t > 0.

p
u

ro

+ 15 = 0

iL

1) 5

x

a

T
s/

3x = 1 = 30
2
x = 0
1
⇔
Ta có 3x + 2 + 3− x = 10 ⇔ 9.3x + x = 10 ⇔ 9.( 3x ) − 10.3x + 1 = 0 ⇔  x 1
−2

3
3 = =3
 x = −2

9
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0, x = −2.

Hướng dẫn giải:


( )

( )

n

( )

x

O

( )

+4=0⇔ 5

u

5 x = 1
 x =0
x = 0
− 5 = 0 
→
⇔
⇔
x
x
5
x = 1
5 = 5  x = 1


Đặt 2 x

2

−x

= t (t > 0). . Phương trình trở thành t −

− 12.2 x −1−

x 2 −5

+8 = 0.

1

0

Hướng dẫn giải:

c

x2 −5

o

Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải phương trình 4 x −

t = 4

x = 3
2
t = 2  x − x − 5 = 1
= t (t > 0) ⇒ 
⇒
⇔
x = 9
t = 4  x − x 2 − 5 = 2

4

x 2 −5

.c
fb

Các ví dụ giải mẫu trong video:

Ví dụ: [ĐVH]. Giải phương trình

a) 9 x

2

+1

− 3x

+1



−6=0

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

/g

Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:

1
7)  
8

)

=5

x2 − x

x −1

= 81

x −1

= 16.

( )
3



(

= 19 + 6 10

x2 −6 x +

5
2

x − x2

6) ( x + 2 )

)

x −2

x2 − x −5

= ( x + 2)

=1

x +10

2

(


 9 
Đ/s: x = log 9 

2 2 2 

0

x−

(

Đ/s : x = 13
x −3
x +1

c

1
2

6)

x +17

7
5

o

x+

x+

x+

2 x 2 −1

Đ/s : x =

x −5

7) 3.4 x +1 + 3−1.9 x + 2 = 6.4 x +1 − 2−1.9 x +1
8) 9 x − 2

)

h

4) 32 x −7 = 0.25.128 x −3

=

4 x−2

T

3) 9.22 x = 8. 32 x+1

)

x 2 −3


1
9) 27 x −1 = .81 x + 2
9

=1

x−4
x

4 x −1

x +1

5 x −7

5 x − 3 x3

x 2 −1

)

n

x −3

4)

=1



3) 3 + 2 2

ie

(

5) x 2 − 2 x + 2

2) 2

2 x +3

iL

(

=1
2

− 4 x −1

 2
= 
 3

a

x −3



6 x −10

ro

1) ( 0, 2 )

x − x2

2 x−2

−9 =3

−5

Đ/s: x =

1

3
2
10) 73 x + 9.52 x = 52 x + 9.73 x
Đ/s: x = 0
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

9) 5

x

https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


 3  x 2

2x
x
  = ⇒ x = −1
3
2
3
3

Phương trình đã cho tương đương: 3.   + 7.   − 6 = 0 ⇔
.
x

2
2
3


  = −3 < 0
 2 
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = −1.

Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:

a) Chia cả hai vế của (1) cho 9x ta được

−


iL

 4  x 4
  =
x
x
2x
x
 12 
 16 
4
4
3
3
x =1
→   x
⇔
(1) ⇔ 64 − 84.  + 27.  = 0 ⇔ 27.  − 84.  + 64 = 0 
2
 4  16  4 
x = 2
9
9
3
3
  = =  
9 3
 3 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 và x = 2.
b) Điều kiện: x ≠ 0.


c) 32 x + 4 + 45.6 x − 9.22 x + 2 = 0 ⇔ 81.9 x + 45.6 x − 36.4 x = 0

h

t
1+ 5 
1
 3  1+ 5
 3
Từ đó ta được   =
⇔ t = log 3 
→ x = − = − log1+ 5   .
 
2
2 
t
2
 2
2
2

1

0

c

o


= −1 < 0
 2 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = –2.
d) 3.8x + 4.12 x − 18x − 2.27 x = 0
  3 x 3
.  =
x
x
x
3x
2x
x
2
2
 12   18 
 27 
3
3
3
⇔ 3 + 4.   −   − 2.   = 0 ⇔ 2.   +   − 4.  − 3 = 0 ⇔ 

→ x = 1.
x

8 8
 8 
2
2
2
3


f ( x)

1
t

→ b f ( x) =
Từ đó ta đặt a f ( x ) = t , (t > 0) 
Chú ý:

m
o

Một số cặp a, b liên hợp thường gặp:

(
(

)(
5 + 2 )(

) ( 2 + 3 )( 2 − 3 ) = 1
5 − 2 ) = 1; ( 7 + 4 3 )( 7 − 4 3 ) = 1...

2 +1

2 − 1 = 1;

/g


a)

x

=4

c) ( 5 − 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) = 2 x +3
x

x

2+ 3

(

2+ 3

)

x

2 − 3 =1⇔

)

)

= t , (t > 0) 
→


2+

x

=2+ 3 =

(

) → x = 2.
3) = ( 2 + 3 )
2

2+ 3

(

=2− 3 = 2+

(

3

3

)(

3+ 8

)


)

x

3

3+ 8

) .(
x

3

3− 8

)

x

3+

x

1
= .
t

(

= 3+ 8 ⇔ 3+ 8


=

1

(

3

3+ 8

)

x

x
3

) = (3 − 8 )

−1


→ x = −3.

1

3

x

t = 3 + 8
1
Khi đó ( 2 ) ⇔ t + − 6 = 0 ⇔ t 2 − 6t + 1 = 0 
→
t
t = 3 − 8
Với t = 3 + 8 ⇔

1


→ x = −2.

( 2) .

= 6,

= t ,(t > 0) 
→

x

iH

(

3+ 8

x



−1

Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±2.

b)

=6

x 2 − 2 x −1

T

Với t = 2 −

+ (2 − 3)

x

n

)
3)

x

)

O



ie

(

2− 3

iL

Đặt

) +(

3+ 8

Hướng dẫn giải:

a

Do

2+ 3

3

d) ( 2 + 3 )

T
s/



x

x+ 3

x

 5 − 21 
 5 + 21 
⇔
 + 7.
 = 8,
2 
 2 


x

( 3) .

x

x

m
o

 5 − 21   5 + 21   5 − 21 5 − 21 
 5 − 21 
1

/g

ro

t = 1
1
2
→ 1
Khi đó ( 3) ⇔ + 7t − 8 = 0 ⇔ 7t − 8t + 1 = 0 
t
t =
 7
x

x

p
u

 5 + 21 
Với t = 1 ⇔ 
→ x = 0.
 = 1 

2 
21

T
s/


)

(

)

+ (2 − 3)

x2 − 2 x

x2 − 2 x +1
x2 −2 x −1
4
⇔ 2 − 3 (2 + 3)
+ 2 − 3 (2 − 3)
=4
2− 3

+ (2 − 3)

x2 − 2 x

, (t > 0) 
→(2 − 3)

= 4 ⇔ (2 + 3)

x2 − 2 x

1

2

(
(

1

0

c

o

)

iH

)(

a

(

Ta có u.v = 2 x −1 + 1 . 21− x + 1 = 2 x −1 + 21− x + 2 = u + v

 x2 − 2x = 1
⇔ 2
 x − 2 x = −1
=2− 3


Dạng 3: Phương trình đặt ẩn phụ trực tiếp bằng phép quan sát
8

x2 − 2 x

( 4) .

T

Với phương trình x 2 − 2 x = 1 ⇔ x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ x = 2 ± 2
Với phương trình x 2 − 2 x = −1 ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1.

Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải phương trình:

)
)

x2 − 2 x

n

O


t = 2 + 3
 2+ 3
1
2
Khi đó ( 4 ) ⇔ t + − 4 = 0 ⇔ t − 4t + 1 = 0 
→


8

m
o

2 x −1 + 1 = 2
⇔ x =1
+) Với u = v = 2, ta được:  1− x
2 + 1 = 2
 2 x −1 + 1 = 9
9

+) Với u = 9; v = , ta được:  1− x
9 ⇔ x=4
8
+
=
2
1

8

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x = 1 và x = 4.

ro

/g

Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải phương trình: 22 x − 2 x + 6 = 6

=
−
2(
)


−1 + 21
u =
21 − 1
21 − 1
2
+) Với u + v + 1 = 0 ta được u 2 + u − 5 = 0 ⇔ 
⇔ 2x =
⇔ x = log 2

2
2
−1 − 21
(1)
u =
2


Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 8 và x = log 2

ie

21 − 1
.
2

− 7.2x = 0

h

(

a) 3 + 5

T

Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải phương trình

iD

b) 4lg10 x − 6lg x = 32lg100 x

x2 − 1

x2

x 2 − 2 x +1

10 + 4

x 2 − 2 x −1

=

(


1

(

b) 7 + 5 2

) (
sin x

0

(

7+4 3

c

a)

o

Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải phương trình

iH

( 10 + 3) + ( 10 − 3) =
c) ( 2 + 3 )
+ (2 − 3)

a


.c
fb

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:

c)

x

+ (5 −

) (
x

5 + 21 +

(

e) 2 + 3

24 )

x

x

)


m
o

a) ( 5 +

x

(

= 4 2+ 3

(

4 − 15

) (
x

+

4 + 15

)

x

=8

)


1
x

Bài 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
a) 3

) (
x

5 +1 −

)

x

x

(

+2 7+4 3

)

x

(

−2 2+ 3



a

(

(

h

T
1

0

c

o

iH

a

iD
Thầy Đặng Việt Hùng

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01




ro

(

p
u

(2) thu được là phương trình bậc nhất của x, hoặc phương trình bậc hai có thể giải đơn giản.
Chú ý:
Những dạng phương trình kiểu này chúng ta cố gắng sử dụng tính chất của hàm mũ để biến đổi sao cho c = 1. Khi đó
việc logarith hóa hai vế với c = 1 sẽ cho phương trình thu được đơn giản hơn rất nhiều.
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
b) 5x.3x = 1
Hướng dẫn giải:

c) 73 x + 9.52 x = 52 x + 9.73 x

2

T
s/

a) 3x.2 x+1 = 72

2

2

) = log 1 ⇔ log 5

 x = − log 3 5
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0 và x = –log35.

( )

( )

u

c) 73 x + 9.52 x = 52 x + 9.73 x ⇔ 8.73 x = 8.52 x ⇔ 73 x = 52 x ⇔ lg 73 x = lg 52 x ⇔ 3x.lg 7 − 2 x.lg 5 = 0

O


→ x ( 3lg 7 − 2lg 5 ) = 0 ⇔ x = 0.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0.

= 500,

a) 5

x +1
3
x
5 .2 x

(1) .

= 50



x −3
2 x

2

iD

x +1
.8 x

x

b) 5

2 x −1
.2 x +1

h

= 500

a) 5

x

T

x +1
.8 x

− 1 + ( x − 2 ) log2 5 = 0


x +1


x = 2
x − 2 = 0
(1 + log 2 5)
1
⇔ x − 2 + ( x − 2 )( x + 1) log 2 5 = 0 
→
⇔
x = −
1
+
x
+
1
log
5
=
0
=−
(
)
2

log 2 5
lg 5


(

−5 x + 6

(

)

⇔ log 2 2 x −3 = log 2 5 x

.c
fb

c) 2 x −3 = 5 x

2

1
.
lg 5

−5 x + 6

) ⇔ x −3 = (x

2

)


lg x = 1
 x = 10
= lg (10 x ) ⇔ 2lg x − lg x − 1 = 0 ⇔ 
⇔
( 4 ) ⇔ lg x
1
lg x =
 x = 10

2
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 10 ; x = 10.

)

2

ro

/g

(

2lg x

BÀI TẬP LUYỆN TÂP:

x −1
x

a) 5x.8

u

Bài 1: [ĐVH]. Giải phương trình

c) x log 2 9 = x 2 .3log 2 x − x log2 3

d) x

b) 3log 2 x + x log 2 3 = 63log2 x

d) 4lg(10 x ) − 6lg x = 2.3

2

Bài 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau :

)

+2

(

)

log 3 x 2 −16 + 1

= 24

T


x −1
x

3( x −1)
x

= 53.2 2 ⇔ 2

3( x −1)
x

−2

= 36

= 53 − x ⇔

c) 34 = 43
x

x−3
= ( 3 − x ) log 2 5 ⇔
x

x = 3
 x = − log 5

2

x


Bài 1: [ĐVH]. Giải phương trình
x

2

iH

e) 2 x

c) 2 x.39− x = 8

a

2 x −1

d) 5x.2 x +1 = 50

iD

Bài 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau :
a) 4 x

)

n

(

(

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
x

b) 3x.8 x +1 = 36 ⇔ 3

3x
x+1

3x

−2

= 22.32 ⇔ 3 x +1 = 4 ⇔

 x ≠ −1
2 + log3 4
x−2
= log3 4 ⇔ 
⇒x=
x +1
1 − log3 4
(1 − log3 4 ) x = 2 + log3 4

x

.c
fb


⇔ x2 = 5 → x = 5
2 2
5
=
5
x
=
25
x

 log5 x
5

/g

3− log5 x

d) x
Lời giải:

b) 9.x 9 = x 2 ⇔ Lấy loga cơ số 9 hai vế , ta có phương trình :
x > 0
 x > 0
 x > 0
⇔
⇔
⇔
⇔ x =9>0

2

Đặt : t = log 2 x ⇒ x = 2 ↔ x = 4 . Phương trình :
t

t

t

t

a

3 1
⇔ 3log2 x = x 2 − 1 = 3t = 4t − 1 ⇔   +   − 1 = 0 .
4 4
t

t

3 2
3( log x ) − log x
3


t = log x

2
1
3



iL

3 1
3 3 1 1
Xét hàm số f (t ) =   +   − 1 → f '(t ) =   ln   +   ln   < 0 .
4 4
4 4 4 4
Chứng tỏ hàm số f(t) là một hàm số nghịch biến.
Do f(1) = 0 cho nên với t = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất log 2 x = 1 → x = 2 .

T

b) 3log 2 x + x log 2 3 = 63log2 x

c) 4log2 2 x − x log2 6 = 2.3log2 4 x

d) 4lg(10 x ) − 6lg x = 2.3

)

1

0

0 < x ≠ 1
1
0 < x ≠ 1
0 < x ≠ 1  0 < x ≠ 1

2


iH

a

iD

2

h





0 < x ≠ 1
7

t = log x
−

3
=
10
x
7



⇔ 0 < x ≠ 1 ⇔ log x = −