Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7Phần I: mở đầu
I. Lý do chọn đề tài:
- Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi thấy phần kiến thức về tỷ lệ thức
và dãy tỷ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong chơng trình Đại số lớp 7. Từ một tỷ lệ
thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỷ lệ thức nếu biết đ-
ợc 3 số hạng ta có thể tính đợc số hạng thứ t. Trong chơng II, khi học về đại lợng tỷ lệ
thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phơng tiện quan trọng giúp ta giải toán.
Trong phân môn Hình học, để học đợc định lý Talet, tam giác đồng dạng (lớp 8) thì
không thể thiếu kiến thức về tỷ lệ thức. Mặt khác khi học tỷ lệ thức và tính chất của
dãy tỷ số bằng nhau còn rèn t duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả năng khai
thác bài toán, lập ra bài toán mới.
Với những lý do trên đây, trong đề tài này tôi đa ra một số dạng bài tập về tỷ lệ
thức và dãy tỷ số bằng nhau trong Đại số lớp 7.
II. Phạm vi nghiên cứu:
1. Phạm vi của đề tài:
Chơng I, môn đại số lớp 7
2. Đối t ợng :
1
Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7Học sinh lớp 7 THCS.
3. Mục đích:
a) Kiến thức.
- Học sinh hiểu và làm đợc một số dạng toán về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng
nhau nh: Tìm số hạng cha biết, chứng minh liên quan đến tỷ số bằng nhau, toán chia

tính chất 2( tính chất hoán vị)
Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức
a
b
c
d
a
c
b
d
d
b
c
a
d
c
b
a
==== ;;;
2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
+ từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
ta suy ra
( )
db
db

fdb
eca
fdb
eca
f
e
d
c
b
a
( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
3.Chú ý:
+ Khi có dãy tỉ số
532
cba
==
ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũng viết
a:b:c = 2:3:5.
+ Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
suy ra
3
Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7
= = = ì ì = ì
ữ
ữ ữ ữ


II.Đối tợng phục vụ của đề tài
Học sinh lớp 7A. 7B trờng THCS Tráng Việt năm học 2008 2009
III.Nội dung và phơng pháp nghiên cứu
Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đa ra một số dạng bài tập sau:
Dạng 1. Tìm số hạng ch a biết
1.Tìm một số hạng cha biết
a) Phơng pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức
Nếu
. . .
. . ; ;
a c b c a d a d
a d b c a b c
b d d c b
= = = = =
Muốn tìm ngoại tỉ cha biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết,
muốn tìm trung tỉ cha biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.

b) Bài tập:
Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 SGK 26 b)
- 0,52 : x = - 9,36 : 16,38

( )
. 9,36 0.52.16,38
0,52.16,38
0,91

Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 a)
60
15
x
x

=

Giải : từ
( ) ( )
2
2 2
60
15
. 15 . 60
900
30
x
x
x x
x
x

=

=
=
=
Suy ra x = 30 hoặc -30
Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng cha biết nhng 2 số hạng đó giống nhau nên ta đa
( ) ( )
3 5
3 .7 5 .5
5 7
7 21 25 5
12 46
5
3
6
x
x x
x
x x
x
x

= =

=
=
=
Cách 2: từ
3 5 3 5
5 7 5 7
x x x
x

= =

5 3 4 14 2 10 5
x x
x x
x x x x
x x x x x x
x x
x x x x
+
=
+
+ = +
+ = +
=
= + = =
Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau
khi biến đổi thì x
2
bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của
dãy tỉ số bằng nhau
2.Tìm nhiều số hạng cha biết
a)Xét bài toán cơ bản thờng gặp sau:
Tìm các số x, y, z thoả mãn
x y z
a b c
= =
(1) và x +y + z =d (2)
6
Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7


. . .
; ;
x y z x y z d
a b c a b c a b c
a d b d c d
x y z
a b c a b c a b c
+ +
= = = =
+ + + +
= = =
+ + + + + +
b).Hớng khai thác từ bài trên nh sau.
+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) nh sau:
*
1 2 3
k x k y k z e+ + =
*
2 2 2
1 2 3
k x k y k z f+ + =
*x.y.z = g
+Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) nh sau:
-
1 2 3 4
;
x y y z
a a a a
= =
-

c).Bài tập
Bài tập 1: tìm 3 số x, y, z biết
2 3 4
x y z
= =
và x +y + z = 27
Giải: Cách 1.
Đặt
2 , 3 , 4
2 3 4
x y z
k x k y k z k= = = = = =
Từ x + y + z = 27 ta suy ra
2 3 4 27 9 27 3k k k k k
+ + = = =
Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12
Vậy x = 6; y = 9; z = 12.
- Cách 2. áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có.

27
3
2 3 4 2 3 4 9
2.3 6; 3.3 9; 4.3 12
x y z x y z
x y z
+ +
= = = = =
+ +
= = = = = =
Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:

6; 9; 12
x y z x y z
x y z
+
= = = = =
+
= = =
Bài tập 3: Tìm 3 số x, y, z biết
2 3 4
x y z
= =
và
2 2 2
2 3 5 405x y z+ =
Giải:
- Cách 1: Đặt
2 3 4
x y z
= =
=k
- Cách 2: từ
2 3 4
x y z
= =

suy ra

2 2 2
2 2 2
4 9 16

x x
y
y y
z
z z
= = =
= = =
= = =
Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12.
Bài tập 4: Tìm 3 số x, y, z biết
2 3 4
x y z
= =
và x.y.z = 648
9
Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7Giải:
- Cách 1: Đặt
2 3 4
x y z
= =
= k
- Cách 2: Từ
2 3 4
x y z
= =


z x z
x = =
Suy ra
2 3 4
x y z
= =
Sau đó ta giải tiếp nh bài tập 1.
Bài tập 6. Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27
Giải: Từ
3 2
2 3
x y
x y= =
Từ
4 2
2 4
x z
x z= =
Suy ra
2 3 4
x y z
= =
sau đó giải nh bài tập 1
Bài tập 7: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y 5z = -21
10
Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7Giải: từ 6x = 4y = 3z

- Cách 1: Đặt
4 6 8
2 3 4
x y z
= =
=k
- Cách 2: áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có
4 6 8
2 3 4
x y z
= =
4 6 8 18 27 18
1
2 3 4 9 9
4
1 6
2
6
1 9
3
8
1 12
4
x y z x y z
x
x
y
y
z
z

Phơng pháp 3: Dùng t/c hoán vị , t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức biến
đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế phải.
Phơng pháp 4: dùng t/c hoán vị, t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức để từ
tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.
2) Bài tập:
Bài tập 1
( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức:
a c
b d
=
hãy suy ra tỷ lệ thức:
a b c d
a c

=
.
Giải:
12
Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7Cách 1: Xét tích
( )
( )
(1)
(2)
a b c ac bc
a c d ac ad
=

a b bk b k
b
a bk bk k
d k
c d dk d k
d
c dk dk k


= = =


= = =
Từ (1) và (2) suy ra:
a b c d
a c

=
- Cách 3: từ
a c b d
b d a c
= =
Ta có:
1 1
a b a b b d c d
a a a a c c

= = = =
Do đó:
a b c d

Bằng cách chứng minh tơng tự từ tỉ lệ thức
a c
b d
=
ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau:
;
a b c d a b c d
b d a c
+ +
= =
(Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
Bài tập 2: chứng minh rằng nếu
2
a bc=
thì
a)
2 2
2 2
; ) , ( 0)
a b c a a c c
b b
a b c a b a b
+ + +
= =
+
(với a
, )b a c
Lời giải:
a) - Cách 1: Xét tích chéo
- Cách 2: từ

a b bk b b k k
a k
c a ak a k
a
c a ak a a k k
+
+ + +
= = =

+
+ + +
= = =

Từ (1) và (2) suy ra:
a b c a
a b c a
+ +
=

- Cách 3: Ta có
14
Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7
( )
( )
( )
( )

a b c a
a b c b
+ +
=

ta cũng suy ra đợc a
2
= bc
Từ đó ta có bài toán cho
a b c a
a b c b
+ +
=

chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì
từ 3 số a, b, c có 1 số đợc dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức .
- Cách 4: Từ a
2
= bc

a c a b a b a b
b a c a c a c a
a b c a
a b c a
+
= = = = =
+
+ +
=


2
)c
2 2
2 2
a c c
b a b
+
=
+
- Cách 2: Từ a
2
= bc
a c
b a
=
Đặt
a c
k
b a
= =
suy ra a = bk, c = ak = bk
2

Ta có
15
Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7

a c c
b a b
+
=
+
- Cách 3: từ a
2
= bc
a c
b a
=
2 2 2 2
2 2 2 2
(1)
a c a c
b a b a
+
= =
+
Từ
2
2
(2),( 0)
a c a a c c
a
b a b b a b
= = ì =
Từ (1) và (2) suy ra:
2 2
2 2

, , ,a a a a
thoả mãn
2 3
2 1 3 3 2 4
;a a a a a a= =
chứng tỏ
3 3 3
1 2 3
1
3 3 3
2 3 4 4
a a a
a
a a a a
+ +
=
+ +
Giải: Từ
2
1 2
2 1 3
2 3
3
3
2
3 2 4
3 4
(1)
(2)
a a

2 3 4 2 3 4
(4)
a a a a
a a
a a a a a a
+ +
= = =
+ +
Từ (3) và (4) suy ra:
3 3 3
1 2 3
1
3 3 3
2 3 4 4
a a a
a
a a a a
+ +
=
+ +
Ta cũng có thể chuyển bài tập 3 thành bài tập sau:
Cho
1 2 4
2 3 4
a a a
a a a
= =
chứng minh rằng
3
1 2 3

+ +
= =
+ +
2
0 (1)
abz acy y z
abz acy bz cy
a b c

= = = =

2
0 (2)
bcx baz z x
bcx baz cx az
b c a

= = = =
Từ (1) và (2) suy ra:
x y z
a b c
= =
17
Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7Bài tập 5:Cho
cba
z

2
224442
2
224
2
4422 a
zyx
cbacbacba
zyx
cba
y
cba
z
cba
y
cba
x
++
=
++++++
++
=
+
=
+
=
+
=
++
)2(

)3(
9
44
44)448(484
44
448
4
484
4
4422
c
zyx
cbacbacba
zyx
cba
y
cba
x
cba
z
cba
y
cba
x
+
=
+++++
++
=
+

zyx
a
+
=
++
=
++ 4422
Dạng 3: Toán chia tỉ lệ
1.Phơng pháp giải
Bớc 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lợng cha biết
Bớc 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện
Bớc 3:Tìm các số hạng cha biết
Bớc 4:Kết luận.
18
Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 72.Bài tập
Bài tập 1:(Bài 76 SBT-T14):Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là
22 cm
và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5
Lời giải:
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm,a,b,c
0
>
)
Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22
Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có
542

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm
Có thể thay điều kiện ( 2) nh sau : biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ
nhất bằng 3.Khi đó ta có đợc
c-a=3
Bài tập 2:
19
Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng đợc tỉ
lệ với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn
số cây của lớp 7C là 119 cây.Tính số cây mỗi lớp trồng đợc .
Lời giải:
Gọi số cây trồng đợc của lớp 7A,7B,7C lần lợt là a,b,c (cây, a,b,c nguyên dơng)
Theo bài ra ta có
7
17
119
5166
42
516
4
6
2
542
==
+
+

Theo bài ra ta có
2 4
;
3 9
a a
b c
= =
và
3 3 3
1009a b c
+ + =
Giải tiếp ta đợc a=-4 , b=-6, c=- 9
20
Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi
1
5

số thóc ở kho I,
1
6

số thóc ở kho II và
1
11
số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau .Hỏi
lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc

+ +
= = = = =
+ +
Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220.
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số thóc lúc đầu của của kho I,II,III lần lợt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn.
Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7,8,9 chuyển đợc 912
3
m

đất , trung bình mỗi học sinh khối 7,8,9theo thứ tự làm đợc
3 3 3
1, 2 ;1, 4 ;1,6m m m
Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4 và
5 . Tính số học sinh của mỗi khối .
21
Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7Lời giải:
Gọi số học sinh của khối 7,8,9 lần lợt là a,b,c(h/s)(a,b,c là số nguyên dơng)
Số đất khối 7 chuyển đợc là 1,2a
Số đất khối 8 chuyển đợc là 1,4b
Số đất khối 9 chuyển đợc là 1,6c
Theo bài rat a có
;
1 3 4 5
a b b c
= =

Từ
2
2
. . 10
4 2
2 5 2 5 2 5
x y x x x y x
x x
= = = = =
từ đó suy ra
5y
=
vậy x= 2,y= 5 hoặc x=-2, y= -5
hoặc từ
2 2
2 2
10
. 1 4 2
2 5 4 2 5 4 10
x y x x y x
x x
= = = = =
hoặc đặt
2 , 5
2 5
x y
x x x y x
= = = =
vì xy=10 nên 2x.5x=10
2

b c c a a b
= =
+ + +
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2
a b c a b c a b c
b c c a a b b c c a a b a b c
+ + + +
= = = =
+ + + + + + + + + +
h/s thờng bỏ quên đk a+b+c=0 mà rút gọn luôn bằng
1
2
ta phải làm nh sau
+ Nếu a+b+c=0 thì b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c
nên mỗi tỉ số
; ;
a b c
b c c a a b+ + +
đều bằng -1
+ Nếu a+b+c

0 khi đó
( )
1
2 2
a b c a b c
b c c a a b a b c
+ +

+ + + + + + + +
x y z t x y z t x y z t x y z t
y z t z t x x y t x y z
+ + + + + + + + + + + +
= = =
+ + + + + + + +
ở cách 1 học sinh mắc sai lầm nh bài tập 3
ở cách 2 học sinh mắc sai lầm suy ra luôn y+z+t=z+t+x=x+y+t=x+y+z
Phải làm đúng nh sau :
Nếu x+y+z+t
0

suy ra y+z+t=z+t+x =x+y+t=x+y+z suy ra x=y=z=t suy ra P=4
23
Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7Nếu x+y+z+t =0

x+y=-(z+t);y+z=-(t+x).Khi đó P=-4
ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách nh nhau .Nhng ở bài tập 3 nên dùng cách 1,bài tập 4
nên dùng cách 2
Bài tập tơng tự :
1)Cho a,b,c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện
a b c b c a c a b
c a b
+ + +
= =
.Hãy tính giá trị của biểu thức

= =
Nh sau:
Ta có:
2 1 3 2 2 3 1
5 7 6
x y x y
x
+ +
= =
(1)
Từ hai tỷ số đầu ta có:
2 1 3 2 2 3 1
5 7 12
x y x y+ +
= =
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra
2 3 1
6
x y
x
+
2 3 1
12
x y+
=
(3)

6x = 12


Bài tập 6: Tìm x,y biết :
1 2 1 4 1 6
(1)
18 24 6
y y y
x
+ + +
= =
Giải tơng tự nh bài tập 5 nhng bài này chỉ có một trờng hợp
3.Sai lầm khi xét luỹ thừa bậc chẵn
Học sinh thờng sai lầm nếu A
2
=B
2
suy ra A=B
Bài tập 7:Tìm x biết
1 60
15 1
x
x

=

Giải:
1 60
15 1
x
x

=