PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong nhà trường phổ thông, người giáo viên không chỉ đơn thuần truyền thụ
kiến thức cho học sinh mà còn phải biết rèn luyện kỹ năng, nâng cao tầm hiểu biết,
phát huy tính sáng tạo linh hoạt cho học sinh thông qua những giờ luyện tập, thực hành
thí nghiệm. Đối với môn toán, việc giải bài tập được xem là một hình thức vận dụng
những kiến thức đã học vào thực tế, vào những trường hợp cụ thể. Bài tập môn toán
không những giúp học sinh củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức, rèn luyện kỹ
năng mà còn là hình thức rất tốt để dẫn dắt học sinh tự mình đi tìm kiến thức mới. Tuy
nhiên, để đạt được hiệu quả như trên, người giáo viên phải biết tổ chức một cách khéo
léo, hợp lí để giúp học sinh nắm kiến thức theo hệ thống từ thấp đến cao, từ dễ đến khó
qua việc sử dụng linh hoạt các phương pháp dạy học tích cực.
Là một giáo viên dạy toán trong tương lai, thấy được tác dụng tích cực của việc
dạy học giải bài tập toán nên em quyết định nghiên cứu đề tài: “Phát triển tư duy sáng
tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải bài tập toán”. Đồng thời, qua đó giúp bản
thân có điều kiện nắm vững lí luận dạy học toán, bổ sung kiến thức, rèn luyện kỹ năng
giải bài tập, nghiên cứu phát triển bài toán, tìm cách giải khác,… Nhằm giúp nâng cao
hiệu quả của việc dạy học sau này.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm một số phương pháp giải bài tập giúp phát huy tính tích cực, sáng tạo của
học sinh.
Trang bị cho bản thân phương pháp dạy học tích cực để vận dụng tốt vào công
việc giảng dạy sau này.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu cơ sở lý thuyết về phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh và cơ sở lí
thuyết của dạy học giải bài tập toán học.
Tìm ví dụ để minh hoạ cho cơ sở lý thuyết.
Vận dụng các phương pháp dạy học giúp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
thông qua việc dạy học giải bài tập toán.
Thực nghiệm sư phạm nhằm rút kinh nghiệm để vận dụng vào việc dạy học sau
này.

tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá,… Vì vậy trong dạy học toán, giáo
viên phải chú ý phát triển cho học sinh những thao tác này.
1.1.1 Phát triển năng lực phân tích và tổng hợp
Phân tích là chia cái toàn thể ra thành từng thành phần, hoặc tách ra từng thuộc
tính hay từng khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể để nhận thức sâu vào từng
phần, từng khía cạnh.
Ngược lại với phân tích, tổng hợp là hợp lại các phần riêng lẻ của cái toàn thể,
hoặc kết hợp lại những thuộc tính hay khía cạnh khác nhau của cái toàn thể.
Phân tích và tổng hợp là hai thao tác tư duy trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt
của một quá trình thống nhất. Nếu không tiến hành tổng hợp mà chỉ dừng lại ở phân
tích thì sự nhận thức sự vật và hiện tượng sẽ phiến diện, không nắm được các sự vật và
hiện tượng đó một cách đầy đủ và chính xác được. Chúng là hai thao tác cơ bản của
quá trình tư duy. Những thao tác tư duy khác có thể coi là những dạng xuất hiện của
phân tích và tổng hợp.
Năng lực phân tích và tổng hợp luôn luôn là một yếu tố quan trọng giúp học
sinh nắm vững kiến thức và vận dụng kiến thức toán học.
Ví dụ: Khi học tập khái niệm, học sinh phải biết phân tích các dấu hiệu bản chất
của khái niệm, phát hiện những mối liên hệ (tổng hợp) giữa các khái niệm với nhau.
Khi học định lí, học sinh phải biết phân tích giả thiết và kết luận của định lí, mối liên
hệ giữa giả thiết và kết luận,… mối liên hệ giữa định lí này với các định lí khác,… Khi
giải bài tập, học sinh phải nhìn bao quát (tổng hợp) để nhận được dạng bài toán (biết
bài toán loại nào); phải biết phân tích cái đã cho và cái phải tìm, tìm ra mối liên hệ giữa
chúng; phân chia bài toán thành những bài toán nhỏ khác nhau (xét riêng các trường
hợp góc nhọn, vuông, tù,…), giải các bài toán đơn giản đó, rồi tổng hợp lại để được lời
giải bài toán đã cho.
1.1.2 Phát triển năng lực so sánh
So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện tượng.
Muốn so sánh hai sự vật (hay hai hiện tượng), ta phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc
tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu các thuộc tính đó với nhau, rồi tổng hợp lại xem
hai sự vật đó có gì giống nhau và khác nhau.

đối tượng để hình thành một khái niệm được gọi là sự khái quát hoá.
Ví dụ: Qua xét các dãy số:
2, 4, 6, 8, 10.
2, 0, 2, 4, 6,..., 2n  4
5, 9, 13, 17, 21,..., 4n  1

có một đặc điểm chung là kể từ số thứ hai mỗi số đều bằng số đứng liền trước nó cộng
với một số không đổi, từ đó khái quát hoá để hình thành khái niệm cấp số cộng.
Để giúp học sinh phát triển năng lực khái quát hóa đúng đắn, cần luyện tập cho
học sinh biết phân tích, tổng hợp, so sánh để tìm ra cái chung ẩn náu trong các hiện
tượng, sau những chi tiết tản mạn khác nhau, phát hiện mối liên hệ bản chất của sự vật
mà hình thức bên ngoài rất đa dạng. Khi tổ chức cho học sinh thực hiện khái quát hoá,
giáo viên cần chú ý nguyên tắc: “biến thiên dấu hiệu không bản chất và giữ nguyên dấu
hiệu bản chất của sự vật, hiện tượng”.

4


Cùng với phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, trong môn toán
học sinh còn thường phải thực hiện các phép tương tự hóa, so sánh, đặc biệt hoá,… Do
đó, khi có điều kiện giáo viên cần rèn luyện cho học sinh những thao tác trí tuệ này.
Việc thực hiện một số trong các thao tác trí tuệ trên được minh họa qua ví dụ tìm
công thức tính sin 3x theo những hàm số lượng giác của đối số x .
Trước tiên, thao tác phân tích làm biến đổi sin 3x thành sin(2 x  x) . Sự phân tích
này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức sin 3x với công thức
sin(a  b)  sin a cos b  sin b cos a . Việc khớp trường hợp riêng sin(2 x  x) vào biểu thức
tổng quát sin(a  b) là một sự khái quát hóa; việc này được thực hiện nhờ trừu tượng
hóa, nêu bật các đặc điểm bản chất “Hàm số sin ”, “Đối số có dạng tổng hai số” và tách
chúng khỏi những đặc điểm không bản chất như: “Một số hạng của tổng gấp đôi số
hạng kia”. Tiếp theo việc khái quát hóa là việc đặc biệt hóa công thức

sin 2x

2sin x cos x

sin(2 x  x)

Phân

cos 2x

cos2 x  sin 2 x

tích
2sin x cos 2 x  sin x(cos 2 x  sin 2 x )

3sin x cos 2 x  sin 3 x.

sin 3x

Tổng hợp
Các hoạt động vừa phân tích ở trên thật ra mới chỉ ở dạng tiềm năng. Nếu giáo
viên có ý thức phát triển năng lực trí tuệ chung cho học sinh thì ở những lúc thích hợp
có thể kích thích việc thực hiện những hoạt động này bằng những câu hỏi gợi ý như:
- Hãy viết sin 3x dưới dạng thích hợp với công thức biến đổi lượng giác nào đó?
(kích thích phân tích, khái quát hóa);
- Hãy áp dụng công thức biến đổi sin của một tổng vào biểu thức sin(2 x  x) ?
(khuyến khích đặc biệt hóa).
1.2 Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác
Vì toán học là một khoa học suy diễn nên môn toán có nhiều khả năng to lớn để
dạy cho học sinh tư duy chính xác, tư duy hợp logic. Nhưng tư duy không tách rời

đâu?”, “tại sao?”,… Tư duy sáng tạo luôn suy nghĩ tìm tòi những điều mới, nó luôn
gắn liền tính độc lập, tính phê phán và tính linh hoạt của tư duy. Tính linh hoạt của tư
duy biểu hiện ở các mặt chính yếu sau đây:
Khả năng thay đổi phương hướng giải quyết vấn đề phù hợp với sự thay đổi của
các điều kiện, biết tìm ra phương pháp mới để nghiên cứu và giải quyết vấn đề, dễ
dàng chuyển từ dạng hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, khắc phục thái
độ rập khuôn theo mẫu định sẵn, máy móc, suy nghĩ theo lối mòn.
Khả năng xác lập sự phụ thuộc giữa các kiến thức theo trật tự ngược với cách đã
biết.
Khả năng nhìn một vấn đề, một hiện tượng theo những quan điểm khác nhau.
Để rèn luyện cho học sinh tư duy độc lập và sáng tạo, trong dạy học toán cần chú ý
thường tập dượt cho học sinh “suy luận có lí”, dự đoán thông qua quan sát, so sánh,
đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự,… Chú ý đến mối liên hệ giữa cái riêng và cái
chung; cái cụ thể và cái trừu tượng; qui nạp và suy diễn trong khi giảng dạy toán học.

7


Đặc biệt là trang bị cho các em phương pháp nghiên cứu khoa học thường dùng trong
toán học.
1.4 Bồi dưỡng khả năng vận dụng các phương pháp nghiên cứu khoa học thường
dùng trong toán học
Thông qua quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý giúp học sinh từng bước nhận
biết được và nắm được hai phương pháp thường dùng trong nghiên cứu toán học là:
phương pháp cụ thể – trừu tượng, phương pháp qui nạp – suy diễn.
1.4.1 Phương pháp cụ thể – trừu tượng
Toán học là một khoa học có tính trừu tượng cao độ. Tuy nhiên, sự hình thành
và sự phát triển của toán học thường được xuất phát từ mối quan hệ giữa cụ thể và trừu
tượng: không có cái cụ thể cảm tính thì không thể có cái trừu tượng; và không có cái
trừu tượng thì không thể có cái cụ thể trong tư duy (cái đến sau những cái trừu tượng).

diễn logic mà không dùng phương pháp thí nghiệm để chứng minh các định lí vì hai lí
do:
- Có khả năng áp dụng suy diễn logic vào những đối tượng đã được trừu tượng
hoá thành thuần tuý số lượng và hình dạng không gian.
- Không có khả năng làm thí nghiệm để trực tiếp xem các định lí hình học trong
không gian n chiều (n  3) là đúng hay không, vì không gian thực tế chỉ có ba chiều.
Văn phong của toán học hiện đại là phương pháp tiên đề. Nội dung của phương
pháp đó là lập ra cho bằng được một bảng khái niệm cơ bản (gồm đối tượng cơ bản và
quan hệ cơ bản) và các “tiên đề” để rồi sau đó hoàn toàn dùng logic để định nghĩa bất
cứ khái niệm mới nào và chứng minh bất cứ định lí nào. Các “khái niệm cơ bản” trong
hệ tiên đề không được định nghĩa, mô tả gì hết. Điều này đưa đến một thuận lợi lớn là
các “khái niệm cơ bản” ta tuỳ ý gán cho cái gì cụ thể cũng được, miễn sao các tiên đề
của hệ đều nghiệm đúng, như vậy ta có một “mô hình” của hệ tiên đề đã cho. Đối với
các hệ tiên đề, có ba yêu cầu: tính đầy đủ, tính độc lập, tính không mâu thuẫn. Điều
này mở ra một khả năng sáng tạo ra các bộ môn toán học mới.
Tư duy suy diễn logic đóng vai trò chủ yếu trong phương pháp toán học, nhưng
vai trò của qui nạp cũng không phải là không quan trọng. Qui nạp lại liên hệ mật thiết
với suy diễn: qui nạp giúp xây dựng giả thuyết toán học, tri thức thu được bằng qui nạp
thì không đầy đủ, không hoàn chỉnh, có tính chất dự đoán; các kiến thức ấy biến thành
tri thức chân thực cần phải chứng minh bằng suy diễn.
Trong dạy học toán ở trường phổ thông, giáo viên phải dạy học sinh biết trình
bày lời giải một bài toán hay chứng minh một mệnh đề toán học một cách chặt chẽ
bằng suy luận diễn dịch, nhưng cũng phải chú ý bồi dưỡng khả năng tìm tòi sáng tạo,
khả năng dự đoán, biết vận dụng các phép suy luận qui nạp để phát hiện ra cách giải
một bài toán, để dự đoán một qui tắc, một kết quả.
2. Sáng tạo và tư duy sáng tạo
2.1 Các khái niệm
2.1.1 Sáng tạo là gì?
Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không phụ thuộc vào cái đã có.
Theo Solso R.L (1991) định nghĩa: “Sáng tạo là một hoạt động nhận thức mà nó đem

Nhìn thấy cấu trúc mới của bài toán, kết hợp các phương thức giải đã biết, tạo
thành phương thức mới để giải bài toán.
Nhìn bài toán ở những góc độ khác nhau để tìm cách giải quyết có thể có, tìm
nhiều cách giải, luôn có ý tưởng tìm cách giải mới lạ độc đáo và ngắn gọn.
Nhận ra những chức năng mới trong việc mở rộng các bài toán, tìm tòi và xác
định hướng giải cho các bài tập mở rộng.
Biết kết hợp hoàn thiện các phương pháp đã có, vận dụng vào toán học, toán
học hoá các tình huống thực tiễn, sản xuất kỹ thuật.
Biết hệ thống hoá tri thức phương pháp khi giải toán, xây dựng các phương
pháp, qui tắc cho một bài toán.
Biết khái quát hoá, đặc biệt hoá phương pháp giải cho những bài toán mở rộng.
2.1.3 Nguyên nhân của sự sáng tạo
Đã từ lâu, các nhà nghiên cứu muốn đi sâu tìm hiểu bản chất của sự sáng tạo,
dưới đây là các ý kiến tổng kết về nguyên nhân của sự sáng tạo:

10


- Cách giải quyết những nhiệm vụ phức tạp mà trước đó không giải quyết được,
sẽ nảy sinh những người có đầu óc sáng tạo trong bất kì thời gian nào. Có người cho
rằng sự khám phá của các nhà khoa học là sự khám phá ngẫu nhiên. Nhưng khoa học
sinh lý học về lao động trí óc quan niệm rằng: “Đó là qui luật quán tính của tư duy”.
Nghĩa là khi theo đuổi ý tưởng nào đó thì “luồng tư tưởng” sẽ tiếp diễn và đó là qui
luật của sự sáng tạo.
- Theo Gauss: Các ý nghĩ hay “ưa” xuất hiện trong thời gian đi dạo nhẹ nhàng,
trong thời tiết có ánh nắng mặt trời, chỉ cần một ly rượu nhỏ là có thể làm mất hết
những ý nghĩ đó.
Muốn tư duy sáng tạo cần phải nắm được những qui luật khách quan của sự vật
– đây là đối tượng nghiên cứu. Một nhà khoa học đã từng khuyên “Hãy suy nghĩ theo
những qui luật khách quan về sự phát triển, chắc chắn bạn sẽ có sự cải tiến cao hơn nữa

Theo tâm lí học người Đức Mehlhorn cho rằng: “Tư duy sáng tạo là hạt nhân
của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục”. Còn theo
J.Danton (1995) cho rằng: “Tư duy sáng tạo là những năng lực tìm những ý nghĩ mới,
tìm những mối quan hệ mới; là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự
đánh giá, là một quá trình”. Theo ông, một cách dạy và học phát triển tư duy sáng tạo
cho học sinh bao gồm một chuỗi chứa đựng những điều như: sự khám phá, sự phát
minh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm”.
Theo Tôn Thân: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng
mới, độc đáo và có hiệu quả cao trong quyết định vấn đề”.
2.2.2 Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo
Theo các nhà nghiên cứu, tư duy sáng tạo bao gồm năm thành phần sau đây:
+ Tính mềm dẻo là khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt
động trí tuệ khác.
+ Tính nhuần nhuyễn là khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và
tình huống khác nhau.
+ Tính độc đáo là khả năng tìm kiếm và quyết định phương thức giải quyết lạ
hoặc duy nhất.
+ Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động,
phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng.
+ Tính nhạy cảm vấn đề là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, mâu
thuẫn, sai lầm, sự thiếu logic,… Do đó, nảy ra ý muốn cấu trúc lại hợp lí, hài hoà, tạo
ra cái mới.
2.2.3 Các giai đoạn của sự sáng tạo
a) Giai đoạn chuẩn bị
Ở giai đoạn này cần nghiên cứu có ý thức những vấn đề đặt ra, thu thập tư liệu,
củng cố và tìm hiểu những thông tin có liên quan đến vấn đề cần giải quyết. Poncaré kể
rằng: “Trong hai tuần liền tôi cố gắng chứng minh rằng không thể tồn tại một hàm số
nào mà sau này tôi gọi là hàm số tự đẳng cấu. Tuy nhiên tôi đã không đúng, mỗi ngày
làm việc ở bàn làm việc, tôi theo đuổi ý định đó một hoặc hai giờ đồng hồ, tôi nghiên
cứu một số lớn kết hợp, nhưng tôi đã không đi đến một kết quả nào”.

3. Một số biện pháp phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh
3.1 Biện pháp 1: Chú trọng bồi dưỡng các thao tác tư duy và trang bị cho học sinh
những tri thức về phương pháp của hoạt động nhận thức
Quan điểm này cho rằng, để phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh,
giáo viên cần dạy cho học sinh thành thạo các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so
sánh, quy nap, tương tự, trừu tượng hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá,… Trong đó, phân
tích và tổng hợp đóng vai trò trọng tâm.
Quan điểm trên chỉ rõ trong quá trình dạy học giáo viên phải cung cấp cho học
sinh những tri thức về phương pháp để học sinh có thể tìm tòi, tự mình phát hiện và
phát biểu vấn đề, dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải của một bài toán,
hướng chứng minh một định lí, giúp học sinh hiểu sâu sắc bản chất các khái niệm, các
mệnh đề, ý nghĩa và nội dung các công thức, các chứng minh, từ đó mà nhớ lâu các
kiến thức toán học và nếu quên thì có thể tìm lại được.
3.2 Biện pháp 2: Bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo cho học sinh

13


Các nhà nghiên cứu đã đưa ra nhiều yếu tố đặc trưng cho tư duy sáng tạo cho
học sinh. Đối với học sinh thì các yếu tố đó là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn và tính
nhạy cảm vấn đề.
Trên cơ sở đó, để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thì trong quá trình dạy
học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tố của tư duy sáng tạo. Có thể khai thác
nội dung các vấn đề giảng dạy, đề xuất các câu hỏi sư phạm nhằm giúp học sinh lật đi
lật lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm thật vững bản chất các
khái niệm, các mệnh đề, tránh được lối học thuộc lòng máy móc và lối vận dụng thiếu
sáng tạo.
Để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, trong quá trình dạy học giáo viên
cần sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư duy sáng tạo
như: Những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổng quát để

và phát huy tính tích cực sáng tạo. Do vậy, dạy học giải các bài tập toán có tầm quan
trọng đặc biệt trong dạy học toán.
Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh, có
thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Bài tập toán ở
trường phổ thông là một phương tiện có hiệu quả và không thể thay thế được trong
việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng
dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện
tốt các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy
giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khác
nhau. Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát để gợi động cơ học tập, để làm
việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra kiến thức,… Tất nhiên, việc dạy giải
một bài tập cụ thể thường không chỉ nhằm vào một ý đơn thuần nào đó mà thường bao
hàm những ý đồ nhiều mặt như đã nêu. Giải bài tập là hình thức chủ yếu tập dượt cho
học sinh vận dụng kiến thức và kỹ năng toán học vào đời sống và lao động sản xuất.
Đồng thời, việc giải bài tập giúp giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm tra
mình về mức độ nắm vững kiến thức đã học, về khả năng vận dụng chúng vào giải
quyết những vấn đề cụ thể. Giải bài tập có tác dụng giáo dục cho học sinh đức tính của
người lao động mới, bồi dưỡng các phương pháp suy luận, phương pháp suy nghĩ tìm
tòi sáng tạo,…
Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học
đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau. Những
chức năng này đều hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy học. Trong môn Toán,
các bài tập mang các chức năng sau (Vũ Dương Thụy 1980):
Với chức năng dạy học, bài tập nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những
tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
Với chức năng giáo dục, bài tập nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy
vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức người lao động mới.
Với chức năng phát triển, bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh,
đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy


 

điểm của đoạn thẳng AB thì OA  OB  0 ), biết thay thế tổng GA  GB ở đẳng thức


 



phải chứng minh bằng GD để đưa về đẳng thức mới phải chứng minh là GD  GC  0 ,
tức là biết vận dụng kĩ thuật chứng minh, đồng thời thấy được sự thống nhất giữa tính
chất trung điểm đoạn thẳng với tính chất trọng tâm tam giác. Như vậy là khai thác
được chức năng giáo dục của bài toán trên.
Mặt khác từ sự thống nhất nêu trên giữa tính chất của một điểm và trung điểm
của đoạn thẳng (hai điểm) với một điểm là trọng tâm tam giác (ba điểm) gợi lên một ý
tưởng khái quát đối với một tứ giác ABCD (bốn điểm), một ngũ giác hay một đa giác
nói chung: có hay không một điểm O sao cho:
    
OA  OB  OC  OD  0
Rõ ràng nếu ABCD là hình bình hành thì O chính là tâm của nó. Như thế chức

năng phát triển của bài toán đã cho được thể hiện rõ ràng: luyện tập cho học sinh kĩ
năng vận dụng tương tự hoá, khái quát hoá, phát triển ở học sinh tư duy biện chứng,
khả năng dự đoán khoa học.
Qua ví dụ trên ta thấy rằng các chức năng của mỗi bài tập toán phụ thuộc vào
nội dung cũng như phương pháp khai thác lời giải của nó. Điều đó định hướng việc lựa
chọn bài tập của giáo viên, tránh tình trạng ra bài tập cho học sinh một cách tuỳ tiện
hoặc chỉ chú trọng đến số lượng thuần tuý.
2. Yêu cầu đối với lời giải bài toán

sin x

sinh là có sai lầm:
“

tan 5 x
k
 0  tan 5 x  0  x 
sin x
5

( k  ) ”

Ở đây, học sinh đã quên đặt điều kiện sin x  0 cho phương trình nên không loại
được những giá trị không thích hợp khi k  5m (m  )
Một ví dụ khác, khi giải bất phương trình x 2  2 thì một số học sinh thường đi
đến kết quả x   2 . Các em đã áp dụng một cách máy móc cách giải phương trình
bậc hai vào giải bất phương trình bậc hai nên dẫn đến sai lầm.
Những sai lầm về mặt suy luận học sinh thường khó thấy hơn. Chẳng hạn bài
toán “Chứng minh rằng với những số thực không âm bất kì a, b, c ta có bất đẳng thức
a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca suy ra 2(a 2  b 2  c 2 )  2(ab  bc  ca)  0 hay
( a  b) 2  ( b  c ) 2  ( c  a ) 2  0

Bất đẳng thức sau cùng này đúng, do đó bất đẳng thức phải chứng minh cũng
đúng”.

17


Lời giải này sai vì đã coi phép suy ngược tiến (phép phân tích đi xuống) là một

vậy, cần chú ý tập cho học sinh trong quá trình giải toán phải luôn suy xét và tự trả lời
các câu hỏi như: Ta đang phải xem xét cái gì? Như vậy đã đủ chưa? Còn trường hợp
nào nữa không? Đã đủ các trường hợp đặc biệt chưa?
Học sinh thường bộc lộ thiếu sót là không xét được đầy đủ các trường hợp, các
khả năng xảy ra ở một tình huống, nhất là các bài toán có tham số, những bài toán đòi
hỏi phải biện luận,…


Ví dụ, với bài toán sau: “Cho vectơ AB và một điểm C , hãy dựng điểm D sao





cho AB  CD ”, học sinh thường quên không xét đến trường hợp điểm C thuộc đường
thẳng AB nên lời giải không đầy đủ.
18


Một ví dụ khác, chẳng hạn bài toán: “Các số 10, 11, 12 có thể là các số hạng của
một cấp số nhân được không?”. Có học sinh giải như sau: “Nếu 10, 11, 12 tạo thành
một cấp số nhân thì công bội phải bằng

11
12
11 12
và
. Nhưng

(vì 121  120 ) nên

hình dung khái niệm thuật toán một cách trực giác.
Thuật toán dẫn từ dữ kiện ban đầu đến kết quả cần tìm qua một số hữu hạn bước
(phép toán).
Ở nhà trường phổ thông học sinh được hoạt động với nhiều thuật toán như thuật
toán cộng, trừ, nhân, chia các số tự nhiên và số hữu tỉ, thuật toán tìm ước số chung lớn
nhất của hai số, bội chung nhỏ nhất của hai số, thuật toán giải hệ phương trình bậc nhất
hai ẩn, thuật toán giải phương trình bậc hai,…
3.1.2 Những đặc trưng cơ bản của thuật toán
19


- Tính tổng quát: Thuật toán không đề cập chỉ bài toán riêng lẻ mà bao hàm một
lớp bài toán cùng một kiểu, hay phải dùng được để giải một loại xác định các bài toán.
- Tính xác định: Toàn bộ quá trình biến đổi cũng như trật tự thực hiện phải được
xác định và là duy nhất.
Như vậy khi dùng thuật toán cùng một tin tức ban đầu phải cho cùng một kết
quả. Trong thuật toán ở mỗi giai đoạn phải nêu chính xác các bước tiếp theo, có nghĩa
là thứ tự thực hiện, các thao tác phải được qui định rõ ràng.
- Tính kết quả: Nếu hoàn thành đúng các thao tác theo trình tự đã vạch ra thì
nhất định giải được bài toán thuộc loại đã cho.
3.1.3 Tư duy thuật toán
Khái niệm thuật toán là một yếu tố của phương thức tư duy được gọi là tư duy
thuật toán. Trong thời đại ngày nay, người giáo viên phải có ý thức thông qua việc dạy
học các qui tắc, phương pháp mà rèn luyện cho học sinh loại hình tư duy quan trọng
này.
3.1.4 Sự cần thiết phải phát triển tư duy thuật toán
Phát triển tư duy thuật toán trong nhà trường phổ thông là cần thiết vì những lý
do sau đây:
Thứ nhất, tư duy thuật toán giúp học sinh hình dung được việc tự động hóa
trong những lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người. Góp phần khắc phục sự ngăn

Thành phần thứ nhất thể hiện khả năng thực hiện thuật toán. Bốn thành phần
còn lại thể hiện khả năng xây dựng thuật toán.
Hiện nay định nghĩa thuật toán, những tính chất và những hình thức biểu diễn
thuật toán,… đang được nghiên cứu để đưa vào dạy tường minh trong nhà trường phổ
thông. Điều đó sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc phát triển tư duy thuật toán và việc
học tập về máy tính điện tử và làm việc với công cụ này. Tuy nhiên, ngay cả trong
trường hợp khái niệm thuật toán chưa được đưa ra một cách tường minh vào trong
chương trình, ta vẫn có thể phát triển ở học sinh tư duy thuật toán theo phương hướng
rèn luyện cho các em những khả năng đã liệt kê như những thành tố của phương thức
tư duy này.
Chúng ta biết rằng, các nội dung dạy học cụ thể vừa là mục đích, vừa là phương
tiện để phát triển tư duy cho học sinh, trong đó có tư duy thuật toán.
Từ năm phương thức thể hiện tư duy thuật toán được trình bày vắn tắt như sau:
3.1.5.1 Thực hiện thuật toán
Để tập luyện cho học sinh thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định
phù hợp với thuật toán cho trước có thể phát biểu một số qui tắc toán học, một số dạng
toán có phương pháp giải như giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai, bất
phương trình bậc nhất, bất phương trình bậc hai một ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai
ẩn,… thành những thuật toán dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên hoặc sơ đồ thể hiện rõ các
bước tiến hành, rồi yêu cầu học sinh thực hiện các qui tắc ấy, thông qua đó nhấn mạnh
các bước và trình tự tiến hành các bước trong mỗi qui tắc.
3.1.5.2 Phân tích một hoạt động
Cách làm như trên nhằm tập cho học sinh biết phân tích một hoạt động thành
những thao tác thành phần theo một trình tự xác định, qua đó cũng đồng thời giúp học
sinh dễ dàng hơn trong giải toán. Cần rèn luyện cho học sinh hoạt động này ngay cả
đối với những qui tắc thể hiện phần nào nhưng không hoàn toàn đầy đủ yêu cầu chặt
chẽ của khái niệm thuật toán trong toán học.
Ví dụ 1: Qui tắc xác định góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng:
21


1) Giả sử x là số gia của đối số tại x0 , tính y  f ( x0  x )  f ( x0 )
y
x
y
3) Tính lim
”
x  0  x

2) Lập tỉ số

Hoặc có thể sử dụng những bài tập kiểu như: “Hãy nêu một loạt chỉ dẫn sao cho
bạn em có thể căn cứ vào đó và thực hiện từng bước để giải bất phương trình dạng
P ( x) H ( x )

”
Q( x) G( x)

22


Những đề bài dạng này muốn nhấn mạnh yêu cầu mô tả chính xác các bước và
trình tự tiến hành, nhờ đó góp phần rèn luyện cho học sinh khả năng mô tả một quá
trình hoạt động.
3.1.5.4 Khái quát hóa một hoạt động
Để tập cho học sinh hoạt động khái quát hóa một quá trình diễn ra trên những
đối tượng riêng lẻ thành những hoạt động trên một lớp đối tượng, có thể hướng dẫn các
em đi từ việc giải những bài toán cụ thể sang giải những bài toán dạng tổng quát, từ
việc giải phương trình bậc hai cụ thể sang giải phương trình bậc hai tổng quát dạng
ax 2  bx  c  0 (a  0) ; từ việc giải bất phương trình cụ thể



thể

dạng
như

25 x  5.15 x  6.9 x  0 sang giải phương trình đẳng cấp bậc hai tổng quát dạng:
a( f ( x))2  bf ( x ) g ( x )  c( g ( x))2  0 ,…

3.1.5.5 Chọn thuật toán tối ưu
Để tập cho học sinh biết so sánh những thuật toán khác nhau (thực hiện cùng
một công việc) và phát hiện thuật toán tối ưu, ta cần rèn luyện cho các em ý thức tiết
kiệm thao tác khi xây dựng thuật toán, chẳng hạn để giải bất phương trình:
2x2  x  3 2
 thì sau khi qui đồng mẫu số và rút gọn, bỏ qua việc xét dấu mẫu số;
x2  1
3

hoặc giải và biện luận bất phương trình (m 2  1) x  m  0 thì không cần xét trường hợp
hệ số a  0 ,…
Phát hiện thuật toán tối ưu, ít nhất là về phương diện tiết kiệm thao tác đó là yếu
tố của tư duy thuật toán, một trong những nét đặc trưng của sự làm việc với máy tính
điện tử.
Thông qua việc dạy học toán ở trường phổ thông, trong mọi trường hợp có thể,
giáo viên cần phát triển cho học sinh tư duy thuật toán theo năm phương hướng như đã
trình bày trên.
3.1.6 Vị trí và ý nghĩa của thuật toán
Trong thực tế cuộc sống khái niệm thuật toán dường như ít được đề cập và có vẻ
xa lạ. Tuy nhiên, sự bắt chước hay học hỏi của con người từ thời xưa đến nay chính là
thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một phương pháp tổng

trình khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số,…
Ví dụ 1: Xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và
b cho trước như sau:
Qui trình 1
Bước 1: Xác định mp (Q ) chứa b và song song với a ;
Bước 2: Xác định hình chiếu a' của a trên mp (Q ) ;
Bước 3: Xác định giao điểm N của a' với b ;
Bước 4: Xác định đường thẳng c qua N và c  (Q) .
Qui trình gồm 4 bước trên tỏ ra khá hiệu lực giúp học sinh giải các bài toán về
xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau cho trước. Tuy nhiên,
khi vận dụng các qui trình tựa thuật toán đòi hỏi tính mềm dẻo, linh hoạt của tư duy thì
vấn đề đặt ra mới được giải quyết tốt nhất.
Qui trình trên sẽ không có ý nghĩa gì khi giải bài toán: “Cho hình lập phương
ABCD. A' B ' C ' D ' . Xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CC ' ”
24


Bài toán này chỉ đòi hỏi học sinh hiểu được khái niệm đường vuông góc chung của hai
đường thẳng chéo nhau mà không cần đến qui trình đã nêu.
Thông qua luyện tập giáo viên có thể hướng dẫn học sinh xây dựng những qui
trình để giải một lớp các bài toán.
Sau đây là một qui trình khác gồm 6 bước để xác định đường vuông góc chung
của hai đường thẳng chéo nhau a và b cho trước.
Qui trình 2
Bước 1: Xác định mp (P) vuông góc với đường thẳng a ;
Bước 2: Xác định giao điểm O của a với mp (P) ;
Bước 3: Xác định hình chiếu b' của b lên mp (P) ;
Bước 4: Xác định hình chiếu H của O lên b ;
Bước 5: Xác định N  b sao cho NH // a ;
Bước 6: Xác định M  a sao cho MN // OH .