02/04/2017

Nội dung

CHƯƠNG 1

TOÁN CHO TÀI
CHÍNH


1

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Lãi suất

2n  1

• Ta có:

n  u n 

u1 

• Ta thường ký hiệu dãy số là (un).
• un gọi là số hạng thứ n của dãy.

u n  

11
4
 2; u2  1; u3  ;...
2.1  1
5

• Hỏi:
u100  ? u999  ?

u9999999  ?

• Khi n rất lớn thì giá trị của dãy số là bao nhiêu?
3

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

100
101

un
0.507537688
0.507462687

9999
10000

0.500075011
0.500075004

10000000
100000000
1000000000

0.500000075
0.500000008
0.500000001

5

Nguyễn Văn Tiến

Dãy số
n

10^ 9


Định nghĩa giới hạn dãy số
• Dãy số (un) có giới hạn là a nếu:
• Chênh lệch (un) và a có thể nhỏ tùy ý khi n đủ lớn.

Ví dụ
• Chứng minh:
lim

  0, n 0  0 : n  n 0  un  a  .
nhỏ tùy ý

n đủ lớn

n 1
1
 0, 5 
2n  1
2

Chênh lệch

• Ký hiệu:
n 
lim un  a hay un 
a

n 

hay


 

2n  1 2
2 2n  1
3
3
1
 2n  1 
 n    

2
 4 2 

• Chọn

3
1
n 0    
 2 2 

• Ta có:
3
1
1
  0, n0     : n  n 0  un   
 2 2 
2

Vậy theo định nghĩa:
lim un 

n
1
n 1

1

• Tồn tại >0 sao cho với mọi n0 đều tồn tại n1>n0
để chênh lệch giữa un1 và a lớn hơn .
• Nói cách khác luôn tồn tại một khoảng cách
giữa dãy (un) và a. Độ chênh lệch giữa (un) và a
không thể nhỏ tùy ý.
Bài giảng Toán cao cấp 1

11

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

12

Nguyễn Văn Tiến

2


02/04/2017

Giới hạn vô cực của dãy số.
• Ta nói dãy (un) tiến đến + khi và chỉ khi:

Bài giảng Toán cao cấp 1

Tính chất

Tính chất

• 1. Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.
• 2. Cho lim un ; lim vn tồn tại hữu hạn. Khi đó:
n 

n 

n 

n 





lim un  lim zn  a

n 

15

Nguyễn Văn Tiến

 zn



5n
nn

sin n
1

n2  1 n2  1

0

• Vậy: lim un  0  lim un  0
n 

Bài giảng Toán cao cấp 1



n 

Minh họa
un 

n 

• Nếu:

n 

Bài giảng Toán cao cấp 1

• Định lý giới hạn kẹp: Cho ba dãy số thỏa:

n 

b) lim un .vn   lim un . lim vn 
n 

e) lim un
n 

a ) lim un  vn   lim un   lim vn 
n 

Nguyễn Văn Tiến

17

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

n 

18

Nguyễn Văn Tiến

3



• Nếu dãy {Sn} hội tụ tới S hữu hạn thì ta nói chuỗi
số (a1+a2+a3+…) là hội tụ và gọi S là tổng của
chuỗi số, ký hiệu.

a1  a2  ...  an  .....
• Ký hiệu chuỗi số:



S   ai



a

i 1

n

n 1

• Nếu dãy {Sn} không hội tụ ta nói chuỗi là phân
kỳ.
21

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Nguyễn Văn Tiến


Nguyễn Văn Tiến

Chuỗi số

• Cho {an} là một dãy số vô hạn.
• Tổng vô hạn sau được gọi là một chuỗi số:

• Ta có chuỗi số:

x1
1 q
20

Bài giảng Toán cao cấp 1

Chuỗi số

• Cho dãy số:

x1 (1  q n )
1 q

Sn  x1  x2   xn 

1 1
1
1
  ...  n  1   
2 4


Bài giảng Toán cao cấp 1

24

Nguyễn Văn Tiến

4


02/04/2017

Ví dụ 2
•
•
•
•

Ví dụ 3
1

• Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:

Nếu |q|1 thì chuỗi số phân kỳ
Nếu q=1 thì Sn=n nên chuỗi phân kỳ
Nếu q=-1 thì

0

Dãy số Sn không tồn tại giới hạn nên chuỗi phân
kỳ
25

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

26

Bài giảng Toán cao cấp 1

Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ


sin x

 1 
Chuỗi  n là chuỗi hội tụ. Vì với mọi   0 thì tồn tại n0  1   log2   sao
  

n 1 2



Định lý. Điều kiện cần và đủ để chuỗi

2 
2  2

ta có

• Xét sự hội tụ của chuỗi sau:

un 1  un 2  ...  un p  



1

n
n 1

27

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

28

Nguyễn Văn Tiến

Tính chất của chuỗi số



29

n 1

• với k là một hằng số.

u  0 thì chuỗi số phân kì.
Nếu nlim
 n

Bài giảng Toán cao cấp 1

n 1



Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

30

Nguyễn Văn Tiến

5


02/04/2017



Chỉ là điều kiện cần để cho chuỗi hội tụ
Đây chưa là điều kiện đủ
Ví dụ: 
1
1
1
1
Chuỗi 
có
=
+
+. . . +
≥
1
2
n
n 1

32

Bài giảng Toán cao cấp 1

Chuỗi số dương


Chuỗi số

u
n 1

1
1
1

 ... 
 ...
1  3 1  32
1  3n

• Ta có:
Sn 

1
1
1
1
1
1

 ... 
  2  ...  n 
1  3 1  32
3 3
1  3n
3

1
3
1




Cho hai chuỗi số dương



x , y
n

n 1



i) Nếu

x
n 1

n

. Giả sử x n  yn , n  n0 . Khi đó

n

hội tụ thì

y
n 1

 yn phân kì thì

b)

n

n 1

1
3

n



 x n cũng phân kì.
n 1

35

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

36

Nguyễn Văn Tiến

6


02/04/2017

chất với các chuỗi số đã biết tính chất. Chẳng
hạn:


1

n
n 1

hội tụ khi   1 , phân kì khi   1 .



37

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

• Xét sự hội tụ của các chuỗi số:


1
a ) ln 1  

n 

n 1



r

hội tụ khi r  1 ; phân kì khi r  1 .

• Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số dương
sau:


39

Nguyễn Văn Tiến

n 1



thì chuỗi

x
n 1

n

n

. Nếu tồn tại giới hạn lim

n 

n

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ



x

n!
n
n 1 3

b)

40

Bài giảng Toán cao cấp 1

Tiêu chuẩn Cauchy
Cho chuỗi số dương



n 1
2n
n 1

a) 


Bài giảng Toán cao cấp 1

42

Nguyễn Văn Tiến

7


02/04/2017

Tiêu chuẩn tích phân

Ví dụ

Cho hàm f (x ) liên tục, dương và đơn điệu giảm trên [1, ) và dần tới 0 khi x   .




Khi đó, chuỗi

x
n 1

n

và tích phân suy rộng


c)
n 1

b)
n 2

1
q  0
n lnq n

1
n

44

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Lãi suất
• Định nghĩa. Thể hiện quan hệ tỷ lệ giữa lãi
trong một đơn vị thời gian với vốn gốc trong
thời gian đó.

LÃI ĐƠN, LÃI GỘP

ã

ấ =



47

Nguyễn Văn Tiến

Công thức tính lãi đơn

• Lãi đơn là lợi tức chỉ tính trên số vốn vay ban đầu
trong suốt thời hạn vay. Nói khác đi, số lãi tính
theo tỷ lệ phần trăm trên vốn gốc chính là lãi đơn.
Trong khái niệm này, chỉ có vốn sinh lời còn lãi
không sinh lợi.
• Lãi đơn thường được áp dụng trong các nghiệp vụ
tài chính ngắn han.
• Giá trị đạt được (hay giá trị cuối cùng, giá trị tương
lai): tổng số tiền thu được khi kết thúc đợt đầu tư.
Giá trị đạt được gồm 2 phần: vốn gốc và lãi thu
được.
Bài giảng Toán cao cấp 1

46

Nguyễn Văn Tiến

Vn  V0 1  n.i 
•
•
•
•


là bao nhiêu để thu được 28,4 triệu trong 3 năm 6
tháng (tính theo lãi đơn)?
49

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

• Nếu đơn vị thời gian của lãi suất i và thời điểm n
không đồng nhất thì trước tiên ta phải biến đổi để
chúng đồng nhất với nhau rồi mới áp dụng công
thức.
• Ví dụ.
• a) Đầu tư 100 triệu (tính theo lãi đơn), sau 6 tháng
thu được tổng số tiền là 105,6 triệu. Hỏi lãi suất
đầu tư là bao nhiêu?
• b) Đầu tư 100 triệu với lãi suất 12%/năm. Sau một
thời gian rút hết ra thu được 106 triệu. Hỏi thời
gian đầu tư mất bao lâu?
Bài giảng Toán cao cấp 1

• Hai lãi suất i và ik tương ứng với 2 chu kỳ khác nhau
được gọi là tương đương nhau khi cùng một số vốn,
đầu tư trong cùng một thời gian thì cho cùng mức lãi
như nhau (giá trị đạt được bằng nhau).

i
k

• Giả sử có hai lãi suất i (chu kỳ 1 năm) và ik (chu kỳ 1/k


Bài giảng Toán cao cấp 1

52

Nguyễn Văn Tiến

Tỷ suất lợi tức bình quân

Ví dụ

• Tỷ suất lợi tức bình quân trong lãi đơn được
tính theo phương pháp bình quân có trọng số.

• Một doanh nghiệp vay với lãi đơn 100 triệu
đồng với lãi suất thay đổi như sau: 8%/năm
trong 6 tháng đầu; 10%/năm trong 3 tháng tiếp
theo và 12%/năm trong 4 tháng cuối cùng.
• Tính:
• a) Lãi suất trung bình của số vốn vay.
• b) Tính tổng số tiền doanh nghiệp phải trả khi
đáo hạn

k

 n .i
j

i



Lãi kép

Lãi kép

• Việc tính lãi bằng cách lấy lãi của kỳ trước nhập
vào vốn để tính lãi cho kỳ sau đó là phương
pháp tính theo lãi kép. Số tiền lãi thu được theo
phương pháp này gọi là lãi kép.
• Lãi kép thường áp dụng trong các nghiệp vụ tài
chính dài hạn.

55

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

• Công thức cơ bản:

Vn  V0 1  i 
• Trong đó:

– i: mức lãi suất
– V0: vốn gốc
– n: thời gian đầu tư (tương ứng với i)
– Vn: giá trị đạt được sau đầu tư

Bài giảng Toán cao cấp 1


một số vốn, đầu tư trong cùng một thời gian sẽ cho
cùng mức lãi như nhau (cùng giá trị đạt được).
• Giả sử lãi suất i tính theo năm, lãi suất ik tương ứng
với chu kỳ 1/k của năm (1 quý, 6 tháng …) là tương
đương nhau thì:
ik  k 1  i  1
nk
nk
n
n
Vn  V0 1  i   V0 1  ik   1  i   1  ik   
k
i  1  ik   1
59

Nguyễn Văn Tiến

• a) Đầu tư một khoản tiền với lãi suất 10%/năm.
Sau 4 năm thu được cả vốn lẫn lời là 146,41 triệu
đồng (tính theo lãi kép). Hỏi vốn đầu tư ban đầu là
bao nhiêu?
• b) Đầu tư một khoản 100 triệu đồng với lãi suất
10%/năm. Sau một thời gian thu được cả vốn lẫn
lời là 161,051 triệu đồng (tính theo lãi kép). Hỏi
thời gian đầu tư là bao lâu?
• c) Đầu tư một khoản tiền 100 triệu với lãi suất
10%/năm. Sau 8 năm thu được cả vốn lẫn lời là
214,358881 triệu (tính theo lãi kép). Hỏi lãi suất
đầu tư (tỷ lệ sinh lời của đầu tư) là bao nhiêu?
Bài giảng Toán cao cấp 1


I A  100 1  0,06   100  12,36

I B  100 1  0,1236   100  12,36
• Điều này chứng tỏ rằng hai lãi suất 6%/6 tháng
và 12,36%/1 năm là tương đương nhau.
Bài giảng Toán cao cấp 1

60

Nguyễn Văn Tiến

10


02/04/2017

Lãi suất tỷ lệ

Lãi kép

• Hai lãi suất i và ik được gọi là tỷ lệ nhau khi tỷ lệ
của chúng bằng với tỷ lệ của hai thời gian tương
ứng.
• Ví dụ. Lãi suất i=12%/năm tỷ lệ với lãi suất
i=3%/quý vì:

• Ghi chú. Nếu thời gian đầu tư n không là số
nguyên, ta có thể chia n thành hai giai đoạn
như sau:


Phương pháp hợp lý

Bài giảng Toán cao cấp 1

62

Nguyễn Văn Tiến

Phương pháp thương mại

• Giá trị cuối đến thời điểm k:

Vk  V0 1  i 

nk

• Tổng giá trị đạt được:

k

Vn  V0 1  i 

• Lãi thu về trong kỳ u/v:

 k u / v 

u
k u
I  Vk i  V0 1  i  i

• Ví dụ. Người ta đầu tư 150 triệu đồng tính lãi
kép với lãi suất lũy tiến.
• 8%/năm trong vòng 2 năm đầu tiên;
• 9%/năm trong vòng 3 năm tiếp theo;
• 11%/năm trong vòng 4 năm cuối.
• a) Vào cuối năm thứ 9 tổng lãi là bao nhiêu?
• b) Lãi suất trung bình hàng năm là bao nhiêu?

a ) I  Vn  V0  33,5295
b) I  Vn  V0  33, 4563
Bài giảng Toán cao cấp 1

65

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

66

Nguyễn Văn Tiến

11


02/04/2017

So sánh lãi đơn và lãi kép.

Lãi suất bình quân trong lãi kép.


+. . . +

là tổng thời gian đầu tư.
ik là mức lãi suất trong các khoảng thời gian nk.

)
)
)

1⇒

ã kép

>
=



Bài giảng Toán cao cấp 1

69

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

70

Nguyễn Văn Tiến

Phân loại TSCĐ

Khấu hao TSCĐ

• Theo hình thái biểu hiện: hữu hình, vô hình
• Theo quyền sở hữu: TSCĐ của doanh nghiệp,
TSCĐ thuê ngoài (thuê hoạt động, thuê tài
chính)
• Theo mục đích và tình hình sử dụng TSCĐ gồm
4 loại:

• Nguyên giá (NG) của TSCĐ là giá trị thực tế của
TSCĐ khi đưa vào sử dụng tại doanh nghiệp
• Giá trị hao mòn (GTHM) của TSCĐ là sự giảm
dần giá trị và giá trị sử dụng của TSCĐ khi tham
gia vào quá trình kinh doanh
• Giá trị còn lại (GTCL) của TSCĐ là giá trị thực tế

giá trị sản phẩm sản xuất ra theo các phương
pháp tính toán phù hợp.
• Tỉ lệ khấu hao: tỷ lệ phần trăm giá trị của tài
sản được trích khấu hao (phụ thuộc vào từng
phương pháp khấu hao). Tỷ lệ khấu hao bằng tỷ
lệ của lượng trích khấu hao (mức khấu hao
năm) so với nguyên giá.

• a) Phương pháp khấu hao đường thẳng.
• b) Phương pháp khấu hao theo số dư giảm dần
có điều chỉnh.
• c) Phương pháp khấu hao theo số lượng, khối
lượng sản phẩm.
• Theo thông tư số 45/2013/TT-BTC ngày
25/4/2013 của Bộ Tài chính.

73

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

74

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Khấu hao theo đường thẳng


Khấu hao đều

Mức KH năm =

Bài giảng Toán cao cấp 1

−

Nguyên giá − Giá trị đào thải
Thời gian sử dụng

77

76

Nguyễn Văn Tiến

Khấu hao đều

• Công thức:
=

Nguyên giá − Giá trị đào thải
Thời gian sử dụng

Nguyễn Văn Tiến

• Ví dụ 1. Một TSCĐ đầu tư mới có nguyên giá
(tính cả chi phí lắp đặt và chạy thử) là 120 triệu
đồng, đưa vào sử dụng năm 2000 với thời gian


T=5

• Mức khấu hao TSCĐ ở năm thứ t = Nguyên giá * Tỷ lệ
khấu hao của năm thứ t
• Tỷ lệ khấu hao = Số năm sử dụng còn lại của TSCĐ
theo thứ tự năm sử dụng / tổng số năm sử dụng còn
lại của TSCĐ.
T  i  1
Cihk   K bd  K dt  Tkhi
Tkhi  2
T  T  1

• Lượng trích khấu hao hàng năm:
• (120-35)/5=17
• Giá trị còn lại năm đầu: 120-17=103
Năm

2000

2001

2002

2003

2004

Lượng trích KH


mức khấu hao năm theo phương pháp trên.
Thứ tự
năm

Số năm sử dụng còn lại cho đến
khi hết hạn sử dụng

Tỷ lệ KH
năm

Mức KH năm

1

5

5/15

50* 5/15 =16,67

2

4

4/15

50*4/15 = 13,33

3


Mức trích khấu
Giá trị còn lại
hao hàng năm của = của tài sản X
tài sản cố định
cố định
Tỷ lệ khấu
khao nhanh
(%)

=

Tỷ lệ khấu hao tài
1
sản cố định theo
= Thời gian trích
phương pháp
khấu hao của tài
đường thẳng (%)
sản cố định
Bài giảng Toán cao cấp 1

Tỷ lệ khấu
hao nhanh

Tỷ lệ khấu hao tài sản
cố định theo phương X
pháp đường thẳng

83


Bài giảng Toán cao cấp 1

Khấu hao theo số dư giảm dần có điều chỉnh
• Xác định hệ số điều chỉnh
Thời gian sử dụng của TSCĐ Hệ số điều chỉnh

Hệ số
điều
chỉnh

3 – 4 năm
5 – 6 năm
> 6 năm

1,5
2,0
2,5

100

t ≤ 4 năm
4 < t ≤ 6 năm
t> 6 năm

1,5
2,0
2,5

Bài giảng Toán cao cấp 1


• - Tỷ lệ khấu hao hàng năm của tài sản cố định
theo phương pháp khấu hao đường thẳng là
20%.
• - Tỷ lệ khấu hao nhanh theo phương pháp số
dư giảm dần bằng 20% x 2 (hệ số điều chỉnh) =
40%
• - Mức trích khấu hao hàng năm của tài sản cố
định trên được xác định cụ thể theo bảng dưới
đây:

85

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Ví dụ
Năm Giá trị còn lại Cách tính số khấu
thứ
của TSCĐ
hao TSCĐ hàng năm
1
2
3
4
5

50.000.000


87

Nguyễn Văn Tiến

• + Mức khấu hao tài sản cố định từ năm thứ nhất đến hết
năm thứ 3 được tính bằng giá trị còn lại của tài sản cố
định nhân với tỷ lệ khấu hao nhanh (40%).
• + Từ năm thứ 4 trở đi, mức khấu hao hàng năm bằng giá
trị còn lại của tài sản cố định (đầu năm thứ 4) chia cho số
năm sử dụng còn lại của tài sản cố định (10.800.000 : 2 =
5.400.000).
• Vì tại năm thứ 4: mức khấu hao theo phương pháp số dư
giảm dần (10.800.000 x 40%= 4.320.000) thấp hơn mức
khấu hao tính bình quân giữa giá trị còn lại và số năm sử
dụng còn lại của tài sản cố định (10.800.000 : 2 =
5.400.000).
Bài giảng Toán cao cấp 1

Phương pháp MACRS

MKH năm i= Tỉ lệ khấu hao năm i * nguyên giá tài sản

89

88

Nguyễn Văn Tiến

Phương pháp MACRS

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nhóm TSCĐ có thời gian khấu hao
3 năm
5 năm
7 năm
33,33%
20.00%
14.29%
44,45%
32.00%
24.49%
14,81%
19.20%
17.49%
7,41%
11.52%
12.49%
11.52%
8.93%
5.76%
8.92%
8.93%
4.46%
Nguyễn Văn Tiến

15


02/04/2017

• - Căn cứ vào hồ sơ kinh tế - kỹ thuật của tài sản cố định, doanh
nghiệp xác định tổng số lượng, khối lượng sản phẩm sản xuất
theo công suất thiết kế của tài sản cố định, gọi tắt là sản lượng
theo công suất thiết kế.
• - Căn cứ tình hình thực tế sản xuất, doanh nghiệp xác định số
lượng, khối lượng sản phẩm thực tế sản xuất hàng tháng, hàng
năm của tài sản cố định.

Khái niệm. Là phương pháp khấu hao mà mức khấu hao hàng
tháng, hàng năm thay đổi phụ thuộc vào lượng sản phẩm thực
tế mà TSCĐ đã tạo ra.
Công thức.
• Mức KH tháng = Lượng SP được tạo ra trong tháng * Mức
trích KH bình quân tính cho một đơn vị SP
• Mức khấu hao năm = Mức khấu hao tháng * 12.
Trong đó :
Mức trích khấu hao bình quân cho 1 đơn vị sản phẩm = Nguyên
giá TSCĐ / sản lượng theo công suất thiết kế

Bài giảng Toán cao cấp 1

93

Nguyễn Văn Tiến

Khấu hao theo số lượng, khối lượng sản phẩm
• Trích khấu hao theo năm:

Mức trích khấu hao
Số lượng sản

trong tháng của tài = phẩm sản xuất
sản cố định
trong tháng

Mức trích khấu hao bình quân tính
cho một đơn vị sản phẩm

Bài giảng Toán cao cấp 1

92

Bài giảng Toán cao cấp 1

=

X

Mức trích khấu
hao bình quân
tính cho một
đơn vị sản phẩm

Nguyên giá của tài sản cố định
Sản lượng theo công suất thiết kế

94

Nguyễn Văn Tiến

Khấu hao theo số lượng, khối lượng sản phẩm

Tháng 12
96

Khối lượng sản phẩm
hoàn thành (m3)
15.000
14.000
16.000
16.000
18.000
18.000
Nguyễn Văn Tiến

16


02/04/2017

Khấu hao theo số lượng, khối lượng sản phẩm
• Mức trích khấu hao theo phương pháp khấu
hao theo số lượng, khối lượng sản phẩm của tài
sản cố định này được xác định như sau:
• - Mức trích khấu hao bình quân tính cho 1 m3
đất ủi = 450 triệu đồng: 2.400.000 m3 = 187,5
đ/m3
• - Mức trích khấu hao của máy ủi được tính theo
bảng sau:

Bài giảng Toán cao cấp 1


15.000
14.000
16.000
16.000
18.000
18.000
Tổng cộng cả năm

Bài giảng Toán cao cấp 1

Mức trích khấu hao tháng (đồng)
14.000 x 187,5 = 2.625.000
15.000 x 187,5 = 2.812.500
18.000 x 187,5 = 3.375.000
16.000 x 187,5 = 3.000.000
15.000 x 187,5 = 2.812.500
14.000 x 187,5 = 2.625.000
15.000 x 187,5 = 2.812.500
14.000 x 187,5 = 2.625.000
16.000 x 187,5 = 3.000.000
16.000 x 187,5 = 3.000.000
18.000 x 187,5 = 3.375.000
18.000 x 187,5 = 3.375.000
35.437.500

98

Nguyễn Văn Tiến

Giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền

ở thời điểm hiện tại cộng với số tiền lãi mà nó
sinh ra trong khoảng thời gian từ hiện tại cho
đến một thời điểm trong tương lai.

2.2. Giá trị tương lai của dòng tiền không đều
i

Bài giảng Toán cao cấp 1

101

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

102

Nguyễn Văn Tiến

17


02/04/2017

Giá trị tương lai của khoản tiền đơn
• Tính theo lãi đơn

Giá trị hiện tại của khoản tiền đơn
• Tính theo lãi đơn


Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

Ví dụ

• Giả sử một người cha đã mở tài khoản tiết kiệm
5 triệu VNĐ cho con trai của ông ta vào ngày
đứa trẻ chào đời, để 18 năm sau cậu bé có tiền
vào đại học. Lãi suất hàng năm là 6%. Vậy số
tiền mà người con trai sẽ nhận được khi vào đại
học là bao nhiêu? (tính theo lãi kép)
• Đ/S:

• Một người muốn để dành tiền cho tuổi già
bằng cách gửi tiết kiệm vào ngân hàng, lãi suất
ngân hàng là 13%/năm. Người đó phải gửi vào
ngân hàng bao nhiêu tiền ở thời điểm hiện tại,
để 20 năm sau nhận được số tiền 20 triệu VNĐ?
(tính theo lãi kép)

n

18

FV  PV 1  i   5.000.000 1  6%   14.271.695
105

Bài giảng Toán cao cấp 1


20

 1.736.000

Nguyễn Văn Tiến

Giá trị tương lai của dòng tiền

Nếu lấy số 72 chia cho tốc độ tăng trưởng, thì kết quả là
một ước lượng gần đúng với số năm cần thiết để con số
ban đầu tăng gấp đôi.
72 chia cho 8 được 9.
 sẽ mất 9 năm để
tăng gấp đôi số tiền
của bạn với lãi suất
hằng năm là 8%.

PV 

Nguyễn Văn Tiến

• Giá trị tương lai của một dòng tiền sau n năm
chính là tổng giá trị tương lai của từng khoản
tiền xảy ra ở từng thời điểm khác nhau trong n
năm.

Bài giảng Toán cao cấp 1

108


thời gian.
3 loại dòng tiền đều :
• Dòng tiền đều thông thường (ordinary annuity) – xảy
ra vào cuối kỳ
• Dòng tiền đều đầu kỳ (annuity due) – xảy ra vào đầu
kỳ
• Dòng tiền đều vĩnh cửu (perpetuity) – xảy ra cuối kỳ
và không bao giờ chấm dứt

110

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Giá trị tương lai của dòng tiền

Dòng tiền không đều (mixed cash flows)

Bài giảng Toán cao cấp 1

Dòng tiền đều

Nguyễn Văn Tiến

Giá trị hiện tại của dòng tiền
• Giá trị hiện tại của dòng tiền là tổng giá trị hiện tại
của các khoản tiền cấu thành
• PVA( Present Value of Annuity): Giá trị hiện tại của
dòng tiền thông thường


CF 1  i 

n 1

n

 1  i   1 
FVA  CF 

i


Bài giảng Toán cao cấp 1

113

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

114

Nguyễn Văn Tiến

19


02/04/2017


n

1

i

1  i 

116

Bài giảng Toán cao cấp 1

n

Nguyễn Văn Tiến

Giá trị hiện tại của dòng tiền đều

Ví dụ
• Một người quyết định dành tiền để mua mở nhà
hàng sau 7 năm nữa. Hiện tại trong tài khoản người
đó đã có 30.000USD và người đó quyết định trong
vòng 6 năm vào cuối mỗi năm sẽ tiết kiệm và gửi vào
tài khoản số tiền 30.000USD. Nếu lãi suất tiết kiệm là
7%/năm thì sau 7 năm người này có thể mở nhà
hàng với số tiền tối đa là bao nhiêu?

a. Trường hợp cuối kỳ

1

Bài giảng Toán cao cấp 1

118

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

Ví dụ
• Tính giá trị của một
thiết bị sản xuất nếu
nó được bán trả góp
với lãi suất 12%/năm
và thời gian là 5 năm,
mỗi năm trả 50 triệu
VNĐ. Biết rằng việc
trả tiền được tiến
hành vào đầu năm.

CF
i

• Giải
PVAD  PVA 1  i 
n

1  1  i 
1  i 


02/04/2017

Giá trị tương lai chuỗi tiền tệ bất kỳ

• Công ty Nam Phong dự định mở rộng một phân xưởng
sản xuất bánh kẹo. Công ty dự kiến đầu tư liên tục
trong 5 năm vào mỗi cuối năm lần lượt các khoản tiền
sau: 50 triệu VNĐ, 40 triệu VNĐ, 25 triệu VNĐ, 10 triệu
VNĐ và 10 triệu VNĐ. Lãi suất là 10%/năm. Vậy tổng
giá trị đầu tư của công ty tính theo thời giá của năm
thứ 5 là bao nhiêu ?

Tổng quát
n

FVA   CFt 1  i 

n t

t 0

FVA : giá trị tương lai của dòng tiền cuối kỳ
CFt: giá trị của dòng tiền ở cuối kỳ t

121

Bài giảng Toán cao cấp 1

Giá trị tương lai của dòng tiền không đều

Bài tập

Giá trị hiện tại chuỗi tiền tệ bất kỳ
Tổng quát

122

Nguyễn Văn Tiến

Giá trị hiện tại ròng

124

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Định nghĩa 1 về NPV

• Net Present Value

• NPV là hiệu số của giá trị hiện tại của khoản tiền
sẽ thu về trong tương lai và chi phí chi phí triển
khai dự án.

NPV  B (1  i )  n  C

Bài giảng Toán cao cấp 1

125

•
•

CI: cash in (luồng tiền thu về)
CO: cash out (luồng tiền chi)
n: số năm hoạt động của dự án
t: năm bắt đầu thực hiện dự án được coi là năm
gốc
127

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Thu nhập hàng năm ($) Giá trị hiện tại ròng NPV ($)
Dự án A
Dự án B
Dự án A
Dự án B
0
-1.000
-1.000
-1.000
-1.000
1
700
0
666,667
0
2

IRR có được bằng phương pháp thử sai như sau:
• - Tìm mức chiết khấu sao cho NPV nhỏ và
dương;
• - Tìm mức chiết khấu lớn hơn sao cho NPV nhỏ
và âm
• - Sử dụng nội suy tuyến tính giữa hai giá trị trên
để tìm mức chiết khấu sao cho NPV=0

nội bộ): mức lãi suất mà dự án có thể đạt được
đảm bảo cho tổng các khoản thu của dự án cân
bằng với các khoản chi
 lãi suất chiết khấu làm cho NPV = 0
n

 CI 1  i 

t

t

n

   CO

t0

t

1  i  t 



Dòng tiền

-80

40

30

20

5

• Hãy tính NPV với mức 5% và 10%

Thời gian

Tổng dòng tiền

0

-80

-80

-80

1

40


4
NPV
Bài giảng Toán cao cấp 1

131

Nguyễn Văn Tiến

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

132

PV (5%)

PV (10%)

Nguyễn Văn Tiến

22


02/04/2017

Tỷ suất hoàn vốn nội bộ

Tỷ suất hoàn vốn nội bộ



IRR

NPV1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

NPV1
NPV1  NPV2

Bài giảng Toán cao cấp 1

134

Nguyễn Văn Tiến

Tỷ suất hoàn vốn nội bộ
• Điều kiện chọn dự án: chọn IRR cao nhất hoặc

• Hãy xác định IRR của dự án sau:

IRR  Rmin

• Rmin là lãi suất đi vay nếu phải vay vốn đầu tư.

Thời gian

0

được. Nếu giả định rằng tất cả các yếu tố khác của các dự án là như
nhau thì dự án nào có tỉ suất hoàn vốn nội bộ cao nhất thì dự án đó
có thể được ưu tiên thực hiện đầu tiên.
Bài giảng Toán cao cấp 1

136

Nguyễn Văn Tiến

BÀI TẬP NPV

BÀI TẬP NPV

1. Công ty bạn mua 1 máy photocopy giá 6000USD sử
dụng trong 5 năm. Luồng tiền công ty thu được trong các
năm như sau, lãi suất chiết khấu là 10%:

• 3. Bạn đang dự định đầu tư xây dựng trang trại mà có
thể chịu lỗ 55 triệu VND vào cuối năm thứ nhất, nhưng
sau đó sẽ thu lại 95 triệu VND, 140 triệu VND, 185 triệu
VND vào cuối năm thứ 2 thứ 3 thứ 4, và sẽ phải trả chi
phí ban đầu là 250 triệu VND, với tỷ lệ lãi suất là 12%
năm. Hãy đánh giá việc đầu tư này.

Hãy tính NPV?
2. Tính giá trị hiện tại ròng của một dự án mà bạn bỏ vốn
ban đầu là 200 triệu VND. năm 1 bạn thu về 20 triệu VND,
năm 2 bạn chi ra 50 triệu VND. Đến năm 3 bạn thu được
100 triệu VND và năm 4 là 170 triệu VND. Với lãi suất là
10%

thuê bao nhiêu một năm với mức lãi yêu cầu của bạn
là 18%/năm. Với chi phí quản lý bạn bỏ ra là 6
triệu/năm

1. Một người thuê nhà $1000/năm, thuê trong 3 năm
(trả vào cuối mỗi năm). Nhưng người cho thuê đòi lấy
trước 1 lần. Vậy giá thương lượng nên là bao nhiêu,
biết rằng lãi suất bình quân thị trường là 18%/năm
2. Bạn cho thuê nhà với giá là 6000$ /năm, thanh toán
vào 01/01 hàng năm trong thời hạn 5 năm. Toàn bộ
tiền cho thuê được ký gửi vào ngân hàng với lãi suất
6%/năm, trả lãi kép hàng năm. Sau 5 năm số tiền bạn
có được cả gốc và lãi là bao nhiêu?

Bài giảng Toán cao cấp 1

139

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

140

Nguyễn Văn Tiến

Bài tập 3,4

Bài tập 5,6


Bài tập 7,8

143

Nguyễn Văn Tiến

Bài tập 9

• 7. Bạn mua một chung cư với mục đích cho
thuê trong dài hạn. Bạn kỳ vọng có thể thu
được 120 triệu VNDmột năm. Vậy bạn sẵn sàng
chi trả bao nhiêu để mua nó nếu mức lãi suất
yêu cầu của bạn là 18%/năm
• 8. Trong kế hoạch 5 năm tới của A, A sẽ gửi tiết
kiệm 5 triệu VND vào ngày 02/01 hàng năm vào
tài khoản hưởng lãi 14%/năm. Hỏi cuối năm
thứ 5 A có bao nhiêu tiền trong tài khoản?
Bài giảng Toán cao cấp 1

142

Nguyễn Văn Tiến

• Giả sử, bây giờ là 01/01/2017, bạn gửi vào ngân hàng 50
triệu VND với lãi suất 11% (lãi nhập gốc 1 năm 1 lần)
• a. Vào 01/01/2019 bạn có bao nhiêu tiền trong tài
khoản?
• b. Giả sử bạn gửi thành 5 lần là 10 triệu VND vào ngày
01/01 các năm 2017, 2018, 2019, 2020 và 2021. Bạn sẽ
có được bao nhiêu tiền trong tài khoản vào thời điểm

145

Nguyễn Văn Tiến

• Mệnh giá trái phiếu (face or value): số tiền ghi trên trái
phiếu
• Lãi suất trái phiếu (coupon rate): lãi suất mà trái phiếu
được hưởng
• Ngày đáo hạn : Là ngày trái phiếu hết hạn, đến kỳ thanh
toán
• Lãi suất huy động (kD) – suất coupon : Là lãi suất mà
công ty phát hành trái phiếu hứa thanh toán cho các trái
chủ.
• Giá trái phiếu (Vb): là giá khi nhà đầu tư mua trái phiếu
• Lãi suất thị trường (kDM): là mức lãi mà thị trường đòi
hỏi đối với một khoản vay cụ thể
Bài giảng Toán cao cấp 1

Trái phiếu

147

Nguyễn Văn Tiến

• Quyết định giá trị lý thuyết của trái phiếu một cách
chính xác và công bằng. Giá trị của trái phiếu được xác
định bằng cách xác định giá trị hiện tại của toàn bộ thu
nhập nhận được trong thời hạn hiệu lực của trái phiếu.
• Nguyên tắc: Giá trị của trái phiếu được xác định bằng
giá trị hiện tại của toàn bộ thu nhập mà trái phiếu này

• Trái phiếu kho bạc phát hành bởi kho bạc để tài trợ
cho thiếu hụt ngân sách của chính phủ
• Trái phiếu đô thị phát hành bởi chính quyền địa
phương nhằm mục đích huy động vốn tài trợ cho ngân
sách của chính quyền địa phương

Bài giảng Toán cao cấp 1

146

Nguyễn Văn Tiến

• Giá trị của loại trái phiếu này được xác định bằng
giá trị hiện tại của dòng tiền vô hạn mà trái phiếu
này mang lại.
I
• Gọi:

• V: giá của trái phiếu
kd
• I: mức lãi cố định được hưởng mãi
• kd: tỷ suất lợi nhuận theo yêu cầu của nhà đầu tư.

V

Bài giảng Toán cao cấp 1

150

Nguyễn Văn Tiến