TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

VI THỊ THÙY

HƢỚNG DẪN GIẢI TOÁN
BẰNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG
CHO HỌC SINH KHÁ - GIỎI LỚP 4

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. LÊ THU PHƢƠNG

HÀ NỘI - 2014


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện khoá luận, ngoài sự cố gắng nỗ lực của bản
thân, tôi còn nhận được sự động viên, hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của
ThS. Lê Thu Phương và những ý kiến đóng góp của thầy cô trong tổ phương
pháp.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến các thầy cô giáo
trong khoa Giáo dục Tiểu học, các thầy, cô giáo trong tổ phương pháp dạy
học Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của ThS. Lê Thu Phương
- giảng viên khoa Giáo dục Tiểu học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã
giúp đỡ tôi hoàn thành khoá luận này.
Do điều kiện thời gian, năng lực còn hạn chế nên khoá luận không
tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý
kiến của các thầy cô và các bạn để khoá luận của tôi được hoàn chỉnh hơn.

CHƢƠNG 1. TÌM HIỂU CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA PHƢƠNG PHÁP GIẢI
TOÁN BẰNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG ................................................................... 4
1.1. Đặc điểm nhận thức của học sinh lớp 4 ...................................................... 4
1.1.1. Tri giác .............................................................................................................. 4
1.1.2. Trí nhớ ............................................................................................................... 4
1.1.3. Chú ý ..................................................................................................................... 5
1.1.4. Tư duy ................................................................................................................... 5
1.1.5. Tưởng tượng ......................................................................................................... 5
1.2. Phương pháp giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng ở Tiểu học .................... 6
1.2.1. Khái niệm.............................................................................................................. 6
1.2.2. Vai trò của việc dạy học toán bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng ....... 6
1.2.3. Thực trạng của việc dạy học “giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng” ở Tiểu học ... 7
CHƢƠNG 2. HƢỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ - GIỎI GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN CỤ THỂ BẰNG PHƢƠNG PHÁP SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG ................. 9
2.1. Nội dung giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng cho học sinh lớp 4............................. 9


2.2. Các bước giải bài toán ............................................................................................. 9
2.3. Các dạng toán cụ thể .............................................................................................11
2.3.1. Dạng toán: “Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó” ..........................11
2.3.2. Dạng toán: “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó” ..........................17
2.3.3. Dạng toán: “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó”...........................26
CHƢƠNG 3. MỘT SỐ GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP NHẰM NÂNG CAO
HIỆU QUẢ BỒI DƢỠNG GIẢI TOÁN BẰNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG CHO
HỌC SINH KHÁ - GIỎI LỚP 4 .............................................................................35
3.1. Bồi dưỡng niềm say mê, hứng thú học Toán ở học sinh ....................................36
3.2. Rèn cho học sinh một số kĩ năng trong việc giải bài toán bằng phương pháp
dùng sơ đồ đoạn thẳng..................................................................................................37
3.2.1. Kĩ năng tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng .............................................38
3.2.2. Kĩ năng dùng sơ đồ đoạn thẳng để lập luận cho bài toán ...............................39

khá - giỏi.

1


Từ những lý do trên cùng với định hướng của ThS. Lê Thu Phương, tôi
chọn đề tài “Hướng dẫn giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng cho học sinh khá giỏi lớp 4” để tìm hiểu và nghiên cứu nhằm nâng cao sự hiểu biết về toán học,
nâng cao khả năng giải các bài toán khó cho học sinh.
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu cách giải ba dạng toán “Tìm hai số khi biết tổng
và hiệu của hai số đó”, “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó”,
“Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó” và hướng dẫn học sinh giải
một số bài toán cơ bản và nâng cao điển hình của ba dạng toán trên, đề tài
nhằm giúp các em học sinh nắm chắc bản chất các dạng toán, nâng cao và
phát huy tính chủ động sáng tạo cho học sinh khá - giỏi lớp 4.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Các bài toán khó ở ba dạng toán “Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của
hai số đó”, “Tìm hai số khi biêt tổng và tỉ số của hai số đó”, “Tìm hai số khi
biết hiệu và tỉ số của hai số đó” bằng sơ đồ đoạn thẳng cho học sinh khá giỏi lớp 4.
4. Phạm vi nghiên cứu
Học sinh khá - giỏi lớp 4.
5. Giả thuyết khoa học
Đề tài thành công sẽ là cơ sở cho giáo viên chủ động trong việc hướng
dẫn bồi dưỡng giải toán cho học sinh khá - giỏi lớp 4, ngoài ra còn giúp cho
học sinh biết cách lập kế hoạch giải các bài toán khó, nâng cao hiệu quả dạy
học và bồi dưỡng học sinh giỏi toán.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu cơ sở lý luận của phương phương pháp giải toán bằng sơ đồ
đoạn thẳng trong chương trình Toán lớp 4.
- Hướng dẫn giải một số bài toán khó ở dạng “Tìm hai số khi biết tổng

1.1. Đặc điểm nhận thức của học sinh lớp 4
Trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh ở tiểu học, môn
Toán đóng vai trò to lớn. Toán học có liên quan chặt chẽ và có ứng dụng rộng
rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của công nghệ, sản xuất và đời sống xã
hội hiện đại. Toán học còn là một công cụ để học tập và nghiên cứu các môn
học khác.
1.1.1. Tri giác
Tri giác là quá trình tâm lí phản ánh một cách trọn vẹn các thuộc tính
của sự vật hiện tượng khi chúng trực tiếp tác động vào các giác quan của ta.
Đối với học sinh lớp 4, tri giác phân tích được hình thành và phát triển
mạnh. Tri giác bắt đầu mang tính xúc cảm, trẻ thích quan sát các sự vật hiện
tượng có màu sắc sặc sỡ, hấp dẫn, tri giác của trẻ đã mang tính mục đích, có
phương hướng rõ ràng - tri giác có chủ định.
1.1.2. Trí nhớ
Trí nhớ là quá trình phản ánh vốn kinh nghiệm của cá nhân dưới hình
thức biểu tượng, bằng cách ghi nhớ, giữ gìn, nhận lại và nhớ lại những điều
mà con người đã trải qua.
Giai đoạn lớp 4, ghi nhớ có ý nghĩa và ghi nhớ từ ngữ được tăng cường.
Ghi nhớ có chủ định đã phát triển. Tuy nhiên, hiệu quả của việc ghi nhớ có chủ
định còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố như mức độ tập trung trí tuệ của các em,
sức hấp dẫn của nội dung tài liệu, yếu tố tâm lí tình cảm hay hứng thú của các
em…

4


1.1.3. Chú ý
Chú ý là sự tập trung của hoạt động tâm lý vào một hoặc một số đối
tượng nào đó, nhằm phản ánh chúng một cách đầy đủ, rõ ràng nhất.
Với học sinh lớp 4, khối lượng chú ý tăng lên, trẻ dần hình thành kĩ

Tưởng tượng sáng tạo bắt đầu được hình thành ở học sinh lớp 4 song
mức độ đầy đủ, sinh động của các hình ảnh tượng tượng chưa cao.
Giáo viên sử dụng các phương pháp và hình thức tổ chức dạy học nhiều
khi chưa phù hợp, chưa thực sự phát triển trí tưởng tượng cho học sinh trong
từng giờ dạy, từng bước lên lớp. Chính vì vậy, khả năng tưởng tượng không
đồng đều ở các học sinh, nhiều em còn gặp khó khăn, lúng túng khi đứng
trước một yêu cầu phải tưởng tượng.
Dựa vào sự phát triển của quá trình nhận thức của học sinh lớp 4, các
nhà giáo dục phải tạo điều kiện phát triển tư duy và trí tưởng tượng cho các
em bằng cách biến các kiến thức “khô khan” thành những hình ảnh có cảm
xúc, đặt ra cho các em những câu hỏi mang tính gợi mở để các em tự giải
quyết vấn đề; từ đó các em có cơ hội phát triển trí thông minh và sức sáng tạo
trong quá trình học tập nói riêng và trong cuộc sống nói chung. “Trí tưởng
tượng quan trọng hơn cả sự hiểu biết” (Albert Einstein).
1.2. Phƣơng pháp giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng ở Tiểu học
1.2.1. Khái niệm
Giải toán bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng là phương pháp dùng
các đoạn thẳng thay cho các số (số đã cho và số phải tìm trong bài toán) để minh
họa các mối quan hệ và sự phụ thuộc giữa các đại lượng trong bài toán. Là cách
lựa chọn độ dài và sắp xếp các đoạn thẳng tạo một hình ảnh cụ thể.
1.2.2. Vai trò của việc dạy học toán bằng phƣơng pháp dùng sơ đồ đoạn
thẳng
Ở lớp 4, cảm giác và tri giác của các em đã đi vào những cái tổng thể,
trọn vẹn của sự vật hiện tượng, đã biết suy luận và phân tích. Nhưng tri giác

6


của các em còn gắn liền với hành động trực quan nhiều hơn, tri giác về không
gian trừu tượng còn hạn chế. Sự phát triển tư duy, tưởng tượng của các em

sinh càng lúng túng trong việc tóm tắt bài toán bằng phương pháp sơ đồ đoạn
thẳng để tìm ra cách giải.
Thực trạng này cho ta thấy việc giảng dạy các bài toán dùng sơ đồ đoạn
thẳng còn nhiều hạn chế. Tuy nhiên, việc mô tả tóm tắt bài toán bằng sơ đồ
đoạn thẳng cũng đòi hỏi người giáo viên phải chuẩn mực, phải hiểu sâu và kĩ,
đồng thời phải sắp xếp các đoạn thẳng đó một cách thích hợp để khi nhìn vào
sơ đồ các em dễ nhận thấy các điều kiện của bài toán, từ đó giúp các em có
kinh nghiệm và biết cách trình bày của mình. Như vậy, hiệu quả của từng
bước mới tăng dần lên được.

8


CHƢƠNG 2
HƢỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ - GIỎI GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
CỤ THỂ BẰNG PHƢƠNG PHÁP SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG
2.1. Nội dung giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng cho học sinh lớp 4
Việc dùng sơ đồ đoạn thẳng để dạy Toán ở lớp 4 được áp dụng cho rất
nhiều dạng bài như:
+ Bài toán có liên quan đến số trung bình cộng;
+ Bài toán hơn kém và chia tỉ lệ;
+ Bài toán so sánh hai phân số;
+ Bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó;
+ Bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó;
+ Bài toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó,…
Trong khóa luận này, tôi xin trình bày ba dạng toán sau:
+ Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó;
+ Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó;
+ Dạng toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó.
2.2. Các bƣớc giải bài toán

vừa giải mà cho một lớp các bài tập tiếp theo. Học sinh có thể khai thác theo
các hướng:
- Tìm cách giải khác cho bài toán;
- Lập bài toán ngược;
- Giải bài toán theo mấy cách;
- Đưa ra bài toán tương tự,
- Nhận xét rút kinh nghiệm tìm ra phương pháp để giải dạng toán này.
Yêu cầu: Phải để học sinh tự nhận xét và rút kinh nghiệm qua mỗi bài
giải cụ thể của các em.

10


2.3. Các dạng toán cụ thể
“Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó”
Bài toán 1: (Sách giáo khoa (SGK) Toán 4, trang 47)
Tìm hai số khi biết tổng hai số bằng 70 và hiệu số là 10.
Giáo viên hướng dẫn giải:
* Bước 1: Tìm hiểu đề toán
- Bài toán cho biết gì? (Tổng hai số là 70, hiệu hai số là 10).
- Bài toán hỏi gì? (Tìm hai số đó).
* Bước 2: Tóm tắt bài toán
?
Số lớn:
10

?

70



Hoặc: 70  40  30
Đáp số: Số lớn: 40
Số bé: 30
Sai lầm học sinh có thể mắc phải:
- Học sinh không biết tóm tắt đề bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng.
- Học sinh sai lầm trong cách tính.
Ví dụ: Không tìm hai lần số bé mà lấy luôn tổng chia 2 để tìm số bé
rồi lại lấy số bé cộng hiệu ra số lớn.
Cách khắc phục:
- Giáo viên phải hướng dẫn học sinh tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng.
- Dựa vào đoạn thẳng, giáo viên hướng dẫn học sinh lập kế hoạch giải
từ đó rút ra quy tắc:
+ Số bé = (Tổng – Hiệu) : 2
+ Số lớn = (Số bé + Hiệu)
Hoặc:
+ Số lớn = (Tổng + Hiệu) : 2
+ Số bé = số lớn – Hiệu

12


Bài toán 2:
Hà và Ngoan có tất cả 120 viên bi. Nếu Hà cho Ngoan 20 viên bi thì
số bi của Ngoan nhiều hơn số bi của Hà là 16 viên. Tìm số bi của mỗi
bạn?
Trong bài này học sinh có thể xác định được ngay tổng số bi nhưng
hiệu số bi của hai bạn thì không cho trực tiếp. Đối với bài này đòi hỏi học
sinh cần phân tích các dữ kiện để chuyển về dạng cơ bản “Tìm hai số khi biết
tổng và hiệu của hai số đó”. Giáo viên cần chú ý cho học sinh hiệu ở đây là

vị, số thứ hai kém số thứ ba 17 đơn vị.
Đối với học sinh khá - giỏi ở mỗi dạng giáo viên cần mở rộng đưa ra
các bài dưới các hình thức khác nhau để rèn cho học sinh tư duy phân tích,
phát triển trí thông minh và sức sáng tạo trong học tập.
Đối với dạng bài “Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó” giáo
viên có thể mở rộng ra trong trường hợp tìm ba số khi biết tổng và hiệu của
từng số.
Bài toán này học sinh dễ ngộ nhận tổng của ba số là 175 và hiệu bằng
(16 + 17). Để tránh sai lầm này giáo viên cần hướng dẫn học sinh vẽ đúng sơ
đồ của bài toán. Qua sơ đồ học sinh có thể dễ dàng tìm ra được cách giải của
bài toán.
Bài giải
Ta có sơ đồ:
?
Số thứ I:
16
Số thứ II:

175
?

16

17

Số thứ III:
?
Số thứ ba hơn số thứ nhất là:
17  16  33 (đơn vị)


Chiều rộng:
?m

56m

Chiều dài:

12m
Chiều rộng hình chữ nhật là:
(56  12) : 2  22

(m)

Chiều dài hình chữ nhật là:
22  12  34 (m)

15


Diện tích của hình chữ nhật là:
2

22  34  748 (m )

Đáp số: 748 m2
Bài toán 5:
Tìm hai số chẵn liên tiếp có tổng là 126?
Đối với bài tập không tường minh như thế này nhiều học sinh sẽ chưa
nhận ngay ra được dạng bài. Giáo viên cần đặt ra câu hỏi gợi ý giúp học sinh
định hướng được hướng làm: “bài cho 2 số chẵn liên tiếp ta sẽ có được điều

2. Hai thùng đựng được tất cả 36 lít nước. Nếu lấy bớt 4 lít ở thùng thứ nhất
đổ sang thùng thứ hai thì thùng thứ hai đựng nhiều hơn thùng thứ nhất 6 lít.
Hỏi lúc đầu mỗi thùng đựng bao nhiêu lít nước?
3. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 360m, chiều rộng bé hơn chiều dài
20m. Tính diện tích thửa ruộng đó?
4. Tổng các chữ số của một số có hai chữ số bằng 11. Nếu thay đổi thứ tự các
chữ số thì số đã cho tăng thêm 27 đơn vị. Tìm số đó?
5. Hai tổ thu gom được 135kg giấy vụn. Biết rằng số giấy vụn tổ I gấp 4 lần
số giấy vụn của tổ II. Hỏi mỗi tổ thu gom được bao nhiêu ki-lô-gam giấy vụn?
2.3.2. Dạng toán: “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó”
Bài toán 1: (xem [5])
Có 12 bạn trong đội văn nghệ của nhà trƣờng trong đó số bạn trai
bằng

1
số bạn gái. Hỏi có bao nhiêu bạn trai? Bao nhiêu bạn gái?
3

* Bước 1: Tìm hiểu đề toán
- Bài toán cho biết điều gì? (Tổng số bạn trong đội văn nghệ là 12).
- Bài toán cho biết thêm gì nữa? (Số bạn trai bằng

1
số bạn gái).
3

- Bài toán hỏi gì? (Hỏi có bao nhiêu trai? Bao nhiêu bạn gái?)
* Bước 2: Tóm tắt bài toán

? bạn

9 bạn gái
* Bước 5: Khai thác bài toán
Giải bài toán bằng cách khác để tìm số bạn gái:
Số bạn trai là:
12 : (3  1)  1  3

(bạn)

Số bạn gái là:
3  3  9 (bạn)

Đáp số: 3 bạn trai
9 bạn gái
Sai lầm học sinh có thể mắc phải:
- Không biểu diễn được sơ đồ đoạn thẳng;
- Không tìm được tổng số phần bằng nhau.

18


Cách khắc phục:
- Giáo viên yêu cầu học sinh đọc kĩ đề bài;
- Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng;
- Dựa vào sơ đồ đoạn thẳng để phân tích bài toán;
- Từ đó rút ra các bước khi giải bài toán “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ
số của hai số đó”:
+ Bước 1: Vẽ sơ đồ
+ Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau
+ Bước 3: Tìm giá trị một phần
Giá trị một phần = Tổng : Tổng số phần bằng nhau.

* Bước 1: Tìm hiểu đề toán
- Bài toán cho biết điều gì? (Tổng số tiền bán vải, nhôm, đồ điện là
865.000 đồng).
- Bài toán còn cho biết thêm gì nữa? (Cho biết tỉ số
bằng

1
số tiền bán vải
3

1
1
số tiền bán nhôm và bằng số tiền bán đồ điện).
2
5

- Ta hiểu tỉ số này như thế nào? (Số tiền vải là ba phần, số tiền nhôm là
hai phần, số tiền đồ điện là năm phần).
* Bước 2: Tóm tắt bài toán
? đồng
Tiền vải:
? đồng

865.000 đồng

Tiền nhôm:
? đồng
Tiền đồ điện:
* Bước 3: Suy nghĩ tìm cách giải