SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
--o0o--

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11
SỬ DỤNG PHÉP DỜI HÌNH VÀO
GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
VÀ SÁNG TẠO MỘT SỐ BÀI TẬP CÙNG MỨC ĐỘ.

Người thực hiện: Nguyễn Lê Thiêm
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2019
1


MỤC LỤC
Mục

Nội dung

Trang

I

Đặt vấn đề

2


2.1

Cơ sở lý luận của SKKN

4

2.2

Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN

4

2.2.1

Thời gian và đối tượng thực nghiệm

4

2.2.2

Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên

4

Giải pháp và tổ chức thực hiện

5

Kiến thức cơ bản SGK

17

2.3
2.3.1
2.3.2

2.3.3
2.4
III

Kết luận và đề xuất

18

1

Kết luận

18

2

Kíến nghị

18

Tài liệu tham khảo

20


em chưa có ý thức tham gia sáng tạo, liên kết kiến thức giữa các phần này và
phần khác, phân môn này và phân môn khác để tạo ra kiến thức và phương pháp
làm toán một cách tổng hợp.
Sách giáo khoa toán sử dụng trong nhà trường phổ thông cung cấp cho
người dạy và người học các mảng kiến thức cơ bản. Trên cơ sở của các bài tập
trong sách giáo khoa, chúng ta có thể giúp học sinh sáng tạo ra các bài tập khác.
Thực tế nhiều năm giảng dạy và ôn luyện học sinh thi THPTQG tôi nhận
thấy nội dung của chương I hình học lớp 11 có thể ứng dụng vào giải một số bài
tập tọa độ trong mặt phẳng chương III hình học 10 và sáng tạo một số bài tập
cùng mức độ với bài toán gốc.
Để tạo hứng thú cho học sinh giải quyết tốt lớp các bài tập tọa độ trong
mặt phẳng. Tôi đã chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 11 sử dụng phép Dời

3


hình vào giải một số bài tập tọa độ trong mặt phẳng và sáng tạo một số bài
tập cùng mức độ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Bổ sung phương pháp làm bài tập cho học sinh, tạo hứng thú trong học
tập, giảm căng thẳng.
Giúp học sinh năm vững các phép dời hình cơ bản, để ứng dụng các phép
dời hình vào giải và sáng tạo một số bài toán tọa độ trong mặt phẳng. Từ đó
nâng cao kết quả học tập của học sinh.
1.3. Đối tượng ngiên cứu:
Các phép dời hình cơ bản: Phép tịnh tiến, Phép đối xứng trục, phép đối
xứng tâm và ứng dụng của nó trong giải bài tập hình học tọa độ trong mặt phẳng
và sáng tạo một số bài tập cùng mức độ với bài toán gốc.
Giới hạn của đề tài: Xuất phát từ nhiệm vụ: Là giáo viên trực tiếp giảng
dạy môn toán và ôn luyện cho học sinh thi THPTQG. Vì vậy trong nội dung của

vững, phân biệt các phép Dời hình và vận dụng vào giải một số bài tập tọa độ
trong mặt phẳng. Tôi đã suy nghĩ, tìm tòi, thử nghiệm và rút ra được kinh
nghiệm dạy cho học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức chương 1 hình học lớp 11.
Với cách dạy này đa số học sinh giải được các bài toán phù hợp với khả
năng và năng lực của mình; làm tốt bài kiểm tra. Một số em có học lực khá có
thể sáng tạo ra các bài toán mới có nội dung và mức độ tương đương với bài
toán gốc.
Phạm vi của đề tài chỉ nghiên cứu ở việc dạy, hướng dẫn học sinh giải toán
theo các hoạt động nhằm nâng cao năng lực giải toán cũng như vận dụng các
kiến thức vào việc sáng tạo bài toán mới có nội dung và mức độ tương đương
với bài toán gốc.
Trước khi áp dụng trên các đối tượng học sinh lớp 11 trong 2 khóa khác
nhau. Tôi nhận thấy các em ít sử dụng kiến thức được học ở lớp 11 vào giải một
số bài tập phần tọa độ trong mặt phẳng mà hầu hết các em chỉ sử dụng kiến thức
của lớp 10 để giải.
Tôi nhận thấy đa số học sinh không chú tâm học phần phép dời hình và
phép đồng dạng. Dẫn đến việc tiếp thu kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh
chưa hiệu quả. Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ:
- Các em còn lúng túng trong việc phân biệt các phép dời hình, tìm ảnh của
một hình qua một phép dời hình cụ thể.
- Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc còn hạn chế.
- Sự ham mê tìm tòi trong giải toán chương này của học sinh chưa thực sự
tốt.
5


- Nhiều học sinh có tâm lí sợ học môn hình học.
Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em. Thực sự là khó
không chỉ đối với học sinh mà còn khó đối với cả giáo viên trong việc truyền tải
kiến thức tới các em. Nên chưa thực sự phát huy hết mặt mạnh của học sinh.

=
b
y
=
y
'
−
b


x ' = x + a
Từ đó suy ra 
y' = y + b

(1’)

Biểu thức trên được gọi là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Tvr .
Phép đối xứng trục [1]:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho M(x; y) và M’(x’; y’). Khi đó nếu
x ' = x
+) ĐOx ( M ) = M ’ thì 
.
y' = −y

(2a)

x ' = −x
+) ĐOy ( M ) = M ’ thì 
.
y' = y

r
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v = (2; −1) , điểm M(3; 2). Tìm tọa độ
của các điểm A sao cho:
a) A = Tvr ( M )

b) M = Tvr ( A )
Giải

Học sinh thường giải:

uuur r
Giả sử A(x; y), để A = Tvr ( M ) thì MA = v .
uuur
Trong đó: MA = ( x − 3; y − 2 )
x − 3 = 2
x = 3 + 2
x = 5
⇒ A(5; 1)
⇔
suy ra: 
⇔
y
−
2
=
−
1
y
=
2

x = 1
⇒ A(1; 3)
⇔
b) Khi đó 
2
=
y
−
1
y
=
3


Bình luận: Đây là một bài toán cơ bản đối với việc giải toán tọa độ. Các em có
thể chỉ cần nhớ biểu thức tọa độ để giải là được.
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho điểm A(1; 2) tìm tọa độ điểm B đối
xứng với A qua đường thẳng d: y = x
Giải
Học sinh thường giải:
r
r
u
Gọi u là VTCP của đường thẳng d ⇒ ( 1;1) . B(x; y) là điểm đối xứng với A qua
d và H là trung điểm của AB
uuu
rr
 AB.u = 0 ( 1)
A, B đối xứng nhau qua d ⇔ 
( 2)

Bình luận: Đây là một bài toán cơ bản đối với việc giải toán tọa độ. Các em
thường giải bằng các bước:
- Lập phương trình đường thẳng d’ qua A và vuông góc với d.
- Xác định tọa độ giao điểm của d và d’.
- xác định tọa độ B sao cho H là trung điểm AB.
Cách giải này cơ bản nhưng dài, chúng ta có thể giải bằng suy luận sau:
- Nếu điểm A ( a; b ) thì điểm đối xứng với A qua phân giác góc phần tư thứ nhất
là B ( b; a ) .
- Cách giải này giúp rút ngắn thời gian, phù hợp với việ giải toán trắc nghiệm.
r
Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho véctơ v(1; −3) , đường thẳng d có
phương trình: x + 2 y − 3 = 0 . Lập phương trình đường thẳng d’ là ảnh của
r
d qua phép tịnh tiến theo vectơ v .
Giải
8


Cách 1: Dùng tính chất của phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến biến một đường thẳng
thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó [1].
Vì d’//d nên phương trình tổng quát của d’ có dạng x + 2 y + c = 0 . M’ thuộc d’.
Chọn M ( 1;1) thuộc d.
Gọi M ’ = T ( M ) = ( 2; −2 ) và M’ thuộc d’ ⇒ 2 + 2.( −2 ) + c = 0 ⇔ c = 2 .
Vậy phương trình đường thẳng d’ là: x + 2 y + 2 = 0 .
Cách 2 : Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến [1].
r x ' = x + 1
 x = x '− 1
⇔
v


⇔
y − 2 = 3 y = 5
Phương trình đường tròn cần lập: ( x − 3) + ( y − 5 ) = 9 .
2

2

Cách 2. Sử dụng biểu thức tọa độ:
x ' = x + 2
 x = x '− 2
⇔
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Tur là: 
.
 y ' = y + 3  y = y '− 3
9


Vì M’(x’;y’) thuộc (C’) nên: ( x '− 2 − 1) + ( y '− 3 − 2 ) = 9
2

2

⇔( x − 3) + ( y − 5 ) = 9
2

2

Vậy đường tròn cần lập có phương trình: ( x − 3) + ( y − 5 ) = 9 .
2


r
Ta có: BA = (−4; −2) . Giả sử điểm D ( x; y ) ⇒ CD = ( x − 2; y − 3) .
 x − 2 = −4  x = −2
uu
r (C ) = D
⇔
ABCD là hình bình hành ⇒ TuBA
⇔
.
 y − 3 = −2  y = 1
Vậy D(-2; 1).
Nhận xét:
- Bài này học sinh thường giải bằng cách này, song ít em nhận ra đây là
kết quả của phép tịnh tiến mà thường cho là tính chất của hình bình hành.
- Giáo viên khi hướng dẫn học sinh giải nên chỉ ra đây là phép tịnh tiến để
học sinh cảm thấy phép biến hình gần với chúng ta hơn từ đó có thêm
hứng thú với phép biến hình.

10


Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình bình hành OABC. Có: A(-2;1) và B
thuộc đường thẳng (∆) có phương trình: 2x − y − 5 = 0 . Tìm tập hợp điểm
C?
Giải
Vì OABC là hình bình hành nên:
uuu
r uuur
BC = AO = (2; −1)
r

- Phân tích cho HS kỹ thuật áp dụng phép biến hình.
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho: B(-2;2) và C(-3;1) nằm trên đường tròn
có tâm I(-3;2), điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Tìm quỹ tích trực tâm
H của

∆

ABC.
Giải:

Ta có: phương trình đường tròn (C): (x + 3)2 + ( y − 2) 2 = 1 .
phương trình đường thẳng BC: x − y + 4= 0
Theo kết quả bài toán 1 trang 7 SGK hình học 11 NC.
Gọi (C’) là đường tròn đối xứng với (C) qua BC.
phương trình đường tròn (C’) ( x + 2 ) 2 + ( y − 1) 2 = 1 .
Vậy quỹ tích H là đường tròn (C’) trừ hai điểm B và C.
Nhận xét: Khi giải bài tập này, chúng ta đã sử dụng một kết quả đẹp trong SGK
hình học 11 NC.
Chúng ta có thể sử dụng phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm để giải bài toán này.
11


Bài 4 [2]: Cho A(1;2) và B(3;4). Tìm P trên Ox sao cho tổng khoảng cách từ P
đến A và B là nhỏ nhất.
Giải:
Ta có A, B khác phía đối với Ox.
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua Ox ⇒A’(1; -2).
Ta có: PA + PB = PA’ + PB ≥ A’B .
PA + PB ngắn nhất khi và chỉ khi P là giao điểm của A’B với Ox.
Phương trình A’B: 3 x − y − 5 = 0

2 

 y = 0
Và C là giao của A1A2 với ∆. Tọa độ C là nghiệm của hệ:
5
x − y = 0
5 5
2 x + y − 5 = 0 ⇔ x = y = suy ra C  ; ÷ .
3
3 3

Nhận xét: Để giải được bài tập này, chúng ta đã sử dụng kết quả của bài 5 và
tổng các đoạn gấp khúc: AB + BC + CA = A1B + BC + CA2 ≥ A1A2 .

12


2.3.4. Sử dụng phép dời hình để sáng tạo các bài toán có cùng mức độ với
bài toán gốc.
Phương pháp và các bước sử dụng Phép dời hình để tạo bài toán mới.
Phép dời hình f : H ® H ' , ta có H là tạo ảnh (vật) còn H' là ảnh. Khi vận
dụng phép biến hình để tạo đề toán thì xem đề toán đã cho là tạo ảnh (vật) "H"
còn bài toán mới cần tìm là ảnh "H'".
"H": là bài toán gốc có thể có các đối tượng "Điểm; Đường thẳng; Mặt
phẳng" có chứa biến x; y; hoặc có các đối tượng góc, khoảng cách.
"H'": là bài toán mới được hình thành từ bài toán gốc thông qua phép biến
hình f.
a) Tạo các bài toán mới từ các bài toán gốc chúng ta làm theo các bước sau:
Phương pháp 1.
Bước 1. Từ một trong các công thức (1), (2a), (2b), (3) thay vào các đối tượng

Từ hình H ta có hình H1:
+) d trở thành d1 như sau: 2( x '- 2) - ( y '- 3) + 3 = 0 Û 2 x '- y '+ 2 = 0
ìï x =- 3
+) Điểm A: ïí
trở thành
ïïî y = 2

ìïï x '- 2 =- 3
Tọa độ A1
í
ïïî y '- 3 = 2

ìïï x =- 1
+) Đáp án: Điểm B í
chuyển thành
ïïî y =1

ìïï x ' =- 1
í
ïïî y ' = 5

ìïï x '- 2 =- 1
Tọa độ B1
í
ïïî y '- 3 =1

ìïï x ' =1
í
ïïî y ' = 4


+) Đáp án: Điểm B ïí
chuyển thành B1
ïïî y =1

ïìï x ' =- 1
í
ïïî y ' =1

14


 x ' = 2a − x
Bước 2. Áp dụng công thức 
(3’) với
 y ' = 2b − y

a = 2
ta được

b = 1

x ' = 4 − x

y' = 2 − y

Từ hình H1 thành H'.
+) d1 thành d': 2( 4 - x) - ( 2 - y ) + 3 = 0 Û 2 x - y - 9 = 0
ìï x ' =- 3
+) Điểm A1 ïí
trở thành

c) Sử dụng phép biến hình tạo các bài toán đại số mới.
Chúng ta có thể sử dụng hai Phương pháp trên để tạo ra các bài toán hệ
phương trình (hai ẩn) mới từ bài toán gốc.
Đối với các bài toán về hệ phương trình ba ẩn thì tôi sẽ trình bày trong đề
tài khác. (Đối với hệ ba biến (x;y;z) việc vận dụng tạo ra các bài toán mới hoàn
giống như việc tạo ra các bài toán trong chương "Phương pháp tọa độ trong
không gian").
Sau đây là một số bài toán làm ví dụ thể hiện việc sử dụng phép biến hình
tạo ra các bài toán đại số mới có mức độ khó tương đương với bài toán gốc.
 xy + x + y = x 2 − 2 y 2
Bài toán gốc. Giải hệ phương trình sau: 
 x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y

( 1)
( 2)

Giải:
Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ 0.
PT (1) ⇔ x 2 − xy − 2 y 2 − ( x + y ) = 0
⇔ ( x + y ) ( x − 2 y − 1) = 0

⇔ x − 2 y − 1 = 0 (vì theo điều kiện thì x+y >0 ).
⇔ x = 2 y + 1 Thay vào PT (2) và biến đổi ta được:

( y + 1) (

)

2y − 2 = 0 ⇔ y = 2 ⇒ x = 5
15

 xy − 3x − 6 y + 6 = x 2 − 2 y 2
Giải hệ phương trình sau: 
.
( x + 1) 2 y − 4 − ( y − 2 ) x = 2 ( x − y + 3)
x = 4
Đáp số: 
.
y = 4
Bình luận: Nếu đối với học sinh khá trở lên thì bản chất của việc làm trên là
phép đặt ẩn phụ trong đại số.
Tuy vậy tôi vẫn nhận thấy học sinh có hứng thú với cách làm theo hướng tịnh
tiến.
Với cách làm tương tự:
ur
Với véc tơ tịnh tiến m( 2;1) ta được bài toán thứ hai:
Bài toán mới 2.

16


ìï xy - 2 x + 7 y + 3 = x 2 - 2 y 2
ï
Giải hệ phương trình sau: í
ïï ( x + 2) 2 y + 2 - ( y +1) x +1 = 2 x - 2 y + 2
î
ìïï x = 3
Đáp số: í
.
ïïî y =1


1
k- 1
ïï x = x '+
a
ï
k
k
í
ïï
1
k- 1
b
ïï y = y '+
k
k
ïî

(4) hoặc

ïìï x ' = kx - ( k - 1) a
í
ïï y ' = ky - ( k - 1) b
î

(4*)

*) Áp dụng:
Chọn I ( 1;1) và tỷ số k = 2
ìï 8 y 3 - 12 y 2 + 8 y - 2 = 8 x 3 + 2 x
ï

Nghiên cứu đề tài này đối với học sinh lớp 11A1, 11D2 năm học 20162017 và áp dụng trên đối tượng học sinh các lớp 11A3, 11A7, 11A10 năm học
2018-2019 tôi đã thu được kết quả sau khảo sát như sau:
- Số học sinh có hứng thú với việc học phần phép biến hình và áp dụng vào giải
bài tập tọa độ trong mặt phẳng tăng lên.
Lớp

Chiều hướng hứng thú
học tập

Tỷ lệ %

11A3 (Ban KHTN)

Tăng

85%

11A7 (Ban KHXH)

Tăng

65%

11A10 (Ban KHXH)

Tăng

68%

- Quan trọng hơn học sinh đã cảm thấy hứng thú hơn với môn hình học, không

Về người học:
- Chăm chỉ nắm chắc lý thuyết.
- Có ý thức học tập, hiểu vấn đề một cách sâu sắc.
- Biết chuyển đổi ngôn ngữ từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ Toán.
- Có óc tưởng tượng, phán đoán lôgíc.
3.2. Kiến nghị:

19


Nhà trường nên tạo điều kiện để các SKKN đến được với đông đảo học
sinh và phụ huynh cũng như người yêu toán để chúng ta có thể tìm hiểu sâu hơn
kiến thức.
Nhà trường nên tạo điều kiện để có các buổi sinh hoạt chuyên đề, thảo luận
chuyên đề tự chọn để giáo viên và học sinh có thể trao đổi thẳng thắn với nhau
về các vấn đề, từ đó có thể rút ra các phương pháp phù hợp với từng đối tượng
học sinh.
Thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài nên đề tài của tôi không tránh
khỏi còn nhiều hạn chế. Rất mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp, học
sinh và người yêu thích Toán học để tôi có thể hoàn thiện đề tài hơn nữa.
XÁC NHẬN CỦA

Thanh Hóa, ngày 14 tháng 05 năm 2019

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.