45 BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
MỨC ĐỘ 1 + 2: NHẬN BIẾT + THÔNG HIỂU
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
x3
 3 x 2  2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có
Câu 1: Cho hàm số y 
3
hệ số góc k = -9.

A. y  16  9  x  3 .

B. y  16  9  x  3 .

C. y  9  x  3 .

D. y  16  9  x  3 .

Câu 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 2  x  2 tại điểm có hoành độ x  1 là
A. 2 x  y  0.

B. 2 x  y  4  0.

C. x  y  1  0.

D. x  y  3  0.

Câu 3: Tìm số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  4 x 3  6 x 2  1, biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(-1;-9).
A. 3.

B. 2.


D. y  2 x  y  3  0 và 2 x  y  1  0.

Câu 6: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
A. 0.
Câu 7: Cho hàm số f  x  

B. 2.
1
x 2

x4 x2

 1 tại điểm có hoành độ x  1 là:
4
2

C. -2.
và g  x  

4
 0 và 2 x  y  2  0.
3

x2
2

D. 3.

. Gọi d1, d2 lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số



D. y   x 

11
3

2x 1
 C  . Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến đó cắt trục
x 1
Ox,Oy lần lượt tại các điểm A,B thỏa mãn OA = 4OB là:

Câu 9: Cho hàm số y 

1
A.  .
4

B.

1
4

C. 

1
1
và
4
4



Câu 13: Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị  C  : y 
A. 0.

B. 1.

D. y   x  19

3  4x
đi qua điểm M(0;1)?
2x 1

C. 2.

D. 3.

Câu 14: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C  : y  x 3  3 x 2 tại điểm M(-1;2)
A. y  2.

B. y  3 x  1

C. y  3 x  5

D. y  3 x  1

2x  3
có đồ thị (C). Tìm các điểm M thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông
x 1
góc với đường thẳng y  4 x  7.


Câu 16: Cho hàm số y 

5 3
x  x 2  4 có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0  3 có hệ
3

số góc là:
A. 3.

B. 40.

C. 39.

D. 51.

Câu 17: Cho hàm số y   x 3  3 x 2  2 có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) mà hệ số góc lớn nhất
là:
2


A. y  3 x  1
Câu 18: Cho hàm số y 

B. y  3 x  1

C. y  3 x  1

D. y  3 x  1

x 1

C. y  x  1.

D. y   x  1

2x 1
tại điểm A(2;3) là:
x 1

C. y  3 x  3

D. y  x  1

Câu 21: Cho hàm số y  x 3  3 x 2  6 x  5. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ nhất có phương
trình là
A. y  3 x  9

B. y  3 x  3

C. y  3 x  12

D. y  3 x  6

Câu 22: Cho hàm số y  x 3  3 x 2  2. hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành
độ x  2 là:
A. 6.

B. 0.

C. -6.



x 3
có đồ thị (C) và điểm A  a;1 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a
x 1
để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua A. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng:

Câu 25: Cho hàm số y 

A.

4
3

B. 2

C.

7
2

D. -5

Câu 26: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 4  3 x 2  1 tại điểm có tung độ bằng 5 là
A. y  20 x  35; y  20 x  35.

B. y  20 x  35.

C. y  20 x  35.

D. y  20 x  35; y  20 x  35.


1
sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cùng với
x 1
các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Khi đó

Câu 30: Gọi M  a; b  là điểm trên đồ thị (C) của hàm số y 
A. ab  3.

B. ab  -1.

Câu 31: Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
A. 0.

C. ab  4.

D. ab  2.

3x  1
song song với đường thẳng y  2 x  1 là
x 3

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Câu 32: Biết đường thẳng y  x là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 2  bx  c tại điểm M(1;1). Tìm các số
thực b, c.


Câu 35: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  ln x 2  x  1 tại điểm có hoành độ x  1
A. y  x  1

B. y  x  1

C. y  x  1  ln 3

D. y  x  1  ln 3

Câu 36: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x. ln x tại điểm có hoành độ bằng e là:
A. y  2 x  3e

B. y  x  e

C. y  ex  2e

D. y  2 x  e

1
1
Câu 37: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f  x   x 3  x 2  4 x  6 tại điểm có hoành độ là nghiệm của
3
2

phương trình f ''  x   0 có hệ số góc bằng
4


A. -4.

1
 x  1 
2
2

B. y 

1
1
 x  1 
4
2

C. y 

1
1
 x  1 
4
2

D. y 

1
1
 x  1 
2
2

Câu 39: Cho hàm số y   x 3  3 x  2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại gaio điểm của


B. 1.

C. 2.

D. 0.

Câu 43: Cho hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d  a  0  có đồ thị (C), tiếp tuyến của (C) có hệ số góc đạt giá trị
bé nhất khi nào?
A. a < 0 và hoành độ tiếp điểm bằng

b
.
3a

C. a > 0 và hoành độ tiếp điểm bằng 

B. a < 0 và hoành độ tiếp điểm bằng 

b
.
3a

b
b
. D. a < 0 và hoành độ tiếp điểm bằng
.
3a
3a


4-B

5-A

6-C

7-A

8-C

9-A

10-D

11-B

12-C

13-C

14-B

15-C

16-C

17-C

18-A


34-A

35-A

36-D

37-D

38-C

39-B

40-C

41-C

42-B

43-C

44-D

45-B

Câu 1: Chọn D.
Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến của hàm số y  f  x0  tại điểm  x0 ; f  x0   là y  f  x0   f '  x0  x  x0 1 .
Hệ số góc là k  f '  x0  , sử dụng điều này để tìm điểm x0 sau đó thay vào (1) để tìm phương trình tiếp
tuyến.
Cách giải:


Khi đó ta có phương trình tiếp tuyến tại A là: y  12 x02  12 x0

  x  x0   4 x03  6 x02  1

Mà tiếp tuyến đi qua điểm M(- 1; - 9) nên ta có:



9  12 x02  12 x0

  x  x0   4 x03  6 x02  1

 9  12 x02  12 x03  12 x0  12 x02  4 x03  6 x02  1
 8 x03  6 x02  12 x0  10  0
 4 x03  3 x02  6 x0  5  0





  x0  1 4 x02  x0  5  0

 x0  1

.
 x0  5

4
Phương trình có 2 nghiệm thực nên có 2 tiếp tuyến đi qua M.


 x  3, y  4
2

Với x  1; y 

4
4
10
thì d1 : y  2  x  1  hay d1 : y  2 x 
3
3
3

Với x  3; y  4 thì d2 : y  2( x  3)  4 hay d2 : y  2 x  2
Câu 6: Chọn C.
Phương pháp:
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm x  x 0 là k  f '  x0  .
Cách giải:
Ta có y '  x 3  x  hệ số góc tại x  1 là k  y '  1  2
Câu 7: Chọn A.
Phương pháp:
Giải phương trình hoành độ giao điểm.
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ x0 là f '  x0  , nhận xét về hệ
số góc của 2 tiếp tuyến.
Cách giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
1

f x 

2

 g '  x   2 x  g ' 1  2

. 2  1 nên d1  d2 .
8


Câu 8: Chọn C.
Phương pháp:
+) Giải phương trình y ''  0 ta được nghiệm x  x0 . Khi đó ta tìm được y  x  x0   y0  M  x0 ; y0  .
+) Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M  x0 ; y0  là: y  y '  x0  x  x0   y0 .
Cách giải:
Ta có: y '  x 2  2 x  y ''  2 x  2  y ''  0  2 x  2  0  x  1.
4
4

Với x  1 ta có: y  1    M  1;   .
3
3


Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M là: y  y '  1 x  1 

4
4
7
   x  1    x  .
3
3

Giả sử  x0 ; y0  là điểm thuộc đồ thị hàm số (C) có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ O
Ta có: y '  4 x 3  4 x
Ta có phương trình đường thẳng tiếp tuyến tại điểm  x0 ; y0 



  x  x0   y0
 y   4 x03  4 x0   x  x0   x04  2 x02
y  4 x03  4 x0

9


Thay (0;0) vào phương trình trên ta được:





0  4 x03  4 x0  0  x0   x04  2 x02



 x0  0



 3 x04  2 x02  0  x02 3 x02  2  0  

2


3

0

-

4

0

+

4

-5
Vậy phương trình đường tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là y = -5.
Câu 12: Chọn C.
Phương pháp:
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ x0 là y '  x0  và có phương
trình y  f '  x0  x  x0   y0
Cách giải:
2

Ta có y '  x 2  6 x  1  y '  x0   x02  6 x0  1   x0  3  8  8 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm
số tại điểm có hoành độ x0, khi đó hệ số góc nhỏ nhất bằng -8 khi và chỉ khi x0  3.
Tại x0  3 ta có y0  14.
Vậy phương tình tiếp tuyến cần tìm là y  8  x  3  14  8 x  10
Câu 13: Chọn C.
Phương pháp:


Tiếp tuyến đi qua M(0;1)



2

 2 x0  12



3  4 x0
2
 1  2 x0   3  4 x0  2 x0  1   2 x0  1
2 x0  1

 x0  1
1
x 
 0 3

 2 x0  8 x02  10 x0  3  4 x02  4 x0  1  12 x02  16 x0  4  0  


Nhận thấy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nên có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài.
Câu 14: Chọn B.
Phương pháp:
Áp dụng công thức phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 là y  y '  x0  x  x0  y0 
Cách giải:
Nhận thấy điểm M thuộc đồ thị hàm số đã cho

2
Ta có: k  y ' 
 


2

4
3

 x  1  2
 x  3  y  3
 x  1
M  3; 


2
2
 
Câu 16: Chọn C.
Phương pháp:
Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong y  f  x  tại điểm x0 bằng f '  x0  .
Cách giải:
y

5 3
x  x 2  4  y '  5x 2  2 x
3

y '  3  5.32  2.3  39


,  x  2  .

12


Hoành độ tiếp điểm M là nghiệm của phương trình

x 1
 0  x  1  M 1;0  .
x2

Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng y  y ' 1 x  1  0  y 

1
1
1
 x  1  x  x 
3
3
3

Câu 19: Chọn A.
Phương pháp:
Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên khoảng K và có đồ thị là được cong (C), phương trình tiếp
tuyến của (C) tại điểm M  a; f  a   ,  a  K  là: y  f '  x  x  a   f  a  .
Cách giải:
y

4

 2  1
y    x  2  3  x  5 .

2

 1  Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 

2x 1
tại A(2;3) là:
x 1

Câu 21: Chọn D.
Phương pháp:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm M  x0 ; y0  có hệ số góc là: k  f '  x0  .
Cách giải:

y  x 3  3 x 2  5(C)  y'  3x 2  6 x  6
Lấy M  x0 ; y0    C  . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  6 x  5 tại điểm M có hệ số góc
2

k  3 x02  6 x0  6  3  x0  1  3  3  kmin  3  x0  1  0  x0  1
x0  1  y0  12  3.12  6.1  5  9

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là: y  y ' 1 .  x  1  y 1  y  3.  x  1  9  y  3 x  6
13


Câu 22: Chọn B.
Phương pháp:
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ x0 là k  f '  x0  .

Cách giải:
x2
giao với trục tung tại M  0;2  .
x 1

Ta có đồ thị hàm số y 

Phương trình tiếp tuyến tại M(0;2) là y  y '  0  x  0   2  y   x  2
Câu 25: Chọn B.
Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm M  x0 ; y0  thuộc đồ thị hàm số là:

y  f '  x0  x  x0   y0 .
Cách giải:
Ta có: y ' 

1  1.3

1  x 

2



2

 x  12

.


 x0  1
 x0  1
2

Đường thẳng d đi qua A  a;1  1  

x 2  6 x0  3
a 0
 x0  12
 x0  12
2

 x02  2 x0  1  2 a  x02  6 x0  3
 2 x02  8 x0  2 a  4  0 (*)

Để có đúng 1 tiếp tuyến của đồ thị đi qua A thì phương trình (*) có nghiệm suy nhất

  '  0  16  2  2 a  4   0
 8  2a  4  0
 a  2.

 S  2 .
Câu 26: Chọn D.
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
Cách giải:
Gọi M  m;5   C  suy ra m 4  3m 2  1  5  m 2  4  m  2.

 y '  2   20
Ta có y '  4 x 3  6 x  

 y   4 x03  4 x0  3 x  3 x04  2 x02  3 x0  3
 y  4 x03  4 x0  3  x  x0   x04  2 x02  3

Tiếp tuyến của đồ thì (C) song song với đường thẳng y  3 x  2018
  x0  1

 x0  1
4 x 3  4 x  3  3
  x0  0

0
0

 
  x0  0
x

1
4
2
3 x0  2 x0  3 x0  3  2018   0
 x0  1
3 x 4  2 x 2  3 x  3  2018

0
0
0

Vậy có tất cả 3 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 29: Chọn C.


 x  1

2

 y 'a  

1

 a  1

2

và y  a  

Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y 

1
.
a 1

1
1
x
2a  1


.
 x  a  y  
2

2
2  a 1 
4
 2 a  1  2
 a  1
2

Suy ra b 

1
1
3

 4. Vậy tích ab  .  4   3.
3
a 1
4
1
4

Câu 31: Chọn D.
Phương pháp:
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, sử dụng điều kiện để hai đường thẳng song song để xác
định số tiếp tuyến cần tìm.
Cách giải:
Gọi M  a; y  a     C  , có y '  a   
y  y  a   y '  a  x  a   y  

8


 y  2  x  5  7
 y  2 x  17
Khi đó, phương trình 

.
y


2
x

1(ktm)
y


2
x

1

1




Câu 32: Chọn D.
17


Phương pháp:


x
2

x 1

 y '  0   1; y  0   1  Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành

độ x  0 là: y  y '  0  x  0   y  0   1  x  0   1  x  1
Câu 35: Chọn A.
Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y  f x

tại điểm có hoành độ

x0

là:

y  f '  x0  x  x0   y0 .
Cách giải:
Ta có: y ' 

2x 1
x2  x  1

 y ' 1  1
18


Câu 38: Chọn C.
Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm M  x0 ; y0  là y  f  x0   f '  x0  x  x0 
Cách giải:
TXĐ:  \ 1 .
Ta có y ' 

x2  2x  2

 x  12

1
 1 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A  1;  là: y  y ' 1 x  1 
2
 2 

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là  d  : y 

1
1
 x  1  .
4
2

Câu 39: Chọn B.
Phương pháp:
19


Vậy có hai tiếp tuyến song song với trục hoành.
Câu 41: Chọn C.
Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ

x  x0 là

y  f '  x0  x  x0   y0 .
Cách giải:
TXĐ: D = R.





2

Ta có y '  3 x 2  6 x  9  y '  x0   3 x02  6 x0  9  3 x02  2 x0  1  6  3  x0  1  6  6

 y '  x0 min  6  x0  1  y0  2
Do đó phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất là y  6  x  1  2  6 x  4.
Câu 42: Chọn B.
Phương pháp:
Tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị và yCD . yCT  0.
Cách giải:
20


Ta có y '  3 x 2  x  3m
Để hàm số có 2 cực trị    0  m  1.


Câu 44: Chọn D.
Phương pháp:
Cho hàm số  C  : y  f  x 
Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M  x0 ; y0    C  là: y  f '  x0  x  x0   y0

 f '  x0   6
Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  6 x  4  
 f '  x0  .   x0   y0  4
Cách giải:
Ta có: y '  3 x 2  3
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M  x0 ; y0    C  là:





y  3 x02  3  x  x0   y0

21


 
 y   3 x02  3 x  2 x03  2.

 y  3 x02  3 x  3 x03  3 x0  x03  3 x0  2

3 x 2  3  6
0
Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  6 x  4  

4
 SOAB  .6 82.
 12
2
82

22