1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
Từ năm 2017 môn Toán trong kỳ thi THPT Quốc gia chuyển từ bài thi tự
luận thành bài thi trắc nghiệm nên đề thi có rất nhiều đổi mới về cấu trúc đó là:
- Tăng số lượng các câu dễ.
- Đề thi có tính phân loại cao.
- Nội dung kiến thức bao phủ toàn bộ chương trình lớp 12, vì vậy xuất hiện
một số dạng toán mới chưa từng xuất hiện trong các bài thi tự luận trước đây,
điển hình là bài toán tính tích phân chứa hàm ẩn.
Trong khi đó các bài toán trắc nghiệm dạng tính tích phân chứa hàm ẩn tôi
thấy trong sách giáo khoa và sách tham khảo đề cập chưa nhiều, tài liệu nêu
phương pháp giải dạng toán này còn ít, học sinh thực sự gặp khó khăn, thường
lúng túng khi gặp những dạng bài toán này.
Với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay, thì việc giải nhanh các bài toán
là yêu cầu hàng đầu của người học. Phương pháp giải nhanh một bài toán sẽ
giúp học sinh tiết kiệm được thời gian làm bài, rèn luyện được tư duy và năng
lực phát hiện vấn đề.
Vì những lí do trên để giúp các em có được kỹ năng, kỹ xảo khi gặp các
bài toán trắc nghiệm dạng tính tích phân chứa hàm ẩn trước khi bước vào những
kì thi quan trọng của lớp 12 tôi đã lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Một
số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 12 giải nhanh bài toán trắc nghiệm dạng
tính tích phân chứa hàm ẩn”
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Giúp cho các em học sinh lớp 12 có được kỹ năng, kỹ xảo khi giải các bài
toán tính tích phân chứa hàm ẩn nói chung, các bài toán tích phân nói riêng để
các em có sự chuẩn bị tốt nhất trong các kỳ thi quan trọng của lớp 12.
Những kiến thức đưa ra phải chính xác, có chọn lọc để phù hợp với khả
năng tiếp thu của học sinh, đảm bảo tính vừa sức và tính sáng tạo của học sinh,
dựa trên kiến thức sách giáo khoa và tài liệu tham khảo.
Giúp học sinh có thể chủ động để giải quyết tốt các bài tập thuộc từng
dạng đồng thời lựa chọn được cách giải nhanh nhất trong lúc làm bài thi trắc

Tính chất 1:
b

b

a

a

kf ( x)dx  k �
f ( x )dx
�

Tính chất 2:
b

b

b

a

a

a

f ( x )dx ��
g ( x)dx
 f ( x) �g ( x) dx  �
�

a

u (a )

f ( x )dx 
�

�g(u)du

- Phương pháp tính tích phân từng phần.
Định lí: Nếu u  u  x  và v  v  x  là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên
đoạn  a; b , thì
b

b b
udv  uv  �
vdu
�
a a
a

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh thường mắc những khó khăn
sau:
- Học sinh không biết cách liên hệ giữa tích phân cần tính với tích phân cho
trước trong đề bài cũng như chọn tích phân nào để xét.
- Học sinh còn lúng túng trong việc chọn phương pháp giải hoặc chọn
phương pháp giải tối ưu để tìm ra phương án đúng trong khoảng thời gian ngắn
nhất.
2

2

và

1

5
2

g ( x) dx  1 . Tính
�

I

1

7
2

A. I  .

2

B. I  .

C. I 

 x  2 f ( x)  3g ( x) dx .
�


2

giản

xdx .
�

1

Giải:
2

2

1

1

2

I�
xdx  2 �
f ( x )dx  3 �
g ( x )dx 
1

x2 2
17
. Chọn phương án C.
 2 .2-3.(-1) =


2

f ( x)dx
�

bằng

1

D.

16
.
7

Phân tích
- Cận của các tích phân trong bài toán không thay đổi.

3


- Sử dụng các tính chất 1 và tính chất 3 của tích phân ta có thể phân tích
2

2

1

1

là ẩn thì ta có hệ phương trình

1

bậc nhất hai ẩn.
Giải:
2

f ( x)dx  a,
Đặt �
1

2

g( x )dx  b .
�
1

2

2

2

1
2

1
2


�
7
� �
��
f ( x)dx   .Chọn phương án B
Từ (1) và (2) ta có: �
11
7
�2a  b  3
1
�
b
� 7

Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) liên tục trên  a; b , nếu

d

f ( x)dx  5
�

d

và

a

f ( x)dx  2
�


b

f ( x)dx
�

d

theo các tích phân đã biết là

a

f ( x)dx
�

d

và

a

f ( x)dx .
�
b

Giải:
b

d

b

0

khi đó

2

10

0

6

6

f ( x)dx  3 ,
�
2

f ( x)dx  �
f ( x)dx bằng
�

A. 3.
Phân tích

B. 2.

C. 4.

D. 1.  3

Ta có:

2

f ( x)dx  �
f ( x) dx
f ( x)dx  �
�f ( x)dx  �
0

�

10

6

0

6

2

2

10

10

6



g ( x) dx  5 , khi đó �
 f ( x)  2 g ( x) dx bằng
và �

A. -3.

B. 12.

D. 1.  4

C. -8.

Bài 2: Cho f ( x) , g ( x) là các hàm số liên tục trên  a; b với a  b ,

b

f ( x)dx  3 và
�
a

b

 3 f ( x)  5 g ( x) dx  4 . Tính
�
a

A.

I  1 .

�
�dx.
2
1

A.

I  11.

B.

Bài 4: Cho hàm số

I

7
2

C.

I  19.

D.

I  3.  5
9

f  x  dx  7 và
liên tục trên đoạn  1;9 thỏa mãn �


f  x  dx  �
f  x  dx.

C. P  10.

D. P  2.  6

4

4

2

2

f  y  dy.
�f  t  dt  4 . Tính I  �

B. I  3.

C. I  3.

D. I  5.  7

Dạng 2: Sử dụng phương pháp đặc biệt hóa.
1. Phương pháp.
Bước 1: Đặc biệt hóa hàm số hoặc đặc biệt hóa đối số để tìm ra được một
hàm số đơn giản nhất thỏa mãn các điều kiện đề bài.
Bước 2: Suy ra hàm số trong tích phân cần tính, thay vào tích phân đó rồi
tính.

- Hàm số đơn giản nhất thuận lợi cho việc giải toán là hàm đa thức
1

- Vì đề bài chỉ có một điều kiện là
f  x  là hàm hằng thỏa mãn điều kiện này
b

f  x  dx  2018
�

nên luôn tồn tại hàm

0

d

c.dx  d � c(b  a)  d � c 
- Nếu �
Với a; b; c; d là hằng số, a �b
ba
a

Giải:
Cách 1:
Chọn hàm số f ( x) 

4


4

4
t
0
1
1
1
dt 1
1
f  t  �
f  t  dt  .2018  1009. Chọn phương án C.
Ta có: �
2 20
2
0
x

0

Nhận xét
- Đối với cách 1, học sinh có thể chọn ngay được hàm số f  x  là hàm
hằng thỏa mãn đề bài. Từ đó kết hợp với sử dụng MTCT để tìm ra giá trị của
tích phân cần tìm một cách nhanh chóng.
- Đối với cách 2, liên quan đến nhiều phép toán hơn đặc biệt là các phép
toán có liên quan đến lượng giác thì học sinh hay lúng túng và hay tính sai.
Ví dụ 2: Cho f ( x) là hàm số chẵn có đạo hàm trên đoạn  6; 6 . Biết rằng
2

3

1

1

3

�f (2 x)dx  3 nên

1

trong các hàm đa thức chẵn đơn giản: f ( x)  a; f ( x)  ax 2  b; f ( x)  ax 4  bx 2  c;...
thì hàm hằng f ( x)  a không thể thỏa mãn hai điều kiện trên. Vậy ta chọn f  x 
có dạng f ( x)  ax 2  b là đơn giản nhất.
Giải:
Cách 1
2
Chọn hàm số f ( x)  ax 2  b � f  2 x   4ax  b
2
�2
�2
�2 2
2
f
(
x
)
dx

8
ax

b

� f (2 x)dx  3
� 4ax 2  b dx  3 �4a x 2 dx  b dx  3
�
3
�


�
��
��
� �
�1
�1
� 1
1
1
�
a
�
1
115
�
14
��
� f ( x)   x 2 
115
14
42
�
b

3

1

1

f (2 x)dx  �
f  2 x  dx  3
Xét J  �

Đặt t  2 x � dt  2dx
Đổi cận:
x
t
6

Khi đó J 

6

6

1
1
f  t  dt  �
f  x  dx  3 � �
f  x  dx  6
�
22
22

những bài toán tương tự.
- Đối với cách 2, liên quan đến nhiều tính chất và đòi hỏi kỹ năng giải
toán cao hơn.
Ví dụ 3: Cho f ( x) là hàm số có đạo hàm trên tập hợp � và thỏa mãn f (3)  2
0

2

f (3 x  6) dx  3 . Giá trị của
và �
1

A. 3.
Phân tích

B. 11.

x. f
�

'

( x )dx bằng

3

C.

6.


 ab  3 �
�2
�2
�
2
�� 3
Ta có: � f (3x  6)dx  3 � �a (3x  6)dx  b dx  3 � � 2
�
��
��
�
�
3a  b  2
b4
�
�
�1
�1
1
0
0
2
2
x. f ' ( x )dx  �
x. dx  3 . Chọn phương án A.
� f ( x)  x  4 . Vậy: �
3
3
3
3

Khi đó J  3 �
3 3
3
3
0

Xét I 

x. f
�

'

( x)dx

3

ux
du  dx
�
�
�
�
v  f  x
dv  f '  x  dx �
�

Đặt �

Ta có: I  x. f  x 


I  1  ln 4.

B.

I  4  ln 2.

C.

1
I  ln 2  .
2

D.

I

1
 ln 4.  11
2

8


Phân tích
- Hàm số f  x  đơn giản nhất thuận lợi cho việc giải toán là hàm đa thức.
- Trong các hàm số đa thức thì hàm hằng không thể thỏa mãn hai điều
kiện f (1)  1 và f (2)  4 nên ta chọn hàm số f  x  đơn giản nhất có dạng
f ( x)  ax  b.


dx


dx



dx

dx
Do đó:
�
� �
�
� �
�
� 2�
2
2
2 �
�
�
x
x
x
x
x
x
x
x

dx
dx
Ta có: I  � dx  2�  � 2 dx  �2
x
x 1 x
x
1
1
1
2

�
u  f  x
�
du  f '  x  dx
�
�
�
dx � �
1
dv

v
�
�
2
x
�
x
�

12
dx 1
dx
�I �
dx  2�  f  2   f  1  �
dx  �2  2 ln x  f  2   f  1 
1 2
x1
x
x 2
x
x
1
1
1
1

1
1
1
1
 2 ln 2  .4  1   1  2 ln 2   ln 4  . Chọn phương án D.
2
2
2
2

Nhận xét
- Đối với cách 1, cách làm đơn giản hơn, phép toán ít và đơn giản dẫn đến
tiết kiệm được thời gian trong lúc làm bài thi.

Giải:
Chọn hàm số f ( x)  f ( x) 
3
2

3
2

3

2

3

2

1

�f ( x)dx  �2

Ta có: I 

1
2  2 cos 2 x
2

2  2 cos 2 xdx  6 . Chọn phương án D.

1 �
�

I .
2

D.

7
I .
2

Phân tích
1
�1 �
Nếu ta đặc biệt hóa đối số bằng cách thay x bởi thì f  x  thành f � �
x
x
��

1

1

��
��
và f � �thành f  x  . Do đó khi xem f  x  và f � �là ẩn thì ta có hệ phương
x
x
��

��


2
�
��
�
��
� �
� f  x   x
�
x
�1 � 6
�f �1 � 2 f ( x)  3
�
4 f ( x)  2 f � �
�
�
�
�
x
�x � x
� �x �
�
2
2
2
f  x
�2
� �2
� 3
dx  �
  x �1  . Chọn phương án B.

2
2�
�
2

2

�1 ��
�1 �
f � ��
2
2 f � �
x
�x ��
dx  3�
dx  2�� �
dx
x �
x
1
1
�
2
2
�

10


�1 �

2
2
f  t
f  x
�1�
J

tf
t

dt

dt

dx  I


Khi đó
� 2� �
�
�
x
�t � 1 t
1
2
2
2

2




A.

2

2
I
.
2019

B.

I

1
.
2019

C.

I

1
.
1009

D.

I

x sin x dx 
Do đó I  2019 �
.
2019



2

Chọn phương án A.

11


3. Bài tập tự luyện
2

Bài 1: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên � , thỏa mãn f (2)  16 và

f ( x)dx  4 .
�
0

4

x

��
x. f ' � �
dx.


0

3

f ( x)dx  8.
�
0

1

f  2 x  1  dx.
Tính tích phân I  �
1

A. I  6.
B. I  3.
C. I  4.
D. I  5.
Bài 3: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 , thỏa mãn
2

1

1

0

x 3 f  x 2  dx.
f ( x  1)dx  3 và f (1)  4. Tính tích phân I  �



2

f  x  dx.
�




A.

I  2.

2

2
I .
3

B.

C.

3
I .
2

D.



I  20.

7

I �
x. f ( x) dx.
3

I  40.

A.
B.
C.
Dạng 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số.
1. Phương pháp.

I  60.

D.

I  80.

b

f  x  dx thích hợp trong bài toán (thường là tích phân phức tạp
Xét tích phân I  �
a

hơn)

2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên �, thỏa mãn f  3x   f  x   2 x với
1

x �� và

f  x  dx  5. Giá trị
�
0

3

f ( x) dx bằng
�
1

A. 4.
B. 10.
C. 7.
D. 12.  14
Phân tích
- Khi đưa ra bài toán này, giáo viên đặt vấn đề yêu cầu các em thử giải
theo phương pháp đặc biệt hóa như ở trên.
- Sau khi thấy các em gặp khó khăn không thể vượt qua là tìm được một
hàm số thỏa mãn điều kiện đề bài thì giáo viên giới thiệu cho các em thêm một
kỹ năng khác khi trong đề bài cho một phương trình hàm đó là lấy tích phân hai
vế rồi kết hợp với các phương pháp đổi biến số hoặc phương pháp từng phần để
giải.
Giải:
Ta có:

Đổi cận:
x
t

0
1
0
3
1
3
3
3
1
1
4

f
(3
x
)
dx

f
t
dt

f
x
dx
�


0

1

1

0

0

f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx � �
f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx  12  5  7
�

Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x) liên tục trên �, thỏa mãn

9

x

và

3

f  sin x  cos xdx  2. Tính tích phân


nên nghĩ đến việc xét

a

các tích phân cho trước và sử dụng phương pháp đổi biến số.

13


Giải:
- Xét

9

 x  dx  4 . Đặt t 

f

�

x

1

x � t 2  x � 2tdt  dx

 

9 f

0
0
0
� 2

Đổi cận: �

3

1

3

0

0

1

f ( x )dx  �
f ( x)dx  �
f ( x)dx  4. Chọn phương án C.
Vậy I  �

Nhận xét
Sử dụng phương pháp đổi biến số vào những tích phân phức tạp hơn và có dạng
b

g  u  x   .u  x  dx
�


�x
0

A. I  2.
Giải:
- Xét

B.

I  6.

C.

I  3.

D.

I  1.


4

dt
t  tan x � tdt  (tan 2 x  1)dx  (t 2  1)dt � dx 
.
Đặt
f
tan
x

2
�
�
x

�
t

1
t

1
x

1
�
0
0
0
� 4
1
1
1 2
f  x
x f ( x)
f ( x)dx  �2
dx  �2
dx  4  2  6 . Chọn phương án B.
Vậy I  �
x 1


I

ak
.
2

D.

I  ak .

Giải:
a

dx
- Xét I  �
. Đặt t  a  x � dt   dx
k  f ( x)
0
�x  0 � t  a
�x  a � t  0

Đổi cận: �

14


a

a

0

a

a
f  x  dx a k .dx
a
� 2k .I  �
�
�
dx a � I 
. Chọn phương án B.
k  f  x  0 k  f ( x) 0
2k
0
a

3. Bài tập tự luyện
2

f  x 2  1 xdx  2. Khi đó
Bài 1: Cho �
1

5

f  x  dx
�

bằng

D.

1
I .
4

Bài 3: Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  0; a  , biết rằng với x � 0; a  ,
a

ta có f ( x)  0 và
A.

f  x  . f (a  x )  1 . Tính I  �
0 1

I  a.

B.

a
I .
2

C.

dx
f  x

.


dx  1. Tính tích phân I  � x dx.
1
2

4

I  1.

B.

I  2.

C.

I  3.

D.

I  4.

Dạng 4: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
1. Phương pháp.
Bước 1: Xét tích phân thích hợp.
Bước 2: Đặt u và du từ đó tính du và v.
Bước 3: Áp dụng công thức tích phân từng phần.
b

b b
udv


phần, bằng cách đặt: �
dv  f '  x  dx �
v  f  x
�

15


2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên  0;1 thảo mãn
1

1

0

0

'
x�
f  x  dx .
�
�f  x   2 �
�dx  f  1 . Tính tích phân I  �

I  2.

A.

B.


1

f  1  �
x�
x. f
�f  x   2 �
�dx  �
'

Ta có

0

0

'

1

1

0

0

2 xdx  �
x. f '  x  dx  1
 x  dx  �


Tính tích phân I  �
1

A.

I  b  a.

B.

I  a  b.

C.

I  a  b.

D.

I  a  b.

Phân tích
'
- Tích phân cho trước có chứa đạo hàm f  x  , tích phân phải tìm không
chứa đạo hàm.
b

g  x  . f '  x  dx nên khi sử dụng
- Trong đề bài tích phân cho trước có dạng �
a

phương pháp tích phân từng phần sẽ biến đổi ra tích phân chứa hàm số f ( x)

f  x  dx
 x  1 f  x  dx   x  1 f  x   �
Ta có �
1 1
1
1
'

16


2

2

2

1

1

1

��
f  x  dx  a � �
f  x  dx  b  a . Chọn phương án A.
 x  1 f '  x  dx  a � b  �





I  7.

D.

I  13.

Phân tích
Tích phân cho trước


2

f '  x  .c os xdx
�
2

'
có chứa đạo hàm f  x  và có dạng

0

b

g  x  . f  x  dx , nên muốn biến đổi ra tích phân chứa hàm số
�
'

f ( x ) thì ta phải sử


0
2


2

Ta có: 10  �
f '  x  .c os 2 xdx  cos 2 x. f  x 
0


2


2

0

0


2
0


2

�
f  x  .sin 2 xdx
0

4



f  x  sin 2 xdx   . Tính tích phân
�
4
'

0

I  1.

B.

1
I .
2

C.


8

I�
f  2 x  dx .
0

I  2.



u  sin 2 x
�
�
'
�dv  f  x  dx

dụng phương pháp tích phân từng phần bằng cách đặt �

17


Giải:
Xét


4

f '  x  sin 2 xdx  
�
0


4

 . Đặt
4

u  sin 2 x
�


 sin . f
2

4


4





4
4
� �
sin
0.
f
0

2
f
x
cos
2
xdx


2

� 2

f  x  dx 
��
4
8
�0
2
�
�
Ta có �
�
�f  x   f  x  cos 2 x �
�dx  0
0
�4
� f  x  cos 2 xdx  
�
�
8
�0

4

� f  x �
��
f  x �
�f  x   cos 2 x �
� 0 � f  x   cos 2 x
�f  x   cos 2 x �

�
�
�f  x  �
�dx  7 và
2

0

A.

1

x 2 f  x  dx 
�
0

7
.
5

1
. Tích phân
3

B. 1.

1

f  x  dx
�


0

�
u  f  x
�
.
dv  3x 2 dx
�

từng phần bằng cách đặt �
Giải:
1

Xét

x 2 f  x  dx 
�
0

1

1
3

��
3 x 2 f  x  dx  x 3 . f  x 
0

1

0
0

18


�1 '
2
�
��
�f  x  �
�dx  7
�0
�
Ta có �1
� x3 f ' x dx  1
��  
�0

�1 '
2
�
��
�f  x  �
�dx  7
1
�0
'
3
f '  x . �

�
0
0

3. Bài tập tự luyện

2

3

cos x. f '  x  dx.
Bài 1: Cho �
sin x. f  x  dx  f  0   1 . Tính tích phân I  �
0

0

A. I  1.
B. I  0.
C. I  2.
D. I  1.
Bài 2: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên  1; 2 thỏa mãn f (2)  0 ,
2

'
�
�
�f  x  �
�dx  7 và
2

C.



f  x  dx
�

bằng

1

7
.
20

D.

7
.
20

Bài 3: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn f (1)  1 ,
1

'
�
�
�f  x  �
�dx  9 và
2


0

C.

7
.
4

D.

6
.
5

Bài 4: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn f  0   f  1  0.
1

f 2  x  dx 
Biết �
0

A.

1
và
2

I  .




D.

I

3
.
2

Bài 5: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn f  0   1. Biết
1

2
1
'
�
�
f
x


�
�
�dx  30 và
0

A.

I

.
12

D.

I

11
.  17 
30

2.4. Hiệu quả của đề tài.
Qua thực tế giảng dạy lớp 12 về việc giải nhanh bài toán tính tích phân
chứa hàm ẩn, nếu thực hiện theo tiến trình của đề tài này thì học sinh nắm kiến
thức chắc chắn, có hệ thống. Nên khi gặp các bài toán cùng dạng các em nhạy
bén trong việc chọn phương pháp tính và giải quyết nhanh chóng, chính xác.
Tôi đã thử nghiệm đối với 2 lớp 12 năm học 2018-2019 với học lực
trung bình hoàn toàn như nhau với hai tiến trình khác nhau:
19


- Lớp 12 C2 tôi dạy theo tiến trình của đề tài này.
- Lớp 12 C3 tôi dạy theo tiến trình khác.
Kết quả thu được sau khi kiểm tra khảo sát với mức độ đề như trong đề thi
THPT Quốc gia các năm trước thì thu được kết như sau:
Lớp
12C2
12C3

Sỉ số

3.2. Kiến nghị.
Sáng kiến kinh nghiệm này chỉ là một số kinh nghiệm nhỏ của bản thân thu
được trong quá trình dạy một phạm vi học sinh nhỏ hẹp. Vì vậy sự phát hiện ra
những ưu nhược điểm chưa được đầy đủ và sâu sắc. Rất mong được sự góp ý
phản hồi từ hội đồng khoa học ngành, các đồng nghiệp những ưu nhược điểm về
cách dạy nội dung này để đề tài của tôi được hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2019
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
ĐƠN VỊ
viết, không sao chép của người khác.
Người viết

Trịnh Văn Thắng

20


21